滬教版 八年級(上)數(shù)學(xué) 秋季課程 第17講 垂直平分線、角平分線及軌跡(解析版)

(ro垂直平分線、角平分線及軌跡

內(nèi)容分析

利用線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)添加輔助線，解決相關(guān)角度與邊長之間的關(guān)系

是幾何證明中又一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，更加完善了證明邊角關(guān)系的知識體系.

知識結(jié)構(gòu)

模塊一：線段的垂直平分線

知識精講

線段的垂直平分線：

(1)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理給我們提供了證明兩條線段相等的又一個(gè)重要的方

法，而且在已知中有線段的垂直平分線時(shí)，往往在線段的垂直平分線上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)添

加線段；

(2)線段的垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，是證明某個(gè)點(diǎn)在某條線上的一個(gè)重要方法;

(3)利用以上兩個(gè)定理可以得到：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三角

形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

例題解析

【例1】如圖，在AABC中，BC=8cm,AB的垂直平分線交48于點(diǎn)交邊AC于點(diǎn)E,4BCE

的周長等于18cm,則AC的長等于.

【答案】10cm.

【解析】因?yàn)镈E垂直平分所以=由題意知:

BE+EC+BC=18,BC=8,所以BE+EC=10,所以AE+EC=10,

即AC=10.

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【例2】已知：AB=AC,DB=DC,￡是AD上一點(diǎn)，求證：BE=CE.

【解析】：AB=AC,DB=DC,是線段BC的垂直平分線

又是AD上一點(diǎn)：.BE=CE.

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運(yùn)用.

【例3】在AABC中，AB=AC,BC=12,ZBAC=120°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E,

AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.

(1)求AAEN的周長.(2)求/EAN的度數(shù).(3)判斷"EN的形狀.

【答案】(1)12；(2)60°；(3)等邊三角形.

【解析】(1)因?yàn)镈E垂直平分AB,垂直平分AC,

所以AE=BE,AN=CN,所以AE+EN+AN=BE+EN+NC

=BC=12,所以八407得周長等于12；

(2)因?yàn)锳3=AC,3c=12,Nft4c=120°,所以N2=NC=30°

所以/N4C=30°,所以/ANE=60°,同理/AEN=60°,所以/EAN=60°；

(3)由(2)知△AEN為等邊三角形.

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運(yùn)用.

【例4】如圖，。是線段AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn)，若/BAC=50。，求/BOC的度數(shù).

【答案】100°

Rr

【解析】連接AD

因?yàn)閆BDC=ZBAD+ZDBA+ZDAC+ZDCA

=2(ZBAD+NDAO=2NBAC

所以/8OC=150°.

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【例5】如圖，已知△A2C中，AB=AC,AB的垂直平分線?！杲籅C于點(diǎn)，且。C=AC,

求AABC各角的度數(shù).

【答案】ZB=ZC=36°,ZBAC=108°.

【解析】因?yàn)?4DC=/4BC+NS4D,XDC=AC,

所以/ZMC=/AOC,又因?yàn)镺E垂直平分AB,

所以NDAC=2/B,所以N3AC=3NB,

所以N2+NBAC+NC=5/3=180°,

所以/B=/C=180+5=36°,ZBAC=108°.

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

【例6】在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50。，

AABC的底角ZB的大小為.

【答案】70°或20°.

【解析】(1)當(dāng)AB的中垂線MN與AC相交時(shí)，

"?ZAMD=9Q°,：.ZA=90°-50°=40°,

*.?AB=AC,：.ZB=ZC=(180-40)-2=70°

(2)當(dāng)AB的中垂線MN與CA的延長線相交時(shí)，

ZDAB=90°-50°=40°,\'AB=AC,

：.NB=ZC=-ZDAB=20°.

2

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【例7】如圖，在三角形ABC中，A。是/BAC的角平分線，ABIDE,DF±AC,垂足分

別為E、F,求證：是EF的垂直平分線.”

