人教版九年級數(shù)學上冊教案第21章

人教版九年級數(shù)學上冊教案第21章一、單元學習主題本單元是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“方程與不等式”主題中的“一元二次方程”.二、單元學習內(nèi)容分析1.課標分析《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《標準2022》)指出“方程與方程組”要求能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義,能針對具體問題列出方程,解決實際問題.在教學中,應(yīng)當讓學生經(jīng)歷對現(xiàn)實問題中量的分析,借助用字母表達的未知數(shù),建立兩個量之間關(guān)系的過程.用數(shù)學眼光發(fā)現(xiàn)問題并提出數(shù)學問題,用數(shù)學的思維探索、分析和解決具體情境中的現(xiàn)實生活問題,給出數(shù)學描述和解釋,運用數(shù)學的語言與思想方法,綜合運用多個領(lǐng)域的知識,提出設(shè)計思路,制定解決方案.結(jié)合實際問題建立方程模型,進而分析和解決問題,是學習方程的核心.本單元教學內(nèi)容分析人教版教材九年級上冊第二十一章“一元二次方程”,本章包括三個小節(jié):21.1一元二次方程;21.2解一元二次方程;21.3實際問題與一元二次方程.本章系統(tǒng)的學習了一元二次方程及其根的概念、解方程的方法與步驟,以及應(yīng)用方程的思想和方法來解決實際問題等.正確理解方程根的意義,并學會解方程的方法,是基本運算技能的重要組成部分.依據(jù)等式的基本性質(zhì),采用“降次”的方法來解方程,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.方程是刻畫現(xiàn)實情景中數(shù)量關(guān)系的一個非常重要的數(shù)學模型,方程的學習應(yīng)注意對實際應(yīng)用問題的探索、研究和討論.構(gòu)建方程最重要的環(huán)節(jié)就是分析具體情境中的數(shù)量關(guān)系,找出兩件等價的事情后,建立數(shù)量間的相等關(guān)系,即等量關(guān)系.方程的學習使學生從原有的算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變,是學生代數(shù)思維發(fā)展的開始.在教學中引導學生積極主動地收集現(xiàn)實的、有意義的數(shù)學問題作為學習和研究的素材,依據(jù)問題的相關(guān)信息,將問題數(shù)學化,進而對其中的數(shù)量關(guān)系進行梳理,設(shè)定未知數(shù),并列出相應(yīng)的方程.幫助學生積累相關(guān)數(shù)學活動經(jīng)驗,提升分析問題和解決問題的能力.三、單元學情分析本單元內(nèi)容是人教版教材數(shù)學九年級上冊第二十一章一元二次方程,學生在前面已經(jīng)學習了數(shù)與式的運算、一元一次方程和二元一次方程組,其內(nèi)容都是學習一元二次方程的基礎(chǔ).一元二次方程是中學教學的主要內(nèi)容,在初中“數(shù)與代數(shù)”中占有重要的地位.在現(xiàn)實生活中,許多問題中的數(shù)量關(guān)系可以抽象為一元二次方程.因此,從深化數(shù)學模型思想、加強應(yīng)用意識的角度看,從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系,列出一元二次方程,求出它的根進而解決實際問題,是本章學習的一條主線.通過對一元二次方程的學習,可以為以后的學習作鋪墊,此外,學習一元二次方程對其他學科也有重要的意義.四、單元學習目標1.了解一元二次方程的概念,會把任意的一元二次方程化為一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),并能熟練的確定一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.2.掌握一元二次方程的解法,并能根據(jù)方程的特點選擇合適的方法來解方程,培養(yǎng)學生的數(shù)學運算和推理能力.3.理解一元二次方程根的判別式,會用根的判別式判斷一元二次方程的根的情況.4.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,學會應(yīng)用它來求一元二次方程的各項系數(shù).5.通過分析問題,建立方程來解決生活中的實際問題,體現(xiàn)數(shù)學的實用價值,培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算的能力.五、單元學習內(nèi)容及學習方法概覽六、單元評價與課后作業(yè)建議本單元課后作業(yè)整體設(shè)計體現(xiàn)以下原則:針對性原則:每課時課后作業(yè)嚴格按照《標準2022》設(shè)定針對性的作業(yè),及時反饋學生的學業(yè)質(zhì)量情況.自主性原則:學生可以根據(jù)自己的學習能力自主選擇,每課時留下拓展性練習或自主編寫自己的易錯題類型.生活性原則:本單元的知識來源于生活,應(yīng)回歸于生活,體現(xiàn)數(shù)學的應(yīng)用價值.根據(jù)以上建議,本單元課后作業(yè)設(shè)置為兩部分,基礎(chǔ)性課后作業(yè)和拓展性課后作業(yè).課時目標1.理解一元二次方程及其相關(guān)概念,能夠熟練地把一元二次方程化為一般形式.2.會應(yīng)用一元二次方程的根的概念解決有關(guān)問題.3.經(jīng)歷把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的過程,讓學生體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的工具,增強對一元二次方程的感性認識.4.培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識,激發(fā)學生學數(shù)學的興趣,體會學數(shù)學的快樂,培養(yǎng)數(shù)學意識.學習重點通過建立方程,歸納得出一元二次方程的概念、一般形式和一元二次方程的根的概念.學習難點通過提出問題,建立一元二次方程的數(shù)學模型,再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.課時活動設(shè)計知識回顧1.含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.我們已經(jīng)學過的方程有一元一次方程、二元一次方程(組)、三元一次方程組、分式方程,其中一元一次方程、二元一次方程(組)、三元一次方程組都是整式方程.

3.使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解.

設(shè)計意圖:通過復習舊的知識,讓學生產(chǎn)生新舊知識上的強烈沖擊,產(chǎn)生強烈的求知欲,建立類比的學習方法,為下面探究新知識打下基礎(chǔ).情境導入現(xiàn)有三個實際生活中遇到的問題,根據(jù)題干信息列方程,化簡方程,觀察所得結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么?師生互動,教師通過隨機抽查的方式,找同學回答問題.問題1:正方形桌面的面積是4m2,求它的邊長?分析:根據(jù)正方形面積公式,如果設(shè)正方形桌面的邊長為xm,可得到的方程是什么?解:設(shè)正方形桌面的邊長為xm,由題意,得x2=4.問題2:如圖甲,有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個同樣的正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒(如圖乙).如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?分析:如果設(shè)切去的正方形的邊長為xcm,那么制成的無蓋方盒的底面長為(100-2x)cm,寬為(50-2x)cm.由底面積為3600cm2,可得到的方程是怎樣的?

解:設(shè)切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為(100-2x)cm,寬為(50-2x)cm.根據(jù)方盒的底面積為3600cm2,得(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得4x2-300x+1400=0.化簡,得x2-75x+350=0.問題3:要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩個隊之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽?分析:(1)全部比賽的場數(shù)為4×7=28場.

