2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之空間幾何體

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之空間幾何體

一.選擇題（共12小題）

1.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

A.B.4C.3+J3D.2

2

2.（2021?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）已知正四棱柱ABCD-4B6。，底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為2后,

平面a為經(jīng)過(guò)A\且與平面ABiDi平行的平面，平面a內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A\的距離與

到直線BD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）

A.圓B.雙曲線C.兩條直線D.拋物線

3.（2021?山西三模）現(xiàn)有一個(gè)橡皮泥制作的圓柱，其底面半徑、高均為2,將它重新制作

成一個(gè)體積與高不變的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.6V^兀B.87371c.8TTD.孰歷兀

4.（2021?臨川區(qū)校級(jí)模擬）棱長(zhǎng)為2T的正四面體的三視圖如圖所示，俯視圖是正三角形,

則主視圖的腰長(zhǎng)等于（）

主視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.2B.3c.7T1D.2a

5.（2021?五華區(qū)校級(jí)模擬）正三棱錐S-A8C中，若三條側(cè)棱兩兩垂直，且頂點(diǎn)S到底面

4BC的距離為則這個(gè)正三棱錐的表面積為（）

A.3+>/3B.C.2（3+后D.

6.（2021?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)四模）在三棱錐A-BC力中，AB=CD=2,A￡>=BC=3,4c=B￡>=3,

則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

A.JTT兀B.llnC.227TD.44n

7.（2021?乙卷）在正方體A8C￡）-4BiCi￡>i中，P為8i￡>i的中點(diǎn)，則直線PB與AO1所成

的角為（）

A.—B.—C.—D.—

2346

8.（2020?上海）在棱長(zhǎng)為10的正方體AIBICIDI中，P為左側(cè)面AOD14上一點(diǎn)，

已知點(diǎn)尸到AiQi的距離為3,P到AA1的距離為2,則過(guò)點(diǎn)尸且與A1C平行的直線交正

方體于產(chǎn)、。兩點(diǎn)，則。點(diǎn)所在的平面是（）

9.（2021?射洪市模擬）設(shè)a,0是兩個(gè)不同平面，〃3”是兩條不同直線，下列說(shuō)法正確的

是（）

A.若/n_L〃，/w±a.”〃0,則a〃0B.若&_1_0,zn±a,mVn,則"〃0

C.若，w〃a,?±P，m//n,則a_L0D.若〃?J_a,”J_0,a±p,則，筌〃"

10.（2021?蔡甸區(qū)校級(jí)模擬）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式.依其平面有圓形

攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖.也有單檐和重檐之分.多見(jiàn)于亭閣式建筑，園

林建筑.以八中校園騰龍閣為例，它屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正

四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則此正四棱錐的內(nèi)切球半徑與底面邊

長(zhǎng)比為（）

A.返B.返C.返D.V3

342

11.（2021?江西三模）設(shè)a,0為兩個(gè)不重合的平面，能使a〃0成立的是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與0平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與B平行

C.a內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到0的距離相等

D.a,p垂直于同一平面

12.（2021?武侯區(qū)校級(jí)模擬）在RtZVlBC中，C=90°,CA=巫,CB=43>CO是斜邊

的高線，現(xiàn)將ACD沿CD折起，使平面AC。，平面BCD,則折疊后AB的長(zhǎng)度為（）

A.2B.V3C.75D.3

二.填空題（共4小題）

13.（2021?湖北模擬）如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已

知圓柱的底面半徑為3,則球的體積為.

14.（2021?晉中三模）在正四棱錐P-ABC。中，已知必=AB=2,O為底面ABCD的中心,

以點(diǎn)。為球心作一個(gè)半徑為2返的球，則平面PCD截該球的截面面積

3

為.

15.（2021?新疆模擬）設(shè)a,0表示不同平面，/、〃?、〃表示不同直線，則以下命題中，正

確的命題是（填寫正確命題的序號(hào)）

①若aCB=/,8門丫=，小any=n,則/〃機(jī)〃

②若1〃m,mua,則/〃a或/ua；

③若a_L0,a±y,00丫=/,則/_La；

④若a_L0,/ca,/nep,貝！|

16.(2020?甘肅模擬)如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的A2,CD,EF,G”在原

正方體中互為異面直線的有對(duì).

三.解答題(共5小題)

17.已知直三棱柱ABC-481。中，側(cè)面A481B為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為4c

和CC1的中點(diǎn)，BF±AiBi.