A

【解析】由題意，可知0￡二。尸，在△ADE和△AO尸中，E/\

ZAED=ZAFD=90°,AD=AD,DE=DF,

BC

D

所以AADE^AADF,:.AE=AF

：.A.。在EF的垂直平分線上，

所以AD是所的垂直平分線.

【總結(jié)】考查垂直平分線和角平分線的綜合運(yùn)用.

【例8】如圖，三角形A2C中，ZACB=90°,。是AB邊上的點(diǎn)，BD=BC,過點(diǎn)。作AB

的垂線交AC于點(diǎn)E,CD交BE于點(diǎn)F,求證:BE垂直平分CD.

【解析】在△BCE和△2DE中，

HZBCE=ZBDE=90°,BD=BC,BE=BE,

所以△BCE附△BOE,

所以CE=DE,

所以2、E在C、D的垂直平分線上，

所以BE垂直平分CD.

【總結(jié)】考查垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的運(yùn)用.

【例9】如圖，在直角三角形ABC中，ZABC=90°,。是AB邊上的點(diǎn)，的垂直平分

線所交AC于點(diǎn)E,垂足為R瓦）的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)G,求證：點(diǎn)E在

GC的垂直平分線上.

【解析】???￡/為AD的垂直平分線

：.AF=DF,ZAFE=ZDFE=9Q°,

：.AAFE咨ADFE,/.ZAEF=ZDEF.

GBC

ZAFE=ZABC,：.EF//CG.

：.ZAEF=ZC,ZDEF=ZG,：.ZC=ZG,

.?.△CEG為等腰三角形，

.?.點(diǎn)E在GC的垂直平分線上.

【總結(jié)】考查垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運(yùn)用.

【例10]如圖，在△ABC中，ZA=3O°,DE垂直平分AB,垂直平分AD,GN垂直平

分BD,求證：AF=FG=BG.

【解析】連接DRDG,

垂直平分A。，GN垂直平分

：.AF=DF,DG=BG

又?../A=3O°,：./DFG=/DGF=6Q°

即△。歹G為等邊三角形

：.DF=DG=FG

：.AF=FG=BG

【總結(jié)】考查垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【例11]如圖，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交BC的延長線于M,

ZA=40°,(1)求NM03的大?。?/p>

(2)如果將(1)中的度數(shù)改為70°,其余條件不變，再求的度數(shù)；

(3)若/A=a,你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律，并證明之；

(4)將(1)中的NA改為鈍角，對這個(gè)問題規(guī)律性的認(rèn)識是否要加以修改.

【解析】(1)'：AB=AC,：.ZB=(180°-40°)4-2=70°,

XVZMNB=90°,：.ZNMB=18Q°-90°-70°=20°；

(2)ZB=(180°-70°)+2=55°,

ZNMB=180°-90°-55°=35°；

(3)NM08的度數(shù)等于NA度數(shù)的一半，

證明：\'AB=AC,AZ5=(180°-ZA)4-2

VZBNM=9Q°,

:.NNMB=90°-ZB=90°-(180°-ZA)4-2

=-ZA

2

即/MWB的度數(shù)等于/A度數(shù)的一半；

(4)不需修改.

仍有等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊或底邊的延長線

相交所成銳角為頂角的一半.

【總結(jié)】考查垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

模塊二：角平分線

知識精講

2、角平分線：

(1)角的平分線性質(zhì)定理給我們提供了證明兩條線段相等的又一個(gè)重要的方法，而且

在已知中有角平分線時(shí)，往往在角的平分線上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向角的兩邊作垂線段；

(2)角平分線性質(zhì)定理的逆定理，是證明兩個(gè)角相等的一個(gè)重要方法；

(3)利用以上兩個(gè)定理可以得到：三角形三個(gè)角的平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三角形

三條邊的距離相等.