(2)如果設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽,那么每個隊要與其他(x-1)個隊各賽一場,因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽,所以全部比賽共

12x(x-1)場(3)由此可列出的方程是什么?解:設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽,由題意,得12x(x-1)=28整理,得12x2-12x化簡,得x2-x-56=0.設(shè)計意圖:教師提出問題,引導學生思考方程的建模過程,同時注重激發(fā)學生解決問題的欲望和興趣,為下一環(huán)節(jié)引出方程的概念打基礎(chǔ).探究新知探究1觀察思考教學活動2中的三個方程,它們有什么共同點?以小組為單位討論.共同點:①等號兩邊都是整式;②只含有一個未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.結(jié)合一元一次方程的概念,你能發(fā)現(xiàn)這類方程是屬于什么類型的方程嗎?答:方程中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是2,等號兩邊都是整式,結(jié)合一元一次方程的概念可得這類方程應(yīng)該叫一元二次方程.概念:等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.探究2一元二次方程的一般形式.(1)一元二次方程的一般形式是.使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.(2)辯一辯:為什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0,b,c可以為0嗎?答:當a=0時,為一元一次方程;當a≠0時,才為一元二次方程;b,c可以為0.(3)例將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.解:去括號,得3x2-3x=5x+10.移項,合并同類項,得3x2-8x-10=0.其中二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-8,常數(shù)項為-10.設(shè)計意圖:1.讓學生經(jīng)歷合作探究的過程,通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納,結(jié)合一元一次方程的概念概括出一元二次方程的概念,培養(yǎng)學生抽象概括的能力.2.通過問題,引發(fā)學生思考一元二次方程中a≠0的原因,加深對一元二次方程概念的理解,通過引導學生自主實踐,掌握化一元二次方程的一般形式的方法,并熟練判斷其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.鞏固訓練1.下列方程中,是一元二次方程的是(C)A.xy=2 B.(x+1)(x-2)=x2C.(t+1)2=2t(t-1) D.x2+y=22.若方程(k+2)x︱k︱-3kx-1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則k的值為2.

3.將一元二次方程(x-1)2=6化成一般形式,正確的是(B)A.x2-2x+5=0 B.x2-2x-5=0 B.x2+2x+5=0 D.x2+2x-5=04.已知m是一元二次方程x2-x-2=0的一個根,則m2-m=2.

5.小明同學用一張長11cm,寬7cm的長方形紙板制成一個底面積為21cm2的無蓋長方體紙盒,他將四個角各剪去一個同樣大小的正方形,將四周向上折疊即可,設(shè)剪去的正方形邊長為xcm,則可列出關(guān)于x的方程為(11-2x)(7-2x)=21.

設(shè)計意圖:進一步鞏固所學知識,加深對所學知識的理解,訓練學生的逆向思維和發(fā)散思維,提高學生的應(yīng)變能力.課堂小結(jié)1.一元二次方程的概念是什么?一元二次方程的根的概念是什么?2.一元一次方程與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別.設(shè)計意圖:通過小結(jié)讓學生進一步熟悉本節(jié)所學知識,把所學的知識內(nèi)化為自已的知識.隨堂小測1.下列方程:①4x2-3=0;②x3+x=x2-1;③ax2+bx+c=0;④3x2-xy+y2=0.其中一定是一元二次方程的有(A)A.1個B.2個C.3個D.4個2.已知x=0是一元二次方程(m-2)x2+4-m2=0的一個根,則m的值為-2.

3.關(guān)于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項,則m的值為-3.

4.完成下表.一元二次方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項3x2=5x-13x2-5x+1=0

3

-5

1

(x+2)(x-1)=6x2+x-8=0

1

1

-8

2y-4y2=0-4y2+2y=0

-4

2

0

4x2-5=2x4x2-2x-5=0

4

-2

-5

3x(x-3)=5(x+2)3x2-14x-10=0

3

-14

-10

設(shè)計意圖:先讓學生獨立完成,再通過教師講評,讓學生鞏固所學知識,達到查漏補缺的目的.課堂8分鐘.1.教材第4頁習題21.1第1,2,3,4,5,6,7題.2.七彩作業(yè).

21.1一元二次方程1.根據(jù)實際問題列方程.2.一元二次方程及根的概念.3.一元二次方程的一般形式.4.一元一次方程與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別.一元一次方程一元二次方程一般形式ax=b(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)相同點整式方程,只含有一個未知數(shù)不同點未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2教學反思

21.2.1配方法第1課時直接開平方法課時目標1.會利用直接開平方法解形如x2=p(p≥0)的方程;初步了解形如(x+n)2=p(p≥0)方程的解法;能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性.2.通過對實例的探究過程,體會類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學思想方法.3.啟發(fā)學生學會觀察、分析,尋找解題的途徑,提高他們分析問題、解決問題的能力.學習重點應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.學習難點會把一個方程化成x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式.課時活動設(shè)計知識回顧1.如果x2=a,那么x叫做a的平方根.

2.如果x2=a(a≥0),那么x=±a.

3.如果x2=64,那么x=±8.

4.如果2x2=18,那么x=±3.

思考:如果方程轉(zhuǎn)化為x2=p,該如何解呢?設(shè)計意圖:通過復習舊的知識,引出對新知識的探究,達到銜接新舊知識的目的,為下面探究新知識打下基礎(chǔ).探究新知一桶油漆可刷的面積為1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱長嗎?思考1:設(shè)其中一個盒子的棱長為xdm,則這個盒子的外表面面積為6x2dm2,10個這種盒子的外表面面積的和為10×6x2dm2,由此可得到方程為10×6x2=1500.你能求出它的解嗎?

解:設(shè)盒子的棱長為xdm,則10×6x2=1500.整理,得x2=25.根據(jù)平方根的意義,得x=±5,即x1=5,x2=-5.可以驗證,5和-5是原方程的兩個根,因為棱長不能是負值,所以盒子的棱長為5dm.思考2:對照上面解方程的過程,你認為應(yīng)該怎樣解方程(x+3)2=5呢?學生通過比較它與方程x2=25的異同,從而獲得解一元二次方程的思路.在解方程時,由x2=25可得x=±5.類比此方法可解方程(x+3)2=5.解:由方程(x+3)2=5,①得x+3=±5,即x+3=5,或x+3=-5.②于是,方程(x+3)2=5的兩個根為x1=-3+5,x2=-3-5.思考3:由方程①是如何得到方程②的?上面的解法中,由方程①得到②,實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,這樣就把方程①轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了.思考4:方程的左右兩邊滿足什么形式時,利用平方根的意義,可以直接開平方解一元二次方程?一般地,對于方程x2=p,(1)當p>0時,根據(jù)平方根的意義,方程有兩個不等的實數(shù)根x1=-p,x2=p;(2)當p=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=0;(3)當p<0時,因為對任意實數(shù)x,都有x2≥0,所以方程無實數(shù)根.設(shè)計意圖:從已有的知識體系中自然地構(gòu)建出新知識.通過利用一元二次方程解決實際問題,引導學生將求解一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的問題,降“二次”為“一次”,調(diào)動學生思考問題的積極性,同時提高學生分析問題、解決問題的能力.典例精講解下列方程:(1)2x2-8=0;(2)3(x-1)2-6=0.解:(1)移項,得2x2=8.等式兩邊同除以2,得x2=4.開平方,得x=±2,即x1=2,x2=-2.(2)移項,得3(x-1)2=6.等式兩邊同除以3,得(x-1)2=2.開平方,得x-1=±2,即x1=2+1,x2=-2+1.設(shè)計意圖:通過例題講解,規(guī)范學生對解題步驟的書寫,讓學生感受數(shù)學的嚴謹性.鞏固訓練解下列一元二次方程:(1)9x2+5=1;(2)(x+3)2-9=0;(3)9(x-1)2-4=0;(4)9x2+4=4.解:(1)移項,得9x2=-4.∵9x2≥0,∴此方程無實數(shù)根.(2)移項,得(x+3)2=9.開平方,得x+3=±3,即x1=0,x2=-6.(3)移項,得9(x-1)2=4.等式兩邊同除以9,得(x-1)2=49開平方,得x-1=±23即x1=53,x2=1(4)移項,得9x2=0.等式兩邊同除以9,得x2=0.開平方,得x1=x2=0.設(shè)計意圖:及時練習,鞏固所學知識,培養(yǎng)學以致用、積極思考的習慣,提升學生計算能力.拓展應(yīng)用1.一元二次方程x2=2的解為x1=2,x2=-2.