(1)求三棱錐F-EBC的體積；

(2)已知。為棱AiBi上的點(diǎn)，證明：BFLDE.

18.(2020?新課標(biāo)1)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)

接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，ZAPC=90°.

(1)證明：平面以8,平面力C；

(2)設(shè)。。=亞，圓錐的側(cè)面積為標(biāo)，求三棱錐尸-ABC的體積.

D

19.(2021?全國(guó)I卷模擬)已知如圖，四邊形A8CZ)為平行四邊形，BD±CD,EB_L平面

ABCD,EF//CD,CD=2,EB=?,EF=1,BC=413'且M是AO的中點(diǎn).

(1)求證：FM〃平面BCE；

(2)求三棱錐C-ABF的體積V.

20.(2021?巴中模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，方，平面ABC。,

fi4=AB=AC=2,NABC=45°,E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面A8E與棱P￡)的交點(diǎn).

(1)證明：平面P8C_L平面48E；

V,

(2)設(shè)三棱錐F-ACD的體積為％,四棱錐C-A5EF的體積為發(fā)，求—I的值.

21.(2021?丙卷模擬)如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABC。中，PA=PB=DA=

DB=\,M,N分別為南，PB上的點(diǎn)，且PH］，BN=y-

(I)求證：MN〃平面ABC。；

(II)求四棱錐P-ABCD體積最大時(shí)AB的長(zhǎng).

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之空間幾何體

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

1.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

A.B.4C.3+V3D.2

2

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由三視圖還原原幾何體，其中出，底面ABC,AB1AC,PA=AB=AC^2,再

由三角形面積公式求解.

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

%_L底面ABC,ABLAC,PA=AB=AC^l,

則△PBC是邊長(zhǎng)為、門的等邊三角形，

則該四面體的表面積為s=3xyxixl^x亞X、歷x孚衛(wèi)乎.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原兒何體，是中檔題.

2.（2021?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）已知正四棱柱ABC。-A181。。，底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為2&,

平面a為經(jīng)過(guò)4且與平面AB\D\平行的平面，平面a內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸滿足到點(diǎn)4的距離與

到直線BD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（

A.圓B.雙曲線C.兩條直線D.拋物線

【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；平面與平面平行.

【專題】函數(shù)思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】分別求出，4到8。的距離，以及平面a與平面AB1D的距離，即可求解.

【解答】解：???平面a為經(jīng)過(guò)4且與平面A8O1平行的平面，平面a內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足

到點(diǎn)4的距離與到直線BD的距離相等，

直線BD到平面AB\D\的距離為A到BD的距離，即右扇彳=2近，

又?.?平面a與平面AB\D\的距離為￡=2、后，

V2.

???P滿足到點(diǎn)Ai的距離與到直線BD的距離相等時(shí)，應(yīng)該在4兩側(cè)存在兩條直線，動(dòng)點(diǎn)

P在直線上運(yùn)動(dòng)，才能滿足

滿足到點(diǎn)4的距離與到直線BD的距離相等.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡方程的求解，需要學(xué)生有一定的空間想象能力，屬于中檔題.

3.（2021?山西三模）現(xiàn)有一個(gè)橡皮泥制作的圓柱，其底面半徑、高均為2,將它重新制作

成一個(gè)體積與高不變的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.仇左兀B.兀C.81TD.4>/2K

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出圓錐的底面圓半徑/?和母線長(zhǎng)/,即可計(jì)算圓錐側(cè)面積.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,因?yàn)閳A錐的高為刀=2,

體積為工可a,2=11?22?2,解得r=2?；

=4

所以圓錐的母線長(zhǎng)為/=^I，2+h2=->/12+4-

如圖所示:

p

所以圓錐側(cè)面積為Sffl=n/7=TtX273x4=8V3n,-

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的側(cè)面積與體積的計(jì)算問(wèn)題，也考查了圓柱的體積計(jì)算問(wèn)題，

是基礎(chǔ)題.

4.（2021?臨川區(qū)校級(jí)模擬）棱長(zhǎng)為2娟的正四面體的三視圖如圖所示，俯視圖是正三角形,

則主視圖的腰長(zhǎng)等于（）

主視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.2B.3C.D.2^3

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)三視圖畫出正四面體的直觀圖，利用俯視圖求出棱長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理求出

正四面體底面外接圓半徑，計(jì)算正四面體的高，再求正視圖腰長(zhǎng).