例題解析

【例⑵如圖，已知點(diǎn)P到AE、AD.BC的距離相等，則下列說法：①點(diǎn)P在/BAC的

平分線上；②點(diǎn)尸在/C2E的平分線上；③點(diǎn)P在/的平分線上；④點(diǎn)P是

/BAC、/CBE、/BCD的平分線的交點(diǎn)，其中正確的是()

A.①②③④B.①②③

【答案】A

【解析】至!JAE、AD.的距離相等

，①②③④都對

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理的逆運(yùn)用.

【例13]如圖，已知在四邊形ABCD中，AB//CD,E為2C中點(diǎn)，連接AE、DE,DE平

分/AOC,求證：AE平分/BAO.

【答案】略

【解析】過E作于點(diǎn)X,反向延長E8交。C的延長線

于點(diǎn)G,過E作所，AD于點(diǎn)P

'：AB//CD,：.EG±DC,

為2C中點(diǎn)，CE=BE

在ACGE與ABHE中,

"：ZGCE=ZB,CE=BE,ZCEG=ZBEH

:ACGE沿ABHE,：.GE=EH

'/DE^^ZADC,:.GE=EF,：.GE=EH

：.EF=EH,又；EFLAD,EHLAB,

是/OAB的平分線.

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運(yùn)用.

【例14]如圖，已知在四邊形A3CD中，對角線3。平分NABC,且NR4D與/BCD互補(bǔ),

求證：AD=CD.A

【答案】略

【解析】在BC上截取BE=AB,連接DE

；8。平分/ABC,：.NABD=NDBC,又,：BD=BD

:AABD經(jīng)AEBD,：.ZBAD=ZBED,AD=DE

,：ZBAD與ZBCD互補(bǔ)，；.ZBED與ZBCD互補(bǔ)

又；/BED與/CED互補(bǔ),：.ZCED=ZBCD

：.DE=CD,：,AD=CD

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【例15]已知：如圖，PA,PC分別是A4BC外角/MAC和/NCA平分線，它們交于P,

于。，PFLBN于F,求證：為的平分線.少

A

P

【答案】見解析

【解析】過P作PELAC于點(diǎn)￡

平分NA/AC,PDLBM,PELAC

：.DP=EP,同理PE=PF

：.PD=PF,y.'：PD±BM,PFLBN

:.P在NMBN的角平分線上

:.BP平分/MBN

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運(yùn)用.

【例16]（1）如圖1AABC中，/4BC和/ACB的角平分線相交于點(diǎn)P,則有：

NBPC=________ZA；

（2）如圖2：AABC中，NABC的外角角平分線和NACB的外角角平分線相交于點(diǎn)尸，

則有：ZBPC=________ZA；

（3）如圖3：AABC中，/ABC和/ACB的外角角平分線相交于點(diǎn)P,則有:

【答案】略.圖2

【解析】(1)NBPC=180-(ZPBC+NPCB)=180-1(ZABC+ZACB)

=180-1(180-ZA)=90+1zA；

(2)NBPC=180-(ZCBP+ZBCP)=180-1(ZCBM+NBCN)

=180。-；(360。一ZABC一ZACB)=180。一g[360。一(180。-ZA)]=90。一gZA

(3)ZPBC=-AABC,ZPCB=ZACB+ZACP=ZACB+-(ZA+ZABQ,

22

，ZPBC+ZPCB=ZACB+ZABC+-ZA

2

NBPC=180-(NPBC+NPCB)=180(ZABC+ZACB+|zA)

==180-1(180-ZA+1zA)=|zA.

【總結(jié)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意對結(jié)論的熟記.

【例17]如圖，在直角△ABC中，ZC=90°,直角中，ZBAP=9Q0,

已知BP交AC于點(diǎn)。，E為AC上一點(diǎn)，＞AE=OC,

求證：PE±AO.

