第59講、圓的方程（教師版）

第59講圓的方程知識梳理知識點(diǎn)一：基本概念平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓．知識點(diǎn)二：基本性質(zhì)、定理與公式1、圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．必考題型全歸納題型一：求圓多種方程的形式例1．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過、兩點(diǎn)，且與直線相切的圓的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?、，則線段的垂直平分線所在直線的方程為，設(shè)圓心為，則圓的半徑為，又因?yàn)?，所以，，整理可得，解得或，?dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為.綜上所述，滿足條件的圓的方程為或.故選：C.例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別，圓心C為點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，解得∴半徑，∴圓的方程是即故選：A.例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A心為的圓與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：A變式1．（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）已知圓與直線相切，則圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為5，又圓與直線相切，則到直線的距離為，則，解得，設(shè)過且與垂直的直線為，則：，聯(lián)立，得直線l與的交點(diǎn)為，設(shè)圓心關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，由中點(diǎn)公式有所以圓心關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，因此圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程為：，故選：D.變式2．（2024·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓C過點(diǎn)，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，設(shè)，令弦AB的中點(diǎn)為E，而圓心C是線段的中點(diǎn)，又，即有，，顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線，由消去x得：，則，，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，于是得圓C的半徑，圓心，而圓C過點(diǎn)，則有，即，解得，因此圓C的圓心，半徑，圓C的方程為.故選：B變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求過兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2b+2，b），由圓過兩點(diǎn)A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圓心為（4，1），半徑為5，則所求圓的方程為．故選：D．變式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線恒過定點(diǎn)P，則與圓C：有公共的圓心且過點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】直線，即，由解得，即，圓C：的圓心，，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）圓C：關(guān)于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圓C：，可知圓心坐標(biāo)：，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以圓C：關(guān)于直線對稱的圓的方程是，故選：C變式6．（2024·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)F是y軸負(fù)半軸的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由米勒定理知當(dāng)最大時(shí)，的外接圓與軸負(fù)半軸相切，此時(shí)圓心位于第四象限，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以圓心在直線上，又圓與軸負(fù)半軸相切，所以圓的半徑為3，設(shè)圓心為，，則，解得，又，所以所以的外接圓的方程是，故選：A．變式7．（2024·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圓，得到圓心，由題意知O、A、B、P四點(diǎn)共圓，的外接圓即四邊形的外接圓，又，從而的中點(diǎn)坐標(biāo)為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.故選：A變式8．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)外接圓的方程為則有，解之得則外接圓的方程為故選：D【解題方法總結(jié)】（1）求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn)．因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法．（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等．題型二：直線系方程和圓系方程例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）圓心在直線x-y-4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0【答案】A【解析】根據(jù)題意知，所求圓經(jīng)過圓x2+y2+6x-4＝0和圓x2+y2+6y-28＝0的交點(diǎn)，設(shè)其方程為(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圓心坐標(biāo)為，，又由圓心在直線x-y-4＝0上，所以--4＝0，解得λ＝-7，所以所求圓的方程為：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，故選：A．例5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）過圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是．【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：.例6．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）曲線與的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是．【答案】【解析】根據(jù)題意得到：，化簡得到答案.，，故，化簡整理得到：，即.故答案為：.變式9．（2024·安徽銅陵·高二銅陵一中?？计谥校┙?jīng)過直線與圓的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程為.【答案】【解析】設(shè)過已知直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程為：∵所求圓過點(diǎn)∴解得所以圓的方程為，化簡得.故答案為：.變式10．（2024·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）過兩圓與的交點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程是.【答案】【解析】設(shè)所求圓的方程為：將代入得：所求圓的方程為：本題正確結(jié)果：變式11．（2024·浙江杭州·高二?？计谀┮阎粋€(gè)圓經(jīng)過直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.