2.當代數(shù)式(1-3x)2的值為0時,x的值為

133.解下列方程:(1)2x2=5;(2)(x-2)2-16=0;解:(1)移項,得x2=52開平方,得x=±102即x1=102,x2=-10(2)移項,得(x-2)2=16.開平方,得x-2=±4,即x1=6,x2=-2.4.如果關(guān)于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接開平方法求解,那么m的取值范圍是m≥-4.

5.閱讀下列解答過程,在橫線上填入恰當內(nèi)容.解方程:(x-1)2=4.解:x-1=2.①x=3.②上述過程中有沒有錯誤?若有,錯在步驟①(填序號),原因是正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),請寫出正確的解答過程.

解:開平方,得x-1=±2,即x1=3,x2=-1.設(shè)計意圖:讓學生體會知識的不同考法,加深對本節(jié)內(nèi)容的理解,既達到了知識的靈活應(yīng)用,又提高了自身的解題能力.課堂小結(jié)(1)你學會怎樣解一元二次方程了嗎?有哪些步驟?(2)通過今天的學習你了解了哪些數(shù)學思想方法?與同伴交流.設(shè)計意圖:通過小結(jié)讓學生回顧本節(jié)所學知識,把所學的知識內(nèi)化為自已的知識.隨堂小測1.用直接開平方法解方程:(1)(2x-3)2+9=0;(2)(x+6)2-9=0.解:(1)移項,得(2x-3)2=-9.∵(2x-3)2≥0,∴此方程無實數(shù)根.(2)移項,得(x+6)2=9.開平方,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.2.要使代數(shù)式3x2-6的值等于21,則x的值是x1=3,x2=-3.

3.一元二次方程(x+4)2=(2x-1)2的解為x1=5,x2=-1.

4.若(x2+y2-4)2=25,則x2+y2的值為9.

設(shè)計意圖:當堂訓練,復習鞏固,查漏補缺.課堂8分鐘.1.教材第6頁練習(2)(3),第16頁習題21.2第1題.2.七彩作業(yè).

第1課時直接開方法解方程1.一般地,對于方程x2=p,(1)當p>0時,方程有兩個不等的實數(shù)根x1=-p,x2=p;(2)當p=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=0;(3)當p<0時,因為對任意實數(shù)x,都有x2≥0,所以方程無實數(shù)根.2.把一個一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.3.例題講解.教學反思

第2課時配方法課時目標1.理解配方法的概念,掌握用配方法解一元二次方程的基本步驟.2.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過程,使學生體會轉(zhuǎn)化思想.3.培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識,激發(fā)學生學數(shù)學的興趣,體會學數(shù)學的快樂,培養(yǎng)數(shù)學意識.學習重點用配方法解一元二次方程.學習難點理解并掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟.課時活動設(shè)計

知識回顧1.完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.

2.練一練:x2-6x+9=(x-3)2;x2+4x+4=(x+2)2.

2.你會填空嗎?(1)x2-8x+42=(x-4)2;

(2)x2+12x+62=(x+6)2;

(3)x2-6x+32=(x-3)2.

師生互動,教師通過隨機抽查的方式,找同學回答問題.通過填空,你發(fā)現(xiàn)式子左側(cè)所填的數(shù)與方程的哪個系數(shù)有關(guān)?有什么關(guān)系?解:式子左側(cè)所填的數(shù)與方程的一次項系數(shù)有關(guān),是一次項系數(shù)一半的平方.設(shè)計意圖:通過循序漸進的方法,讓學生配完全平方式,從而引出本節(jié)所學內(nèi)容.導入新課怎樣解方程x2+6x+4=0?設(shè)計意圖:由提問引出本節(jié)所要學習的知識,使學生產(chǎn)生強烈的求知欲,為下面探究新知識埋下伏筆.探究新知想一想解方程x2+6x+4=0的流程是怎樣的?教師引導學生通過移項和等式的性質(zhì),將原方程配成完全平方的形式,再根據(jù)直接開平方法求解方程.問題:為什么在方程x2+6x-4的兩邊加9?加其他數(shù)行嗎?解:不行.只有在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方,方程左邊才能變成完全平方x2+2bx+b2的形式.比較方程2x2-3x+1=0與其他方程有什么區(qū)別?你該如何去解這個方程?解:方程2x2-3x-1=0的二次項系數(shù)不是1,可以利用等式的基本性質(zhì)把二次項系數(shù)化成1,再利用配方法解方程.知識歸納配方法:通過將方程配成完全平方形式來解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是為了降次,把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程來解.配方法解一元二次方程的步驟:1.移項:將含有x的項移到方程的左邊,常數(shù)項移到方程的右邊;2.二次項系數(shù)化為1:兩邊同除以二次項的系數(shù);3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,將原方程變成(x+n)2=p的形式;4.判斷右邊代數(shù)式的符號,若p≥0,則可以利用直接開平方法求解;若p<0,則原方程無實數(shù)根.設(shè)計意圖:引導學生通過配方法解一元二次方程,明白每一步的意義,再通過問題,使學生理解方程兩邊同時加9的原因,并讓學生通過觀察比較,歸納出配方法的概念,培養(yǎng)學生抽象概括的能力.典例精講例用配方法解方程x2+4x+3=0.解:移項,得x2+4x=-3.配方,得x2+4x+4=-3+4,(x+2)2=1.由此可得x+2=±1.x1=-1,x2=-3.設(shè)計意圖:通過例題講解,規(guī)范學生對解題步驟的書寫,讓學生感受數(shù)學的嚴謹性.拓展應(yīng)用1.用配方法解一元二次方程x2+8x=-7,下一步驟正確的是(A)A.x2+8x+42=-7+42 B.x2+8x+42=-7C.x2+8x+82=-7 D.x2+8x+82=-7+822.用配方法解下列方程,其中應(yīng)在方程的左右兩邊同時加上4的是(B)A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+2x=5 D.2x2-4x=53.用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0,變形后的結(jié)果正確的是(C)A.(x-6)2=-5 B.(x-6)2=5 C.(x-3)2=13 D.(x-3)2=54.填空:(1)x2+4x+4=(x+2)2;(2)x2-8x+16=(x-4)2;(3)x2+x+

14=x5.用配方法解下列方程:(1)x2-12x-15=0;(2)3x2-5x=2.解:(1)x1=6+51,x2=6-51.(2)x1=2,x2=-13設(shè)計意圖:讓學生體會知識的不同考法,加深對本節(jié)內(nèi)容的理解.既達到了知識的靈活應(yīng)用,又提高了自身的解題能力.課后小結(jié)1.配方法的概念是什么?2.配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是什么?3.配方法解一元二次方程的基本步驟是什么?設(shè)計意圖:通過小結(jié)讓學生回顧本節(jié)所學知識,使學生牢固掌握所學知識,把所學的知識內(nèi)化為自已的知識.隨堂小測1.將二次三項式x2-4x+1配方后得(B)A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3 C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-32.已知x2-8x=-15,將左邊配成x2+2bx+b2的形式,其中正確的是(A)A.x2-8x+(-4)2=-15+(-4)2 B.x2-8x-42=-15+42C.x2+8x+42=-15+42 D.x2-4x+4=-15+43.若9x2-(k+2)x+4可以寫成一個完全平方式,則k的值為10或-14.

