第50講、外接球、內(nèi)切球、棱切球（教師版）

第50講外接球、內(nèi)切球、棱切球知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．3、補(bǔ)成長(zhǎng)方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)，如圖3所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4知識(shí)點(diǎn)二：正四面體外接球如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題．如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．知識(shí)點(diǎn)四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出知識(shí)點(diǎn)五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫(huà)在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過(guò)球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．知識(shí)點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．知識(shí)點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．知識(shí)點(diǎn)八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．知識(shí)點(diǎn)九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．圖1圖2知識(shí)點(diǎn)十：最值模型這類(lèi)問(wèn)題是綜合性問(wèn)題，方法較多，常見(jiàn)方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等知識(shí)點(diǎn)十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．知識(shí)點(diǎn)十二：坐標(biāo)法對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng)．坐標(biāo)的引入，使外接球問(wèn)題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度．知識(shí)點(diǎn)十三：圓錐圓柱圓臺(tái)模型1、球內(nèi)接圓錐如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來(lái)計(jì)算．如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐外部．和本專(zhuān)題前面的內(nèi)接正四棱錐問(wèn)題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無(wú)需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3、球內(nèi)接圓臺(tái)，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．知識(shí)點(diǎn)十四：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即知識(shí)點(diǎn)十五：棱切球方法：找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形必考題型全歸納題型一：外接球之正方體、長(zhǎng)方體模型例1．（2024·云南昆明·高一?？计谀┱襟w的表面積為96，則正方體外接球的表面積為【答案】【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)檎襟w的表面積為，可得，解得，則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，設(shè)正方體的外接球的半徑為，可得，解得，所以外接球的表面積為.故答案為：.例2．（2024·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知正方體的頂點(diǎn)都在球面上，若正方體棱長(zhǎng)為，則球的表面積為．【答案】【解析】該球?yàn)檎襟w外接球，其半徑與正方體棱長(zhǎng)之間的關(guān)系為，由，可得，所以球的表面積.答案：例3．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球表面上，長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為2，3，4則球的表面積是【答案】【解析】由題意可知：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為2，3，4，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為：，故長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，球的表面積為：，故答案為：變式1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谥校╅L(zhǎng)方體的外接球的表面積為，，，則長(zhǎng)方體的體積為.【答案】【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球的表面積為，設(shè)球的半徑為，由題意，，，長(zhǎng)方體的外接球的一條直徑為.因?yàn)?，，所以，，則長(zhǎng)方體的體積為.故答案為：變式2．（2024·天津靜?！じ咭恍？计谥校┰陂L(zhǎng)方體中，，，，則長(zhǎng)方體外接球的表面積為．【答案】【解析】由題意，根據(jù)長(zhǎng)方體外接球的性質(zhì)，可得，，該長(zhǎng)方體的外接球的表面積.故答案為：.題型二：外接球之正四面體模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為．【答案】【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，所以該正四面體的表面積為，所以，又正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成正四面體，若正四面體棱長(zhǎng)為，可得正方體的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，所以球O的體積為．故答案為：例5．（2024·浙江·高二校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長(zhǎng)是．【答案】【解析】如圖所示：因?yàn)檎拿骟w內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個(gè)正方體內(nèi)接球，設(shè)正方體為，則正四面體為，設(shè)球的半徑為R，則，解得，所以則正方體的棱長(zhǎng)為，所以正四面體的棱長(zhǎng)為，故答案為：例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球體積為.