【解答】解：根據(jù)三視圖畫出正四面體A-BCZ）,如圖所示：

則俯視圖邊長(zhǎng)為2?,所以正四面體底面外接圓半徑為R=』X2作=2,

2sin60

計(jì)算正四面體的高為h=^（2加）2-22=2近，

所以正視圖腰長(zhǎng)為1"（2加）2+（e）2=近1.

故選：C.

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正四面體的結(jié)構(gòu)特征與對(duì)應(yīng)三視圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解

能力與空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

5.（2021?五華區(qū)校級(jí)模擬）正三棱錐S-ABC中，若三條側(cè)棱兩兩垂直，且頂點(diǎn)S到底面

ABC的距離為正，則這個(gè)正三棱錐的表面積為（）

A.34V3B.C.2（3+?）D.9（3+@）,

22

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)該三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為”，根據(jù)題意利用勾股定理得到“，進(jìn)而可求得S.

【解答】解：設(shè)正三棱錐s-A8c的側(cè)棱長(zhǎng)為a,

由題意@2=（第）2+（?）2,解得a=3,

所以S=3X_1_X3X3+亨x（MX3）2=9"+6）,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐表面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)四模）在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,4c=BD=3,

則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

A.771HB.IlirC.22TTD.44n

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；分割補(bǔ)形法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】把三棱錐A-88放置在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由已知求得長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，可得

長(zhǎng)方體外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案.

【解答】解：如圖，把三棱錐4-BC。放置在長(zhǎng)方體中，

則長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐A-BCD的外接球，

設(shè)過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,

22

\+b=4

則，a2+c2=9>可得/+必+。2=]1，

,b2+c2=9

則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為JTi，

2

三棱錐A-BCD外接球的表面積為4irX（2iSl）=117r.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體的外接球表面積的求法，訓(xùn)練了分割補(bǔ)形法，是中檔題.

7.（2021?乙卷）在正方體ABCD-4BC1D1中，P為81￡>1的中點(diǎn)，則直線P8與A￡h所成

的角為（）

A.—B.2L71

237

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由AOi〃BCj,得/P8C1是直線尸3與A￡>i所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此

利用余弦定理，求出直線PB與AP所成的角.

【解答】解.../PBCi是直線PB與AD1所成的角（或所成角的補(bǔ)角），

設(shè)正方體ABCD-A\B\C\D\的棱長(zhǎng)為2,

貝2

I]Pfii=PCi=-1^2+2V2>BC1-^^2^1=2A/2'BP=小呼+（近^）2=

?cos/必a-PB2+BC/_pCI2_6+8-2_V3

2XPBXBC12乂歷義2近2

：.ZPBC\=—I

6

...直線PB與ADi所成的角為三.

6

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.（2020?上海）在棱長(zhǎng)為10的正方體A8CQ-AIBICIQI中，P為左側(cè)面AOQ14上一點(diǎn)，

已知點(diǎn)P到4。的距離為3,P到441的距離為2,則過(guò)點(diǎn)尸且與4C平行的直線交正

方體于P、。兩點(diǎn)，則。點(diǎn)所在的平面是（）

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.

【分析】由圖可知點(diǎn)尸在△AA1O內(nèi)，過(guò)P作EF〃Ai￡）,且EFCAAi于E,EFCA。于尸,

在平面ABCD中，過(guò)尸作FG//CD,交BC于G,由平面與平面平行的判定可得平面EFG

〃平面A\DC,連接AC,交FG于M,連接EM,再由平面與平面平行的性質(zhì)得EM//AiC,

在△EFM中，過(guò)尸作尸?！‥M,且尸QCIFM于Q,可得尸Q〃AiC,由此說(shuō)明過(guò)點(diǎn)尸且

與4c平行的直線相交的面是ABCD,即。點(diǎn)所在的平面是平面ABCD

【解答】解：如圖，

由點(diǎn)P到Al。的距離為3,尸到AAi的距離為2,

可得尸在△441。內(nèi)，過(guò)P作E尸〃A1O,且fFAAAi于E,EFCAO于尸，

在平面A8CD中，過(guò)F作只7〃C。，交BC于G,則平面EFG〃平面4DC.

連接AC,交FG于M,連接

;平面EFG〃平面A1DC,平面AMCC平面Ai￡>C=4C,平面4ACA平面

：.EM//A\C.

