第41講、等差數(shù)列及其前n項和（教師版）

第41講等差數(shù)列及其前n項和知識梳理知識點一．等差數(shù)列的有關(guān)概念（1）等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達式為（常數(shù)）．（2）等差中項若三個數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項，且有．知識點二．等差數(shù)列的有關(guān)公式（1）等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．（2）等差數(shù)列的前項和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項和．知識點三．等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．（1）通項公式的推廣：．（2）在等差數(shù)列中，當時，．特別地，若，則．（3），…仍是等差數(shù)列，公差為．（4），…也成等差數(shù)列，公差為．（5）若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．（6）若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項與首項相同，公差是公差的．（7）若項數(shù)為偶數(shù)，則；；．（8）若項數(shù)為奇數(shù)，則；；．（9）在等差數(shù)列中，若，則滿足的項數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項數(shù)使得取得最小值．知識點四．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系．數(shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．知識點五．等差數(shù)列的前n項和的最值公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．特別地若，則有最大值（所有正項或非負項之和）；若，則有最小值（所有負項或非正項之和）．知識點六．其他衍生等差數(shù)列．若已知等差數(shù)列，公差為，前項和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．【解題方法總結(jié)】（1）等差數(shù)列中，若，則．（2）等差數(shù)列中，若，則．（3）等差數(shù)列中，若，則．（4）若與為等差數(shù)列，且前項和為與，則．必考題型全歸納題型一：等差數(shù)列的基本量運算例1．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足：，且滿足，則（

）A．1012 B．1013 C．2022 D．2024【答案】A【解析】因為，所以，兩式相減，得：，所以數(shù)列中的奇數(shù)項是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.故選：A.例2．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和是，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，解得，，所以．故選：D.例3．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】由題設(shè)，則，而，若等差數(shù)列公差為，則，所以，通項公式為，故.故選：C變式1．（2024·江西新余·統(tǒng)考二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】由可得：①，由可得：②，由①②可得：或(舍去).故選：A.變式2．（2024·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列，若，則公差（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】D【解析】由題意得解得，故選：D.變式3．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，，，所以.故選：C【解題方法總結(jié)】等差數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略：（1）求公差或項數(shù)．在求解時，一般要運用方程思想．（2）求通項．和是等差數(shù)列的兩個基本元素．（3）求特定項．利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．（4）求前項和．利用等差數(shù)列的前項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．【注意】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時的準確性與合理性，更要注意運算的準確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時，要注意運用整體代換思想，使運算更加便捷．題型二：等差數(shù)列的判定與證明例4．（2024·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）數(shù)列中，，當時，，兩式相減得，即，則，于是，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，從而，即，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以.例5．（2024·江蘇南京·高二南京師范大學附屬中學江寧分校?？计谀┯洖閿?shù)列的前項和．(1)從下面兩個條件中選一個，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；①數(shù)列是等差數(shù)列；②(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）選擇條件①：，，兩式相減可得，即，，兩式相減可得，化簡可得，，數(shù)列是等差數(shù)列．選擇條件②：設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，則，故，當時，，當時，，，又．數(shù)列是等差數(shù)列．（2）數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，．，故．例6．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：是等差數(shù)列，并求出的通項．(2)證明：．【解析】（1）由，可得，∴，即，∵，即，∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，∴，即．（2）令①，∵，∴②，①×②得，∴，即．變式4．（2024·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，.(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項組成的數(shù)列，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前50項和.【解析】（1）由題，，且，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的偶數(shù)項組成的數(shù)列，注意到，，所以數(shù)列是首項為2，公差為的等差數(shù)列，結(jié)合可知，的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以為公差的等差數(shù)列，所以.變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項積為，且滿足．(1)求證：為等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2024項的和M．【解析】（1）因為，當時，，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，當時，．所以，即，所以，所以所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）所以，則，因為，故．變式6．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列中，，當時，其前項和滿足：，且，數(shù)列滿足：對任意有.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設(shè)是數(shù)列的前項和，求證：.【解析】（1），，，即①由題意，將①式兩邊同除以，得，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知當時，，即，當時，②，則③，②③，，即，因為滿足，所以.（3）由（2）可知，當時，，當時，，所以.所以.【解題方法總結(jié)】判斷數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法（1）定義法：對任意是周一常數(shù)．（2）等差中項法：對任意，湍足．（3）通項公式法：對任意，都滿足為常數(shù)）．（4）前項和公式法：對任意，都湍足為常數(shù)）．題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)例7．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，故選：A例8．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)和的求和公式，可得，所以.故選：A.例9．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，其前n項和為，若，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，可得數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以.故選：C．變式7．（2024·全國·高三專題練習）如果等差數(shù)列中，，那么（