【答案】略

【解析】?/ZBB\+ZABP=ZCOB+ZCBO=90°,

又/CBO=/ABP

：.ZBPA=ZCOB

又,：/COB=/POA

：.ZBPA=ZPOA,：.AP=AO

過點(diǎn)0作O8_LA2于H,則OH=OC

,/OC=AE,：.OH=AE

"?ZPAE+ZCAB=ZHOA+ZCAB,

：.ZPAE=ZHOA

：.AAPE^AOAH,

PE±AO

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【例18]如圖，在平行四邊形ABCD中，E、歹分別是AD、上的點(diǎn)，1.BE=DF,BE

與。尸交于點(diǎn)G,

求證：GC平分/BGD

【解析】分別過作連接、

CCNLBE,CH1DF,CECFBC

/.-DFxCH^-BExCN,

,:BE=DF,：,CN=CH,

又,：CNLBE,CH±DF,

：.GC平分/BGD（到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理逆定理及其等面積法的綜合運(yùn)用.

【例19］如圖，在直角AABC中，AD是斜邊上的高，平分/ABC,交AC于點(diǎn)P、

于點(diǎn)E,EG〃8C交AC于點(diǎn)G,求證：AF=CG.%

［答案］見解析V

【解析】過下作儂L8C于點(diǎn)X,連接即，^N

VZABF+ZAFB=90°,ZBED+ZEBD=90°,/ABF=斑痣＜---------L」Jr匕i

：.ZAFB=ZBED

XVZBED=ZAEF,ZAFB=ZAEF,：.AE=AF.

/平分/ABC,AF1,BA,FHLBC：.AF=FH

又-：AE//FH,...四邊形AEHF為菱形,

：.AF=EH,EH//CG

又,：EG//HC,；.EHCG為平行四邊形

：.EH=CG,：.AF=CG.

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理、菱形及平行四邊形的判定及性質(zhì).

【例20］如圖，以A4BC兩邊48、AC為邊,向外作等邊AABD和等邊AACE,連接BE、

CD交于尸點(diǎn),C。交A3于點(diǎn)G,BE交AC于點(diǎn)H,求證：AF平分/DFE.

【解析】"：AD=AB,AC=AE,ZDAC=ZBAE

.,.△ACD^AAEB

：.BE=CD

過點(diǎn)A作AM_L￡?C,AN1BE,

B

則LoCxAMBE

22

：.AM=AN

"AMLDC,AN±BE,

所以AF平分N￡?FE.

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理逆定理及其等面積法的綜合運(yùn)用.

【例21]如圖，在AABC中，NCAB和/ABC的平分線A。、BE交于點(diǎn)P,連接CP.

(1)求證：CP平分/ACB；

(2)如圖1,當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，求證：EP=DP；

(3)如圖2,當(dāng)△ABC不是等邊三角形，但/ACB=60°,(2)中的結(jié)論是否還成

立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

【解析】(1)過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M,PNLAC/\

于點(diǎn)N,PHLBC于點(diǎn)”//4A\D

A

圖1

'.'AD.BE分別為/CAB與/ABC的角平分線

：.PM=MN,PM=PH,：.PN=PH,

；.CP平分NAC3

(2)；ABC為等邊三角形：.PD±BC,PELAC,

:.△CPE"4CPD,

：.EP=DP

(3)成立.假設(shè)/C4B</CBA

作PHJ_AC于"，PM_LCB于M,PQJ_AB于Q,

則點(diǎn)X在線段CE上，點(diǎn)M在線段2。上

ZCAB和ZACB的平分線AD,BE交于點(diǎn)P,

：.PH=PQ=PM

,rZACB+ZCAB+ABC=1800,ZACB=60°

：.ZCAB+ZABC=nO°

VAD>BE分別平分/CAB、ZABC

：.ZPAB+ZPBA=60°

'：ZCEP=ZCAP+ZB\B+ZPBA=ZCAP+600

ZADB=ZCAP+ZACD=ZCAP+60°

ZCEP=ZADB

在APHE和△PMD中，

■:/HEP=/MDP,ZEHP=ZDMP=90°,PH=PM

4PHE必PMD

：.PE=PD

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運(yùn)用.

模塊三：綜合

例題解析

【例22]已知，如圖AP、BP分別平分/DAB、ZCBA,PE、尸產(chǎn)分別垂直A。、BC,垂

足為E、F.求證：點(diǎn)P在EF的垂直平分線上.