在△EPM中，過(guò)P作PQ〃EM,且PQAFM于Q,則PQ〃AC

；線段尸M在四邊形ABCD內(nèi)，Q在線段FM上，，。在四邊形ABCO內(nèi).

二則Q點(diǎn)所在的平面是平面ABCD.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維

能力，是中檔題.

9.（2021?射洪市模擬）設(shè)a,0是兩個(gè)不同平面，加，〃是兩條不同直線，下列說(shuō)法正確的

是（）

A.若膽_L",〃?_La,n//P>則a〃0B.若。_1_0,，"_La,?n±n,則〃〃0

C.若根〃a,"_L0,m//n,則a_L|3D.若nz_La,n±p,a_L0,則機(jī)〃〃

【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理.

【分析】對(duì)于4，a與0相交或平行；對(duì)于8,"與0相交、平行或“U0；對(duì)于C,由面

面垂直的判定定理得a，。；對(duì)于。，由線面垂直、面面垂直的性質(zhì)得機(jī)，〃.

【解答】解：a,0是兩個(gè)不同平面，，〃，〃是兩條不同直線，

對(duì)于A,若m_La,n//（i,則a與0相交或平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若&_1_0,mla,mln,則〃與0相交、平行或“U0,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若機(jī)〃a,〃_LB，〃小則由面面垂直的判定定理得aJ_0,故C正確；

對(duì)于。，若〃?_La,n±p,alp,則由線面垂直、面面垂直的性質(zhì)得相，小故。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查

推理論證能力，是中檔題.

10.（2021?蔡甸區(qū)校級(jí)模擬）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式.依其平面有圓形

攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖.也有單檐和重檐之分.多見(jiàn)于亭閣式建筑，園

林建筑.以八中校園騰龍閣為例，它屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正

四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則此正四棱錐的內(nèi)切球半徑與底面邊

長(zhǎng)比為（）

A.返B.返C.返D.V3

342

【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體.

【專題】方程思想：轉(zhuǎn)化法；球；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積是底面積的3倍，可求得棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的關(guān)系,

再根據(jù)等積法即可求得此正四棱錐的內(nèi)切球半徑，從而得解.

【解答】解：設(shè)底邊邊長(zhǎng)為“，正四棱錐的高為/2,

則斜高為荷工，所以側(cè)面積為4義尚義。值三，

即4*/乂4.24^=3/,解得hR^a.

設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球半徑為r,

22

由等積法可得aXh=^X4aXr

所以上也，即工地.

44a4

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等積法的應(yīng)用，棱錐的側(cè)面積的計(jì)算，正四棱錐的性質(zhì)，屬于基

礎(chǔ)題.

11.（2021?江西三模）設(shè)a,0為兩個(gè)不重合的平面，能使a〃。成立的是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與0平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與0平行

C.a內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到0的距離相等

D.a,0垂直于同一平面

【考點(diǎn)】平面與平面平行.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理.

【分析】根據(jù)平面平行的判定定理，即可得出正確的結(jié)論.

【解答】解：對(duì)于A,a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與B平行，如兩個(gè)相交平面，可以找出無(wú)數(shù)條

平行于交線的直線，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,a內(nèi)有兩條相交直線與0平行，根據(jù)兩平面平行的判定定理知，a〃B，所以3

正確；

對(duì)于C,a內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到p的距離相等，如兩個(gè)相交平面，可以找出無(wú)數(shù)條直線平行

于平面0,所以也能得出無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面B的距離相等，C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡>,當(dāng)a、0垂直于同一個(gè)平面時(shí)，a與0也可以相交，所以。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面平行的判斷問(wèn)題，也考查了空間想象能力與推理能力，是基礎(chǔ)

題.

12.（2021?武侯區(qū)校級(jí)模擬）在中，C=90°,CA=近，CB=遮，CO是斜邊

的高線，現(xiàn)將ACD沿CD折起，使平面ACOJ_平面BCD,則折疊后AB的長(zhǎng)度為（）

A.2B.V3C.V5D.3

【考點(diǎn)】平面與平面垂直.

【專題】方程思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由勾股定理和射影定理，求得AB,AD,8D,再由面面垂直的性質(zhì)定理推得4。

LBD,再由勾股定理可得AB的長(zhǎng).