4.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值.若設(shè)x+y=z,則原方程可變?yōu)閦2+2z-8=0,所以求出z的值即為x+y的值,所以x+y的值為2或-4.

5.用配方法解方程:(1)9y2-18y-4=0;(2)x2+3=2x.解:(1)y1=1+133,y2=1-133.(2)設(shè)計意圖:當堂訓練,當堂檢測,查漏補缺.課堂8分鐘.1.教材第9頁練習第1,2題.2.七彩作業(yè).第2課時配方法1.配方法的概念.2.用配方法解方程的步驟.教學反思

21.2.2公式法課時目標1.理解求根公式的推導過程,掌握公式法的概念,能利用判別式判斷一元二次方程根的情況,熟練運用求根公式求一元二次方程的根.2.經(jīng)歷探索求根公式的推導過程,培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和滲透分類討論.3.培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識,激發(fā)學生學數(shù)學的興趣,體會學數(shù)學的快樂,培養(yǎng)數(shù)學意識.學習重點求根公式的推導過程.學習難點熟練運用公式法解一元二次方程.課時活動設(shè)計知識回顧上節(jié)學習了通過配方解一元二次方程的方法,用配方法解方程3x2-5x-8=0,并回顧配方法解方程的步驟.解:移項,得3x2-5x=8.系數(shù)化為1,得x2-53x=8配方,得x2-53x+562=8x-56得x-56=±11x1=83,x2=-1步驟:移項:將含有x的項移到方程的左邊,常數(shù)項移到方程的右邊;二次項系數(shù)化為1:兩邊同除以二次項的系數(shù);配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,將原方程變成(x+n)2=p的形式;求方程的解:判斷右邊代數(shù)式的符號,若p≥0,則可以直接開平方求解;若p<0,則原方程無實數(shù)根.設(shè)計意圖:通過循序漸進的方法,為求根公式的推導作鋪墊,同時對配方這一關(guān)鍵過程加以復習,可以更有效的突出本節(jié)的教學重點.探究新知探究1任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢?解:移項,得ax2+bx=-c.二次項系數(shù)化為1,得x2+bax=-c配方,得x2+bax+b2a2=-即x+b2問題:此時我們直接開平方去解方程,應(yīng)注意什么?解:注意b2-4因為a≠0,所以4a2>0.式子b2-4ac的值有以下三種情況:①b2-4ac>0,4ac-b24a>0,即x+b2a=±b2-4ac2②b2-4ac=0,4ac-b24a=0,方程有兩個相等的實數(shù)根x1③b2-4ac<0,4ac-b24a<0,即x+b由此可得,當b2-4ac≥0時,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數(shù)根可寫為x=-b±b2-4ac2a的形式,這個式子叫做一元二次方程ax設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)主要是讓學生探究用配方法解一元二次方程的一般形式的過程,讓學生理解求根公式的推導過程.探究2上述對式子b2-4ac的值及方程的根的情況的討論,你有什么發(fā)現(xiàn)?解:方程的根的情況由b2-4ac決定.師生總結(jié)歸納出根的判別式的概念.一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式,通常用希臘字母“Δ”表示它,即Δ=b2-4ac.歸納總結(jié)當Δ>0時,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不等的實數(shù)根;當Δ=0時,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根;當Δ<0時,方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根.探究3如何用求根公式來解一元二次方程?解一元二次方程時,把各系數(shù)直接代入求根公式,可以避免配方過程而直接得出根,這種解一元二次方程的方法叫做公式法.公式法解一元二次方程的基本步驟:(1)將原方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),確定a,b,c的值.【小技巧】若系數(shù)是分數(shù)通常將其化為整數(shù),方便計算.(2)求出b2-4ac的值,根據(jù)b2-4ac值的情況確定一元二次方程是否有解;(3)如果b2-4ac≥0,將a,b,c的值代入求根公式x=-b【易錯點】a,b,c的值代入求根公式時,易遺漏前面的符號.(4)最后求出原方程的解.設(shè)計意圖:引出判別式的概念,指導學生通過判別式判斷一元二次方程根的情況.教師引導學生總結(jié)公式法解一元二次方程的基本步驟.典例精講例1一元二次方程4x2-2x-1=0的根的情況為(C)A.無實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.無法確定例2用公式法解方程:(1)x2-4x-7=0;(2)5x2-3x=x+1.解:(1)a=1,b=-4,c=-7.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0.方程有兩個不等的實數(shù)根x=-b±b2-4即x1=2+11,x2=2-11.(2)方程化為5x2-4x-1=0.a=5,b=-4,c=-1.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.方程有兩個不等的實數(shù)根x=-b±b2-4即x1=1,x2=-15設(shè)計意圖:通過例題講解,加深學生對所學知識的理解,規(guī)范學生對解題步驟的書寫,讓學生感受數(shù)學的嚴謹性.鞏固訓練利用公式法解方程:(1)x2-2x-3=0;(2)2x2-3x-1=0;(3)x2-x=x-1;(4)x2+10=6x.解:(1)x1=3,x2=-1;(2)x1=3+114,x2=3-114;(3)x1設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)設(shè)計了四個方程,主要是強化學生對公式法解方程的練習,起到鞏固的作用,同時發(fā)現(xiàn)學生在做題中的錯誤,及時給予糾正,對于學生做題中出現(xiàn)的問題展開辨析,有利于學生思維的發(fā)展.

拓展應(yīng)用1.一元二次方程x2-3x+1=0的根的情況是(B)A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法確定2.下列一元二次方程中,無實數(shù)根的是(C)A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=03.關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c=0有兩個相等的實數(shù)根,則c的值是(B)A.36 B.9 C.6 D.-94.小穎在解一元二次方程3x2□x-1=0時,一次項系數(shù)印刷不清楚,查看答案為x=3±233,則□代表的數(shù)為(BA.6 B.-6 C.3 D.485.用公式法解方程:(1)x2-7x-18=0;(2)2x2-7x+7=0;解:(1)x1=9,x2=-2;(2)方程無實數(shù)根.設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)中的第1,2,3題是對根的判別式進行訓練,舉一反三,第5題是讓學生利用公式法來解方程,檢查學生公式法的掌握情況,對出現(xiàn)的問題及時糾正.課后小結(jié)1.簡述求根公式的推導過程.2.如何用根的判別式判定一元二次方程根的情況?3.簡述公式法解一元二次方程的步驟.設(shè)計意圖:通過小結(jié)讓學生回顧本節(jié)所學知識,使學生牢固地掌握本節(jié)所學內(nèi)容.隨堂小測1.關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-m=0有實數(shù)根,則實數(shù)m取值范圍是(A)A.m≥-1 B.m>-1 C.m≤1 D.m<12.關(guān)于x的方程x2-mx+m=0有兩個相等的實數(shù)根,則代數(shù)式3m2-12m+7的值為7.