P

【解析】過尸作PH±AB于點(diǎn)H,

貝!]PE=PH,PH=PF

：.PE=PF

'JPELAD,PF±BC

點(diǎn)尸在EF的垂直平分線上

【總結(jié)】考查垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運(yùn)用.

【例23]已知：如圖，△ABC中，ZBAC=64°,ZB=38°,AD平分/BAC,M是8c延

長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)加作及牛，&。，垂足為點(diǎn)H,交AB、AC于點(diǎn)RE.求的度

數(shù).

【答案】20。.

【解析】'：ZBAD=-ZBAC=32°,

2

：.ZADM=ZBAD+ZB=32°+38°=70°,

'：MH±AD,/.ZMHD=9Q°

：.ZM=180°-90°-70°=20°

【總結(jié)】考查垂直平分線及角平分線性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

【例24】已知：如圖，。是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，過。作DELAB,DFLBC,垂足

為E、F,再過點(diǎn)D作。G〃AB,交BC于點(diǎn)G,且DE=DE

求證：（1）DG=BG；（2）BD垂直平分￡足

【解析】（1）連接2。

"DELAB,DFLBCS.DE=DF

：.ZABD=ZDBC

又,：DG〃AB,：.ZABD=ZBDG

：.ZBDG=ZDBC,：.DG=BG

（2）由（1）ZABD=ZDBC,可知NEDB=NFDB.

在△BOE與△BD尸中，

ZABD=ZDBC,BD=BD,ZEDB=ZFDB

：.4BDE咨ABDF

：.BE=BF,DE=DF

，8。垂直平分ER

【總結(jié)】考查垂直平分線及角平分線性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

【例25]如圖，在△ABC中，OE、OF分別是邊AB、AC的垂直平分線，ZOBC.

N0C2的平分線相交于點(diǎn)G,判斷OG與3c的位置關(guān)系，并證明你的判斷.

【答案】見解析

【解析】連接04

垂直平分AB,?.OA=OB

同理OA=OC,OB=OC,：.ZOBC=ZOCB

平分/OBC,CG平分/OCB

ZGBC=-ZOBC,ZGCB=-ZOCB

22

ZGBC=ZGCB,；.BG=CG

又：OG=OG,.?.△BOG絲ZXCOG

ZBOG=ZCOG,：.OGLBC

【總結(jié)】考查角平分線與垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【例26]已知，ACLBC,AD平分NA4C,DELAB,判斷下面四個(gè)結(jié)論中哪些成立，

(1)AD平分/CUE；(2)ZBAC=ZBDE；(3)DE平分NADB；(4)BD+AOAB

哪些不成立，成立的說明理由，不成立的在原有條件的基礎(chǔ)上，添加條件使之成立，并

證明.

【解析】(1)'：ZEAD=ZCAD,ZAED=ZC,AD=AD

：.△ADE/△ADC,成立；

(2)VZB+ZBAC=9Q°,ZB+ZBDE=90°,

：.ZBAC=ZBDE,成立；

(3)不成立.添加NB=30°

VZB=30°,ZBAC=60°,AZBAD=300△ABD為等腰三角形

又；DE_LAB,平分/ADB,

（4）AB=AE+EB，由（1）知AE=AC,又<BD>BE（斜邊大于直角邊）

.,.BD+AOAB,成立.

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【例27]如圖，AD是等腰△ABC底邊上的高，E、尸為AD上兩點(diǎn)，且NABE=/EBF=

ZFBC,聯(lián)結(jié)CV并延長交4B于點(diǎn)G.

求證：（1）ZXGB尸為等腰三角形；（2）GE//BF.

【解析】（1）：AABC為等腰三角形且4。為高

:.Z.FBC=Z.FCB

■:ZGBF=ZGBE+ZEBF,ZGFB=ZFBC+ZFCB

ZABE=ZEBF=ZFBC,ZGBF=ZGFB

...△GBP為等腰三角形；

（2）如圖，過點(diǎn)￡作￡尸，3尸于點(diǎn)P、￡。，8尸于點(diǎn)。、ERLAB于點(diǎn)R.

