專題03 陰影部分面積的計算-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學母題題源解密（全國）解析版

專題03陰影部分面積的計算考向1靜態(tài)背景下與扇形有關的陰影部分面積的計算【母題來源】2021年中考山東棗莊卷【母題題文】如圖，正方形ABCD的邊長為2，O為對角線的交點，點E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點．以C為圓心，2為半徑作圓弧BD，再分別以E，F(xiàn)為圓心，1為半徑作圓弧BO，OD，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π【答案】C【試題解析】連接BD，EF，如圖，∵正方形ABCD的邊長為2，O為對角線的交點，由題意可得：EF，BD經(jīng)過點O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵點E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，∴，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴陰影部分的面積等于弓形BD的面積．∴S陰影＝S扇形CBD﹣S△CBDπ﹣2．故選：C．【命題意圖】考查基本的計算能力，注重割補法和轉(zhuǎn)化思想的應用?！久}方向】以選填為主，主要安排在選填的壓軸位置，技巧性較強?！镜梅忠c】求陰影部分面積的常用方法:(1)公式法:若所求陰影部分是規(guī)則圖形,如扇形、特殊四邊形、三角形等,可直接利用公式計算;(2)和差法:若所求陰影部分是不規(guī)則圖形,可將圖形適當分割,將不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形面積的和或差;(3)等積轉(zhuǎn)化法:當直接求面積較麻煩或根本求不出來時,可通過等面積轉(zhuǎn)化(利用圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱變換前后面積不變的性質(zhì)或同底等高的兩個三角形面積相等)為公式法或和差法創(chuàng)造條件;(4)一般地,圖形中若出現(xiàn)弧線,則先找到這條弧所在圓的圓心,將其補全為扇形,再利用圖形間的關系進行求解.考向2動態(tài)背景下與扇形有關的陰影部分面積的計算【母題來源】2021年中考內(nèi)蒙古興安盟卷【母題題文】（2021?興安盟）如圖，兩個半徑長均為的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形CFD的圓心C是的中點，且扇形CFD繞著點C旋轉(zhuǎn)，半徑AE、CF交于點G，半徑BE、CD交于點H，則圖中陰影面積等于（）A． B． C．π﹣1 D．π﹣2【答案】D【試題解析】兩扇形的面積和為：π，過點C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分別為M、N，則四邊形EMCN是矩形，∵點C是的中點，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG與△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中間空白區(qū)域面積相當于對角線是的正方形面積，∴空白區(qū)域的面積為：1，∴圖中陰影部分的面積＝兩個扇形面積和﹣2個空白區(qū)域面積的和＝π﹣2．故選：D．【命題意圖】考查了扇形的面積，正方形面積公式，構(gòu)造輔助線運用轉(zhuǎn)化思想解答關鍵．【命題方向】以選填為主，多為選填的壓軸位置，試題區(qū)分度較高.【得分要點】動態(tài)背景下陰影部分面積的主要以平移、折疊、旋轉(zhuǎn)變換為背景，結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù)知識求出扇形的半徑和圓心角，進而得出扇形的面積，在解答過程中要注意合理添加輔助線，將不規(guī)則圖形的面積通過割補或轉(zhuǎn)化進行計算.1．（2021?東勝區(qū)二模）如圖，已知所在圓的半徑為4，弦AB長為，點C是上靠近點B的四等分點，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°后得到，則在該旋轉(zhuǎn)過程中，線段CB掃過的面積是（）A． B． C．π D．【答案】B【解析】設所在圓的圓心為O，連接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D，∴AD＝BDAB＝2，∵OA＝4，∴sin∠AOD，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∵點C是上靠近點B的四等分點，∴∠AOC＝90°，∴AC4，∴線段CB掃過的面積＝S扇形ABB′﹣S扇形ACC′16πππ，故選：B．2．（2021?峨山縣模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，以A為圓心，AB為半徑畫圓弧，交AC于點E，過點E作EF∥AB交AD于點F，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】過F作FH⊥AC于H，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝4，∴∠DAC＝∠BAC，AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∵以A為圓心，AD為半徑畫弧，交AC于點E，AB＝4，∴AE＝4，∵EF∥AB，∴∠FEA＝∠BAC，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠FEA，∴AF＝EF，∵FH⊥AE，AE＝4，∴AH＝EH＝2，∵∠DAC＝30°，∠AHF＝90°，∴AF＝2EF，∴（2EF）2＝EF2+22，解得：EF，∴陰影部分的面積S＝S扇形DAE﹣S△FAE，故選：C．