【答案】【解析】如圖，棱長(zhǎng)為的正四面體可以嵌入到棱長(zhǎng)為的立方體中，所以正四面體的外接球與所嵌入的立方體的外接球相同.設(shè)立方體的外接球半徑為，則，所以立方體外接球的體積.故正四面體的外接球體積為.故答案為：變式3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）正四面體和邊長(zhǎng)為1的正方體有公共頂點(diǎn)，，則該正四面體的外接球的體積為.【答案】【解析】由圖可知正四面體的外接球的體積等于正方體的外接球的體積，求正方體外接球體積即可．如圖，由題可得正四面體與正四面體全等，所以正四面體的外接球的體積等于正四面體的外接球的體積，也即是正方體的外接球的體積，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，所以外接球直徑為，所以正方體的外接球的體積為：，所以正四面體的外接球的體積為．故答案為：．變式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)?？计谥校┱拿骟w中，其側(cè)面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為.【答案】【解析】設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為，則該正四面體每個(gè)面的面積為，正四面體的側(cè)面積與底面積之差為，解得.如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為點(diǎn)，連接，可知外接球球心在上，設(shè)球的半徑為，的外接圓半徑為，，由圖可知，，即，解得.因此，正四面體的外接球體積為.故答案為：.題型三：外接球之對(duì)棱相等的三棱錐模型例7．（2024·高一單元測(cè)試）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．故答案為．例8．（2024·河南·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)四面體的外接球的半徑為,則四面體在一個(gè)長(zhǎng)寬高為的長(zhǎng)方體中，如圖，則故，故四面體ABCD外接球的體積為，故選：C例9．（2024·廣東揭陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以可以將三棱錐如圖放置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，則該棱錐外接球的半徑即為該長(zhǎng)方體外接球的半徑，所以有，所以所求的球體表面積為：．故選：A．變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，可得長(zhǎng)方體的三條對(duì)角線分別為，2，，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，，，解得，，．所以三棱錐外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：C題型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為．【答案】52π【解析】設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為y，則，正六棱柱的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的連線的中點(diǎn)，其半徑為，∴外接球的表面積為．故答案為：．例11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)?，所?于是（是外接圓的半徑），.又球心到平面的距離等于側(cè)棱長(zhǎng)的一半，所以球的半徑為.所以球的表面積為，解得.因此.于是直三棱柱的表面積是.故選：D.例12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．12π B．24π C．48π D．96π【答案】C【解析】設(shè)為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，則，所以，則，外接圓的半徑為，所以棱柱外接球的半徑為，令，則，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則該三棱柱外接球表面積最小值為.故選：C.變式6．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）已知正三棱柱的體積為，則其外接球表面積的最小值為（）A．12π B．6π C．16π D．8π【答案】A【解析】設(shè)正三棱柱底邊為，高為，外接球半徑為，如圖所示，取上下底面正三角形的的中心分別為（D在中線CE的三等分點(diǎn)靠E處），易知三棱柱的外接球球心在的中點(diǎn)處.故由題意可得:外接球表面積為：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：A變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱柱中，已知，側(cè)面，且直線與底面所成角的正弦值為,則此三棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】三棱柱如圖所示，因?yàn)?，所以該三棱柱為直三棱?因?yàn)閭?cè)面，所以三條側(cè)棱兩兩互相垂直.所以為直線與底面所成角，所以，則.因?yàn)樗?將三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)外接球的半徑為，所以，所以.故選D.變式8．（2024·新疆昌吉·高三?？计谀┮阎庵欣忾L(zhǎng)都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B．60 C． D．【答案】D【解析】如圖，為棱的中點(diǎn)，為正△的中心，為外接球的球心根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，外接球半徑，∵正△的邊長(zhǎng)為6，則∴外接球的表面積.故選：D．題型五：外接球之直棱錐模型例13．（2024·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為．【答案】【解析】根據(jù)已知，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點(diǎn)，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為，故答案為：．例14．（2024·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【解析】因?yàn)槭侵比忮F，底面是正三角形，所以可以將圖補(bǔ)形成為正三棱柱，如圖所示，此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，設(shè)球心為O，作平面，則為的外接圓圓心，連接，則，設(shè)的外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，由正弦定理，得，所以，中，，所以，解得，所以．