《工程數(shù)學(xué)》教案 高教 王洋 第1章 行列式與矩陣

教案本

（一學(xué)年第2學(xué)期）

課程名稱：工程數(shù)學(xué)

課程代碼：

授課學(xué)時：64

授課班級：

授課教師：

教研室：

年月曰

課程學(xué)期課表

節(jié)次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

第一

二節(jié)

上

午

第三

四節(jié)

第五

六節(jié)

下

午

第七

八節(jié)

晚

上

教學(xué)進程第2周——第17周

檢查記錄

填寫說明：課程學(xué)期課表只填該課程本期的授課班級、教學(xué)地點

教學(xué)設(shè)計

授課課題（學(xué)習(xí)情境/

二階、三階行列式

任務(wù)/項目/單元

授課時間第2周（1）課型理論課

教學(xué)

掌握用對角線法則計算二階和三階行列式

目標(biāo)

教學(xué)重點二階和三階行列式的計算

教學(xué)難點二階和三階行列式的計算

教學(xué)準(zhǔn)備（環(huán)境、資源、

多媒體

條件等）

導(dǎo)學(xué)過程設(shè)計

教學(xué)組

教師活動學(xué)生活動織與方時間

法

一.二階與三階行列式參與互動PPT展示

行列式的概念起源于解線性方程組,它是從二元與三元思考、聯(lián)想40

戔性方程組的解的公式引出來的.因此我們首先討論解方程做出選擇講授

且的問題.聆聽、參考

殳有二元線性方程組別人意見

anxr+anxx=b]

+〃22%2=b[（]）

J可加減消元法容易求出未知量xl,x2的值，當(dāng)alla22-

112a21W0時，有

_b&z_%2b2

一

_%也.

X2一

11。22—。12。21⑵

文就是一般二元線性方程組的公式解.但這個公式很不好記

1乙，應(yīng)用時不方便，因此，我們引進新的符號來表示⑵這

「結(jié)果，這就是行列式的起源.我們稱4個數(shù)組成的符號

21

“21。22

為二階行列式.它含有兩行，兩列.橫的叫行，縱的叫列.行

列式中的數(shù)叫做行列式的元素.從上式知，二階行列式是這

樣兩項的代數(shù)和：一個是從左上角到右下角的對角線(又叫

行列式的主對角線)上兩個元素的乘積，取正號；另一個是

從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的

乘積，取負號.

根據(jù)定義，容易得知(2)中的兩個分子可分別寫成

〃12bi

Z?]〃22Cl]2b2=6Z|—=

%a22

aua\2之

D=J12D2=

Dx=

如果記“2122，b?a??9。21b2

則當(dāng)DWO時，方程組(1)的解⑵可以表示成

bxanbi

Z?2々22〃2i

X-2一_xb?

—2——

D2Dd-yj’^12

。21^^22々2ia22

象這樣用行列式來表示解，形式簡便整齊，便于記憶.

首先(3)中分母的行列式是從(1)式中的系數(shù)按其原有的

相對位置而排成的.分子中的行列式，xl的分子是把系數(shù)

行列式中的第1列換成⑴的常數(shù)項得到的，而x2的分子則

是把系數(shù)行列式的第2列換成常數(shù)項而得到的.

例1用二階行列式解線性方程組

2再+4%=1

%1+3X2=2

24

D==2x3—4x1=2wO

解：這時13

14八21

。==1x3—4x2=—5D==2x2—1x1=3

1232212練習(xí)

因此，方程組的解是

D,-5D3

X,----------Xr.----2-———

D2,D2,

對于三元一次線性方程組

anxx+anx2+6Z13X3=bx

＜。21%1+〃22%2+〃23%3—b?

。31%1+〃32%2+〃33%3=

(4)

作類似的討論，我們引入三階行列式的概念.我們稱符號

為1a12a13

a2\〃22a23=22a33+%2a23a31+%3a21a32

〃31a32a33一"11〃23a32-112〃21〃33一〃13〃22〃31

(5)

為三階行列式，它有三行三列，是六項的代數(shù)和.這六項的聆聽

和也可用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素的

乘積取正號，從右上角到左下角三個元素的乘積取負號.

