江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2025屆高三數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試題理含解析

PAGE27-江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2025屆高三數(shù)學(xué)其次次聯(lián)考試題理（含解析）滿分：150分時(shí)間：120分鐘本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，得，依據(jù)元素的互異性可知【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以且，所以，所以已舍，此時(shí)滿意.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)，的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】算出即可【詳解】因?yàn)樗缘奶摬渴枪蔬x：B【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)數(shù)的計(jì)算及復(fù)數(shù)的概念，較簡(jiǎn)潔.3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，推斷三個(gè)數(shù)值的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，所以，即，所以，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三個(gè)數(shù)的大小的推斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，屬于基礎(chǔ)題.4.下邊程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入、、的值分別為6、8、0，則輸出和的值分別為（）A.0，3 B.0，4 C.2，3 D.2，4【答案】C【解析】【分析】執(zhí)行循環(huán)，直至終止循環(huán)輸出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)，得，結(jié)束循環(huán)，輸出，此時(shí),選C.【點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖探討的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).5.在中，D為BC的中點(diǎn)，P為AD上的一點(diǎn)且滿意，則與面積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則可以推得，故得點(diǎn)為的重心，即可得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則有，又，所以，則點(diǎn)在線段上，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以得點(diǎn)為的重心，故與面積之比為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算，三角形重心的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.某幾何體的三視圖如圖所示（網(wǎng)格中的每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為單位1），則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是由正方體截割去1個(gè)三棱錐所得到的幾何體，由此求出幾何體的體積.【詳解】解：由三視圖，可知該幾何體是由正方體截割去1個(gè)三棱錐所得到的幾何體，如圖所示：因?yàn)榫W(wǎng)格中的每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為單位1，所以三棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體的體積的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.7.已知數(shù)列滿意，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先給兩邊取倒數(shù)，得，可知數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求出，得，于是可求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消求和法可求得的值.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是以3為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消求和法，屬于基礎(chǔ)題.8.已知平面四邊形ABCD是菱形，，，將沿對(duì)角線BD翻折至的位置，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】設(shè)，由四邊形ABCD是菱形，可得為二面角的平面角，故.過(guò)三棱錐的外接球的球心作面，垂足為，則是等邊的中心.作，垂足為，可證面，故.作交于點(diǎn)，則四邊形是矩形.設(shè)外接球的半徑為，則，，求出，即求，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】設(shè)，四邊形ABCD是菱形，，為二面角的平面角，.是等邊三角形.過(guò)三棱錐的外接球的球心作面，垂足為，則是等邊的中心.如圖所示.設(shè)外接球的半徑為，則.作，垂足為.面，即面，.又，面.作交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，又，，解得.三棱錐的外接球的表面積.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查二面角，考查直線與平面的位置關(guān)系，考查空間幾何體的外接球，屬于較難的題目.9.已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，且，若，且的面積為，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作示意圖，設(shè)，依據(jù)面積公式和向量數(shù)量積的運(yùn)算，列出方程組，求得，即可得的等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為離心率即可.【詳解】作示意圖如圖所示，設(shè)，由題意可得，，所以，又，得又因?yàn)椋?，則，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，涉及向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，屬綜合基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)，依據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在的條件建立不等式求解即可.