?；FB=FC,FDLBC,ZBFD^ZCFD

'：NBFD=NEFQ,Z.CFD=ZEFG,NEFQ=NEFG

???EP=EQ

?；BE平分NGBF,EQLBF,ER±AB,

：.EQ=ER,：.EP=ER,：.ZAGF=2ZEGA

■:ZAGF=ZGFB+ZGBF=2ZGBF

：.ZGBF=ZEGA

：.GE//BF.

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用及等腰三角形的性質(zhì).

模塊四：軌跡

知識精講

點(diǎn)的軌跡：符合某些條件的所有的點(diǎn)的集合.

三個(gè)基本軌跡：

(1)和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線；

(2)在一個(gè)角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))且到這個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分

線；

(3)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心、定長為半徑的圓.

例題解析

【例28](1)經(jīng)過點(diǎn)A、B的圓的圓心的軌跡是；

(2)到直線m距離等于a的點(diǎn)的軌跡是；

(3)以線段為腰，點(diǎn)8為底角頂點(diǎn)的等腰三角形另一頂點(diǎn)的軌跡

是.

【答案】略.

【解析】(1)線段的垂直平分線；

(2)平行于直線m且到直線機(jī)的距離為a的兩條直線；

(3)以8為圓心，AB長為半徑的圓，去除AB所在直線與圓的交點(diǎn).

【總結(jié)】本題主要考查最常見的三種軌跡.

【例29】以下說法中錯(cuò)誤的是()

A.到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心定長為半徑的圓

B.如果尸是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在。4、上，于點(diǎn)Af,PN±OB

于點(diǎn)N,且尸M=PN,那么射線0P是NAOB的平分線

C.底邊為定長的等腰三角形的頂點(diǎn)的軌跡是底邊的垂直平分線

D.經(jīng)過P、。兩點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是的垂直平分線

【答案】C

【解析】底邊的中點(diǎn)除外.

【總結(jié)】考查點(diǎn)的軌跡的運(yùn)用.

【例30】在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)尸，使它到AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.

A

【答案】略.

【解析】作任意兩條邊的垂直平分線，這兩條直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)尸.

【總結(jié)】考查垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

B

【例31］作圖：

(1)已知線段a、b,求做直角△ABC,使得NC=90°,AB=b,BC=a；

(2)已知NA08,點(diǎn)尸及線段a,求作點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到。4、02的距離相等，且

PQ=a.

【答案】略.

步

（2）點(diǎn)。到角兩邊的距離相等，則點(diǎn)。在角平分線上，PQ=a,則以尸為圓心，。為半徑

畫圓，與角平分線的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q.

【總結(jié)】本題主要考查尺規(guī)作圖的運(yùn)用.

隨堂檢測

【習(xí)題1】以下說法錯(cuò)誤的是（）.

A.如果那么點(diǎn)尸在線段AB的垂直平分線上

B.如果點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，那么點(diǎn)尸到線段AB兩端距離相等

C.如果點(diǎn)P在/AOB的內(nèi)部且到OA.。8距離相等，那么射線OP是/AOB的角

平分線

D.如果OP是/AOB的平分線，那么點(diǎn)P到04、OB上兩點(diǎn)M.N的距離相等，即

PM=PN

【答案】D

【解析】PM、PN必須垂直/A08的兩條邊.

【總結(jié)】考查垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【習(xí)題2】如圖在AABC中，ZB=115°,AC的垂直平分線與AB交于點(diǎn)D,且/AC。：Z

BCD=5：3,則

AC

【答案】50°.

【解析】設(shè)NACD=5x,ZBCD=3x,貝！JNBAC=5%.

-/ZA+ZBAC=180°-l15°=65°,

/.5x+5x+3%=65°,.\x=5°，

:.ZBCD=15°,ZBDC=18O°-l15°-15°=50°.

