高中數學高考復習空間的基本關系

△好/好/學/習天/天/向/上4

高中數學高考復習空

間的基本關系與公理

高中數學高考復習空間的基本關系與公理

1.平面的基本性質

公理1:如果一條直線上的西虎在一個平面內，那么這條直線上的所有點在這個平面內(即

直線在平面內).

公理2：經過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面(即可以確定一個平面).

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有二條通過這個點的公

共直線.

2.公理4

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

3.定理

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4.直線與直線的位置關系

(1)位置關系的分類

上面直線黑

〔異面直線：不同在任何一個平面內

(2)異面直線所成的角

①定義：設a,b是兩條異面直線，經過空間任一點。作直線a'//a,b'//b,把a'

與b'所成的銳角(或直角)叫作異面直線a,b所成的角(或夾角).

②范圍：(0,f.

5.直線與平面的位置關系有壬豆、相交、在平面內三種情況.

6.平面與平面的位置關系有壬任、相交兩種情況.

］、夯草疑夯實基礎突破疑難

1.判斷下面結論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

(1)如果兩個不重合的平面a,￡有一條公共直線a,就說平面a,￡相交，并記作

=Cl.

(J)

(2)兩個平面a,/有一個公共點A,就說a,P相交于過A點的任意一條直線.(X)

(3)兩個平面a,4有一個公共點A,就說a,￡相交于A點，并記作an「=A(X)

(4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.

(X)

(5)經過兩條相交直線，有且只有一個平面.

(J)

2.已知a,方是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與6()

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線

答案C

解析由已知得直線c與匕可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線,

若6〃c,則與已知a、6為異面直線相矛盾.

3.下列命題正確的個數為)

①經過三點確定一個平面；

②梯形可以確定一個平面；

③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；

④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析經過不共線的三點可以確定一個平面，.?.①不正確；

兩條平行線可以確定一個平面，，②正確；

兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，，③正確；

命題④中沒有說清三個點是否共線，，④不正確.

4.如圖，aC￡=/,A、BWa,CG￡,且C&,直線過A,B,

C三點的平面記作y,則/與/的交線必通過()

A.點A

B.點8

C.點C但不過點M

D.點C和點M

答案D

解析VABy,M^AB,

又aC￡=/,MGl,

根據公理3可知，M在7與萬的交線上.

同理可知，點C也在y與6的交線上.

5.已知空間四邊形中，M、N分別為48、C。的中點，則下列判斷：①斗AC

+BD)；?MN>^AC+BD)；?MN^(AC+BD)；?MN<^(AC+BD).

其中正確的是.

答案④

解析如圖，取BC的中點。，

連接MO、NO,

則0M=)C,ON^BD,

在△MON中，MN<OM+ON^(AC+BD),

???④正確.

題型分類?深度剖析

題型一平面基本性質的應用

【例11如圖所示，正方體ABCD—AiBiCrDr中，E、B分別是AB和A4i

的中點.求證：

(1)￡、C、口、尸四點共面；

(2)CE、DiF.D4三線共點.

思維啟迪(1)兩條相交直線或兩條平行直線確定一個平面；

(2)可以先證CE與DXF交于一點，然后再證該點在直線DA上.

證明(1)連接EF,CDi,AiB.

,:E、/分別是AB、AAi的中點，

：.EF//BAi，

又A/〃。1C,：.EF//CDi，

:.E、C、。八尸四點共面.

3：EF//CD\,EF<CDi，

:.CE與AF必相交,設交點為P,

則由PGCE,CE平面ABCD,得PG平面ABCD.

同理PG平面ADDiAi.

又平面A8C￡)n平面ADDiAr=DA,

直線DA.

:.CE、2凡D4三線共點.

思維升華公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據；公理2及其推論是判斷或證

明點、線共面的依據；公理3是證明三線共點或三點共線的依據.

跟蹤訓練1(1)以下四個命題中

①不共面的四點中，其中任意三點不共線;

②若點A、B、C、。共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面;

③若直線a、6共面，直線a、c共面，則直線6、c共面；

④依次首尾相接的四條線段必共面.

正確命題的個數是()

A.0B.1

C.2D.3

(2)a、b是異面直線，在直線a上有5個點，在直線b上有4個點，則這9個點可確定

________個平面.

答案(1)B(2)9

解析(1)①假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面.這與四

點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確.

②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C,但是若A、B、C共線，則結論不正確；

③不正確；

④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.

(2),/a6是異面直線，

：.a上任一點與直線b確定一平面，共5個，6上任一點與直線a確定一平面，共4個,

一共9個.

題型二判斷空間兩直線的位置關系

【例21如圖所示，正方體ABC。一ApBiGA中，M、N分別是4叢、SG

的中點.問：

(l)AM和CN是否是異面直線？說明理由；

(2)。歸和CCi是否是異面直線？說明理由.

思維啟迪第(1)問，連接MN,AC,ii.MN//AC,即AM與CN共面；第(2)問可采用

反證法.

解(1)不是異面直線.理由如下：

連接MN、AiCi，AC.

'：M.N分別是Ali、SG的中點,

:.MN〃A?.

又觸QC,

.?.AiACG為平行四邊形，

.".AiCi/ZAC,：.MN//AC,

：.A.M、N、C在同一平面內，故AM和CN不是異面直線.

⑵是異面直線.證明如下：

?.NBCD—是正方體，二反C、G、功不共面.

假設。出與CC1不是異面直線,

則存在平面a,使。/平面a,CC1平面a,

B、C、CiEct,與ABC。一AiBiGP是正方體矛盾.

二假設不成立，即。I與CG是異面直線.

思維升華(1)證明直線異面通常用反證法;

(2)證明直線相交，通常用平面的基本性質，平面圖形的性質等;

(3)利用公理4或平行四邊形的性質證明兩條直線平行.

跟蹤訓練2(1)如圖，在正方體A8CQ—AiSGP中，M,N分別是

8G，CQ的中點，則下列判斷錯誤的是()

A.MN與CG垂直

B.與AC垂直

C.與平行

D.MN與4S平行

⑵在圖中，G、N、M、X分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線G//、MN

是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號)

答案(1)D⑵②④

解析(1)連接則點M是SC的中點,MN是△BiCQ的中位線，...MN〃約

；C”BQi，AC±Bi￡)1；BD〃BQi，

：.MN±CCi，MN±AC,MN//BD.

又與無Di相交，...MN與A/i不平行，故選D.

(2)圖①中，直線GH〃MN；

圖②中，G、H、N三點共面，但M4面GHN,

因此直線GH與MN異面；

圖③中，連接MG,GM//HN,因此G8與跖V共面；

圖④中，G、M、N共面，但班面GMN,

因此GH與MN異面.

所以圖②、④中GH與MN異面.

題型三求兩條異面直線所成的角

【例3】空間四邊形ABC。中，且AB與CD所成的角為30。，E、A

分別為BC、AD的中點，求E尸與AB所成角的大小.

思維啟迪取AC中點，利用三角形中位線的性質作出所求角.

解取AC的中點G,連接EG、FG,

則EG嗎48,GF*CD,

由AB=CD知EG=FG,

（或它的補角）為EF與所成的角，NEGF（或它的補角）為

AB與CZ）所成的角.

'：AB與CD所成的角為30°,

：.ZEGF=30°^150°.

由EG=FG知為等腰三角形，

當/EGF=30°時，ZGEF=75°；

當NEGP=150°時，/GEF=15。.

故EF與