第39講、復數（學生版）

第39講復數知識梳理知識點一、復數的概念（1）叫虛數單位，滿足，當時，．（2）形如的數叫復數，記作．=1\*GB3①復數與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數；且，z叫純虛數，純虛數對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數．=2\*GB3②兩個復數相等（兩復數對應同一點）=3\*GB3③復數的模：復數的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．知識點二、復數的加、減、乘、除的運算法則1、復數運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復數．（3）．實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數．注意：復數加、減法的幾何意義以復數分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數所對應的向量．對應的向量是．2、復數的幾何意義（1）復數對應平面內的點；（2）復數對應平面向量；（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數．（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離．3、復數的三角形式（1）復數的三角表示式一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．（2）輻角的主值任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．規(guī)定在范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數的代數形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數形式．（3）三角形式下的兩個復數相等兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復數三角形式的乘法運算①兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和，即．②復數乘法運算的三角表示的幾何意義復數對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的復數就是積．（5）復數三角形式的除法運算兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差，即．必考題型全歸納題型一：復數的概念例1．（2024·河南安陽·統考三模）已知的實部與虛部互為相反數，則實數（

）A． B． C． D．例2．（2024·浙江紹興·統考二模）已知復數滿足，其中為虛數單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．例3．（2024·海南?？凇ばＢ摽家荒＃┤魪蛿禐榧兲摂?，則實數的值為（

）A．2 B．2或 C． D．例4．（多選題）（2024·河南安陽·安陽一中校考模擬預測）若復數，則（

）A． B．z的實部與虛部之差為3C． D．z在復平面內對應的點位于第四象限例5．（2024·遼寧·校聯考一模）若是純虛數，，則的實部為______.【解題方法總結】無論是復數模、共軛復數、復數相等或代數運算都要認清復數包括實部和虛部兩部分，所以在解決復數有關問題時要將復數的實部和虛部都認識清楚．題型二：復數的運算例6．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統考三模）已知復數，則（

）A． B．1 C． D．例7．（2024·河北衡水·模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．例8．（2024·陜西榆林·高三綏德中學?？茧A段練習）已知復數z滿足，則（

）A． B． C． D．例9．（2024·全國·模擬預測）已知復數滿足，則（

）A． B． C． D．【解題方法總結】設，則（1）（2）（3）題型三：復數的幾何意義例10．（2024·河南鄭州·三模）復平面內，復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例11．（2024·全國·高三專題練習）已知復數與在復平面內對應的點關于實軸對稱，則（

）A． B． C． D．例12．（2024·湖北·校聯考三模）如圖，正方形OABC中，點A對應的復數是，則頂點B對應的復數是（

）A． B． C． D．例13．（2024·全國·校聯考模擬預測）在復平面內，設復數，對應的點分別為，，則（

）A．2 B． C． D．1【解題方法總結】復數的幾何意義在于復數的實質是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標，這是研究復數幾何意義的最重要的出發(fā)點．題型四：復數的相等與共軛復數例14．（2024·湖北·黃岡中學校聯考模擬預測）已知（是虛數單位）是關于的方程的一個根，則（

）A．9 B．1 C． D．例15．（2024·貴州貴陽·統考模擬預測）已知，，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，例16．（2024·四川宜賓·統考三模）已知復數，且，其中a是實數，則（

）A． B． C． D．例17．（2024·湖北·模擬預測）已知復數滿足，則的共軛復數的虛部為（

）A．2 B． C．4 D．例18．（2024·四川宜賓·統考三模）已知復數，且，其中a，b是實數，則（

）A．， B．，C．， D．，【解題方法總結】復數相等：共軛復數：．題型五：復數的模例19．（2024·河南·統考二模）若，則_______．例20．（2024·上海浦東新·統考三模）已知復數滿足，則__________．例21．（2024·遼寧鐵嶺·校聯考模擬預測）設復數，滿足，，則=__________.【解題方法總結】題型六：復數的三角形式例22．（2024·四川成都·成都七中統考模擬預測）1748年，瑞士數學家歐拉發(fā)現了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式（x∈R，i為虛數單位），這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．根據此公式，下面四個結果中不成立的是（

）A． B．C． D．例23．（2024·全國·高三專題練習）任何一個復數都可以表示成的形式，通常稱之為復數的三角形式．法國數學家棣莫弗發(fā)現：，我們稱這個結論為棣莫弗定理．則（

）A．1 B． C． D．i例24．（2024·河南·統考模擬預測）歐拉公式把自然對數的底數e、虛數單位i、三角函數聯系在一起，充分體現了數學的和諧美．若復數z滿足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．例25．（2024·全國·高三專題練習）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題方法總結】一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．題型七：與復數有關的最值問題例26．（2024·上海閔行·上海市七寶中學?？寄M預測）若，則的最大值與最小值的和為___________.例27．（2024·陜西西安·西安中學?？寄M預測）在復平面內，已知復數滿足，為虛數單位，則的最大值為_______