故答案為：．例15．（2024·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【解析】根據(jù)題意設(shè)底面的外心為G，O為球心，所以平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，設(shè)是PA中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以，因此，因此四邊形ODAG是平行四邊形，故，∵，∴，又外接圓的半徑，由正弦定理得，所以該外接球的半徑滿足，所以外接球的表面積為.故答案為：．變式9．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為.【答案】/【解析】設(shè)，則，取正三角形的外心為，設(shè)四面體的外接球球心為，連接，則平面，又平面，則，則平面截球所得截面為大圓，又，則又底面外接圓的半徑，所以三棱錐外接球的半徑.當(dāng)時(shí)，有最小值，所以三棱錐外接球的表面積的最小值為.故答案為：變式10．（2024·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】/【解析】如圖，分別取、、、的中點(diǎn)、、、，連接、、、、，可得，，則為異面直線與所成角，∴，由面，而，故面，面，則，設(shè)，可得，，，，則，在中，由余弦定理，可得，，解得，設(shè)底面三角形的中心為，三棱錐的外接球的球心為，連接，則平面，由底面三角形是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得，∴為三棱錐外接球的球心，∴，則，，又，可得，則三棱錐的外接球的半徑．∴三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．變式11．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球的體積為.【答案】【解析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)榈酌?，所以平面，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，則，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四點(diǎn)距離相等，即為三棱錐的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱錐的外接球體積為．故答案為：．變式12．（2024·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)校考二模）在四棱錐中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】連接，因?yàn)?，，所以在直徑為的圓上，取的中點(diǎn)，即四邊形外接圓的圓心，在中，即，解得，所以四邊形外接圓的直徑即外接圓的直徑為，所以，因?yàn)槠矫鍮CDE，所以四棱錐的外接球的球心與底面的距離為，所以四棱錐的外接球的半徑為，對(duì)應(yīng)的表面積為故答案為：變式13．（2024·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是．【答案】【解析】如圖,將三棱錐還原成直三棱柱,設(shè)三棱柱的外接球球心為,分別為上下底面的外心,則為的中點(diǎn),為底面外接圓的半徑,所以球心O到面的距離為,由正弦定理有:,所以,.故答案為:.題型六：外接球之正棱錐、正棱臺(tái)模型例16．（2024·山東濱州·高一?？计谥校┮阎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為6，則該四棱錐的外接球的體積為．【答案】【解析】如圖，是正四棱錐的高，而，則，，顯然正四棱錐的外接球的球心O在直線上，令，則，在中，，解得，所以該四棱錐的外接球體積為.故答案為：例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為【答案】【解析】如圖，正三棱錐中，設(shè)點(diǎn)Q為的中心，則PQ⊥平面ABC，∴，∴，PQ＝3．球心O在直線PQ上，連接AO，設(shè)球O的半徑為r，則，，在中，，即，解得，∴球O的表面積為．故答案為：.例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）在正三棱錐中，點(diǎn)D在棱上，且滿足，，若，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【解析】在正三棱錐中，取的中點(diǎn)E，連接，，如圖，由，，得，，又，平面，，則平面，而平面，于是，又，,平面，因此平面，而平面，從而，，且，由，得，，由于兩兩垂直，則以為棱的長(zhǎng)方體與三棱錐有相同的外接球，于是三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：變式14．（2024·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，高為，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】/【解析】設(shè)頂點(diǎn)P在底面的投影為（為等邊的中心），則該三棱錐外接球的球心O在上，連接，因?yàn)榈酌妫瑒t側(cè)棱與底面所成的角為，可得，設(shè)棱錐外接球的半徑為R，因?yàn)椋?，解得，所以外接球的表面積為.故答案為：.變式15．（2024·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球體積為．【答案】【解析】在正三棱錐中為等邊三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的重心，所以，又，，所以，所以，同理可得、，即，，兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，易得三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球體積.故答案為：變式16．（2024·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱臺(tái)中，，，，則正三棱臺(tái)的外接球表面積為（

）