）A．14 B．12 C．28 D．36【答案】C【解析】∵，∴，則，又，故.故選:C.變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)【答案】B【解析】因為，所以.故選：B變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．10【答案】B【解析】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以∴.故選：B【解題方法總結(jié)】如果為等差數(shù)列，當時，．因此，出現(xiàn)等項時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項）有關(guān)的條件；若求項，可由轉(zhuǎn)化為求am－n＋an＋m的值．題型四：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例10．（2024·全國·高三專題練習）兩個等差數(shù)列，的前n項和分別為和，已知，則______．【答案】【解析】由題意可知，，所以.故答案為:.例11．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則______.【答案】/【解析】等差數(shù)列，的前n項和分別為，，所以.故答案為：例12．（2024·全國·高三專題練習）若兩個等差數(shù)列，的前n項和分別是，，已知，則______.【答案】/【解析】因為，為等差數(shù)列，所以，因為，所以.故答案為：.變式10．（2024·高三課時練習）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項和分別為與，若，則______．【答案】【解析】由等差數(shù)列的求和公式得，所以，故答案為：變式11．（2024·寧夏·高三六盤山高級中學?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則_________【答案】27【解析】.故答案為：.變式12．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則___________【答案】【解析】由題設(shè)成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：變式13．（2024·全國·高三專題練習）等差數(shù)列中，，前項和為，若，則______.【答案】【解析】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因為，故，故為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：變式14．（2024·全國·高三對口高考）已知等差數(shù)列的前項和為，若公差，；則的值為__________.【答案】【解析】設(shè)，，因為數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，，所以，解得，，所以.故答案為：.變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和為40，偶數(shù)項的和為32，則______.【答案】8【解析】設(shè)等差數(shù)列有奇數(shù)項項，，偶數(shù)項為項，公差為．奇數(shù)項和為40，偶數(shù)項和為32，，，，即，解得：即等差數(shù)列共項，且故答案為：8變式16．（2024·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學?？级＃┰诘炔顢?shù)列中，前m項（m為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項之和為30，且，則的通項公式為______.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，解得，且，解得故答案為：【解題方法總結(jié)】在等差數(shù)列中，，…仍成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列．題型五：等差數(shù)列前n項和的最值例13．（2024·全國·高三專題練習）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則當取最大值時，的值為___________.【答案】7【解析】方法一：設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意得，解得則.又，∴當時，取得最大值.方法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為.∵，∴，∴，解得，則，令解得，又，∴，即數(shù)列的前7項為正數(shù)，從第8項起各項均為負數(shù)，故當取得最大值時，.故答案為：7.例14．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，則以下選項中，最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，又因為，所以，所以，又，所以，所以為遞減數(shù)列，且前項為正值，從第項開始為負值，所以，故選：C.例15．（2024·四川·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若，前項和，則的最大值為______．【答案】66【解析】=21，解得，故，屬于二次函數(shù)，對稱軸為，故當或時取得最大值，，，，故的最大值為66.故答案為：66.變式17．