【解答】解：在直角三角形ABC中，C=90°,CA=近，CB=M，

可得48=找?§=3,

由射影定理可得4c2=A￡）?A8,即6=3AD,可得4。=2,

BD=AB-AD=3-2=1,

由于平面4CD_L平面BCD,AD±CD,

4Ou平面ACD,平面ACDD平面BCD=CD,

所以40J_平面BCD,即有

所以AB={AD2+BD""4+1=遙.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的性質(zhì)定理和三角形的勾股定理、射影定理的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)

化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二.填空題（共4小題）

13.（2021?湖北模擬）如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已

知圓柱的底面半徑為3,則球的體積為36K.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題；球：直觀想象.

【分析】由條件球的半徑與圓柱底面圓半徑相同，故球的半徑為3,代入體積公式求解.

【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為「，球的半徑為R.由條件有：R=r=3,

所以球的體積為9兀R3=36兀.

3

故答案為：367r.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2021?晉中三模）在正四棱錐P-A3CD中，已知B4=A5=2,O為底面46C。的中心,

以點(diǎn)。為球心作一個(gè)半徑為2返的球，則平面PC。截該球的截面面積為變.

3―3-

【考點(diǎn)】球的體積和表面積：球內(nèi)接多面體.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法：球；邏輯推理；直觀想象.

【分析】取CD中點(diǎn)E,連接PE,過(guò)點(diǎn)O作OFLPE,垂足為F,通過(guò)證明OF,平面

PC。求出。點(diǎn)到截面的距離，進(jìn)而求出截面圓的半徑和面積.

【解答】解：由題意有POL平面ABC。，且「0=而三不=、歷.

取CO中點(diǎn)E,連接尸E,因?yàn)槭琌LCD,OEVCD,所以CC平面尸OE.

過(guò)點(diǎn)。作OF，P￡,垂足為F,又CD10F,所以。平面PCQ,

在Rt△尸0E中，則O點(diǎn)到截面PCD的距離為1.

PEV333

2

所以截面圓的半徑為/=（2普）2_堂）2（，面積為兀r=^~.

故答案為：22L.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面截球所得截面圓面積的求解，考查線面垂直的判定和應(yīng)用，屬于

中檔題.

15.（2021?新疆模擬）設(shè)a,0表示不同平面，/、m、〃表示不同直線，則以下命題中，正

確的命題是②③（填寫正確命題的序號(hào)）

①若aC[3=/,pr）Y=?n,aAy=n,則/〃相〃〃；

②若/〃相，7?ca,則/〃a或/ua；

③若a邛，a±y,pny=/,則/J_a；

④若a_L0,/ua,〃iu。，貝ij/_L?n.

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象.

【分析】由三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，交線要么互相平行，要么相交于一點(diǎn)判斷①;

由空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系判斷②；根據(jù)條件可直接證明③正確；由

兩垂直平面內(nèi)的兩直線的位置關(guān)系判斷④.

【解答】解：①若ar）B=/,pny=m,0（1~1丫=〃，貝ij/〃相〃”或/、機(jī)、"相交于一點(diǎn)，

故①錯(cuò)誤；

②若/〃加，機(jī)ucc,貝lj/〃a或/ua,故②正確；

③若a_L0,a±y,0門丫=/,如圖，

設(shè)aDB=a,any=6,在a內(nèi)直線a、Z?外任取一點(diǎn)尸，

過(guò)P作以J_〃，作PB_Lb,

由平面與平面垂直的性質(zhì)，可得以_L0,P8_LY，則必_U,PBVI,

又出CPB=P,，/，a,故③正確；

④若a_L0,/ua,，"U0,則/〃膽或/與〃?相交或/與相異面，故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查

空間想象能力，是中檔題.

16.（2020?甘肅模擬）如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的AB,CD,EF,GH在原

正方體中互為異面直線的有對(duì).

【考點(diǎn)】異面直線的判定.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.

【分析】把平面展開(kāi)圖還原原正方體，再由異面直線的概念得答案.

【解答】解：把平面展開(kāi)圖還原原正方體如圖，

則AB與CO,AB與GH,EF與GH互為異面直線,共3對(duì).