A．64 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)外接球球心為，等邊三角形的外心為，等邊三角形的外心為，三點(diǎn)共線，則是正三棱臺(tái)的高，設(shè)臺(tái)體的高為，設(shè)外接球的半徑為，過(guò)作，垂足為，根據(jù)正棱臺(tái)的性質(zhì)可知，所以平面，平面，所以，設(shè)等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.設(shè)等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.在直角三角形中，，所以.當(dāng)球心O在線段上，則，解得，當(dāng)球心O在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則，無(wú)解，所以正三棱臺(tái)的外接球表面積為.故選：B變式17．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）正四棱臺(tái)高為2，上下底邊長(zhǎng)分別為2和4，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，，，為外接球球心，設(shè)外接球半徑為R，分別為棱臺(tái)上下底面的中心，則，由勾股定理得：，，設(shè)，則，，故，解得：，故，故球的表面積為.故選:B變式18．（2024·貴州六盤(pán)水·高一?？茧A段練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該四棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】如圖所示：連接交于點(diǎn)，連接，則平面ABCD，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，設(shè)外接球的半徑為R，易知球心O在線段上，在中，，即，解得，所以外接球的表面積為，故答案為：變式19．（2024·山西晉中·高三祁縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正四棱錐中，，若四棱錐的體積為，則該四棱錐外接球的體積為．【答案】【解析】如圖所示：作平面，垂足為H．連接，則H為的中點(diǎn)．設(shè)，則，，從而，故四棱錐的體積為，解得．由題意可知正四棱錐外接球的球心O在上，連接．設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R，則，即解得，故該四棱錐外接球的體積為．故答案為：變式20．（2024·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)中，，．當(dāng)該正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圖1設(shè)底邊長(zhǎng)為a，原四棱錐的高為h，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系，知該棱臺(tái)的高為，則，由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)棱臺(tái)的高為1.上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在的直線上.圖2當(dāng)棱臺(tái)兩底面在球心異側(cè)時(shí)，即球心M在線段上，如圖2，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.圖3當(dāng)棱臺(tái)兩底面在球心異側(cè)時(shí)，顯然球心M在線段的延長(zhǎng)線上，如圖3，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時(shí)，外接球的表面積為.故選：D.題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型例19．（2024·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以由余弦定理可得，解得，所以，所以是以為斜邊的直角三角形，因?yàn)椋渣c(diǎn)P在平面內(nèi)的射影是的外心，即斜邊的中點(diǎn)，且平面平面，于是的外心即為三棱錐的外接球的球心，因此的外接圓半徑等于三棱錐的外接球半徑．因?yàn)?，，所以，于是，根?jù)正弦定理知的外接圓半徑R滿足，所以三棱錐的外接球半徑為，因此三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：例20．（2024·江蘇常州·高三華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】/【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋院投际堑冗吶切?，所以，所以是二面角的平面角，即，設(shè)球心為，和的中心分別為，則平面，平面，因?yàn)?，公共邊，所以≌，所以，因?yàn)椋?，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為故答案為：例21．（2024·河北承德·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】如圖：過(guò)P點(diǎn)作平面ABC的垂線，垂足為M，則都是直角三角形，又，同理可得，，所以M點(diǎn)是的外心；又，是以斜邊的直角三角形，在底面的射影為斜邊的中點(diǎn)，如下圖：則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，則在上，則，即，得，外接球的表面積為；故答案為：變式21．（2024·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎忮FP-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，△ABC是邊長(zhǎng)為的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，，則球O的體積為.【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，在中，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，即，解得，可知，即，所以?xún)蓛纱怪?，可以把三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方體，可知球O即為正方體的外接球，其體對(duì)角線即為外接球的直徑，即，所以球O的體積.故答案為：.變式22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)為，連接，易知在中：又平面為外心球心在上設(shè)半徑為，球心為在中：故答案選A變式23．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖1，過(guò)作垂足為，取的中點(diǎn)，連接過(guò)作∥,且=，連接，則∵△為等邊三角形，則∴，，根據(jù)題意可得∵，則由題意可得，則，則如圖2，∵，則頂點(diǎn)在平面的投影為△的外接圓圓心，則三棱錐的外接球的球心在直線上，連接，則∴△的外接圓半徑，則設(shè)棱錐的外接球的半徑為，則即，解得三棱錐的外接球的表面積為故選：D．變式24．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C．s D．【答案】D【解析】作出圖形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)證明出平面平面，并找出球心的位置，列等式求出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式可得出結(jié)果.