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學校考期中）已知等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則的最小值是________【答案】4【解析】若等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，故為正整數(shù)，關(guān)于d單減，，則當時，故取得最小值為4，故答案為：4變式18．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列中的最大項是第______項.【答案】13【解析】由已知可得數(shù)列是遞減數(shù)列，且前13項大于0，自第14項起小于0，可得數(shù)列從第14項起為負值，而為遞增數(shù)列，則答案可求．在等差數(shù)列中，由，，得，，則數(shù)列是遞減數(shù)列，且前13項大于0，自第14項起小于0，數(shù)列從第14項起為負值，而為遞增數(shù)列，數(shù)列的最大項是第13項．故答案為：13．變式19．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足，則的最小值為_______.【答案】.【解析】根據(jù)遞推公式和累加法可求得數(shù)列的通項公式.代入中,由數(shù)列中的性質(zhì),結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求得最小值.因為,所以,從而…,,累加可得,而所以,則,因為在遞減,在遞增當時,,當時,,所以時取得最小值,最小值為.故答案為:變式20．（2024·全國·高三專題練習）等差數(shù)列中，，，給出下列命題：①，②，③是各項中最大的項，④是中最大的值，⑤為遞增數(shù)列.其中正確命題的序號是______.【答案】①②④【解析】等差數(shù)列中，，，所以，則．所以，則．所以①正確．②整理得正確．③是各項中最大的項，應(yīng)該是最小的正數(shù)項．故錯誤．④是中最大的值，正確；⑤為遞增數(shù)列．錯誤，應(yīng)改為遞減數(shù)列．故答案為：①②④．變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的通項公式為，當且僅當時，數(shù)列的前項和最大.則滿足的的最大值為__________.【答案】19【解析】由題可知，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，又，所以，解得，所以，所以，所以，解得，所以滿足的的最大值為19.故答案為：19.變式22．（2024·高三課時練習）記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取得最大值時，n＝______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，所以，因為，所以，則是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當時，取最大值，故答案為：.變式23．（2024·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列{}的前n項和，若僅當時取到最小值，且，則滿足的n的最小值為__________.【答案】11【解析】因為，當時取到最小值，所以，所以，因為，所以，即，所以.，則，因為，所以，解之得：,因為，所以n的最小值為11.故答案為：11.變式24．（2024·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習）已知為等差數(shù)列的前項和.若，，則當取最小值時，的值為________.【答案】【解析】因為，所以，又，所以，則所以為遞增的等差數(shù)列，且，所以，即當取最小值時，的值為.故答案為：變式25．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么當時，的最大值為__．【答案】20【解析】因為，所以和異號，又數(shù)列的前項和有最大值，所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，，又，所以，，所以的最大值為20．故答案為：20.【解題方法總結(jié)】求等差數(shù)列前項和最值的2種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)表達式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數(shù)使得取得最大值；②若，則滿足的項數(shù)使得取得最小值．題型六：等差數(shù)列的實際應(yīng)用例16．（2024·全國·高三專題練習）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【解析】設(shè)冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個節(jié)氣為：，且其公差為，依題意有：，，，公差，則，所以谷雨這一天的日影長度為尺，故選：A例17．（2024·河北唐山·唐山市第十中學校考模擬預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．105【答案】C【解析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，由已知是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，故為的倍數(shù)，所以首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，令，可得，又解得，且，故獲得精品足球的人數(shù)為.故選：C.例18．（2024·全國·高三專題練習）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（