【答案】【解析】可設(shè)圓的方程為,即,此時(shí)圓心坐標(biāo)為,當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓的半徑最小，從而面積最小，,解得,則所求圓的方程為，故答案為.變式12．（2024·江西九江·高一統(tǒng)考期中）經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為【答案】【解析】由題可先設(shè)出圓系方程；，則圓心坐標(biāo)為；，又圓心在直線上，可得；解得.所以圓的方程為：.故答案為：.變式13．（2024·浙江紹興·高二統(tǒng)考期中）已知圓過直線和圓的交點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓上．則圓的方程為．【答案】【解析】根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為：，因?yàn)樵c(diǎn)在圓上，故.所以所求圓的方程為.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題方法總結(jié)】求過兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的直線系方程為：簡記為：當(dāng)時(shí)，簡記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，點(diǎn)在圓上，則，即.故選：A.例8．（2024·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知A，B是：上的兩個(gè)動點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹悬c(diǎn)為P，所以，又，所以，所以點(diǎn)P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為.故選：C.例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍．求點(diǎn)P的軌跡方程；【解析】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍，可得，即，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為；變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)是圓上兩動點(diǎn)，且滿足，求矩形頂點(diǎn)Q的軌跡方程．【解析】連接AB，PQ，設(shè)AB與PQ交于點(diǎn)M，如圖所示．因?yàn)樗倪呅蜛PBQ為矩形，所以M為AB，PQ的中點(diǎn)，連接OM.由垂徑定理可知設(shè)由此可得①又在中，有②由①②得故點(diǎn)M的軌跡是圓．因?yàn)辄c(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，設(shè)則代入點(diǎn)M的軌跡方程中得，整理得，即為所求點(diǎn)Q的軌跡方程．變式15．（1977·福建·高考真題）動點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離的比等于2，求動點(diǎn)P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形．【解析】由題意可知：，又，和，所以，化簡得即，所以動點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑是4的圓變式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）已知圓C：.(1)若不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的一般式方程；(2)從圓C外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】（1）由配方得，所以圓C的圓心，半徑為，因?yàn)橹本€l在x軸，y軸上的截距相等，所以設(shè)直線l為，即，則由直線l與圓C相切得，解得或，∴直線l的方程為或.（2）由圓上切點(diǎn)的性質(zhì)知，又因?yàn)?，所以，所以，整理得，故點(diǎn)P的軌跡方程為.變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）由圓外一點(diǎn)引圓的割線交圓于兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】直接法設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,連接、,則．在中,由勾股定理有，而在圓內(nèi)，所以弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為.［方法2］：定義法因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓,圓心為,半徑為，所以該圓的方程為:,化簡得［方法3］：交軌法易知過點(diǎn)的割線的斜率必然存在，設(shè)過點(diǎn)的割線的斜率為,則過點(diǎn)的割線方程為:.∵且過原點(diǎn),∴的方程為這兩條直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)的軌跡.兩方程相乘消去,化簡,得:，其中.［方法4］：參數(shù)法設(shè)過點(diǎn)的割線方程為:,它與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、的中點(diǎn)為，設(shè).由可得，，所以，，即有，，消去，可求得點(diǎn)的軌跡方程為：，．［方法5］：點(diǎn)差法設(shè),則.∵.兩式相減,整理,得.所以,即為的斜率，而的斜率又可表示為,化簡并整理,得.其中.【整體點(diǎn)評】方法一：直接根據(jù)軌跡的求法，建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、檢驗(yàn)即可解出，是該類型題的常規(guī)方法，也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)題設(shè)條件,判斷并確定軌跡的曲線類型,運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程；方法三：將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問題；方法四：將動點(diǎn)坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)；方法五：根據(jù)曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，用點(diǎn)差法思想，設(shè)而不求．變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，平面上一動點(diǎn)滿足：且，．求動點(diǎn)的軌跡方程；【解析】設(shè)，由，所以，整理得，即動點(diǎn)的軌跡方程．變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個(gè)動點(diǎn)Q、R，且．求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】分別以AB，AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系．如圖所示，則點(diǎn)、、、，設(shè)動點(diǎn)，，由知：，則．當(dāng)時(shí)，直線AR：①，直線DQ：，則②，①×②得：，化簡得．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與原點(diǎn)重合，坐標(biāo)也滿足上述方程．故點(diǎn)P的軌跡方程為．變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的斜邊為，且.求：(1)直角頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，整理得，即，所以直角頂點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè)，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，由（1）知，點(diǎn)的軌跡方程為，將代入得，即所以動點(diǎn)的軌跡方程為.變式21．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動點(diǎn)，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