如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)和的外心分別為點(diǎn)、，分別過(guò)點(diǎn)、作平面和平面的垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為外接球球心，由題意可知，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，，且，，，，，平面，平面，平面平面，易得，，平面，平面，，同理可得，則四邊形為菱形，，菱形為正方形，平面，平面，，所以外接球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：D.題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺(tái)模型例22．（2024·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的外接球的體積為.【答案】【解析】由題設(shè)，圓錐體的高為，若外接球的半徑為，則，可得，所以圓錐的外接球的體積為.故答案為：.例23．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側(cè)面積為，該圓錐內(nèi)接于球，則球的表面積為.【答案】/【解析】作圓錐的軸截面，則該軸截面等邊△的外接圓圓心即為圓錐的外接球球心，且△ABC外接圓半徑等于圓錐的外接球半徑，如下圖所示，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積，所以,設(shè)球的半徑為R，由正弦定理得，因此，這個(gè)球的表面積為.故答案為：例24．（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）一個(gè)圓柱的底面直徑與高都等于一個(gè)球的直徑，則圓柱的表面積與球的表面積之比為.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的表面積，球的表面積，所以.故答案為：.變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知一個(gè)球內(nèi)接圓臺(tái)，圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為，則，所以，，取圓臺(tái)的軸截面，如下圖所示：設(shè)圓臺(tái)的上、下底面圓心分別為、，則、分別為、的中點(diǎn)，連接、、、、、，則，由垂徑定理可知，，，所以，，，因?yàn)椋?，，所以，，所以，，所以，，所以，，則，因此，圓臺(tái)的側(cè)面積為，故選：D.變式26．（2024·云南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長(zhǎng)為，若該圓臺(tái)的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得圓臺(tái)的高為，設(shè)圓臺(tái)的上下底面圓心為，，，球的半徑為，當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心異側(cè)時(shí)，，所以，解得，；當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心同側(cè)時(shí)，，，解得，，此時(shí)，不合題意，舍去，故球的體積，故選：B．變式27．（2024·陜西西安·高一校考期中）如圖所示，一個(gè)球內(nèi)接圓臺(tái)，已知圓臺(tái)上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閳A臺(tái)外接球的表面積，所以球的半徑，設(shè)圓臺(tái)的上?下底面圓心分別為，在上?下底面圓周上分別取點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)閳A臺(tái)上?下底面的半徑分別為3和4，所以，，所以，,所以，所以圓臺(tái)體積.故選：D.題型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一?？计谀┤鐖D，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點(diǎn)在某個(gè)球面上，則該球體的表面積為.

【答案】/【解析】作出底面的外心，側(cè)面的外心，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，面平面，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，由球的性質(zhì)可得平面，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，故，在中，因?yàn)?，，則，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理有，則，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，則外接球的表面積為.故答案為：.例26．（2024·四川樂(lè)山·高二期末）已知正邊長(zhǎng)為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為．【答案】【解析】如圖，取BC中點(diǎn)G，連接AG,DG，則，，分別取與的外心E,F分別過(guò)E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，所以正方形OEGF的邊長(zhǎng)為，則，所以四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故答案為：．例27．（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以的外接圓圓心即點(diǎn)，三棱錐外接球球心在過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線上，由于平面平面即球心在平面內(nèi)，所以球心即為的外接圓圓心，球的半徑即為的外接圓半徑.因?yàn)?，所以，從?設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理有，所以，由正弦定理得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：變式28．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，．設(shè)D為的中點(diǎn)，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為．【答案】【解析】取的中點(diǎn)E，連接AE，如圖．因?yàn)?，所以．又面面，面面，且面，所以面，面，所以．在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．又AE，面，且AE，相交，所以面，面，所以．設(shè)，則，解得，所以．所以三棱柱外接球的表面積．故答案為：變式29．（2024·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖,在三棱錐中,平面平面ABC,,,,為等邊三角形,則三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,平面,所以平面;如圖,因?yàn)?所以三角形的外心即為中點(diǎn),過(guò)三角形的外心作平面的垂線,過(guò)三角形的外心作平面的垂線,則兩垂線必相交于球心,連接,則外接球半徑.在中,,,所以,所以表面積.故答案為:.變式30．（2024·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，，沿對(duì)角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

