第87講、二項(xiàng)式定理（教師版）

②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．題型十一：整數(shù)和余數(shù)問(wèn)題例31．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）除以1000的余數(shù)是．【答案】24【解析】因?yàn)?，所以除?000的余數(shù)是：.故答案為：24例32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則被5除所得的余數(shù)為．【答案】1【解析】由題知時(shí)，，，故所以被5除得的余數(shù)是1.故答案為：1.例33．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）除以100的余數(shù)是．【答案】1【解析】，,由于是100的倍數(shù)，故除以100的余數(shù)等于，故答案為：1變式44．（2024·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）若，則被5除的余數(shù)是．【答案】4【解析】由題知，時(shí)，①，時(shí)，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余數(shù)是4.故答案為：4.變式45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）寫出一個(gè)可以使得被100整除的正整數(shù).【答案】1（答案不唯一）【解析】由題意可知，將利用二項(xiàng)式定理展開得顯然，能被100整除，所以，只需是100的整數(shù)倍即可；所以，得不妨取，得.故答案為：1變式46．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知能夠被15整除，其中，則.【答案】14【解析】，所以，因?yàn)槭堑恼麛?shù)倍，所以能夠被15整除，要使能夠被15整除，只需要能夠被15整除即可，因?yàn)?，所?故答案為：14.題型十二：近似計(jì)算問(wèn)題例34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用二項(xiàng)式定理估算.（精確到0.001）【答案】1.105【解析】.故答案為：1.105例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安國(guó)光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（精確到0.01）【答案】30.84【解析】原式故答案為：30.84．例36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)在一個(gè)物理問(wèn)題計(jì)算過(guò)程中遇到了對(duì)數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過(guò)思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個(gè)近似值是.【答案】【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得：,故答案為：變式47．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是．【答案】1.34【解析】故答案為：變式48．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）．【答案】1.172【解析】，由二項(xiàng)展開式的性質(zhì)易知，遠(yuǎn)小于，依次類推，故.故答案為：1.172.題型十三：證明組合恒等式例37．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證：【解析】構(gòu)造發(fā)生函數(shù)，由此易發(fā)現(xiàn)，中所對(duì)應(yīng)的系數(shù)應(yīng)為恒等式的左端．所以，所以，所以，由此可得，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)為，既左邊等于右邊，則恒等式成立．例38．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：．【解析】取函數(shù)，，則：①，②，將②用替換n，有：．其中的系數(shù)為．將①，②對(duì)應(yīng)相乘，根據(jù)上述形式冪級(jí)數(shù)乘法定義有：，其中的系數(shù)為，由展開式的唯一性有：，，因此可得：．例39．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：．【解析】由中n取，可得；由兩邊同乘或除得：．將以上兩等式兩邊對(duì)應(yīng)相加可得：．而等式左邊，所以有．變式49．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證：.【解析】左邊==1=右邊.即證.變式50．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）設(shè)、，，求證：；（2）請(qǐng)利用二項(xiàng)式定理證明：.【解析】證：（1）；（2）當(dāng)，時(shí)，,所以結(jié)論成立.變式51．（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同而構(gòu)造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項(xiàng)式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.（1）根據(jù)恒等式兩邊的系數(shù)相同直接寫出一個(gè)恒等式，其中；（2）設(shè)，利用上述恒等式證明：.【解析】（1），等式左邊的系數(shù)為，右邊的系數(shù)這樣產(chǎn)生：中的1與中的的系數(shù)的的積，即，中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，中的系數(shù)與中的系數(shù)的的積，即，所以.（2）當(dāng)，且時(shí)，，由（1）得左邊=，，，，右邊，所以.題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和例40．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)n為正整數(shù)，為組合數(shù)，則（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】D【解析】解法一設(shè)題中代數(shù)式為M，則．解法二設(shè)題中代數(shù)式為M，倒序相加可得，于是．故選：D.例41．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，兩邊求導(dǎo)得，，兩邊乘以后得，，兩邊求導(dǎo)得，，取得.故選：A例42．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題．當(dāng)時(shí)，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，兩邊同時(shí)除以x，得，又展開式中的系數(shù)為，所以，所以．故選：A．變式52．（2024·重慶永川·重慶市永川北山中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，，于是得.故選：B變式53．（2024·湖南邵陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知，展開式中的系數(shù)為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，展開式中的系數(shù)為，∴則，故選：B．變式54．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)，對(duì)于有序數(shù)組，記為中所包含的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如．當(dāng)取遍所有的個(gè)有序數(shù)組時(shí)，的平均值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用二項(xiàng)式定理可求平均值或者就的取值分類討論后可求平均值.解法一分別計(jì)算1，2，3，4的“價(jià)值”，可得所求平均值為．解法二按的取值分類．N總數(shù)142843144424于是所求平均值為．故選：C.題型十五：楊輝三角例43．（多選題）（2024·海南·海南中學(xué)?？既＃皸钶x三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個(gè)的和.則下列命題中正確的是（

）A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個(gè)數(shù)是B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C．D．存在，使得為等差數(shù)列【答案】BCD【解析】對(duì)于A，在“楊輝三角”第行中，從左到右第個(gè)數(shù)是，A錯(cuò)；對(duì)于B，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，B對(duì)；對(duì)于C，由于故C正確；對(duì)于D，取，則，因?yàn)?，所以?shù)列為公差為的等差數(shù)列，D對(duì).故選：BCD.例44．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．在第10行中第5個(gè)數(shù)最大B．C．第8行中第4個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)之比為D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為【答案】BC【解析】對(duì)于A：第行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，所以第行中第個(gè)數(shù)最大，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：第行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，又展開式的通項(xiàng)為，所以第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，所以第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)之比為，故C正確；對(duì)于D：第行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，故第行的所有數(shù)字之和為，故D錯(cuò)誤；故選：BC例45．（多選題）（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（

）A．B．在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大C．記“楊輝三角”第行的第i個(gè)數(shù)為，則D．第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為【答案】AC【解析】A：所以本選項(xiàng)正確；B：第2022行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，故第2022行中第個(gè)數(shù)最大，所以本選項(xiàng)不正確；C：“楊輝三角”第行是二項(xiàng)式的展開式系數(shù)，所以，，因此本選項(xiàng)正確；D：第34行是二項(xiàng)式的展開式系數(shù)，所以第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為，因此本選項(xiàng)不正確，故選：AC變式55．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖給出下列一個(gè)由正整數(shù)組成的三角形數(shù)陣，該三角形數(shù)陣的兩腰分別是一個(gè)公差為的等差數(shù)列和一個(gè)公差為的等差數(shù)列，每一行是一個(gè)公差為的等差數(shù)列．我們把這個(gè)數(shù)陣的所有數(shù)從上到下，從左到右依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：、、、、、、、、、、，其前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的有（

）（參考公