212

-431

例2235

=2x3x5+lxlx2+(-4)x3x2-2x3x2-lx(-4)x5-2x3xl=

=30+2-24-12+20-6=10

an々12ai3

D=

々21

令a3\。32a33

bi%2〃]]b]%3

。13

D2=a21"2〃23

2=02。22〃23

3a32

的3。31”3“33

a

11。12向

D3=

a2122

b

a311323

當(dāng)DWO時，(4)的解可簡單地表示成

2

x-2%2=

J,D，D(6)

它的結(jié)構(gòu)與前面二元一次方程組的解類似.

例3解線性方程組

211-X2+%3二0

<3%+2X2-5X3=1

+3X-2X二4

23練習(xí)

0-11

2-11

D=

D=32-5=28\12-5=13

43-2

解：13-2

2012-10

3=47D=321=21

。2=1-53

14-2134

D,13D247D3213

所以，1D28,2Z）28,3D284.

abQ

-ba0=0

例4已知101，問a,b應(yīng)滿足什么條件？（其中

a,b均為實數(shù)）.

ab0

—ba0—

解：1°1，若要a2+b2=0,則a與b須同時等

于零.因此，當(dāng)a=0且b=0時給定行列式等于零.

為了得到更為一般的線性方程組的求解公式,我們需要引入80

〃階行列式的概念，為此，先介紹排列的有關(guān)知識.

二.排列

在〃階行列式的定義中，要用到排列的某些知識，為此先介

紹排列的一些基本知識.

定義1由數(shù)碼1,2,…，〃組成一個有序數(shù)組稱為一個〃

級排列.

例如，1234是一個4級排列，3412也是一個4級排列，而聆聽

52341是一個5級排列.由數(shù)碼1,2,3組成的所有3級排

列為：123,132,213,231,312,321共有3!=6個.

數(shù)字由小到大的〃級排列1234-/7稱為自然序排列.

定義2在一個〃級排列，也…工中，如果有較大的數(shù)it排

在較小的數(shù)北的前面（九則稱九與。構(gòu)成一個逆序，

一個〃級排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記作

例如，在4級排列3412中，31,32,41,42,各構(gòu)成一

個逆序數(shù)，所以，排列3412的逆序數(shù)為M3412）=4.同樣

可計算排列52341的逆序數(shù)為M52341）=7.

容易看出，自然序排列的逆序數(shù)為0.

定義3如果排列，也…力的逆序數(shù)也…是奇數(shù),則

稱此排列為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列.

例如，排列3412是偶排列.排列52341是奇排列.自然排

列123…〃是偶排列.

定義4在一個〃級排列，1…九…，中,如果其中某兩

個數(shù)，與九對調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個

新的〃級排列…乙…，…，，這樣的變換稱為一個對換，

記作（工，i）.

如在排列3412中，將4與2對換,得到新的排列3214.并

且我們看到：偶排列3412經(jīng)過4與2的對換后，變成了奇

排列3214.反之，也可以說奇排列3214經(jīng)過2與4的對

換后，變成了偶排列3412.

一般地，有以下定理：

定理1任一排列經(jīng)過一次對換后，其奇偶性改變.

證明：首先討論對換相鄰兩個數(shù)的情況，該排列為：

a、a「aiij&金…AQQ…c”

將相鄰兩個數(shù)i與J,作一次對換，則排列變?yōu)?/p>

3132',,a；jibi從…bmCiCz…a

顯然對數(shù)囪，a2,???a；,bx,b,…，4和eg…來說，并

不改變它們的逆序數(shù).但當(dāng)時，經(jīng)過，與/的對換后，

排列的逆序數(shù)增加1個；當(dāng)力/時，經(jīng)過z.與/的對換后，

排列的逆序數(shù)減少1個.所以對換相鄰兩數(shù)后，排列改變了

奇偶性.