【答案】【解析】在平面四邊形中設(shè)，即在Rt中，.在等腰中，.設(shè)外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設(shè)三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，則，所以四邊形為直角梯形.設(shè)外接球的半徑為，在平面四邊形中，過(guò)做于，在中，為的中點(diǎn)，，由，所以.令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)（滿足）等號(hào)成立.所以，所以外接球表面積的最小值為.故答案為：變式31．（2024·河南安陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】如圖所示，作中點(diǎn)，連接、，在上作的中心，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使得，因?yàn)槿忮F底面是等邊三角形，是的中心，所以三棱錐外接球球心在過(guò)點(diǎn)的平面垂線上，又因，則即為球心，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，，平面平面，，所以平面，，，，，設(shè)球的半徑為，則，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.故答案為：變式32．（2024·云南臨滄·高二?？计谥校┤鐖D，已知矩形中，，現(xiàn)沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為．

【答案】【解析】設(shè)，由矩形的性質(zhì)可知：，則三棱錐的外接球的球心即為，半徑，所以三棱錐的外接球的體積.故答案為：.變式33．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為.【答案】【解析】依題意，點(diǎn)是三棱錐外接球的球心，設(shè)球的半徑為是外接圓的圓心，設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)到底面的距離為，由題意，可得，則.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以由正弦定理，可得，則.所以三棱錐的體積為，三棱錐的體積取最大值則需要最大.由題意可知，點(diǎn)在過(guò)且與底面（此處底面為水平）垂直的截面圓的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到該圓的最高點(diǎn)時(shí)，最大.取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作.如圖所示，由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)，則.又平面平面，且平面平面平面，所以平面.因?yàn)樵谥校?，又，所?易得四邊形為矩形，所以.因?yàn)樵谥?，，所以，所?故答案為：.變式34．（2024·四川樂(lè)山·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積的最小值為．【答案】【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，，由，則，，由面面ABC，面面ABC，面，所以面ABC，而面，所以，設(shè)，，則，易知，，取外接圓的圓心，易知在直線上，設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理，，同理，取外接圓的圓心，則在直線上，，過(guò)，分別做平面和平面的垂線交于點(diǎn)，易證，，∴，為三棱錐外接球的球心.①當(dāng)時(shí)，，，，，分別在線段，上，易知，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.②當(dāng)時(shí)，，，，，分別在線段，的延長(zhǎng)線上，如下圖所示，此時(shí)，，∵，∴，且無(wú)最小值.綜上所述，的最小值為，∴三棱錐的外接球表面積的最小值為.故答案為：.變式35．（2024·湖南衡陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，沿對(duì)角線將折起，使平面平面，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.【答案】【解析】在平面圖形中設(shè)，即Rt中，.在中，.設(shè)外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設(shè)三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，交線為平面四邊形為直角梯形.設(shè)外接球的半徑為，在平面中，過(guò)做于，在中，為的中點(diǎn)，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)（滿足）等號(hào)成立.所以球表面積最小值為.故答案為：.題型十：外接球之二面角模型例28．（2024·廣東陽(yáng)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)D在△ACD的外接圓上動(dòng)的時(shí)候，該三棱錐的外接球不變，故可使D點(diǎn)動(dòng)到一個(gè)使得DA=DC的位置，取AC的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)椋珼A=DC，所以，，故即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過(guò)O1作平面ABC的垂線，過(guò)△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內(nèi)，它們的交點(diǎn)就是球心O，畫(huà)出平面BMD，如圖所示；在平面ABC內(nèi)，設(shè)，則，，因?yàn)椋?，所以，所以令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故選:B例29．（2024·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在四面體PABC中，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以是的外接圓的圓心，過(guò)作平面，過(guò)作平面，，如圖，則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，，則在中，，設(shè)四面體PABC的外接球的半徑為，則，所以四面體PABC的外接球的表面積為.故選：C.例30．