3．（2021?駐馬店二模）如圖，已知點C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點，的長為，連接OC、AD，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接OD，∵點C是以AB為直徑的半圓O的三等分點，∴∠COD＝60°，∵的長為，∴，∴R＝2，∴OD＝2，∵點C是的中點，∴OC⊥AD，∴OEOD＝1，DEOD，∴S陰影＝S扇形COD﹣S△ODEπ，故選：D．4．（2021?河南模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C為OA上一個動點，連接BC，以BC為對稱軸折疊△OBC得到△DBC，點O的對應點為點D，當點D落在弧AB上時，若OA＝2，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接OD，作DE⊥OA于E，∵OB＝BD＝DO，∴△OBD是等邊三角形，∴∠OBD＝∠BOD＝60°，∴∠OBC＝30°，∵∠BOC＝90°，∴∠AOD＝30°，∵OB＝OA＝OD＝2，∴OC＝OB?tan30°＝2，∴DEOD＝1，∴S陰影＝S扇形AOD﹣﹣S△COD1π．故選：A．5．（2021?新洲區(qū)模擬）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，把以AB為直徑的半圓O繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至如圖位置（點A落在CD上的點A′處），則半圓O掃過的面積（圖中陰影部分）是（）A．3π B．π C． D．【答案】A【解析】連接A′B，作A′E⊥AB于點E，如右圖所示，由題意可得，A′E＝BC＝3，BA′＝BA＝6，∠A′EB＝90°，∴sin∠A′BE，∴∠A′BE＝30°，由圖可知：S陰影+S半圓AB＝S扇形AA′B+S半圓A′B，∵S半圓AB＝S半圓A′B，∴S陰影＝S扇形AA′B，∵S扇形AA′B3π，∴S陰影＝3π，故選：A．6．（2021?姜堰區(qū)一模）如圖，OA是⊙O的半徑，弦BC⊥OA，垂足為M，連接OB、AC，如果OB∥AC，OB＝2，那么圖中陰影部分的面積是（）A． B． C．π D．2π【答案】B【解析】∵弦BC⊥OA，垂足為M，∴BM＝CM，∵OB∥AC，∴∠OBM＝∠ACM，在△ACM和△OBM中，∴△ACM≌△OBM（ASA），∴OM＝AMOA，∵cos∠AOB，∴∠AOB＝60°，∴S陰影＝S，故選：B．7．（2021?江岸區(qū)模擬）有一張矩形紙片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一個以AD為直徑的半圓，如圖甲，將它沿DE折疊，使A點落在BC上，如圖乙，這時，半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是（）A．π﹣2 B．π C．π D．【答案】C【解析】設陰影部分所在的圓心為O，AD與半圓弧交于點F，如圖，連接OF，過點O作OM⊥DF交DF于點M，∵AD＝4，CD＝2，∴∠DAC＝30°，∵OD∥BC，OD＝OF＝2，∴∠ODF＝∠OFD＝∠DAC＝30°，∴∠DOF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，在Rt△DOM中，OM＝OD?sin30°＝21，DM＝OD?cos30°＝2，∴DF＝2DM＝2，∴S陰影部分＝S扇形DOF﹣S△ODF21，故選：C．8．（2021?山西模擬）如圖所示的是小慧設計的一個美麗的圖案，該圖案是由兩個圓心相同，半徑分別為9cm和3cm的圓構(gòu)成的，那么該圖案中陰影部分的面積為（）cm2A．72π B．60π C．48 D．36π【答案】D【解析】∵S大圓＝π?92＝81π（cm2），S小圓＝π?32＝9π（cm2），∴陰影部分的面積為（81π﹣9π）＝36πcm2．故選：D．9．（2021?硚口區(qū)模擬）如圖，AB和CD是⊙O的兩條互相垂直的弦，若AD＝4，BC＝2，則陰影部分的面積是（）A．2π﹣1 B．π﹣4 C．5π﹣4 D．5π﹣8【答案】B【解析】連接AC，連接AO并延長，交⊙O于E點，連接DE∵AB⊥CD，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∵AE是直徑，∴∠ADE＝90°，∴∠AED+∠EAD＝90°，又∵∠ACD＝∠AED，∴∠CAB＝∠EAD，∴CB＝DE＝2，AE2，將弓形BC旋轉(zhuǎn)到弓形DE的位置兩塊陰影部分面積之和為半圓面積減去△ADE的面積，即S4．故選：B．10．（2021?湘潭模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝4，C是⊙O上一點，將沿直線AC翻折，若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點O，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接OC，作OD⊥AC于點D，由圖可知，陰影部分的面積＝扇形BOC的面積，∵ODOC，∠ODC＝90°，AB＝4，∴∠DCO＝30°，OC＝2，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠BOC＝60°，∴扇形BOC的面積是：π，故選：D．