【詳解】函數(shù)，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到，令，得，所以，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則需，所以，所以，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，當(dāng)k=0時(shí)，得，解得，當(dāng)k=1時(shí)，得，解得，綜上：函數(shù)在上有零點(diǎn)時(shí)，或，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，.所以的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的實(shí)力，屬于難題.11.已知函數(shù)，若，．則最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)，可得，再令，用倒序相加法可得，即化簡(jiǎn)條件為，依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求的范圍，再求得的最大值.【詳解】由題，則,令，則，得，則，則，令，則，是圓心為，半徑為的圓，直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，由，得，得，即，故，，故的最大值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了視察和分析實(shí)力，依據(jù)，得到是解決本題的關(guān)鍵，再利用直線與圓的位置關(guān)系求最值,是一道綜合應(yīng)用實(shí)力較強(qiáng)的題目.12.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分析，易得恒成立，再分析，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，即，恒成立，可利用的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為則恒成立，再轉(zhuǎn)化為得恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到，則.【詳解】當(dāng)，時(shí)，明顯恒成立；當(dāng)時(shí)，由題，則恒成立，得，恒成立，令，則恒成立，則，故在遞增，則恒成立，得恒成立，令，則，即在遞增，故，故，綜合得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了分析視察實(shí)力，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，反復(fù)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則_________．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得，再利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)椋裕?，所?故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式，通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知實(shí)數(shù)x，y滿意條件，則的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】先作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，設(shè)再求出，最終利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即得解.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示，，設(shè)聯(lián)立得，聯(lián)立得，所以.所以.因?yàn)椋院瘮?shù)在單調(diào)遞減.所以.所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，考查斜率的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和數(shù)形結(jié)合分析推理實(shí)力.15.已知，則的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．【答案】24【解析】【分析】依據(jù)題意，由定積分計(jì)算公式可得的值，進(jìn)而由二項(xiàng)式定理分析的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，據(jù)此分析可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，，的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，有，則的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為24；故答案為：24【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出的值，屬于基礎(chǔ)題．16.在平面四邊形ABCD中，，，，則AB的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】首先將平面四邊形補(bǔ)形為三角形，成為等腰三角形，在內(nèi)平移直線使之能滿意條件，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，分析兩個(gè)臨界點(diǎn)得到的取值范圍.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于，平移，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，最長(zhǎng)(此時(shí)為臨界位置，不能取)在中，，，，由正弦定理可得，即，由，解得=，平移，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，最短，此時(shí)與交于，在中，,，由正弦定理知，，即，解得(此時(shí)為臨界位置，不能取)所以的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求幾何圖形中長(zhǎng)度計(jì)算，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力，考查正弦定理解三角形，本題的關(guān)鍵是通過(guò)平行移動(dòng)，依據(jù)臨界點(diǎn)分析出的長(zhǎng)度，屬于難題.二、解答題：（本大題共6小題，共70分，17-21題每題12分，選做題10分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)M在邊BC上，已知．（1）求A；（2）若AM是角A的平分線，，且，求三角形ABC的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理得，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可求得，由此可求出答案；（2）由題意得，，過(guò)作交于，易知為正三角形，由此得，再依據(jù)三角形面積公式即可求出答案．【詳解】解：（1）由正弦定理得，又，∴，即，∴，又因?yàn)?，∴；?）