3.解方程x2=3x+2時,有一位同學的解答如下:解:∵a=1,b=3,c=2,b2-4ac=32-4×1×2=1,∴x=-3±12∴x1=-1,x2=-2.請你分析以上解答過程有無錯誤,若有錯誤,請指出錯誤的地方,并寫出正確的解題過程.解:有錯誤,沒有先把方程化為一般形式.正確解法:整理,得x2-3x-2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0,∴x=-b±b∴x1=3+172,x2=4.關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k=0有實數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)如果k是符合條件的最大整數(shù),且關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0與方程x2-3x+k=0有一個相同的根,求此時m的值.解:(1)由題意,得Δ=b2-4ac=(-3)2-4k=9-4k≥0,∴k≤94(2)∵k是符合條件的最大整數(shù),∴k=2.∴x2-3x+2=0,解方程,得x1=2,x2=1.當x=2時,4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1.由題意知,m-1≠0,∴m=1不符合題意,舍去;當x=1時,(m-1)×1+1+m-3=0,解得m=32,且符合題意綜上所述,m的值為32設(shè)計意圖:進一步對本節(jié)所學的知識點進行練習,其中第3題是讓學生通過辨析,明白用公式法解方程的易錯點,進行當堂訓練,當堂檢測,查漏補缺.課堂8分鐘.1.課本第12頁練習第1,2題.2.七彩作業(yè).21.2.2公式法1.用公式法解一元二次方程的一般形式.2.用根的判別式判定一元二次方程根的情況.3.用公式法解方程.教學反思

21.2.3因式分解法課時目標1.學會用因式分解法(提公因式法、運用公式)來解方程.2.學生經(jīng)歷觀察、探究用因式分解法解一元二次方程及依據(jù)方程特征選擇恰當方法解一元二次方程的過程,發(fā)展學生的思維能力,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.3.學生通過自主探究、合作交流,激發(fā)學生的學習興趣,提高學習效率,感受數(shù)學的嚴謹性及教學方法的多樣性.學習重點會利用因式分解法解一元二次方程.學習難點理解并掌握解一元二次方程中的轉(zhuǎn)化思想和降次法.課時活動設(shè)計知識回顧問題1:我們已學到的解一元二次方程的方法有哪些?①直接開平方法,將一元二次方程化為x2=p(p≥0)的形式,再開平方求解;②配方法,將一元二次方程化為(x+n)2=p(p≥0)的形式,再開平方求解;③公式法,將一元二次方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),先通過根的判別式了解方程的根的情況,再將a,b,c的值帶入求根公式x=-b±問題2:多項式因式分解的方法有哪些?①提公因式法:pa+pb+pc=p(a+b+c);②平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);③完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;④“十”字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).設(shè)計意圖:通過循序漸進的方法,讓學生回顧解一元二次方程基本方法和多項式因式分解的方法,為本節(jié)所學內(nèi)容作鋪墊.情境導入根據(jù)物理學規(guī)律,如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋,那么物體經(jīng)過xs離地面的高度(單位:m)為10x-4.9x2.你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)?解:設(shè)物體經(jīng)過xs落回地面,即這時它離地面的高度為0m,所以10x-4.9x2=0.思考:本方程除了用配方法和公式法來解之外,還有更簡單的方法嗎?設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)采用了情景呈現(xiàn)的方式來導入新課,使數(shù)學與生活緊密地結(jié)合起來,體現(xiàn)出數(shù)學的實用價值,可以很好的激發(fā)學生的學習興趣.同時,本環(huán)節(jié)設(shè)計的方程也為我們引出因式分解法打下基礎(chǔ).探究新知通過因式分解法求解一元二次方程.之前學過如果a×b=0,則a=0或b=0.如何將10x-4.9x2=0變形為a·b=0的形式?解:因式分解,得x(10-4.9x)=0.∴x=0,或10-4.9x=0,解得x1=0,x2=10049≈2.04這兩個根中,x1=0表示物體被上拋離開地面的時刻,即在0s時物體被拋出,此刻物體的高度是0m;x2≈2.04表示物體約在2.04s時落回地面.通過觀察發(fā)現(xiàn),我們可以先對方程左邊進行因式分解,然后讓它們各自為0,就可以化成兩個一元一次方程,進而達到降次.展示因式分解法如何通過降次求解一元二次方程.先因式分解,使一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次,這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.利用因式分解法求解一元二次方程的基本步驟:①移項,使一元二次方程等式右邊為0;②分解,把左邊運用因式分解法化為兩個一次因式相乘的形式;③賦值,分別令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程;④求解,分別解這兩個一元一次方程,它們的根就是原方程的根.歸納:左分解,右化零,兩因式,各求解.設(shè)計意圖:通過師生互動重在引導學生歸納總結(jié),加深理解.通過已知a·b=0,則a=0,或b=0,嘗試將原方程變形為兩個一次式的乘積等于0的形式,進而引出因式分解法解一元二次方程的概念及步驟.典例精講例用因式分解法解方程:(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-14=x2-2x+3解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0.于是得x-2=0,或x+1=0.x1=2,x2=-1.(2)移項、合并同類項,得4x2-1=0.因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0.于是得2x+1=0,或2x-1=0.x1=-12,x2=1設(shè)計意圖:通過例題講解,規(guī)范學生對解題步驟的書寫,讓學生感受數(shù)學的嚴謹性.想一想,以上兩個方程可以用配方法或公式法來解嗎?如果可以,請比較它們與因式分解法的優(yōu)缺點.學生思考回答后,教師歸納總結(jié).選擇解一元二次方程的方法:①直接開平方法、配方法適用于能化歸完全平方形式的方程,先配方,再降次;②因式分解法適用于能化成兩個一次因式乘積為0的形式的方程;③配方法、公式法適用于所有一元二次方程.總之,解一元二次方程的基本思路是,將二次方程化為一次方程,即降次.鞏固訓練利用因式分解法解方程:(1)x2+x=0;(2)x2-22x=0;(3)3x2-6x=-3;(4)4x2-121=0.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=22;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-11設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)設(shè)計了四個方程,主要是強化學生對因式分解法解方程的練習,起到鞏固的作用,同時發(fā)現(xiàn)學生在做題中的錯誤,及時給予糾正和反思.拓展應(yīng)用1.一元二次方程(x+3)(2x-1)=0的根是(B)A.x1=3,x2=12 B.x1=-3,x2=1C.x1=3,x2=2 D.x1=-3,x2=-22.陽陽在解方程x2+3x=0時,只得到一個根x=-3,陽陽漏掉的那個根是(C)A.x=3 B.x=1 C.x=0 D.x=23.下列方程中,不適合用因式分解法求解的是(C)A.(x-2)2-4x2=0 B.2x(x-2)=4x C.x2-5x+3=0 D.(2x+1)2=6x+34.一個簡單的數(shù)值運算程序如圖所示,當輸出的值為0時,輸入的x的值為3或-5.