再討論一般情況，設(shè)排列為

3132-a；i從也…h(huán)Jc\C2…e?

將/與/作一次對換，則排列變?yōu)?/p>

3132,a；jbibi--'bJCiCz…金

這就是對換不相鄰的兩個數(shù)的情況.但它可以看成是先將i

與打?qū)Q，再與金對換，…，最后與4的對換，即，與它

后面的數(shù)作〃次相鄰兩數(shù)的對換變成排列

a#2…aibb…bdja…&

然后將數(shù)/與它前面的數(shù)人友…，4作研1次相鄰兩數(shù)的

對換而成.而對換不相鄰的數(shù)，與負中間有必個數(shù)），相當(dāng)

于作2研1次相鄰兩數(shù)的對換.由前面的證明知，排列的奇

偶性改變了2加1次，而2加1為奇數(shù)，因此，不相鄰的兩數(shù)

i,J.經(jīng)過對換后的排列與原排列的奇偶性不同.

定理2在所有的〃級排列中SN2）,奇排列與偶排列的個

n\

數(shù)相等，各為萬個.

證明：設(shè)在〃!個〃級排列中，奇排列共有0個，偶排列共

有g(shù)個.對這夕個奇排列施以同一個對換，如都對換（1,2）,

則由定理1知0個奇排列全部變?yōu)榕寂帕?，由于偶排列一?/p>

只有g(shù)個，所以oWg；同理將全部的偶排列施以同一對換

（1,2）,則g個偶排列全部變?yōu)槠媾帕?，于是又?/p>

所以g=°,即奇排列與偶排列的個數(shù)相等.

nl

Cl—T）—

又由于〃級排列共有制個，所以g+p=〃!，2.

定理3任一n級排列z.5…工都可通過一系列對換與n級

自然序排列12-/7互變,且所作對換的次數(shù)與這個n級排列

有相同的奇偶性.

證明：對排列的級數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證之.

對于2級排列，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)對級排列，結(jié)論成立，現(xiàn)在證明對于〃級排列，

結(jié)論也成立.

若工=〃，則根據(jù)歸納假設(shè)，色…z…是〃-1級排列，可經(jīng)過

一系列對換變成12…（77-1）,于是這一系列對換就把1x12'''

，變成12…〃.若i/n,則先施行，與〃的對換，使之變

成i；i；…T…,這就歸結(jié)成上面的情形.相仿地，12-

〃也可經(jīng)過一系列對換變成i\i廠,%因此結(jié)論成立.

因為12…A是偶排列，由定理1可知，當(dāng)了也…工是奇（偶）

排列時，必須施行奇(偶)數(shù)次對換方能變成偶排列，所以，

所施行對換的次數(shù)與排列，也…，具有相同的奇偶性.

思考題：

1.決定3J,的值，使

(1)1245/6力7為奇排列；

(2)3972只5%為偶排列.

2.排列〃(A-1)5-2)…321經(jīng)過多少次相鄰兩數(shù)對換變

成自然順序排列？

ab

D=22=0

3.當(dāng)a、5為何值時，行列式°b.

課后作業(yè)課后習(xí)題

學(xué)生在本次教學(xué)、實

訓(xùn)中主要存在的問題

填寫說明：導(dǎo)學(xué)過程設(shè)計可參考“課程導(dǎo)入、學(xué)習(xí)目標(biāo)、課前測試、交互式學(xué)習(xí)、課后測

試、小結(jié)的六步教學(xué)法進行。

授課課題(學(xué)習(xí)情境/任務(wù)/項

n階行列式、行列式的性質(zhì)

目/單元

授課時間第2周(2)課型理論課

教學(xué)

標(biāo)

目掌握n階行列式的定義及其行列式的性質(zhì)

教學(xué)重點行列式的計算

教學(xué)難點n階行列式的定義

教學(xué)準(zhǔn)備(環(huán)境、資源、條件

多媒體

等)

導(dǎo)學(xué)過程設(shè)計

教學(xué)組

教師活動學(xué)生活動織與方時間

法

n階行列式：PPT展示

參與互動

一.導(dǎo)課10

思考、聯(lián)想

本節(jié)我們從觀察二階、三階行列式的特征入手.引出〃階行講授

做出選擇

列式的定義.

