滬教版八年級數(shù)學第一學期第十七章 一元二次方程 測試 (有答案)

元二次方程

一.選擇題（共8小題）

1.下列方程中，是一元二次方程的有（）

①2d-」。；

②ax2+fcv+c=0；

③（x+2）（龍-3）=無2_3；

④2尤2--=0.

x

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.己知關于無的方程（租+1）尤2+2%-3=0是一元二次方程，則加的取值范圍是（）

A.m>—lB.m^OC.m,,—1D.mw—1

3.關于x的方程"2一》+1=。有實數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.CL.一_§LQW0B.CL.-C.CL...—4W0D.ci...—

4444

4.方程/=%的解為（）

A.x=lB.x=±1C.x=0或1D.x=0

5.已知關于x的方程爐-京+9=0可以配方成（尤Y=0的形式，則左的值為（）

A.3B.6C.-6D.±6

6.用配方法將代數(shù)式儲+4a-5變形，結果正確的是（）

A.(〃+2)2-1B.(〃+2>—5C.(a+2)2—9D.(a+2)2+4

7.已知三角形的三條邊為°,b,C,且滿足/-104+62-166+89=0,則這個三角形的

最大邊c的取值范圍是（）

A.c>8B.5<c<8C.3<c<13D.5<c<13

8.某電動自行車廠四月份的產(chǎn)量為1000輛，由于市場需求量不斷增大，六月份的產(chǎn)量提高

到1210輛，則該廠五、六月份的月平均增長率為（）

A.10%B.11%C.12.1%D.21%

二.填空題（共15小題）

9.已知機為一元二次方程尤2-3尤-2=0的一個根，則代數(shù)式-6機+2016的值為.

10.若關于x的一元二次方程Y+2辦+36=0的一個根為3,貝！］2a+b=.

11.若尤，y為實數(shù),（“+y）（Jx+y_5）=6,貝！Jx+y=.

12.已知（?？+/）（無2+/-5）=6,貝！|f+y2=.

13.方程（x+3）2=x+3的解是.

14.等腰三角形的兩邊恰為方程％2-7尤+10=0的根，則此等腰三角形的周長為一.

15.在等腰三角形ABC中，BC=6,AB,AC的長是關于的方程f_10x+m=0的兩根,

則機的值是.

16.已知x=l是一元二次方程（8-4附尤z+4x-加2=0的一個根，則機的值為.

17.關于x的方程履2+3彳+1=。有實數(shù)根，則實數(shù)%的取值范圍是.

18.若關于尤的一元二次方程（4-1）/-尤-1=0有兩個不相等實數(shù)根，則上的取值范圍

是.

19.若關于x的一元二次方程依2—4x+4=0有兩個實數(shù)根，則上的取值范圍是—.

20.參加一次同學聚會,每兩人都握一次手,所有人共握手45次,參加此次同學聚會共—人.

21.某學習小組全體同學都為本組其他人員送了一張新年賀卡，若全組共送賀卡156張，設

這個小組的同學共有x人，可列方程：—.

22.如圖，在工地一邊的靠墻處，用120米長的鐵柵欄圍一個占地面積為2000平方米的長

方形臨時倉庫，并在其中一邊上留寬為3米的大門，設無門的那邊長為x米.根據(jù)題意，可

建立關于x的方程是—.

23.如圖，用長為20機的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11根），圍成中間隔有一

道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在3c上用其他材料做了寬為加

的兩扇小門.若花圃的面積剛好為40蘇，則此時花圃AB段的長為—m.

三.解答題（共5小題）

24.按要求解下列萬程：

（1）x2-10x+16=0（因式分解法）;

(2)2X2-3X-4=0(求根公式法).

25.解方程:

(1)3x2+6x-4=0(配方法)；

(2)5X2-4X-1=0(公式法).

26.已知關于了的一元二次方程如?_(3m-l)x+2m-1=0.

(1)求證：無論加為任意實數(shù)，方程總有實數(shù)根.

(2)如果這個方程的根的判別式的值等于1,求方程的解.

27.先閱讀下面的內容，再解決問題：

例題：若機2+2加〃+一6〃+9=0,求相和〃的值.

m2+2mn+2n2—6〃+9=0,

m2+2mn+n2—6n+9=0.

/.(m+ri)2+(〃-3)2=0.

/.m+H=0,〃-3=0.

/.m=—3,n=3.

問題：

(1)已知爐+2y2-2孫+4y+4=0,求3兀一y的值.