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

三.解答題（共5小題）

17.已知直三棱柱ABC-Ai81cl中，側(cè)面A4181B為正方形，AB=BC=2,E,F分別為AC

和CC1的中點(diǎn),

（1）求三棱錐尸-EBC的體積；

（2）已知。為棱4B1上的點(diǎn)，證明：BFLDE.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）先證明A3,平面BCC\B\,即可得到ABYBC,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

可知CE=V^=BE,最后根據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算即可；

（2）取BC中點(diǎn)G,連接EG,BiG,先證明EG〃AB〃8i￡>,從而得到￡、G、Bi、。四

點(diǎn)共面，再由（1）及線面垂直的性質(zhì)定理可得BFLEG,通過(guò)角的正切值判斷出

NCBF=NBBiG,再通過(guò)角的代換可得，BFLBiG,再根據(jù)線面垂直的判定定理可得BF

_L平面EGBiO,進(jìn)而得證.

【解答】解：（1）在直三棱柱A8C-481。中，BBilAiBi,

又BFLAiBi,BBgBF=B,BBi,BFu平面BCC1B1,

平面BCC\B\,

'：AB//A\B\,

，平面BCCiBi,

：.AB±BC,

又A8=BC,故直：=后于=26，

CE=V2=BE,

而側(cè)面AA1B1B為正方形，

.11

??CF專CC1專AB=1，

xX

?**V=4SAEBC-CF=Y4V2xV^x號(hào)，即三棱錐尸-EBC的體積嗎;

OoJO

(2)證明：如圖，取BC中點(diǎn)G,連接EG,BiG,設(shè)BiGCBF=H,

???點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G時(shí)BC的中點(diǎn)，

J.EG//AB,

：.EG//AB//B\D,

:.E、G、Bi、。四點(diǎn)共面，

由(1)可得AB_L平面BCC181,

；.EG_L平面BCC\B\,

J.BF1EG,

：tan/CBF力，tan/BB]

DCN

:?NCBF=/BBiG,

：.NBHBi=ZBGB\+ZCBF=/BGBi+/BBiG=90°,

；.BF±BiG,

又EGG&G=G,EG,&Gu平面EG81。，

???8尸，平面EGBiD,

又QEu平面EGBTD,

：.BF±DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三棱錐體積的求法以及線線，線面間的垂直關(guān)系，考查運(yùn)算求解

能力及邏輯推理能力，屬于中檔題.

18.(2020?新課標(biāo)1)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)

接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，NAPC=90°.

(1)證明：平面%平面%C；

(2)設(shè)。。=如，圓錐的側(cè)面積為標(biāo)，求三棱錐P-ABC的體積.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)首先利用三角形的全等的應(yīng)用求出APLBP,CP±BP,進(jìn)一步求出二面角

的平面角為直角，進(jìn)一步求出結(jié)論.

(2)利用錐體的體積公式和圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：(1)連接04,OB,OC,ZVIBC是底面的內(nèi)接正三角形，

所以AB=BC=4C.

。是圓錐底面的圓心，所以：OA=OB=OC,

2

所以4尸2=8尸=CP=0A2+0尸2=OB2+Op2=OC2+Op2,

所以△AP8絲△BPC絲△APC,

由于NAPC=90°,

所以NAPB=NBPC=90°,

所以"_LBP,CPLBP,

由于APDCP=P,

所以8P_L平面APC,

由于BPu平面PAB,

所以：平面力B_L平面%C.

（2）設(shè)圓錐的底面半徑為r,圓錐的母線長(zhǎng)為/,

所以1=V2+r”

由于圓錐的側(cè)面積為標(biāo)，

所以冗?r?五爰=我兀，整理得3+3）（a-i）=0,

解得r=l.

所以AB=D]+]_2X]X]X（總）=

由于4戶+8尸=4解，解得扉=1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：面面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，兒何體的體積公式的應(yīng)

用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型.

19.（2021?全國(guó)I卷模擬）已知如圖，四邊形A8C。為平行四邊形，BDVCD,平面

ABCD,EF//CD,CD=2,EB=?EF=1,且M是4。的中點(diǎn).

（1）求證：FM〃平面BDE：

（2）求三棱錐C-ABF的體積V.

E

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)取的中點(diǎn)N,連接MN,NE,證明四邊形MNEF為平行四邊形，可得

FM//EN,再由直線與平面平行的判定可得〃平面BDE；

(2)由E8_L平面A2CQ,得BDLBE,再證明可得B￡)_L平面ABEF,從而得

到C到平面ABEF的距離為8￡>=、BC2-CD2=3,求出三角形A5F的面積，再由棱錐體

積公式求解.