）A．12 B．26 C．42 D．50【答案】C【解析】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列通項為，首項為，公差為，前項和為，則，所以，解得，所以，故選：C．變式26．（2024·全國·高三專題練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2024年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（

）A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：A.變式27．（2024·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）家庭農(nóng)場是指以農(nóng)戶家庭成員為主要勞動力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體．某家庭農(nóng)場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為（

）A．630萬元 B．350萬元 C．420萬元 D．520萬元【答案】D【解析】依題意，該家庭農(nóng)場每年收益依次成等差數(shù)列，設(shè)為，可得，，所以公差為，所以2019年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為，故選：D題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項問題的討論例19．（2024·全國·高三專題練習）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數(shù)時，，，當時，，因此，當為奇數(shù)時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數(shù)時，，當時，，因此，當為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數(shù)時，，當時，，因此，所以當時，.例20．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，求．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，．則，解得，所以．（2）由（1）可得，則，所以.例21．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求.【解析】（1）因為，令n取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以（2）令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以變式28．（2024·江蘇南京·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列和滿足：.（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2）若.求證：數(shù)列為等差數(shù)列；記數(shù)列的前項和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.【解析】（1）當時，有，得，構(gòu)造數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；所以，即，所以（）;（2）①當時，有（），按照n被4整除的余數(shù)分四類分別證明數(shù)列為等差數(shù)列;②由①知，，則（）；由，得；按照,和時分別討論,求出正整數(shù)和.試題解析:（1）當時，有，得，令，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；所以，即，所以（）．

（2）①當時，有（），（）時，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時，，所以為等差數(shù)列；（）；所以（），，所以數(shù)列為等差數(shù)列．

②由①知，，則（）；由，得；當時，；當時，則，因為，所以；從而，因為和為正整數(shù)，所以不存在正整數(shù)；當時，則，因為為正整數(shù)，所以，從而，即，因為為正整數(shù)，所以或；當時，，不是正整數(shù)；當時，，不是正整數(shù)；綜上，滿足題意的所有正整數(shù)和分別為，．變式29．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，前n項和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求．【解析】（1）∵①，∴②，①②：③，∴④，④③：，∴，∴是以1首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得是以1首項，2為公差的等差數(shù)列，同理可得是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，又，故，∴前101項的偶數(shù)項和為，前101項的奇數(shù)項和為，∴．【解題方法總結(jié)】對于奇偶項通項不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進行分類．題型八：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題例22．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，設(shè)，求的最小值.【解析】（1）因為，所以，所以當時，，所以；當時，，所以，所以，又滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，當時，；當時，；所以，當時，遞減，所以；當時，，設(shè)，則，令得，此時單調(diào)遞增，令得，此時單調(diào)遞減，所以在時遞減，在時遞增，而，，且，所以；綜上，的最小值為.例23．（2024·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.例24．（2024·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為、，由題意可知，化簡得，解得，所以．（2）由（1）知：當時，；當時，，所以．變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．【解析】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）因為，所以，當時，，此時，，當時，，此時，，綜上所述：.變式31．（2024·全國·高三專題練習）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．(1)求，；(2)若，求【解析】（1）由題意得，得，將代入并整理得，解得或．當時，．當時，．所以或；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，因為，由（1）得，．則當時，，則．當時，，則.綜上所述，.【解題方法總結(jié)】由正項開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負的項（2）在對進行討論，當時，，當時，題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解例25．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，則，解得：，故選：C例26．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意可得公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，即充分性成立；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則必有，即必要性成立．故選：C．例27．（2024·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列中，為的前n項和，，，則無法判斷正負的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)公差為，因為，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負，，故選：B變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時，，時，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當它們同增或同減時，圖象才能有兩個交點，即方程才可能有兩解（題中時，，時，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們在和時相交，無論還是，由圖象可得，，，時，，時，，因此，，，，即，故選：B變式33．（2024·全國·高三專題練習）等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的通項公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，則數(shù)列的最大項為.對于A選項，，當時，且數(shù)列為遞增數(shù)列，此時無最大項，A選項不滿足條件；對于B選項，由，可得，故數(shù)列中最大，B選項不滿足條件；對于C選項，，數(shù)列為遞增數(shù)列且當時，，此時無最大項，C選項不滿足條件；對于D選項，由，可得，故數(shù)列中最大，D選項滿足條件.故選：D.變式34．（2024·山西朔州·高二?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，解得，即.故選：C.【解題方法總結(jié)】（1）在處理數(shù)列的單調(diào)性問題時應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”．（2）數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致．一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來處理．但若數(shù)列對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來求解數(shù)列的單調(diào)性問題．即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函