11．（2021?紫金縣模擬）如圖，正方形ABCD邊AB＝1，和都是以1為半徑的圓弧，陰影兩部分的面積分別記為S1和S2，則S1﹣S2等于（）A．1 B．1 C．1 D．1【答案】A【解析】如圖：正方形的面積＝S1+S2+S3+S4；①兩個扇形的面積＝2S1+S3+S4；②②﹣①，得：S1﹣S2＝2S扇形﹣S正方形11．故選：A．12．（2021?漳平市模擬）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交于點E，以點C為圓心，OA的長為直徑作半圓交CE于點D，若OA＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．3π B．3π﹣2 C．2 D．【答案】C【解析】連接OE，如圖所示：∵C為OA的中點，CE⊥OA且OA＝4，∴OC＝2，∴cos∠EOC，CE2，∴∠COE＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE2×22．故選：C．13．（2021?臥龍區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，恰好過頂點D和頂點C，點E，F(xiàn)分別是弧AC上的兩點，若∠EBF＝60°，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【解析】連接BD，由題意可知，BD＝BC＝CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠DBC＝60°，∵∠EBF＝60°，∴S陰影＝S扇形DBC﹣S△DBC，故答案為：．14．（2021?澄海區(qū)模擬）如圖，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，點C在線段BD上，BC＝2，將△BDE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，使得BE與BA重合，則線段DE經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形（即陰影部分）的面積為．【答案】【解析】∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，∴∠ABC＝60°，AB＝2BC＝4，∴ACBC＝2，∵∠ABE＝30°，∴∠DBF＝30°，∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴DB＝AC＝2，由旋轉(zhuǎn)變換可知，△BDE≌△BFA，∴S△BDE＝S△BFA，∴S陰影＝S扇形ABE+S△BDE﹣S△BFA﹣S扇形BDF＝S扇形ABE﹣S扇形BDFπ﹣ππ，故答案為．15．（2021?峽江縣模擬）如圖，扇形AOB的圓心角為直角，邊長為1的正方形ODCF的頂點F，D，C分別在OA，OB，上，過點B作BE⊥FC，交FC的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積等于1．【答案】1【解析】連接OC，∵正方形的邊長為1，即OD＝CD＝1，∴OC，∴BD＝OB﹣OD1，∵OA＝OB，OF＝OD，∴AF＝BD，∵CF＝CD，∴陰影部分的面積＝長方形CDBE的面積1，故答案為：1．16．（2021?中原區(qū)校級四模）如圖，AC的半圓O的一條弦，將弧AC沿弦AC為折線折疊后過圓心O，圖中陰影部分的面積為，則⊙O的半徑為2．【答案】2【解析】過點O作OE⊥AC，交AC于F，連接OC，BC，∵OF＝FEOEOA，∴∠A＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OC＝BC，∴弓形OC面積＝弓形BC面積，∵陰影部分面積，S△OBCOBOB．∴OB＝2，故答案為：2．17．（2021?江北區(qū)校級模擬）如圖，半徑為4的扇形AOB的圓心角為90°，點D為半徑OA的中點，CD⊥OA交于點C，連接AC、CO，以點O為圓心OD為半徑畫弧分別交OC、OB于點F、E，則圖中陰影部分的面積為．【答案】3π﹣4【解析】∵點D為半徑OA的中點，CD⊥OA，∴OC＝CA，∵OA＝OC＝4，∴△AOC為等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴CDOC＝2，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝30°，∴圖中陰影部分的面積＝S扇形OAC﹣S△OAC+S扇形OEF3π﹣4，故答案為：3π﹣4．18．（2021?德城區(qū)二模）如圖，等邊△ABC中，BC＝6，O、H分別為邊AB、AC的三等分點，AHAC，AOAB，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)100°到△A1BC1的位置，則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積為π．【答案】π【解析】連接BH，BH′，作BD⊥AC于D,∵等邊△ABC中，BC＝6，∴∠C＝60°，AC＝AB＝BC＝6,∴BDBC＝3,CDBC＝3,∵AHAC，AOAB，∴AH＝OA＝2,∴CH＝OB＝6﹣2＝4,∴DH＝3﹣2＝1,由勾股定理