【解答】(1)證明：取80的中點(diǎn)M連接MN,NE,

在△A3。中，YM是AO的中點(diǎn)，：.MN//AB,且杷，

又?:EF//CD,CD//AB,CD=AB,...EF=*研，

MN〃EF且MN=EF,則四邊形MNEF為平行四邊形，

J.FM//EN,

又；ENu平面BOE,尸例《平面8DE,

二產(chǎn)例〃平面BDE；

(2)解：：E8_L平面ABC。，8￡>u平面A8CQ,:.BDLBE,

又〈BDLCD,CD//AB,：.BDLAB,

:ABCBE=B,J_平面ABE凡

由于CD〃平面ABEF,；.C到平面ABEF的距離為-CD2=3-

而SAABF=^-AB-BE=-1X2XV3=V3>

AVC-ABF4X3XV3=V3,即三棱錐C-ABF的體積是

o

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面

體體積的求法，是中檔題.

20.（2021?巴中模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，雨1.平面ABCD,

B4=AB=AC=2,NA8C=45°,E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面ABE與棱尸。的交點(diǎn).

（1）證明：平面P8CLL平面A8E；

V,

（2）設(shè)三棱錐F-AC￡>的體積為％,四棱錐C-48EF的體積為心，求一L的值.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何；

邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）連接4E,推導(dǎo)出AE±PC,可得PC1平面ABE,利用線面垂直

的性質(zhì)定理可證得平面PBCL平面ABE；

（2）利用錐體的體積公式分別求出口，V2,即可求得比值的大小.

【解答】（1）證明：因?yàn)锳B=AC,ABC=45",

所以AB_LAC,

因?yàn)槌?，平面ABC￡>,ABu平面A8CQ,

所以PAA.AB,

因?yàn)?70必=4,ACu平面融C,以u(píng)平面以C,

所以ABJL平面PAC,

由PCu平面PAC,所以AB_LPC,

連接AE,由以=AC且PE=EC,

所以AE_LPC,

又AECA8=A,AB,AEu平面ABE,

所以PC_L平面ABE,

因?yàn)镻CuPBC,

所以平面尸8CJ_平面ABE.

(2)由四邊形ABC￡>是平行四邊形，可得AB〃CD,

又AB<t平面PCD,CDu-平面PCD,

所以AB〃平面PCD,

因?yàn)槠矫鍭8EA平面PCD=EF,

所以4B〃EF,

所以PF=FD,EF=1.CD=1,

2

所以VI=AVP.ACD=^XAXJLX/1CXCDXM=.2,

22323

又由(1)可知，AELEF,CEJ_平面48E凡

AB+EFX

所以V2=^SABEFXC￡=1XxAECE=2X3X5/2=1-

33232

所以

V23

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面與平面垂直的判斷，錐體的體積公式，考查邏輯推理與運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

21.(2021?丙卷模擬)如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABC。中，PA=PB=DA=

DB—1,M,N分別為抬,P8上的點(diǎn)，且p1q，8可弓.

(I)求證：MN〃平面ABC。；

(II)求四棱錐P-ABCD體積最大時(shí)AB的長(zhǎng).

p

【考點(diǎn)】棱柱、棱鏈、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象；數(shù)

學(xué)運(yùn)算.

【分析】（/）利用線面平行的判定定理即可證明；

（//）由線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)結(jié)合三棱錐P-ABD與四棱錐P-ABCD

體積的關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)研究三棱錐P-A8Q體積的最大值，從而即可求解四棱錐P-

ABCD體積取最大值時(shí)AB的值.

【解答】（/）證明：?以=PB=1,PM=2,JL,：.MN//AB.

3RN3MANB

又平面ABC。，ABU平面ABCD,〃平面A8CD

（//）解：?：PA=PB=DA=DB,和為底邊相同的兩個(gè)等腰三角形.

取AB的中點(diǎn)為E,連接PE,DE,則尸E_LAB,DEVAB,iLPEHDE=E.，ABJ_平面

PED,

由題得當(dāng)平面以8,平面ABD時(shí)，三棱錐P-ABD的體積最大,

即四棱錐P-ABCD的體積最大?：S△.上平行四邊形ABCD,

V三棱錐AABD二/v四棱錐PYBCD'