聆聽、參考

已知二階與三階行列式分別為

別人意見

CLy?Cl-y2

^^21^^22

]^Z]2^^13

^^21^^22^^23^^331'^^13^^21^^32

〃31〃32Q3323a322a21〃33^13^22^31

其中元素a,.,的第一個下標(biāo)，表示這個元素位于第，行，稱為

行標(biāo)，第二個下標(biāo)j,表示此元素位于第/列，稱為列標(biāo).40

二.行列式的定義

我們可以從中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：

(1)二階行列式是2!項的代數(shù)和，三階行列式是3!項的代

數(shù)和；

(2)二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自

不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的

乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；

(3)每一項的符號是：當(dāng)這一項中元素的行標(biāo)是按自然序排

列時，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號；為奇排列，則

取負號.

作為二、三階行列式的推廣我們給出〃階行列式的定義.

定義1由排成〃行〃列的“2個元素(，，戶1,2,…，z?)

組成的符號

a

a\1"12…\n

。21〃22…。2n

an\an2ann

稱為A階行列式.它是〃!項的代數(shù)和，每一項是取自不同行

和不同列的〃個元素的乘積，各項的符號是：每一項中各元

素的行標(biāo)排成自然序排列，如果列標(biāo)的排列為偶排列時，則

取正號；為奇排列，則取負號.于是得

a\\an…a\n

〃21。22…a2n

..........y

。疝an2a1m=念j(-1)N5—%網(wǎng)方…a%

(1)

z一

其中JS…J"表不對所有的〃級排列J1J2…求和.

(1)式稱為n階行列式按行標(biāo)自然順序排列的展開

式.(一1嚴"…。磯稱為行列式的一般項.

當(dāng)〃=2、3時，這樣定義的二階、三階行列式與上面§1.1中

用對角線法則定義的是一致的.當(dāng)爐1時，一階行列為|加1=

311.如

Q]]。12。13。14

a2]^^22^^23^^24

。31〃32。33。34

當(dāng)爐4時，4階行列式為1042043%4

表示4!=24項的代數(shù)和，因為取自不同行、不同列4個元素

的乘積恰為4!項.根據(jù)〃階行列式的定義，4階行列式為

Cl-y?j2^^13^^14

^^21^^22^^23^^24

“31〃32〃33〃34—十/

〃〃2JT)%—4

%]%2〃43%4J1J2--J4

例如血&3&西2行標(biāo)排列為1234,元素取自不同的行;列標(biāo)排

列為4312,元素取自不同的列，因為M4312)=5,所以該項

取負號，即-a4a23a31a?是上述行列式中的一項.

為了熟悉〃階行列式的定義，我們來看下面幾個問題.

例1在5階行列式中，囪2a23a35&1a4這一項應(yīng)取什么符號？

解：這一項各元素的行標(biāo)是按自然順序排列的，而列標(biāo)的排

列為23514.

因M23514)=4,故這一項應(yīng)取正號.

例2寫出4階行列式中，帶負號且包含因子囪同3的項.

解：包含因子a“a23項的一般形式為

(T嚴”內(nèi)g%%3a4%

按定義，工可取2或4,工可取4或2,因此包含因子囪血3的

項只能是

a11a23a32aM或a”a23a34a獎

但因Ml324)=1為奇數(shù)

M1342)=2為偶數(shù)

所以此項只能是-311323332344-

例3計算行列式

a1>00

cd00

xye于

uvgh

解.這是一個四階行列式，按行列式的定義，它應(yīng)有4!=24

項.但只有以下四項

adeh,adfg,bceh,bcfg

不為零.與這四項相對應(yīng)得列標(biāo)的4級排列分別為1234,1243,

2134和2143,而Ml234A0,M1243)=l,"(2134)=1和

M2143)=2,所以第一項和第四項應(yīng)取正號，第二項和第三項

應(yīng)取負號，即

ab00

cd00

xye/

11vg'，=adeh-adfg-bceh^bcfg

例4計算上三角形行列式

a\\"12…a\n

D_°a22…a2n

oo???a1m

其中關(guān)0(7=1,2,???,ri).