輸入x→計算(x-3)(x+5)→輸出5.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1)(y-7)(y+5)=0;(2)4x2=25;(3)(2x-1)2-4=0;(4)3x2=4x+1.解:(1)y1=7,y2=-5;(2)x1=52,x2=-5(3)x1=32,x2=-12;(4)x1=2+73,x設(shè)計意圖:應(yīng)用提升,讓學生體會知識的不同考法,既達到了知識的靈活應(yīng)用,又提高了自身的解題能力.課堂小結(jié)1.因式分解的方法有哪些?2.簡述用因式分解法解方程的一般步驟.3.用因式分解法解方程時,我們要應(yīng)注意什么?4.運用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?設(shè)計意圖:通過小結(jié),讓學生回顧本節(jié)所學知識,使學生牢固的掌握本節(jié)所學內(nèi)容.隨堂小測1.用因式分解法解方程,下列方法中正確的是(A)A.(2x-2)(3x-4)=0,∴2-2x=0,或3x-4=0B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0,或x-1=1C.(x-2)(x-3)=2×3,∴x-2=2,或x-3=3D.x(x+2)=0,∴x+2=02.方程x2=4x的根是(B)A.x=4B.x1=0,x2=4C.x=0D.x1=2,x2=-23.用因式分解法解一元二次方程(3x-4)2-25=0時,要轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程求解,其中的一個方程是3x-4+5=0,則另一個方程是3x-4-5=0.

4.若實數(shù)k,b是一元二次方程(x-2)(x+1)=0的兩個根,且k>b,則一次函數(shù)y=-kx+b的圖象不經(jīng)過第一象限.

5.若a,b是兩個實數(shù),定義一種運算“△”:a△b=a(a+b),則方程x△(x-1)=2x-1的實數(shù)根是x1=1,x2=126.解方程:(1)x2+5x=0;(2)2x(3x+1)-6(3x+1)=0.解:(1)x1=0,x2=-5;(2)x1=3,x2=-13設(shè)計意圖:進一步對本節(jié)所學的知識點進行練習,當堂訓練,當堂檢測,查漏補缺.課堂8分鐘.

1.教材第14頁練習第1,2題.2.七彩作業(yè).21.2.3因式分解法1.情景呈現(xiàn).2.因式分解法解方程的概念及步驟.3.用適當?shù)姆椒ń夥匠?教學反思

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課時目標1.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,會用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進行簡單計算.2.經(jīng)歷探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過程,體現(xiàn)觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——驗證的思維轉(zhuǎn)化過程,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.3.培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識,激發(fā)學生學數(shù)學的興趣,體會學數(shù)學的快樂,培養(yǎng)數(shù)學意識.學習重點掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.學習難點利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進行簡單計算.課時活動設(shè)計復習引入1.一元二次方程的解法有哪些?一元二次方程的求根公式是什么呢?解:配方法、公式法、因式分解法.x=-b2.思考:一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系還有其他表現(xiàn)方式嗎?設(shè)計意圖:通過循序漸進的方法,先復習一元二次方程的求根公式,引出根與系數(shù)之間的聯(lián)系;結(jié)合思考,不僅可以引出本節(jié)所學知識,還拋出學生探究的新問題,為學習新知作鋪墊.探究新知選用合適的方法求解下列一元二次方程,并將所得結(jié)果填入表格中,觀察方程的系數(shù)與兩根的和與積有什么聯(lián)系?(1)(x-3)(x-4)=0;(2)x2-2x=0;(3)2x2+3x-2=0.方程兩根兩根和x1+x2兩根積x1x2x1x2(x-3)(x-4)=03

4

7

12

x2-2x=02

0

2

0

2x2+3x-2=0

12-2

-32-1

觀察方程的系數(shù)與兩根的和與積有什么聯(lián)系?把猜想的結(jié)果在小組內(nèi)交流.教師引導學生得出根與系數(shù)之間關(guān)系,猜想:x1+x2=-ba,x1x2=c教師引導學生檢驗猜想是否正確.從因式分解可知,若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,或x-x2=0,那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù)).將方程化為x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎?把方程(x-x1)(x-x2)=0的左邊展開,化為一般形式,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0.這個方程的二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)p=-(x1+x2),常數(shù)項q=x1x2.于是,上述方程兩個根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系:x1+x2=-p,x1x2=q.對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)來說,二次項系數(shù)a未必是1,當Δ≥0時,該方程的兩個根與它的系數(shù)之間有什么關(guān)系呢?(公式法證明)由求根公式可知,x1=-b+b2-4ac由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2x1x2=-b+b2-4ac2a·即方程的兩個根x1,x2和系數(shù)a,b,c的關(guān)系為x1+x2=-ba,x1x2=c設(shè)計意圖:教師引導學生通過觀察、猜想、驗證根與系數(shù)的關(guān)系,經(jīng)歷一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的推導過程,加深同學們對根與系數(shù)關(guān)系的理解.歸納總結(jié)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=c這表明任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為:兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù),兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比.設(shè)計意圖:形成一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的符號語言和文字語言的表現(xiàn)方式.典例精講例根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,求下列方程兩個根x1,x2的和與積:(1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0.解:(1)x1+x2=-ba=--61=-(-6)=6,x1x2=ca=(2)x1+x2=-ba=-73,x1x2=ca=設(shè)計意圖:通過例題講解,規(guī)范學生對解題步驟的書寫,讓學生感受數(shù)學的嚴謹性.

拓展應(yīng)用1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-3x-2=0的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,則x1x2+x1+x2的值為(B)A.-1 B.1 C.5 D.-52.下列各項中,方程的兩個根互為相反數(shù)的是(B)A.x2+1=0 B.x2-1=0 C.x2+x=0 D.x2-x=03.若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一個根,則方程的另一個根及m的值分別是0,0.

4.若m,n是方程x2-x-2022=0的兩個實數(shù)根,則m2+m+2n的值為2024.

5.設(shè)x1,x2是一元二次方程2x2-5x+1=0的兩個根,利用根與系數(shù)的關(guān)系求(x1-3)(x2-3)的值.解:∵x1+x2=52,x1x2=12,∴(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9=12-3×6.已知一元二次方程x2+2x-6=0的兩個根x1,x2.(1)(x1+1)(x2+1)=-7;

(2)x12+x22=(3)1x1+1x2=(4)|x1-x2|=27.

設(shè)計意圖:應(yīng)用提升,讓學生體會知識的不同考法,既達到了知識的靈活應(yīng)用,又提高了自身的解題能力.課堂小結(jié)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系都有哪些?設(shè)計意圖:通過小結(jié),讓學生回顧本節(jié)所學知識,使學生牢固的掌握本節(jié)所學內(nèi)容.

隨堂小測1.a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-5=0的兩個實數(shù)根,則下列說法錯誤的是(A)A.a+b=-2 B.ab=-5 C.a2-2a=5 D.b2-2b=52.已知m,n是一元二次方程x2+2x-9=0的兩個根,則m2+mn+2m的值為0.

3.已知關(guān)于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的兩個實數(shù)根為x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,則m的值為1或-3.

4.已知一元二次方程x2-2x+m=0.(1)若方程有兩個實數(shù)根,求m的范圍;(2)若方程的兩個實數(shù)根為x1,x2,且x1+3x2=3,求m的值.解:(1)∵方程x2-2x+m=0有兩個實數(shù)根,∴Δ=(-2)2-4m≥0,解得m≤1.(2)由兩根關(guān)系知,x1+x2=2,x1x2=m,∴x1+∴m=x1x2=34設(shè)計意圖:進一步對本節(jié)所學的知識點進行練習,當堂訓練,當堂檢測,查漏補缺.課堂8分鐘.1.教材第16頁練習,第17頁習題21.2第7題.2.七彩作業(yè).