【解析】設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動點(diǎn)C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標(biāo)公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.變式22．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上的定點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程．(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)坐標(biāo)為∵點(diǎn)在圓上，∴．故線段中點(diǎn)的軌跡方程為．（2）設(shè)的中點(diǎn)為，在中，，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以，所以．故線段中點(diǎn)的軌跡方程為．【解題方法總結(jié)】要深刻理解求動點(diǎn)的軌跡方程就是探求動點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x，y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件例10．（2024·河南·高三階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榉匠?，即表示圓，等價(jià)于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A例11．（2024·上海奉賢·高三校考階段練習(xí)）已知：圓的方程為，點(diǎn)不在圓上，也不在圓的圓心上，方程，則下面判斷正確的是（

）A．方程表示的曲線不存在B．方程表示與同心且半徑不同的圓C．方程表示與相交的圓D．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，方程表示與相離的圓【答案】B【解析】因?yàn)闉閳A，設(shè)，點(diǎn)，其圓心為，半徑為，而的方程為，即，因此上述方程中，圓心亦為，半徑為，所以與圓是同心且半徑不同的圓.故選：B.例12．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【答案】D【解析】關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是，即，且，.故選：D變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】若方程表示圓，則，解得：或.故選：C變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得.故選：D變式25．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）若圓：過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【解析】∵表示圓，∴∴.又圓過原點(diǎn)，∴，∴或（舍去）；.故選:C.變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（

）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R【答案】A【解析】因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范圍是(1，＋∞)．故選：A.變式27．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若，使曲線是圓，則（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】由題意，，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，方程為，化簡得，此時(shí)，不表示圓；當(dāng)時(shí)，方程為，化簡得，此時(shí)，表示圓.所以.故選：A【解題方法總結(jié)】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷例13．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點(diǎn)在圓的外部可知：，得.故.故選：C例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，解得：①，又∵點(diǎn)在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．例15．（2024·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）點(diǎn)P在單位圓⊙O上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】如圖所示：設(shè)，因?yàn)?，所以，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以，令，得，，即，解得，所以的最大值為2，故選：C變式28．（2024·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不確定【答案】C【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故選：C變式29．（2024·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，半徑，所以，把點(diǎn)代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D變式30．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（

）．A．點(diǎn)在l上 B．點(diǎn)在圓O上C．點(diǎn)在圓O內(nèi) D．點(diǎn)在圓O外【答案】D【解析】由已知l與圓O相交，,可知圓心到直線的距離小于半徑，則有，故，把代入，所以點(diǎn)不在直線l上，故A錯(cuò)誤；又，則點(diǎn)在圓O外，故D正確.故選：D．【解題方法總結(jié)】在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約．題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例16．（2024·高二校考單元測試）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線恒過定點(diǎn)，曲線表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)，）．當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，直線記為；當(dāng)與半圓相切時(shí)，由，得，切線記為．分析可知當(dāng)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故選：A．例17．（2024·遼寧營口·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲線整理得，則該曲線表示圓心為，半徑為1的圓的上半部分，直線，即，則令，解得，則其過定點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由，得或，所以，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C．例18．（2024·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考開學(xué)考試）直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由可得，整理可得，其中，所以，曲線表示圓的下半圓，如下圖所示：當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由圖可知，，且有，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，則有，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選：B.