解：由〃階行列式的定義，應(yīng)有〃!項，其一般項為

"iMl/a?刀i2an”J：n

但由于。中有許多元素為零，只需求出上述一切項中不為零

的項即可.在〃中，第A行元素除碗外，其余均為0.所以

j”,在第1行中，除a"-"一和外，其余元素都是零，

因而只取〃-1、〃這兩個可能，又由于與、位于同

一列，而所以只有這樣逐步往上推，不

難看出，在展開式中只有囪血2…a“一項不等于零.而這項的

列標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)是M12…〃)=0故取正號.因此，

由行列式的定義有

“11°12…a1n

0々22…a2n

u=

OO…=ana22---a,m

即上三角形行列式的值等于主對角線上各元素的乘積.

同理可求得下三角形行列式

/10,?,0

〃21〃22***0

冊，…ann=加儂…

特別地，對角形行列式

%]0…0

0g2…0

°°…=a11a22---a??

上(下)三角形行列式及對角形行列式的值，均等于主對角線

上元素的乘積.

例5計算行列式

00-??0a1n

oo*o

“疝0-00

解這個行列式除了當(dāng)他……這一項外，其余項均為零，

現(xiàn)在來看這一項的符號，列標(biāo)的〃級排列為〃(〃-1)-21,

n-(n-l)

MLS—].)…21)=(77-1)+(刀一2)+…+2+1=2,所以

00...0%

0°…a2n-l°

n(n-l)

°…00=(-1)2?????1

同理可計算出

ailai2...........°?1,°ain

a2la22…02"-10||°…“2"-1ain

..............,,,..........…

000=41…a吁1am=

n(n-l')

(-1)2…%1

由行列式的定義，行列式中的每一項都是取自不同的行不同

的列的〃個元素的乘積，所以可得出：如果行列式有一行（列）

的元素全為0,則該行列式等于0.

在〃階行列式中，為了決定每一項的正負號，我們把〃個元

素的行標(biāo)排成自然序排列,即事實上，數(shù)的乘

法是滿足交換律的，因而這〃個元素的次序是可以任意寫的，

一般地，〃階行列式的項可以寫成

i/4-）\

hJl11J1lnJn（2）

其中】S…2",Ji質(zhì)…”是兩個〃階排列，它的符號由下面的

定理來決定.

定理1〃階行列式的一般項可以寫成

（_］）陽桃"”）+陽府乜）..

u

（“與產(chǎn)匕八ijn（3）

其中iiiz…%J；耳…工都是〃級排列.

證明：若根據(jù)〃階行列式的定義來決定⑵的符號，就要把這

〃個元素重新排一下，使得它們的行標(biāo)成自然順序，也就是排

成

aaa

lJi2j2'---nj?'（4）

于是它的符號是㈠嚴―

現(xiàn)在來證明⑴與⑶是一致的.我們知道從⑵變到⑷可經(jīng)

過一系列元素的對換來實現(xiàn).每作一次對換，元素的行標(biāo)與

列標(biāo)所組成的排列，也…工，工員…）；就同時作一次對換，也就

是也…工）與Nkj\jLj）同時改變奇偶性，因而它的和

Mii12-i^）+N（j、jz…j）

的奇偶性不改變.這就是說，對（2）作一次元素的對換不改變

（3）的值，因此在一系列對換之后有

（一1）N⑺2-iJ+Nkhh-J?）=（_DN（12…"）+N（*'上',??"）=（—l）N5'h'-?-；?'）

這就證明了⑴與⑶是一致的.