(2)己知a,b,c是AABC的三邊長，滿足片+6?=10。+86—41,且c是AABC中最長

的邊，求c的取值范圍.

28.閱讀材料：數(shù)學課上，陳老師在求代數(shù)式d-2x+2的最小值時，利用公式

a2±lab+b2=(a±bf，對式子作如下變形：/一2尤+2=尤？-2尤+1+1=(無-1)?+1,

因為(x-l)2..0,

所以(X-I)?+1..1,

當x=l時，(x-l)2+l=l,

因此(無-1)2+1有最小值1,即V-2X+2的最小值為1.

通過閱讀，解下列問題：

(1)代數(shù)式尤2-4尤+5的最小值為；

(2)求代數(shù)式-Y+6X-7的最大值或最小值；

(3)試比較代數(shù)式3Y+2x與2/+3犬-1的大小，并說明理由.

元二次方程

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1?【分析】一元二次方程必須滿足兩個條件：

（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項系數(shù)不為0.

【解答】解：①2/-1=0符合一元二次方程的定義，故符合題意；

②ox?+fcv+c=0中，當4=0時，它不是一元二次方程，故不符合題意；

③由（尤+2）（%-3）=尤2一3得到：一x—3=0,屬于一元一次方程，故不符合題意；

④2--工=0不是整式方程，故不符合題意.

尤

故選：A.

【點評】本題利用了一元二次方程的概念.只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方

程叫做一元二次方程，一般形式是班2+法+。=。（且。*0）.特別要注意的條件.這

是在做題過程中容易忽視的知識點.

2.【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得%+1x0,再解可得答案.

【解答】解：由題意得：〃z+lwO,

解得：

故選：D.

【點評】此題主要考查了一元二次方程定義，關鍵是掌握一元二次方程必須同時滿足4個條

件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

④二次項的系數(shù)不等于0.

3.【分析】分為兩種情況：①當。=0,②根據(jù)已知得出△..(),求出即可.

【解答】解：分為兩種情況：①當a=0時，—x+l=0,

解得：x=l；

②當owO時，關于x的方程如2_*+1=。有實數(shù)根，

△=(—1)~—4X6EX1=1—4a.0,

解得：a?—,

4

故選：B.

【點評】本題考查了根的判別式的應用，能得出關于。的不等式是解此題的關鍵，

4.【分析】利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：原方程變形為：f-x=0,

x(x—1)=0,

."=0或x=l.

故選：C.

【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程右邊

化為0,左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為。轉化為兩

個一元一次方程來求解.

5.【分析】將=0變形為爐-2WM:+療=0,根據(jù)尤②-豆+9=0可以配方成=0

的形式知加=9,據(jù)此求出機的值，從而得出答案.

【解答】解：(x-/n)2=0,

x2—2mx+nr=0,

f-履+9=0可以配方成(x-〃7)2=0的形式，

/.nV=9,

則m=±3,

.'.k—2m=±6,

故選：D.

【點評】本題主要考查解一元二次方程-配方法，解題的關鍵是根據(jù)題意求出機的值.

6?【分析】根據(jù)配方時，常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方，可對標+4°-5變形為

〃+4a+4_9,然后配方即可得出答案.

【解答】解：片+4。-5

=a2+4。+4-9

=(a+2)2—9.

故選：C.

【點評】本題考查了配方法在代數(shù)式變形中的應用，熟練掌握配方法是解題的關鍵.

7.【分析】先利用配方法對含。的式子和含有6的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負性可得出

。和6的值，然后根據(jù)三角形的三邊關系可得答案.

【解答】解：4-10。+/-166+89=0,

(a2-10a+25)+(/-166+64)=0,

3-5)2+(6-8)2=0,

(a-5)2..O,(b-8)2..O,

二.a—5=0,匕―8=0,

a=5,Z?=8.

三角形的三條邊為a,b,c,

:.b—a<c<b+a,

.-.3<c<13.

故選：C.

【點評】本題考查了配方法在三角形的三邊關系中的應用，熟練掌握配方法、偶次方的非負

性及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

8.【分析】設該廠五、六月份的月平均增長率為x,根據(jù)該廠四月份及六月份的產(chǎn)量，即可

得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【解答】解：設該廠五、六月份的月平均增長率為尤，

依題意，得：1000(1+x)2=1210,

解得：%=0.1=10%,x,=-2.1(不合題意，舍去).

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的

關鍵.