【總結(jié)】本題主要考查垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【習(xí)題3】如圖所示，AB//CD,。為/A、/C的平分線的交點(diǎn)，OELAC于￡,且?！?2,

則AB與CD之間的距離等于______.AF_________B

【答案］4.E/^O

［解析］過。作OP±于產(chǎn)，OM±CD于"，］/\

CM°

；AO、CO分別平分NR4C與ZACD,：.OF=OM=OE=2,：.AB與CD之間的距離為4.

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【習(xí)題4】作圖：

(1)到點(diǎn)A的距離等于a的點(diǎn)的軌跡；

(2)到兩條相交直線AB、C。距離相等的點(diǎn)的軌跡.

【答案】略.

【解析】

(1)以A為圓心a為半徑的圓；

(2)/AOC和/AOO的角平分線所在的直線.

【總結(jié)】本題主要考查尺規(guī)作圖.

【習(xí)題5】如圖，A4BC中，AB=AC=Scm,ZA=50°,線段AB的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)

D,交AC于點(diǎn)E,BC=3cm,求：

D

F.

(I)/EBC的度數(shù)；

(2)ABEC的周長.

【答案】(1)15°；(2)11cm.

【解析】(1)ZABC=(180°-50°)4-2=65°,又。E垂直平分AB

ZABE=ZA=50°,

Z.ZEBC=ZABC-ZABE=65°-50°=15°；

(2)C.=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+3=Ucm.

ZARDCFCr

【總結(jié)】本題主要考查垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【習(xí)題6】如圖，AE是AABC的角平分線，AE的垂直平分線與BC的延長線相交于點(diǎn)尸,

若/CAF=50。，求的度數(shù).

【答案】50°.

【解析】：人石平分NBAC,尸尸垂直平分AE,

/.ZBAE=ZCAE,ZEAF=ZAEF

XVZAEF=ZB+ZBAE,ZEAF=ZCAF+ZCAE

：.ZB=ZCAF=50°

【總結(jié)】考查線段垂直平分線及角平分線性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

F

【習(xí)題7】如圖，AABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,。為AABC外一點(diǎn)，且

OE_LAC交CA的延長線于E,求證：DE=AE+BC.

【解析】連接CD,

\'AC=BC,AD=BD

...CD是AB的垂直平分線

NACB=90°

，ZACD=-ZACB=45°

2

'：DE±AC

：.ZCDE=ZACD=45Q,:.CE=DE

：.DE=AE+AC=AE+BC

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【習(xí)題8】如圖，正方形ABCD中，E是邊A3上的任意一點(diǎn)，尸是邊BC延長線上的一點(diǎn),

EF交CD于點(diǎn)G,AE=CF,

(1)求證：點(diǎn)。在線段跖的垂直平分線上；

(2)如果跖交正方形的對角線BD于點(diǎn)P,BP=BE,求證：EP=FG.

【解析】(1)連接即和DF

?.?四邊形ABCD是正方形，

：.AD=DC,ZA=ZDCF=90°

在△AED和△OC尸中，

AD=CD,ZA=ZDCF=90°,AE=CF

：.△AED之△DCF,：.ED=DF,

點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上

(2)為等腰三角形ZDEP=ZDFG,'：BP=BE:./BEF=/BPE

'：/BPE=NDPG：.NBEF=/BPE：.ZBEP和/CGF為同位角

：.ZBEP=ZCGF：.ZCGF=ZDGEZBEP=ZDGE

：.ZEPD=ZDGF：.ZEDP=ZGDF：.ZBEP=ZDGE

：.AEDP沿AFDG：.EP=FG

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理逆定理及其全等三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題9】如圖，/BAC和/CBE的平分線相交于點(diǎn)P,聯(lián)結(jié)CP,分別過點(diǎn)B、C作PC、

尸8的垂線交AC、AB的延長線于E,F,G,"為垂足，求證：BF=CE.