令A(yù)B=2x,則0VxV1,PE=DE=V1-X^，**,

223

V三棱錐AABD《x/x2xX^/i-xxVl-x=yx^yx-

令f(x)OVxVL

oo

則f'(x)=4—X2,

令/(x)=0,得乂二^,

當(dāng)x€（o,亨）時(shí)，/（X）>o,co在s,孚）上單調(diào)遞增,

當(dāng)x€哼，1）時(shí)，f（x）<0.V（x）在（孚，1）上單調(diào)遞減,

.?.當(dāng)qS時(shí)，）』x返」X（返）3=漢［.,.四棱錐P-ABC。體積的

x§工'X/血案333、327

最大值為3S,

27

此時(shí)研罵1

O

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定定理以及四棱錐的體積，考查運(yùn)算求解能力、空間想

象能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，是中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.由三視圖求面積、體積

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.三視圖：觀測(cè)者從不同位置觀察同一個(gè)幾何體，畫出的空間幾何體的圖形，包括:

(1)主視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和長(zhǎng)度;

(2)左視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和寬度;

(3)俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖，反映物體的長(zhǎng)度和寬度.

2.三視圖的畫圖規(guī)則：

主視圖左視圖

長(zhǎng)對(duì)1F,

(1)高平齊：主視圖和左視圖的高保持平齊;

(2)長(zhǎng)對(duì)正：主視圖和俯視圖的長(zhǎng)相對(duì)應(yīng)；

(3)寬相等：俯視圖和左視圖的寬度相等.

3.常見(jiàn)空間幾何體表面積、體積公式

'圓柱：S圓柱=2冗r(r+l)

圓錐：S圖錐=—r(r+l)

(1)表面積公式：圓臺(tái)：S圖臺(tái)=兀(「2日'2+rl+r,1)

球：S球=4幾/

'柱體：丫柱=511

錐體：V錐3sh

(2)體積公式：’臺(tái)體：V臺(tái)=§6+\低打+s')h

3

,n4Hr

球：V球—

【解題思路點(diǎn)撥】

1.解題步驟：

（1）由三視圖定對(duì)應(yīng)幾何體形狀（柱、錐、球）

（2）選對(duì)應(yīng)公式

（3）定公式中的基本量（一般看俯視圖定底面積，看主、左視圖定高）

（4）代公式計(jì)算

2.求面積、體積常用思想方法：

（1）截面法：尤其是關(guān)于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問(wèn)題，常用軸截面進(jìn)行分析求解;

（2）割補(bǔ)法：求不規(guī)則圖形的面積或幾何體的體積時(shí)常用割補(bǔ)法；

（3）等體積轉(zhuǎn)化：充分利用三棱錐的任意一個(gè)面都可以作為底面的特點(diǎn)，靈活求解三棱錐

的體積；

（4）還臺(tái)為錐的思想：這是處理臺(tái)體時(shí)常用的思想方法.

【命題方向】三視圖是新課標(biāo)新增內(nèi)容之一，是新課程高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.解答此類問(wèn)題,

必須熟練掌握三視圖的概念，弄清視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正視圖、俯視圖之間長(zhǎng)相等，左視

圖、俯視圖之間寬相等，正視圖、左視圖之間高相等（正俯長(zhǎng)對(duì)正，正左高平齊，左俯寬相

等），要善于將三視圖還原成空間幾何體，熟記各類幾何體的表面積和體積公式，正確選用，

準(zhǔn)確計(jì)算.

例：某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

分析：幾何體是正方體切去兩個(gè)工圓柱，根據(jù)三視圖判斷正方體的棱長(zhǎng)及切去的圓柱的底面

4

半徑和高，把數(shù)據(jù)代入正方體與圓柱的體積公式計(jì)算.

解答：由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個(gè)工圓柱，

4

正方體的棱長(zhǎng)為2,切去的圓柱的底面半徑為1,高為2,

32

，幾何體的體積V=2-2XAXTTX1X2=8-n.

4

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的

幾何量是解題的關(guān)鍵.

2.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互

相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：

ABCD-A'B'CD'）.

2.認(rèn)識(shí)棱柱

底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面.

側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面.

側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱.

頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).

高：棱中兩個(gè)底面之間的距離.

3.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

工兩個(gè)底面互相平行

棱柱2.側(cè)面都是四邊形

3.側(cè)棱互相平行

根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：

（1）側(cè)面都是平行四邊形

（2）兩底面是全等多邊形

（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形

（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和.

4.棱柱的分類

（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四

棱柱、五棱柱….

（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為

正多邊形，則稱其為正棱柱.

直棱柱F棱柱

5.棱柱的體積公式

設(shè)棱柱的底面積為5,高為

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作

旋轉(zhuǎn)面；該定直線

叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)