由是的角平分線以及知，，過(guò)作交于，易知為正三角形，∴，，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，考查角平分線定理，屬于基礎(chǔ)題．18.如圖：在三棱錐中，平面平面ABC，，，且，．（1）若點(diǎn)D為BP上的一動(dòng)點(diǎn)，求證：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）在中，易得，再由平面平面ABC，，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面APC，從而有，然后由線面垂直的判定定理證明.（2）依據(jù)平面平面ABC，在平面PAC中過(guò)A點(diǎn)作AC的垂線l，則l垂直平面ABC，以l為軸，AB，AC為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面EAB的一個(gè)法向量和平面EBC一個(gè)法向量，代入公式求解.【詳解】（1）在中由正弦定理，得，即，∵平面平面ABC，交線為AC，，故平面APC，則，又，∴平面ABP，而平面ABP，所以．（2）∵平面平面ABC，在平面PAC中過(guò)A點(diǎn)作AC的垂線l，則l垂直平面ABC，以l為軸，AB，AC為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系．由知，E為PC的三等分點(diǎn)，易得，，，，，設(shè)平面EAB的一個(gè)法向量為，由得，令，則，，設(shè)平面EBC一個(gè)法向量為，由，得，令，則，，．則，設(shè)二面角的平面角為，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理以及二面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想，邏輯推理，運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.19.已知橢圓，是其上的點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且在y軸上有一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求m的值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的離心率可得關(guān)系，據(jù)此設(shè)，代入點(diǎn)即可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線距離求出三角形高，可得，由基本不等式可求最值.【詳解】（1）由離心率為，可設(shè)橢圓方程為又橢圓C過(guò)點(diǎn)，∴．②由①②解得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線l的方程為，則到直線l的距離，將代入橢圓方程，得，由判別式，解得．設(shè)，則，由弦長(zhǎng)公式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，基本不等式，屬于中檔題.20.甲、乙兩位同學(xué)參與某個(gè)學(xué)問(wèn)答題嬉戲節(jié)目，答題分兩輪，第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”其次輪為“輪番坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進(jìn)行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行答題，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減5分，已知甲能答對(duì)備選5道題中的每道題的概率都是，乙恰能答對(duì)備選5道題中的其中3道題；第一輪答題完畢后進(jìn)行其次輪“輪番坐莊答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：先確定一人坐莊答題，若答對(duì)，接著答下一題…，直到答錯(cuò)，則換人（換莊）答下一題…以此類推.例如若甲首先坐莊，則他答第1題，若答對(duì)接著答第2題，假如第2題也答對(duì)，接著答第3題，直到他答錯(cuò)則換成乙坐莊起先答下一題，…直到乙答錯(cuò)再換成甲坐莊答題，依次類推兩人共計(jì)答完20道題嬉戲結(jié)束，假設(shè)由第一輪答題得分期望高的同學(xué)在其次輪環(huán)節(jié)中最先起先作答，且記第道題也由該同學(xué)（最先答題的同學(xué)）作答的概率為（），其中，已知供甲乙回答的20道題中，甲，乙兩人答對(duì)其中每道題的概率都是，假如某位同學(xué)有機(jī)會(huì)答第道題且回答正確則該同學(xué)加10分，答錯(cuò)（不答視為答錯(cuò)）則減5分，甲乙答題相互獨(dú)立；兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問(wèn)題（1）請(qǐng)預(yù)料其次輪最先起先作答的是誰(shuí)？并說(shuō)明理由（2）①求其次輪答題中，；②求證為等比數(shù)列，并求（）的表達(dá)式.【答案】（1）其次輪最先起先答題的是甲；詳見(jiàn)解析（2）①，②證明見(jiàn)解析；（）【解析】【分析】(1)設(shè)甲選出的3道題答對(duì)的道數(shù)為,則,設(shè)甲第一輪答題的總得分為,則,,設(shè)乙第一輪得分為,求出的分布列,得到,比較兩者大小即可得出結(jié)論;(2)①依題意得,,再利用相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式和互斥事務(wù)概率加法公式求出;②,從而,,由此能證明是等比數(shù)列,并求出的表達(dá)式.【詳解】(1)設(shè)甲選出的3道題答對(duì)的道數(shù)為,則,設(shè)甲第一輪答題的總得分為,則,所以;(或法二:設(shè)甲的第一輪答題的總得分為,則的全部可能取值為30,15,0,-15,且,,,,故得分為的分布列為:30150-15;)設(shè)乙的第一輪得分為,則的全部可能取值為30,15,0,則,,,故的分布列為:30150故,∵,所以其次輪最先起先答題的是甲.(2)①依題意知,,,②依題意有(),∴,(),又,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,∴,∴().【點(diǎn)睛】本題考查概率?離散型隨機(jī)變量的分布列?數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用,考查等比數(shù)列,須要學(xué)生具備肯定的運(yùn)算求解以及分析理解實(shí)力,屬于中檔題.21.已知函數(shù)，（且，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由，求導(dǎo)得到，再分和探討求解.（2）由時(shí)，依據(jù)，得到．然后令，求導(dǎo)，分和探討求解.【詳解】（1）易知①若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，②若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，即，所以．令，則，，若，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．若，則，，由得，所以，所以，使得，且當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意．綜上，a的取值范圍為．【點(diǎn)