例如，a21a32al4a?3是4階行列式中一項，它和符號應(yīng)為（-

1嚴"4"也（一I），*工-1.如按行標(biāo)排成自然順序，就是

加的a32a43,因而它的符號是（-1）"⑷劫=（-1”=-1

同樣，由數(shù)的乘法的交換律，我們也可以把行列式的一般項

%產(chǎn)2丁"%中元素的列標(biāo)排成自然順序123…〃,而此時相應(yīng)

的行標(biāo)的〃級排列為i盤…",則行列式定義又可敘述為

“11%2…a\n

仁物???&"=￡（_1了（衿&）…

n

'41，22ln

...............不2?此

〃山a〃2…

行列式的性質(zhì)：

一.導(dǎo)課

當(dāng)行列式的階數(shù)較高時，直接根據(jù)定義計算n階行列式的值

是困難的，本節(jié)將介紹行列式的性質(zhì)，以便用這些性質(zhì)把復(fù)

雜的行列式轉(zhuǎn)化為較簡單的行列式（如上三角形行列式等）來

計算.

將行列式。的行列互換后得到的行列式稱為行列式。的轉(zhuǎn)置

行列式，記作〃，即若

42…a\na21…anl

°21&2…a2n°12々22…22

D=DT=

an\a〃2…ami,則a\na2n…ann

反之，行列式。也是行列式加的轉(zhuǎn)置行列式，即行列式。與

行列式加互為轉(zhuǎn)置行列式.

二.行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1行列式。與它的轉(zhuǎn)置行列式〃的值相等.

證：行列式。中的元素助G,戶1,2,…，〃）在加中位于

第/行第，列上，也就是說它的行標(biāo)是j,列標(biāo)是i,因此,80

將行列式加按列自然序排列展開，得

這正是行列式。按行自然序排列的展開式.所以了〃.

這一性質(zhì)表明，行列式中的行、列的地位是對稱的，即對于

“行”成立的性質(zhì)，對“列”也同樣成立，反之亦然.

性質(zhì)2交換行列式的兩行（列），行列式變號.

證：設(shè)行列式

a\\ana\n

%ai2a加a行）

D=

a

見2???snG行）

aa

nln2a1m

將第，行與第s行互換后，得到行列式

a\\an%.

aslas2asna行）

%ai2???a加（s行）

%???a”,,

顯然，乘積外力…%，…旬，…冬”在行列式。和〃中，都是取

自不同行、不同列的〃個元素的乘積，根據(jù)§3定理1,對

于行列式〃這一項的符號由

(_]嚴..?…+N(ji…力…人…力)

決定；而對行列式〃，這一項的符號由

/_])N(l—s—t—n)+N(j1……js…")

決定.而排列1…，…S…A與排列1…S…，…〃的奇偶性相反，

所以

(_])N(1…i…s…〃)+%(左.片…八…j.)…s…i.：n)+N(ji…[…js…j〃)

即〃中的每一項都是。中的對應(yīng)項的相反數(shù)，所以y-〃.

例1計算行列式

429-30

63-571

D=50000

80040

70350

解：將第一、二行互換，第三、五行互換，得

63-571

429-30

Z)=(-l)270350

80040

50000

將第一、五列互換，得

13-576

029-34

3

D=(-1)00357=-1-2-3-4-5=-5!=-120

00048

00005

推論若行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素相同，則此行列式的值

等于零.

證：將行列式。中對應(yīng)元素相同的兩行互換，結(jié)果仍是〃

但由性質(zhì)2有

氏-〃所以氏0.

性質(zhì)3行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列

式符號的外面.即

4nan…aXnaila!2…a\n

二

左4ik%[???kaink即斯a加

an\a?2annan\an2ann

證：由行列式的定5（有

Z(-1嚴必jn）a日...(”…a磯

左端=hh…3

zZ（-1嚴,"31a磯

=右端.

此性質(zhì)也可表述為：用數(shù)N乘行列式的某一行（列）的所有元

素，等于用數(shù)次乘此行列式.

推論：如果行列式中有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行

列式的值等于零.

證：由性質(zhì)3和性質(zhì)2的推論即可得到.