二.填空題(共15小題)

9.【分析】利用一元二次方程的解的定義得到蘇-3機=2,再把2療-6”?+2016變形為

2(z7i2-3m)+2016,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：機為一元二次方程r-3》-2=0的一個根.

m2—3m—2=0,

即ITT—3m—2,

2m2-6/77+2016=2(〃/-3加)+2016=2x2+2016=2020.

故答案為2020.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一

元二次方程的解.

10.【分析】把x=3代入原方程得9+6a+36=。，然后2。+6的值.

【解答】解：把x=3代入方程/+2以+3方=0,得9+6。+3/=0,

所以2a+b=—3.

故答案是：-3.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一

元二次方程的解.

11?【分析】設677=z,則原方程變?yōu)閦(z-5)=6,解關于Z的方程求得Z的值，進而即

可求得x+y的值.

【解答】解：設"7=z,則原方程變?yōu)閦(z-5)=6,

即Z2-5Z-6=0,

(z-6)(z+l)=0,

/.Z]=6,z2=—1

..z—6,BPsjx4-~y=6,

x+y=36.

故答案為36.

【點評】本題考查了解一元二次方程、解根式方程和分解因式等知識點，能正確進行換元是

解此題的關鍵.

12?【分析】設尤2+，把原方程轉化為含機的一元二次方程，先用因式分解法求解,

再確定V+y2的值.

【解答】解：設尤2+y2=〃z,原方程可變形為：m(m-5)=6,

即m2—5m—6=0.

:.(m—6)(m+1)=0,

解得叫=6,m2=-l.

m=x2+y2..O，

x1+y2=6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了一元二次方程的解法，掌握換元法和解一元二次方程的因式分解法是解

決本題的關鍵.

13.【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(x+3>=x+3,

.?.(X+3)2-(X+3)=O,

則(x+3)(x+2)=0,

;.x+3=0或x+2=0,

解得xA=-3,x2=—2.

故答案為：王=—3,無2=-2.

【點評】本題主要考查解一兀二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:

直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解

題的關鍵.

14.【分析】先利用因式分解法中的十字相乘法求得方程的根，再利用三角形的三邊關系及

等腰三角形的性質求得答案即可.

【解答】解：三一7尤+10=0,

/.(x—2)(%—5)=0,

(x—2)=0(x—5)=0，

..石=2,X]=5,

等腰三角形的兩邊恰為方程+10=0的根，且2+2<5,

.?.該三角形的三邊分別為2,5,5,

二.此等腰三角形的周長為：2+5+5=12.

故答案為：12.

【點評】本題考查了利用因式分解法解一元二次方程在幾何圖形問題中的應用，熟練掌握一

元二次方程的解法和三角形的三邊關系是解題的關鍵.

15.【分析】當48=47時，根據(jù)判別式的意義得到4=(-10)2-4〃1=0；當AB=3C=6或

AC=3C=6,把x=6代入方程得36—60+m=0,然后分別解關于機的方程即可.

【解答】解：AABC為等腰三角形，

，AB=AC或AB=3C=6或AC=3C=6,

當AB=AC時，△=(-10)2-4m=0,解得m=25,止匕時AB=AC=5,滿足條件；

當AB=3C=6或AC=3C=6,把尤=6代入方程得36—60+m=0,解得根=24,解得%=6,

x2=4,即鉆、AC的長為6、4,滿足條件；

綜上所述，加的值為25或24.

故答案為25或24.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(。+0)的根與△=b2-4ac有

如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)

根；當△<?時，方程無實數(shù)根.也考查了等腰三角形的性質和三角形三邊的關系.

16?【分析】首先把x=l代入一元二次方程(8-4㈤f+4x-療=0中得到關于，”的方程，

然后解關于加的方程即可求出結果.

【解答】解：x=l是一元二次方程(8-4〃。無2+4x-7〃2=0的一個根，

.,.8—4m+4—m2=0,

m~+4m—12=0,

/.(m+6)(m—2)=0,

解得根=-6或zn=2,

當m=2時，8—4加=0不合題意,

:.m=-6.

故答案為：-6.

【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解的定義，本

題屬于基礎題型.

17.【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可求出答案.

【解答】解：當上wO時，△二鄉(xiāng)一七.0,

k,.一,

4

9

.,.鼠一且上w0,

4

當上=0時，

此時方程為3兄+1=0,滿足題意，

故答案為：k?~.

4

【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是正確理解根的判別式，本題屬于基礎題型.

18.【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于。列出關于人的不

等式，求出不等式的解集即可得到人的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：△=/—4〃。=1+4（左一1）=4左一3>0,且左一IwO,

3

解得：女〉一且上wl.

