高一數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷(人教A版2019必修第二冊)高一下冊數(shù)學(xué)期中模擬卷(第六章至第八章8.3)(原卷版+解析)

高一下冊數(shù)學(xué)期中模擬卷（人教A版（2019）必修第二冊第六章至第八章8.3）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（

）A．2 B． C． D．2．如圖，已知等腰直角三角形是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．3．已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．4．如圖，一輛汽車從點出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100千米/時的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在點南偏東方向距點500千米且與海岸距離為300千米的海上處有一快艇，與汽車同時出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機，問快艇至少以下哪個速度行駛，才能把物品遞送到司機手中.（

）A．40 B．50 C．60 D．705．如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長，一只螞蟻從點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C．6 D．6．在中，，點D為邊BC上靠近B的三等分點，則的值為（

）A． B． C． D．47．已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（

）A． B． C． D．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．下列說法不正確的是（

）A．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺B．繞直角三角形任一邊旋轉(zhuǎn)所得幾何體為圓錐C．用任何一個平面截球面，得到的截面都是圓D．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱10．若是關(guān)于的方程的一個復(fù)數(shù)根，則（

）A．B．C．的共軛復(fù)數(shù)為D．，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的兩點之間的距離為11．在中，角所對的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（

）A．4 B．5 C．7 D．1012．“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內(nèi)的定點，且，弦AC，BD均過點P，則下列說法正確的是（

）A．為定值B．的取值范圍是C．當(dāng)時，為定值D．時，的最大值為12三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．14．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線．它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，…為邊的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一個扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的體積為______．15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的值為_______.16．根據(jù)祖暅原理，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．如圖1所示，一個容器是半徑為R的半球，另一個容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個圓柱形容器的底面半徑為，高為，里面注入高為的水，將一個半徑為的實心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時，水面的高度為______．（注：）四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．（1）已知，a，b為實數(shù)．若，求；（2）若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)m的集合．18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角A的大??；(2)若，求△ABC的面積．19．如圖，已知正三棱錐S﹣ABC的底面邊長為2，正三棱錐的高SO＝1．(1)求正三棱錐S﹣ABC的體積；(2)求正三棱錐S﹣ABC表面積．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點，F(xiàn)為BC上一點，且．(1)以，為基底表示向量與；(2)若，，，求與的夾角．21．如圖，某小區(qū)有一塊空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖一個小池塘，E，F(xiàn)在邊BC上（E，F(xiàn)不與B，C重合，且E在B，F(xiàn)之間），且.(1)若，求EF的值；(2)為節(jié)省投入資金，小池塘的面積需要盡可能的小.設(shè)，試確定的值，使得的面積取得最小值，并求出面積的最小值.22．已知的內(nèi)角的對邊分別為，其面積為，且(1)求角A的大??；(2)若的平分線交邊于點，求的長.高一下冊數(shù)學(xué)期中模擬卷（人教A版（2019）必修第二冊第六章至第八章8.3）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算得，再由共軛復(fù)數(shù)定義得即可解決.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：C2．如圖，已知等腰直角三角形是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義，畫出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得．【詳解】由題意，利用斜二測畫法的定義，畫出原圖形，∵是等腰直角三角形，，斜邊，∴，∴，∴原平面圖形的面積是.故選：A．3．已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示求參數(shù)，再應(yīng)用向量線性運算的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)，故，則.故選：C4．如圖，一輛汽車從點出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100千米/時的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在點南偏東方向距點500千米且與海岸距離為300千米的海上處有一快艇，與汽車同時出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機，問快艇至少以下哪個速度行駛，才能把物品遞送到司機手中.（

）A．40 B．50 C．60 D．70【答案】C【分析】題目中用了“至少速度”的字樣，表示在M處的快艇到達ON路上的用時要比汽車少或者等于汽車的用時，據(jù)此原則，運用余弦定理構(gòu)造方程求解.【詳解】設(shè)快艇從處以千米/時的速度出發(fā)，沿方向航行，小時后與汽車相遇（即快艇最慢的速度）.在中，，，，設(shè)，由題意，知，則，由余弦定理，知，即，整理，得，當(dāng)，即時，，所以，即快艇至少須以60千米/時的速度行駛，故選：C.5．如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長，一只螞蟻從點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】畫出圓錐的側(cè)面展開圖，則螞蟻爬行的最短距離為，在中，解三角形即可.【詳解】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點的最短距離為，設(shè)，圓錐底面周長為，所以，所以，在中，由，得故選：B．6．在中，，點D為邊BC上靠近B的三等分點，則的值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】利用、表示向量、，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，.故選：B.7．已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量模與夾角的公式得，進而結(jié)合向量的夾角范圍求解即可.【詳解】因為是單位向量，且的夾角為，所以，又，所以，又，所以，所以.故選：C.8．已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將正四面體放置于棱長為2的正方體中，則所求的球即為正方體的內(nèi)切球，進而再計算體積求解即可.【詳解】解：如圖，正方體中，棱長為，所以，四面體是棱長為的正四面體，當(dāng)正四面體的各條棱都與同一球面相切時，該球為正方體的內(nèi)切球，半徑為，所以，該球的體積為，因為正四面體的體積為，所以，該球與此正四面體的體積之比為.故選：A選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．下列說法不正確的是（