性質(zhì)4如果行列式的某一行（列）的各元素都是兩個數(shù)的

和，則此行列式等于兩個相應(yīng)的行列式的和，即

ai2…aina\\a12…ain%an…aXn

+Cb+Cb

bn+Si3i1…inin=21*2…in+GiCi2…Cin

anlan2…annMlan2…anna〃2…ann

Z（T產(chǎn)5…3的方…（與+，）??4?

證：左端=力力…辦

'（lI）"""J"）aljia2hR-anJi

??a

njn

auan…a\n1412…由〃

bb

i\%in+Ci\Ci2…Cin

=an\an2…annanlan2…ann

=右端.

性質(zhì)5把行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)N加到另

一行（列）的相應(yīng)元素上，行列式的值不變.即

a\\an…a\n

4,行有總力"一%"

D=…到第?$行....

as\42…asn

an\an2…ann

a\\an…ain

ailai2…ain

kan+asikai2+as2kain+asn

anian2…rm

證：由性質(zhì)4

%]“12…a\naU"12…a\n

ailai2'..ainail%2…〃加

ka”kai2???kainaslas2???asn

右端-anlan2,…ann+冊1〃八2…^nn=Q

?ii“12…a\n

%%2,,,ain

anas2…asn

+%ia"2'"1a，"=左端

作為行列式性質(zhì)的應(yīng)用，我們來看下面幾個例子.

例2計算行列式

3111

1311

D=

1131

1113

解：這個行列式的特點是各行4個數(shù)的和都是6,我們把第

2、3、4各列同時加到第1歹1J,把公因子提出，然后把第

1行x(-l)加到第2、3、4行上就成為三角形行列式.具

體計算如下：

611111111111

631113110200

D==6=6=6x23=48

613111310020

611311130002

例3計算行列式

0-1-12

1-102

D=

-12-10

2110

解：

0-1-12fj-102x1x(-Q1-102

1-102J-1-12

0-1-12xlx3

J

-12-10-12-10一01-12

21102110~031-4

1-1021-102

0-1-120-1-12

=-1x(-l)x(-2)x(-2)：=4

——00-241(-11)—。0-24

00-22000-2

labc+d

Ibca+d

D==0

leda+b

例4試證明：[&ab+c

證：把2、3列同時加到第4列上去，貝幅

laba+b+c+d1ab1

1bca+b+c+d1bc1

D-=(a+b+c+(%=Q

leda+b+c+bcd1

Idaa+b+c+d1dal

xaxa2an

%xa2an

D=a{a2xan

X

例5計算加i階行列式外出的

解：將。的第2歹!)、第3歹h…、第〃燈列公;加到第1列上，

拉

X+Z%

然后從第1列提取公因子I得

1

1

_n

。二(%+X4)1

Z=1

1

x(—

XS一

x(—Cln)

100-??0

1x-a0???0

nx

(X+卻)

1a2-axx-a2…0

i=l

1〃2一%%—%…X-Cl

n

(%+￡a,)(%-ax)(x-a2)--(x-an)

i=l

例6解方程

111???11

11-x1…11

112-x???11

=0

111???(n-2)-x1

111???1(〃一1)-X

解法一：

11111x(-D

11-x111

112-x11

111(n-2)-x1

1111(H-1)-%

111■-?11

00-x0???00

00\-x???00

=(-x)(l-%)???[(?-3)-x][(n-2)-x]

000???(?i-3)-x0

000???0(n-2)-x

所以方程的解為禺=0,X2=l,…，x?-2=n-3,Xn-^n-2.

解法二：根據(jù)性質(zhì)2的推論，若行列式有兩行的元素相同，

行列式等于零.而所給行列式的第1行的元素全是1,第2

行，第3行，…第〃行的元素只有對角線上的元素不是1,

其余均為1.因此令對角線上的某個元素為1,則行列式必

等于零.于是得到

1-A=1

2-A=1

（77-2）-JV=1

（77-1）-A=1

有一成立時原行列式的值為零.所以方程的解為無二0,蒞，

==-

1,Xn-i^n~~3,xn-i772.