【解析】過點(diǎn)尸作PM±AF于點(diǎn)M,PNLAE于點(diǎn)N,

尸。，2。于點(diǎn)Q,

平分NBAC,PMLAF,PNLAE,

：.PM=PN

平分/CBF,PMLAF,PQ±BC,PM=PQ

：.PN=PQ,\'PQ1BC,PN±AE,CP平分ZECB,；.ZECG=ZBCG

-,CG±BE:.NCGE=NCGB=90,.-.ACGE^ACGB:.CE=CB

同理2斤=。3：.BF=CE

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合運(yùn)用，注意對條件的分析.

【習(xí)題10]已知：如圖，正方形ABCZ）中，E、尸分別是A。、DC上的點(diǎn)，NEBF=45,

BG±EF,求證：BA=BG.

［解析】延長DC至M使得CM=AE,連接BM

"：AE=CM,AB=BC,ZEAB=ZMCB

：.4EAB必MCB

：.BE=BM,ZABE=ZCBM

：.ZFBM=ZCBM+ZFBC=ZABE+ZFBC

=90°-ZEBF=90°-45°=45°=ZEBF

又,；BF為公共邊,:.ZXEBF咨AMBF

M

而BG與BC為全等三角形對應(yīng)邊上的高

：.BG=BC=BA.

【總結(jié)】本題主要考查正方形背景下三角形的旋轉(zhuǎn).

【習(xí)題11】如圖，在平行四邊形ABCD中，E、尸分別是A。、上的點(diǎn)，BE與DF交于

點(diǎn)G,GC平分NBGD.

求證：BE=DF.

【解析】分別過C作CN，BE,CHLDF,

連接CE、CF

；GC平分NBGD,CN±BE,CHLDF,

???CN=CH

二S平行四28=%.c，^-?DF.CH=^.BE.CN

:.BE=DF

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用及等面積變形的綜合運(yùn)用.

課后作業(yè)

【作業(yè)1】已知點(diǎn)/是△A2C三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)/()

A.到△ABC三邊距離相等；B.到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等;

C.是△ABC三邊上的高的交點(diǎn)；D.是△ABC三邊中線的交點(diǎn).

【答案】A

【解析】由角平分線的性質(zhì)定理即可得出A正確

【總結(jié)】考查角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【作業(yè)2](1)到x軸的距離為到y(tǒng)軸距離的兩倍的點(diǎn)的軌跡是

(2)底邊AB為5厘米的等腰三角形的頂點(diǎn)的軌跡.

【解析】(1)直線y=±2尤，除原點(diǎn)外；

(2)線段48的垂直平分線，除AB中點(diǎn)外.

【總結(jié)】本題主要考查常見的軌跡的運(yùn)用.

【作業(yè)3】AABC的垂直平分線交AC于D如果AC=5cm,BC=4cm,那么ADBC

的周長是.

【答案】9cm.

【解析】=DB+DC+CB=AD+DC+CB=AC+CB=5+4=9cm.

【總結(jié)】考查線段垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用.

【作業(yè)4】如圖，已知AABC中，ZABC=90°,平分NA4C,3E_L4C于點(diǎn)E,

DFLAC于點(diǎn)REF=1,則點(diǎn)尸到BC的距離為.

【答案】L

【解析】平分NBAC,DB±AB,DF±AC

：.DB=DF(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離)

：.AD垂直平分BF

'：BE±AC,Z.ZDAF=ZEBF,ZBAD=ZFBC

又ZDAF=ZBAD,：.ZEBF=ZFBC

:FE=1,：.點(diǎn)、F到BC的距離是1

【總結(jié)】考查角平分線及垂直平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用

【作業(yè)5】作圖：

(1)以線段BC為底邊的等腰三角形的頂點(diǎn)A的軌跡；

(2)到直線/的距離等于2c7〃的點(diǎn)的軌跡.

B-----------------------C_______________

(1)(2)

【答案】略

【解析】(1)線段2c的垂直平分線，除BC的中點(diǎn)；

(2)兩條平行于直線/且到/的距離為2