變式31．（2024·全國·高二專題練習(xí)）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)榍€就是或，表示一條直線與一個(gè)圓，聯(lián)立，解得，即直線與直線有一個(gè)交點(diǎn)；此時(shí)，沒有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線與有兩個(gè)交點(diǎn).所以直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B變式32．（2024·高二單元測試）若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由題意直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.變式33．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┣€，要使直線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：，即，即曲線上的點(diǎn)為圓上或圓外的點(diǎn)，由得：或，由得：或或或，由此可得曲線的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，直線與曲線有四個(gè)不同交點(diǎn)；實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.變式34．（2024·吉林白山·統(tǒng)考二模）若過點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可能是(

)A． B． C． D．2【答案】B【解析】如圖，曲線即表示以O(shè)為圓心，2為半徑的上半圓，因?yàn)橹本€即與半圓相切，所以，解得．因?yàn)樗?，又直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是故選：B變式35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示的曲線是圓心為，半徑為的圓在軸以及右側(cè)的部分，如圖所示：直線必過定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線和圓恰有一個(gè)交點(diǎn)，即，結(jié)合直線與半圓的相切可得，當(dāng)直的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，直線和曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以要使直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則.故選：B.變式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎嵌x在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對稱，要使所有根的和為6，則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以圖象為圓的一部分，作出和的圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，所以，可得；當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相離，所以，解得得或（舍）．故k的取值范圍是．故選：A．變式37．（2024·湖北·高三校聯(lián)考期末）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，滿足；當(dāng)時(shí)，，即表示圓的內(nèi)部及邊界，滿足，故正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，顯然不滿足，故錯(cuò)誤；故選：C【解題方法總結(jié)】研究曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，以防出現(xiàn)錯(cuò)誤．題型七：與圓有關(guān)的對稱問題例19．（2024·高二單元測試）圓關(guān)于直線對稱，則．【答案】3【解析】由可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則由題意得直線過圓心，代入直線方程有，解得，故答案為：3.例20．（2024·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知圓關(guān)于直線對稱，圓交于、兩點(diǎn)，則【答案】2【解析】圓，即，圓心，半徑，因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，所以，解得，所以，圓心，半徑，則圓心到軸的距離，所以.故答案為：例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的最小值是．【答案】2【解析】圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，有，即.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.∴，即，所以時(shí)，的最小值為2.故答案為：2變式38．（2024·北京·高三人大附中校考階段練習(xí)）已知圓C與圓D：關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為．【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)圓C的圓心為，又因?yàn)閳AC與圓D關(guān)于直線對稱，即圓心與關(guān)于直線對稱，所以，解得，所以，圓C的方程為變式39．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的最小值是．【答案】16【解析】由圓的對稱性可得，直線必過圓心，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，則的最小值是16故答案為：16變式40．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【解析】由，解得，又關(guān)于直線的對稱直線為，則題設(shè)等價(jià)于函數(shù)的圖像和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).易得等價(jià)于，畫出和的圖象，設(shè)直線和相切，由，解得或（舍），又當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故答案為：.變式41．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線對稱，則圓與圓的位置關(guān)系為．【答案】相交【解析】由圓的方程知其圓心，半徑；由圓的方程知其圓心，半徑；圓關(guān)于直線對稱，直線過圓心，即，解得：，圓心，；兩圓圓心距，則，又，，，即，圓與圓相交.故答案為：相交.變式42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓關(guān)于直線和直線都對稱，則D＋E的值為．【答案】4【解析】圓的圓心為，因?yàn)閳A關(guān)于直線和直線都對稱，所以圓心在直線上，也在直線上，所以，解得，所以，故答案為：4變式43．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，.【答案】1【解析】∵直線與曲線交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴圓心在直線上，∴，又∵兩直線垂直，∴,∴.故答案為：1【解題方法總結(jié)】（1）圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱（2）圓關(guān)于點(diǎn)對稱：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)（3）圓關(guān)于直線對稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分