例7計算刀階行列式

X的a3…an

axXa3…a”

D=axa2x…a?xwa.a=i,2/-ri)

axa2a3…X

解：將第1行乘以（-1）分別加到第2、3、…、77行上得

X的a3…a”

ax-xx-a20…0

D=ax-x0x-a3…0

ax-x00…x一明

從第一列提出X-a,從第二提出x-a2,…，從第〃列提出x

-a”便得到

X。2。3a.

x-a{x-a2x-a3x-a

-110???0

-101???0

-100?1

X、a.

=1+,

由x-%x-%并把第2、第3、…、第〃列都加于第1

列,有

11.%a2(h…%

一明

/=1x-aix-a2x-a3x

0100

D=(x-<7)(x-tz)---(x-<2?)00]…

120

0001

Sa

=(x%)(xa,)…(xa?)(l+X1)

-i=ix-at

例8試證明奇數(shù)階反對稱行列式

062%.

D=~a'20"2'0

~ain—a2n0

0-?12~aln

JJT_a!20…—a2n

證：。的轉(zhuǎn)置行列式為％0

從加中每一行提出一個公因子(-1),于是有

062??，a\n

￡)7=(—1)“一/20a2n=(-l)nD

—a2n???0,但由性質(zhì)1知道

U=D

廬(-1)幻

又由〃為奇數(shù)，所以有大-D,

即2大0,因此大0.

思考題：

1.證明下列各題：

1aa31aa2

1b/=(〃+/?+c)lbb2

1cc3Icc2

2.計算下列〃階行列式：

-axa1000

0-a2a2???00

000-anan

111???11

課后作業(yè)課后習(xí)題

學(xué)生在本次教學(xué)、實訓(xùn)中

主要存在的問題

授課課題（學(xué)習(xí)情境/任務(wù)/項

行列式的計算、克拉默法則

目/單元

授課時間第3周（1）課型理論課

教學(xué)掌握行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計算簡單的”階行列式

目標(biāo)熟練應(yīng)用克拉默法則

教學(xué)重點代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)

教學(xué)難點行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計算簡單的〃階行列式

教學(xué)準(zhǔn)備（環(huán)境、資源、條件

多媒體

等）

導(dǎo)學(xué)過程設(shè)計

教學(xué)組

教師活動學(xué)生活動織與方時間

法

一.導(dǎo)課參與互動PPT

本節(jié)我們要研究如何把較高階的行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式思考、聯(lián)想展示

的問題，從而得到計算行列式的另一種基本方法一一降階做出選擇

法.為此，先介紹代數(shù)余子式的概念.聆聽、參考講授30

二.行列式按一行（列）展開公式別人意見

定義在〃階行列式中，劃去元素所在的第，行和第/列后，

余下的元素按原來的位置構(gòu)成一個A-1階行列式，稱為元素

的余子式，記作元素的余子式〃前面添上符號（-

1嚴稱為元素的代數(shù)余子式，記作即4產(chǎn)（

例如：在四階行列式

Cl-y?^^13^^14

^^2]^^22^^23^^24^^12^^14

D—

^^31^^32^^33^^34^^31^^32^^34

041%2。43°44中a23的余子式是<=",I%2”44

%1〃12〃14

。31〃32〃34

而A,=（-l）2+U=%2?44是儂的代數(shù)余子式.

定理1n階行列式。等于它的任意一行（列）的元素與其對應(yīng)

的代數(shù)余子式的乘積之和，即

aaAi^'''^ainAin（i=L2,…，n）

或D=aijAlJ+a2jA2J+'''+anjAnj（j'=l,2,…，n）.

證明：只需證明按行展開的情形，按列展開的情形同理可證.

1°先證按第一行展開的情形.根據(jù)性質(zhì)4有

%1"12…"]]+0+??,+00+%2+0+,,,+0,??0卜???+0+6〃

_〃21〃22,…a2n_。2122。2n

”——

a

an\an2.…ann冊1%2…nn

0…0110a%…000,,,