（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點(diǎn)均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)均在球的表面上，所以四邊形內(nèi)接于圓，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角為，所以，在中，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圓的直徑為：，即四邊形外接圓的直徑為，因?yàn)槠矫?，所以，四棱錐外接球的半徑為：所以四面體外接球的表面積為.故選：B.變式36．（2024·福建·高一福建師大附中校考期末）在四面體中，與都是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π【答案】A【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，分別取和的外心與，過(guò)兩點(diǎn)分別作平面和平面的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心，連接，則為二面角的平面角，即，則是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，，在中，，所以，又由，所以，所以四面體的外接球的表面積為.故選：A.變式37．（2024·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長(zhǎng)度相等，小三角形紙板的直角邊長(zhǎng)為a，現(xiàn)將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)M的位置，得到三棱錐，如圖2．若二面角的大小為，則所得三棱錐M－ABC的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)F，連接ME，EF．因?yàn)椋裕字?，因?yàn)?，所以，所以．過(guò)點(diǎn)E作OE⊥平面MAC，過(guò)點(diǎn)F作OF⊥平面ABC，，連接OA，易知E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別是△MAC和△ABC的外心，所以點(diǎn)O是三棱錐的外接球的球心．因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，，所以，所以，又，所以，則三棱錐的外接球的半徑為，所以外接球的表面積．故選：C.變式38．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面．又平面，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，?0°．因?yàn)闉?0°，所以60°，在中，，可得，．易知，的四個(gè)頂點(diǎn)可以與一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)重合，如圖所示，則該長(zhǎng)方體的外接球即為的外接球，球心PC的中點(diǎn)，，表面積為，故A正確．故選：A.變式39．（2024·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋缘降木嚯x相等，故即為球心．由球的表面積等于，設(shè)外接球半徑為，故，解得，過(guò)作垂直于于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，同理，過(guò)點(diǎn)作，且，則，是二面角的平面角，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).因?yàn)?，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，,且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，則為三棱錐的高，故三棱錐的高為，其中，所以三棱錐的體積．故選：B.變式40．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，G分別是BC，AC，BD的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，則二面角的平面角為，且平面EFG，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫鍱FG，所以，所以平面ABC．又因?yàn)镕是外接圓的圓心，所以FG經(jīng)過(guò)球心，且G是外接圓的圓心，所以G是三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，故三棱錐外接球的表面積．故選：D.題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型例31．（2024·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谥校┮阎忮F的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以?因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?設(shè)，所以，所以球的體積為.故選：例32．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的體積為，，，若是其外接球的直徑，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由是其外接球的直徑，得中點(diǎn)是外接球球心，設(shè)是的外心，則平面，且等于到平面的距離的一半．求出中長(zhǎng)（用余弦定理），由正弦定理求得外接圓半徑，求出面積，求體積求出，從而可得外接圓半徑，得表面積．如圖，是中點(diǎn)，則是外接球球心，設(shè)是的外心，則平面，且等于到平面的距離的一半．∵，，∴，，，，，，∴，．故選：D.例33．（2024·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)?？计谥校┮阎忮F的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,為球的直徑,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,三棱錐的體積為,則球的表面積為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】畫(huà)出其立體圖像,如圖:設(shè)中點(diǎn)為為球的直徑,故點(diǎn)為三棱錐外接球的球心.設(shè)外接圓的圓心為是邊長(zhǎng)為,故外接圓半徑為:.故是邊長(zhǎng)為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得:三棱錐的體積為根據(jù)三棱錐體積公式可得:可得,解得:根據(jù)幾何關(guān)系可知:在中,有根據(jù)球的表面積公式為故選:A.變式41．（2024·重慶·校聯(lián)考一模）已知三棱錐各頂點(diǎn)均在球上，為球的直徑，若，，三棱錐的體積為4，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】求解出面積后，利用三棱錐的體積，構(gòu)造方程，求解出點(diǎn)到底面的距離，從而可知的長(zhǎng)度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半徑，從而求得球的表面積.