4

故答案為：女>3且左wi.

4

【點評】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關鍵.

19.【分析】若一元二次方程有兩個實數(shù)根，則根的判別式△=〃—4〃c.O,建立關于左的不

等式，求出發(fā)的取值范圍.還要注意二次項系數(shù)不為0.

【解答】解：方程有兩個實數(shù)根，

根的判別式4=-4oc=16-16左.0,

即鼠1,且左一0.

故答案為：k”1,且ZwO.

【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項系

數(shù)不為零這一隱含條件.

20.【分析】根據(jù)“見面時每兩人都握了一次手，所有人共握手45次”，設有尤個同學參加

這次聚會，列出關于x的一元二次方程，解之即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

史口=45,

2

解得：玉=—9(舍去)，^2=10,

答：這次同學聚會有10人，

故答案為：10.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，正確找到等量關系，列出一元二次方程是解題的

關鍵.

21?【分析】設這個小組的同學共有x人，則每人送(x-1)張賀卡，根據(jù)送出賀卡的總數(shù)=小

組人數(shù)x每人送出賀卡數(shù)，即可列出關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設這個小組的同學共有x人，則每人送(x-1)張賀卡，

根據(jù)題意得：x(x-l)=156,

故答案為：x(x-l)=156.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方

程是解題的關鍵.

22.【分析】等量關系為：xx（鐵柵欄長+3-2x）=圍成矩形的面積，把相關數(shù)值代入即可.

【解答】解：設無門的那邊長為x米，

則平行于墻的一面長為120+3-2x=123-2x,

.-.工地面積為x（123-2x）=2000.

故答案為尤（123-2元）=2000.

【點評】考查列一元二次方程；得到平行于墻的一面長是解決本題的易錯點.

23.【分析】設48=方米，則3c=（20-3x+2）米，根據(jù)圍成的花圃的面積剛好為40平方米，

即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出尤的值，再結合3c的長度不超過11米，即

可確定無的值，此題得解.

【解答】解：設至=x米，則BC=（20-3x+2）米，

依題意，得：x（20-3尤+2）=40,

整理，得：3尤2—22x+40=0,

解得：石=1，x2=4.

當彳=”時，20-3》+2=12>11,不合題意，舍去；

3

當龍=4時，20—3x+2=10,符合題意.

故答案為：4.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的

關鍵.

三.解答題（共5小題）

24.【分析】(1)十字相乘法因式分解，再求解即可;

(2)寫出。、b、c的值，然后利用求根公式法求解.

【解答】解：(1)^-10%+16=0,

因式分解得，(x-2)(x-8)=0,

由止匕得，x—2=0,x—8=0,

所以，石=2,9=8;

(2)2/-3兀-4=0,

a=2,b=—3，c=—4，

「.△=/_4QC=(—3尸—4x2x(—4)=9+32=41,

-b土加-4ac3土歷3±^41

?X=--------------------=----------=-----------

2a2x24

【點評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配

方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)題目要求的方法求解.

25?【分析】(1)方程利用配方法求出解即可;

(2)方程利用公式法求出解即可.

【解答】解：(1)方程整理得：X2+2X=~,

3

77

配方得：/+2%+1=,，即(％+1)2=,，

33

開方得：x+l=±^^~,

3

解得:看=一1+等,…卓

(2)a=59b—-4?c=—1,

△=/—4ac=16+20=36>0,

-b±A/Z?2-4ac4±4±6

解得:x=-------------

2aioio

解得：％=1,x2=.

【點評】此題考查了解一元二次方程-公式法，以及配方法，熟練掌握各自的解法是解本題

的關鍵.

26.【分析】（1）先計算判別式的值得到△=蘇-2加+1,配方得△=（加-1）2,再根據(jù)非負

數(shù)的性質得到△..0,然后根據(jù)判別式的意義即可得到結論.

（2）利用判別式的定義得到△=?機-1）2-4帆（力-1）=1,解加的方程，再利用一元二次

方程的定義確定根=2,即可求得一元二次方程為2爐一5%+3=0,因式分解法解方程即可

求得方程的解.

【解答】解：（1）關于x的一元二次方程如2_（3機-1）4+2加-1=0.

△二（3m-1）2—4m（2m-1）=（m-1）2..0,

無論加為任何實數(shù)，方程總有實根.

（2）由題意得，△=?加一一4機（2加一1）=1,

解得叫=0，牝=2,

而mwO，

m=2，