專題21 直角三角形存在性問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（原卷版）

專題21直角三角形存在性問題考向1二次函數(shù)中的直角三角形存在性問題【母題來源】2021年中考四川省巴中卷【母題題文】已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點(diǎn)M，當(dāng)PMAM最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PM（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，在l上是否存在點(diǎn)D，使△BCD是直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）將點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得4a?2b+c=036a+6b+c=0∴y=14x（2）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，過P作PF⊥x軸交直線BC于點(diǎn)F，∴PF∥AE，∴MPAM設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，∴6k+d=0d設(shè)P（t，14t2﹣t﹣3），則F（t，1∴PF=12t﹣3?14t2+t+3=∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴MPAM=PFAE=?14t∴當(dāng)t＝3時(shí)，MPAM有最大值916，∴P（3，（3）∵P（3，?15如圖2，當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，過點(diǎn)B作GH⊥x軸，過點(diǎn)D作DG⊥y軸，DG與GH交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥y軸，CH與GH交于點(diǎn)H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴DGBH=BG∴BG＝6，∴D（3，6）；如圖3，當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，過點(diǎn)D作DK⊥y軸交于點(diǎn)K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴OBKC=OC∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如圖4，當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，線段BC的中點(diǎn)T（3，?32），BC＝3設(shè)D（3，m），∵DT=12BC，∴|m+3∴m=352∴D（3，352?綜上所述：△BCD是直角三角形時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，6）或（3，﹣9）或（3，?352【試題解析】（1）將A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，過P作PF⊥x軸交直線BC于點(diǎn)F，由PF∥AE，可得MPAM=PF（3）分三種情況討論：當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，過點(diǎn)B作GH⊥x軸，過點(diǎn)D作DG⊥y軸，DG與GH交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥y軸，CH與GH交于點(diǎn)H，可證明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，過點(diǎn)D作DK⊥y軸交于點(diǎn)K，可證明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，線段BC的中點(diǎn)T（3，?32），設(shè)D（3，m），由DT=12BC，可求D（3，【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識．【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題．【得分要點(diǎn)】以線段AB為邊的直角三角形構(gòu)造方法如右圖所示：直角三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)在以A在以AB為直徑的圓上，或過A、B且與AB垂直的直線上（A，B兩點(diǎn)除外）．解直角三角形的存在性問題時(shí)，若沒有明確指出直角三角形的直角，就需要進(jìn)行分類討論．通常這類問題的解題策略有：（1）幾何法：先分類討論直角，再畫出直角三角形，后計(jì)算．如圖，若∠ACB＝90°．過點(diǎn)A、B作經(jīng)過點(diǎn)C的直線的垂線，垂足分別為E、F．則△AEC∽△CFB．從而得到線段間的關(guān)系式解決問題．（2）代數(shù)法：先羅列三邊長，再分類討論直角，根據(jù)勾股定理列出方程，然后解方程并檢驗(yàn)．有時(shí)候?qū)缀畏ê痛鷶?shù)法相結(jié)合．可以使得解題又快又好！1．（2021?貴州銅仁市模擬）如圖，直線y＝﹣2x+10分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)D是直線AB下方的拋物線上的一點(diǎn)，且△ABD的面積為254（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若△APB是以AB為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P到拋物線的對稱軸的距離．2.（2021?廣東模擬）如圖，已知直線y＝﹣2x+m與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，4）為拋物線的，點(diǎn)B在x軸正方向上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在拋物線第三象限的圖象上，且到x軸、y軸的距離相等，①證明：△POB≌△POC；②直接寫出OP的長；（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．3．（2021?河南開封二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B（3，0），C（0，3），點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是線段MB上一個(gè)