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.探究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.例題精講.教學反思

第1課時用一元二次方程解決傳播和數(shù)字問題課時目標1.能根據(jù)“傳播問題”中的數(shù)量關(guān)系,正確列出一元二次方程,選用合適的方法求解,根據(jù)問題的實際意義,檢驗所得結(jié)果是否合理.2.經(jīng)過“問題情境——建立模型——求解——解釋與應(yīng)用”的過程中,進一步鍛煉學生的分析問題、解決問題的能力.3.培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識,激發(fā)學生學數(shù)學的興趣,體會學數(shù)學的快樂,培養(yǎng)數(shù)學意識.學習重點通過一元二次方程解決實際生活中的傳播問題.學習難點通過實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列方程并求解.課時活動設(shè)計復習導入列方程解決實際問題的基本步驟有哪些?解:(1)審:分清已知未知,明確數(shù)量關(guān)系;(2)設(shè):設(shè)未知數(shù);(3)列:列方程;(4)解:解方程;(5)驗:根據(jù)實際檢驗結(jié)果;(6)答:寫出答案.設(shè)計意圖:通過循序漸進的方法,先復習列方程解決實際問題的基本步驟,為學習新知作鋪墊,進而引出本節(jié)所學知識.

探究新知探究1有一個人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?教師引導學生分析,設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.開始有一個人患了流感,他傳染給了x個人,用代數(shù)式表示,第一輪后共有1+x個人患了流感;第二輪傳染中,這些人中的每個人又傳染了x個人,用代數(shù)式表示,第二輪后共有1+x+x(1+x)個人患了流感.

列方程1+x+x(1+x)=121.解方程得x1=10,x2=-12(不符合題意,舍去).平均一個人傳染了10個人.問題拓展:如果按照這樣的傳染速度,經(jīng)過三輪傳染后共有多少個人患流感?解:121+121×10=1331(人).答:經(jīng)過三輪傳染后共有1331個人患流感.探究2某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是57,每個支干長出多少個小分支?解:設(shè)每個支干長出x個小分支,則1+x+x2=57.解方程,得x1=7,x2=-8(不符合題意,舍去).答:每個支干長出7個小分支.設(shè)計意圖:通過教師引導,讓學生積極思考,經(jīng)歷由實際問題求解一元二次方程的過程,進一步鍛煉學生的分析問題、解決問題的能力.歸納總結(jié)教師引導學生思考并解答如下問題:1.分析傳染病問題和樹枝分叉問題中的數(shù)量關(guān)系有何區(qū)別?答:傳染病問題中,每名患者在每輪中都會傳染,表示為1+x+x(1+x).樹枝分叉問題中,主干只長支干,支干又長出分支,表示為1+x+x2.2.列方程解決實際問題的步驟都有哪些?答:審、設(shè)、列、解、驗、答.設(shè)計意圖:歸納總結(jié),對比反思傳染病問題與樹枝分叉問題的區(qū)別,避免以后做題出錯;總結(jié)列方程解決實際問題的過程,有利于學生規(guī)范答題.拓展應(yīng)用1.某病毒傳染性強,有一個人感染了此病毒,未被有效隔離,經(jīng)過兩輪傳染,共有196名感染者,在每輪傳染中,設(shè)平均一個人傳染了x個人,則可列方程(B)A.1+x=196 B.(1+x)2=196 C.1+x2=196 D.1+x+x2=1962.為了宣傳環(huán)保,小明寫了一篇倡議書,決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播,他設(shè)計了如下的傳播規(guī)則:將倡議書發(fā)表在自己的微博上,再邀請n個好友轉(zhuǎn)發(fā),每個好友轉(zhuǎn)發(fā)之后,又各自邀請n個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā),依此類推.已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后,共有111個人參與了宣傳活動,則n的值為(B)A.9 B.10 C.11 D.123.某中學組織初三學生籃球比賽,以班為單位,每兩班之間都比賽一場,計劃安排15場比賽,則參賽的班級共有(C)A.4個 B.5個 C.6個 D.7個設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)主要是對本節(jié)所學的傳播問題的兩種情況展開練習,檢查學生對所學知識的掌握情況,鞏固所學知識,增強學生的辨析能力.課堂小結(jié)1.傳播問題有幾種情況?有什么區(qū)別?2.列方程解決實際問題的步驟有哪些?設(shè)計意圖:通過小結(jié),讓學生回顧反思,把所學的知識內(nèi)化為自已的知識.課堂8分鐘.1.教材第22頁習題21.3第4題.2.七彩作業(yè).

第1課時用一元二次方程解決傳播和數(shù)字問題1.傳染問題.2.樹木分支問題.教學反思

第2課時用一元二次方程解決平均變化率問題課時目標1.能根據(jù)“平均變化率問題”中的數(shù)量關(guān)系,正確列出一元二次方程,選用合適的方法求解,根據(jù)問題的實際意義,檢驗所得結(jié)果是否合理.2.經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學問題的過程,體驗解決問題策略的多樣性,發(fā)展數(shù)學應(yīng)用意識.3.培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識,激發(fā)學生學數(shù)學的興趣,體會學數(shù)學的快樂,培養(yǎng)數(shù)學意識.學習重點通過一元二次方程解決實際生活中的平均變化率問題.學習難點通過實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列方程并求解.課時活動設(shè)計

復習導入某工廠第一個月的產(chǎn)值為70萬噸,第二個月比第一個月增長了10%,則第二個月的產(chǎn)值為70×(1+10%)=77(萬噸);

第三個月比第二個月增長了10%,則第三個月的產(chǎn)值為77×(1+10%)=84.7(萬噸).

思考:第三個月的產(chǎn)值我們還可以怎么表示呢?解:70×(1+10%)(1+10%)=70×(1+10%)2=84.7(萬噸).設(shè)計意圖:通過循序漸進的方法,先復習增長率問題,為學習新知作鋪墊,進而引出本節(jié)所學知識.探究新知兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元,生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步,現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元,生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元,哪種藥品成本的年平均下降率較大?分析:甲種藥品成本的年平均下降額為(5000-3000)÷2=1000(元),乙種藥品成本的年平均下降額為(6000-3600)÷2=1200(元).顯然,乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率(百分數(shù)).

解:設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)2元.5000(1-x)2=3000,解方程,得x1≈0.225,x2≈1.775(不符合題意,舍去);設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為y,則一年后乙種藥品成本為6000(1-y)元,兩年后乙種藥品成本為6000(1-y)2元則6000(1-y)2=3600,解方程,得y1≈0.225,y2≈1.775(不符合題意,舍去).因此,甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%,乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.∴甲、乙兩種藥品成本的年平均下降率一樣大.設(shè)計意圖:讓學生經(jīng)歷分析問題,得到等量關(guān)系,運用一元二次方程解決實際問題的過程,培養(yǎng)學生的數(shù)學意識和應(yīng)用意識.歸納總結(jié)若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的量是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)n=b,其中增長取“+”,降低取“-”.設(shè)計意圖:歸納總結(jié),對比兩種問題的區(qū)別,避免以后做題出錯.同時根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系總結(jié)出方程的數(shù)學模型,提高學生做題效率.鞏固訓練1.某房屋開發(fā)公司開發(fā)建設(shè)住宅面積由2021年的4000m2,增長到2023年的7000m2,設(shè)這兩年開發(fā)建設(shè)住宅面積的年平均增長率為x,則可列方程為4000(1+x)2=7000.