）A．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺B．繞直角三角形任一邊旋轉(zhuǎn)所得幾何體為圓錐C．用任何一個平面截球面，得到的截面都是圓D．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱【答案】BD【分析】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.【詳解】AC選項根據(jù)圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征即可得到是正確的；B選項需要繞直角三角形的直角邊旋轉(zhuǎn)得到的才是圓錐，故B錯；D選項有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如下圖：故選：BD.10．若是關(guān)于的方程的一個復(fù)數(shù)根，則（

）A．B．C．的共軛復(fù)數(shù)為D．，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的兩點之間的距離為【答案】BCD【分析】根據(jù)條件求出a和b，再根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)定義逐項分析.【詳解】由題意得，得，解得；A選項錯誤，B選項正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C選項正確；，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的兩點之間的距離為，D選項正確；故選：BCD.11．在中，角所對的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】BC【分析】由題意畫出圖形，可知，求出的范圍，根據(jù)選項，得出結(jié)果即可.【詳解】解：如圖：要使有兩個解，則，即，解得：，故選：BC12．“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內(nèi)的定點，且，弦AC，BD均過點P，則下列說法正確的是（

）A．為定值B．的取值范圍是C．當(dāng)時，為定值D．時，的最大值為12【答案】ACD【分析】根據(jù)所給定義可判斷A，利用數(shù)量積的運算律和向量的加法運算可判斷B，利用數(shù)量積的運算律和所給定義可判斷C，利用基本不等式可判斷D.【詳解】如圖，設(shè)直線PO與圓O于E，F(xiàn)．則，故A正確．取AC的中點為M，連接OM，則，而故的取值范圍是故B錯誤；當(dāng)時，，故C正確．當(dāng)時，圓O半徑取AC中點為，中點為，則，最后等號成立是因為，不等式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確．故選:ACD.三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】因為，，所以向量在方向的投影向量為.故答案為：14．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線．它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，…為邊的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一個扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的體積為______．【答案】【分析】先判斷接下來扇形的半徑，再求其圍成圓錐的底面半徑和高，最后代入求體積即可.【詳解】接下來的一個扇形半徑為，故圍成的圓錐母線長為，因為扇形的圓心角為90°，所以其弧長為，也即底面圓周長，所以底面圓半徑為，則圓錐的高為，所以圓錐的體積為故答案為：+15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的值為_______.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化，計算求值.【詳解】根據(jù)正弦定理可知，，所以，而，所以.故答案為：16．根據(jù)祖暅原理，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．如圖1所示，一個容器是半徑為R的半球，另一個容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個圓柱形容器的底面半徑為，高為，里面注入高為的水，將一個半徑為的實心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時，水面的高度為______．（注：）【答案】【分析】根據(jù)祖暅原理，建立體積等量關(guān)系，代入體積運算公式求解即可.【詳解】設(shè)鐵球沉到容器底端時，水面的高度為h，由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，由圖1知相應(yīng)圓臺的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺的體積，因為容器內(nèi)水的體積為，相應(yīng)圓臺的體積為，所以，解得，故答案為：四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．（1）已知，a，b為實數(shù)．若，求；（2）若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)m的集合．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，由模長公式即可求解，（2）根據(jù)第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)特征，列不等式即可求解.【詳解】（1），所以，（2）由題意可知，由于對應(yīng)的點在第一象限，所以滿足，解得故實數(shù)m的集合是18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角A的大?。?2)若，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）將條件整理然后代入余弦定理計算即可；（2）先利用正弦定理將角化邊，然后結(jié)合條件求出，再利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.19．如圖，已知正三棱錐S﹣ABC的底面邊長為2，正三棱錐的高SO＝1．(1)求正三棱錐S﹣ABC的體積；(2)求正三棱錐S﹣ABC表面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意分別確定三棱錐的底面積和三棱錐的高即可確定其體積；（2）連接CO延長交AB于E，連接SE，則E為AB的中點，分別求得底面積和側(cè)面積，然后計算其表面積即可．【詳解】（1）在正三棱錐S﹣ABC中，,所以.（2）連接CO延長交AB于E，連接SE，則E為AB的中點，如圖所示，所以，在直角三角形SOE中，，在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，所以，則表面積為：．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點，F(xiàn)為BC上一點，且．(1)以，為基底表示向量與；(2)若，，，求與的夾角．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)圖形和平面向量的線性運算即可求解；（2）由（1）得，進而，結(jié)合平面數(shù)量積