2.某市加大了保障性住房的建設(shè)力度,2021年市政府共投資2億元人民幣建設(shè)了保障性住房8萬平方米,預計到2023年底三年累計投資9.5億元人民幣建設(shè)保障性住房,若在這兩年內(nèi)每年的投資增長率相同.(1)求每年市政府投資的增長率;(2)若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變,求到2023年底共建設(shè)了多少萬平方米的保障性住房.解:(1)設(shè)每年市政府投資的增長率為x,根據(jù)題意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5.解方程,得x1=0.5=50%,x2=-3.5(不符合題意,舍去).答:每年市政府投資的增長率為50%.(2)9.5÷2×8=38(萬平方米).答:到2023年底共建設(shè)了38萬平方米的保障性住房.設(shè)計意圖:強化練習,規(guī)范學生對解題步驟的書寫,起到鞏固的作用,同時發(fā)現(xiàn)學生在做題中的錯誤,及時給予糾正,對于學生做題中出現(xiàn)的問題展開辨析,有利于學生思維的發(fā)展.

拓展應(yīng)用1.某網(wǎng)絡(luò)學習平臺2021年的新注冊用戶數(shù)為100萬,2023年的新注冊用戶數(shù)為169萬,設(shè)新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為x(x>0),則x=30%(用百分數(shù)表示).

2.某廠工業(yè)廢氣年排放量為2000萬立方米,為了改善大氣質(zhì)量,該廠決定分兩期投入治理,使廢氣的年排放量減少到1280萬立方米,那么這兩期廢氣年排放量的平均減少率是20%.

3.“雜交水稻之父”——袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團隊在增產(chǎn)攻堅第一階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標,第三階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標.(1)求第一階段到第三階段水稻畝產(chǎn)量的平均增長率;(2)按照(1)中畝產(chǎn)量的平均增長率,科研團隊期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達到1200公斤,請通過計算說明他們的目標能否實現(xiàn).解:(1)設(shè)第一階段到第三階段水稻畝產(chǎn)量的平均增長率為x.由題意,得700(1+x)2=1008.解方程,得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合題意,舍去).答:第一階段到第三階段水稻畝產(chǎn)量的平均增長率為20%.(2)1008×(1+20%)=1209.6(公斤),∵1209.6>1200,∴他們的目標能實現(xiàn).設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)主要是對本節(jié)所學的增長率問題展開練習,檢查學生上課掌握的情況;鞏固課內(nèi)所學知識,增強學生的辨析能力.課堂小結(jié)利用一元二次方程解決平均變化率問題時,我們應(yīng)注意哪些細節(jié)?設(shè)計意圖:通過小結(jié),讓學生回顧反思,把所學的知識內(nèi)化為自已的知識.隨堂小測1.某農(nóng)戶的小麥產(chǎn)量年平均增長率為x,第一年的產(chǎn)量為50000kg,第二年的產(chǎn)量為50000(1+x)kg,第三年的產(chǎn)量為50000(1+x)2kg.

2.某糧食廠2023年面粉產(chǎn)量為a噸,如果在以后兩年平均每年減產(chǎn)的百分率為x,那么預計2024年的產(chǎn)量將是a(1-x),2025年的產(chǎn)量將是a(1-x)2.

3.某機械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個,第三季度共生產(chǎn)零件196萬個.設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是50+50(1+x)+50(1+x)2=196.

4.某樓盤準備以每平方米6000元的均價對外銷售,由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后,購房者持幣觀望,為了加快資金周轉(zhuǎn),房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過連續(xù)兩次下調(diào)后,決定以每平方米4860元的均價開盤銷售,則平均每次下調(diào)的百分率是10%.

5.某校去年對操場改造的投資為2萬元,預計今明兩年的投資總額為12萬元,求該校今明兩年在操場改造投資上的平均增長率.解:設(shè)該校今明兩年在操場改造投資上的平均增長率為x,由題意,得2(1+x)+2(1+x)2=12.解方程,得x1=1=100%,x2=-4(不符合題意,舍去).答:該校今明兩年在操場改造投資上的平均增長率為100%.設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)進一步對本節(jié)課所學的知識點進行練習,當堂訓練,當堂檢測,查漏補缺.課堂8分鐘.1.教材第22頁習題21.3第7題.2.七彩作業(yè).

第2課時用一元二次方程解決平均變化率問題1.增長情況2.降低情況教學反思

第3課時用一元二次方程解決幾何圖形問題課時目標1.能根據(jù)“幾何圖形問題”中的數(shù)量關(guān)系,正確列出一元二次方程,選用合法的方法求解,根據(jù)問題的實際意義,檢驗所得結(jié)果是否合理.2.經(jīng)歷數(shù)學建模建立一元二次方程的過程,鍛煉學生分析問題,解決問題的能力.3.培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識,激發(fā)學生學數(shù)學的興趣,體會學數(shù)學的快樂,培養(yǎng)數(shù)學意識.學習重點通過一元二次方程解決實際生活中的幾何圖形問題.學習難點通過實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列方程并求解.課時活動設(shè)計

情境引入如圖,要設(shè)計一本書的封面,封面長27cm,寬21cm,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?設(shè)計意圖:情景呈現(xiàn),引出本節(jié)要解決的問題情景,同時設(shè)置障礙,激起學生解決問題的欲望,引起學生對問題的探究.探究新知回顧導入的問題:如圖,要設(shè)計一本書的封面,封面長27cm,寬21cm,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?教師引導分析:封面的長寬之比是2721=97,中央的矩形的長寬之比也應(yīng)是97.設(shè)中央的矩形的長和寬分別為9acm和7acm,由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是12(27-9a)12(21-7a)=9(3-a)7(3-a解法1:設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm,左、右邊襯的寬均為7xcm,則中央的矩形的長為(27-18x)cm,寬為(21-14x)cm.要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三.于是可列出方程(27-18x)(21-14x)=27×21×34整理,得16x2-48x+9=0.解方程,得x1=6+334,x2=思考:方程的哪個根符合實際意義?為什么?∵21-14x>0,解得x<1.5,∴x1=6+334不符合題意,舍去,x2=6-3∴9x=9×6-334≈1.8(cm),7x=7×6-334答:上、下邊襯的寬均為1.8cm,左、右邊襯的寬均為1.4cm.解法2:設(shè)正中央的矩形的長為9xcm,寬為7xcm.列方程9x·7x=27×21×34解方程,得x1=332,x2=-332(不符合題意∴上、下邊襯的寬為27-9x2=27-9×3222≈1.8(cm),左、右邊襯的寬為21-7答:上、下邊襯的寬均為1.8cm,左、右邊襯的寬均為1.4cm.設(shè)計意圖:教師引導學生經(jīng)歷對幾何圖形問題進行分析,找出等量關(guān)系,列方程求解,并根據(jù)實際情況,檢驗數(shù)學模型的解是否符合實際的過程.培養(yǎng)學生的數(shù)學意識和應(yīng)用意識.典例精講例現(xiàn)有一個長方體木箱,底面