原題如下圖所示：由，得：則設(shè)外接圓圓心為，則由正弦定理可知，外接圓半徑：設(shè)到面距離為由為球直徑可知：則球的半徑球的表面積本題正確選項(xiàng)：變式42．（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，是球的直徑，，，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖：由題意，是球的直徑，，，，，，，，球的半徑為，球的表面積為，故選：．變式43．（2024·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】連接AO,BO因?yàn)镻A=AC,PB=BC,所以和為等腰三角形,又因?yàn)闉榍騉的直徑,所以O(shè)為PC的中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫鍼CA平面PCB,所以BO,又因?yàn)樗云矫鍼BC,設(shè)半徑為r，則

，所以，故選B．變式44．（2024·福建莆田·高三統(tǒng)考期中）三棱錐的各頂點(diǎn)均在球上，為該球的直徑，，三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，，三棱錐的體積為，所以，解得三棱錐的高為，設(shè)為三角形的外接圓的圓心，連接，則平面，因?yàn)闉樵撉虻闹睆?，所以，連接，由正弦定理可知三角形的外接圓的直徑為，由勾股定理可得球半徑球的表面積為，故選D.變式45．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，為該球的直徑，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意作出圖形如圖示.設(shè)球心為O，球的半徑r.過(guò)三點(diǎn)的小圓的圓心為，則⊥平面，延長(zhǎng)交球于點(diǎn)，則平面.所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，所以.且.由勾股定理得：.所以.所以三棱錐的體積為，解得：.所以該三棱錐的外接球的表面積為.故選：D變式46．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是球的直徑，是球球面上的兩點(diǎn)，且，若三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)球心為是球心的直徑，是的中點(diǎn)，，設(shè)到面距離為，則，即，由正弦定理可得外接圓直徑為球半徑為，球表面積為，故選D.題型十二：外接球之共斜邊拼接模型例34．（2022·江西·高二階段練習(xí)（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵底面ABCD為菱形，∴，又底面ABCD，∴，∴平面PBD，∴，即，取PC的中點(diǎn)M，如下圖：連結(jié)BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，在中MO=PC，∴點(diǎn)M為三棱椎P-BOC的外接球的球心，在中，由于，O是AC的中點(diǎn)，所以是等腰三角形，

，外接球半徑為，外接球的體積為；故選：B．例35．（2022·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，則，所以，又因?yàn)椋?，，則，所以，由，，，則，所以，又由，，，則，所以，可得為三棱錐的外接球的直徑，又由，所以此三棱錐的外接球半徑為，所以球的表面積為．故選：C．例36．（2022·江西贛州·高二期中（理））在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)SC的中點(diǎn)為O，AB的中點(diǎn)為D，連接OA、OB、OD，因?yàn)椋?，則，所以O(shè)為其外接球的球心，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以平面AOB，所以，解得，所以其外接球的體積為，故選：D變式47．在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知．∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示．∴外接球的半徑．故．選C．變式48．三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為【答案】1【解析】是公共的斜邊，的中點(diǎn)是球心，球半徑為．題型十三：外接球之坐標(biāo)法模型例37．（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，則四面體ABCD外接球體積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取，則是長(zhǎng)方體，其對(duì)角線長(zhǎng)為，∴四面體外接球半徑為．，故選：B．例38．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某環(huán)保組織設(shè)計(jì)一款苗木培植箱，其外形由棱長(zhǎng)為2（單位：）的正方體截去四個(gè)相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面積的最小值為【答案】【解析】如圖將正方體補(bǔ)全，依題意可得、、、為正方體底面邊上的中點(diǎn)，要使球的表面積最小，即為求的外接球的表面積，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則幾何體外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，設(shè)球心為，球的半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的表面積，即該球表面積的最小值為.故答案為：例39．（2024·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中?？家荒＃┤鐖D，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【解析】過(guò)C作面于H，則三棱錐的體積為，所以，取AD中點(diǎn)M，連接CM，MH，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又面，面，所以，又，所以面，面，所以，在中，所以以AB，AD為軸，垂直于AB，AD方向?yàn)檩S，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)球心，在面的投影為，由得，所以N為的外接圓圓心，所以N為斜邊的中點(diǎn)，故設(shè)由得，解得，所以，故外接球的表面積為，故答案為：變式49．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點(diǎn)，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，，平面，所以平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點(diǎn)，設(shè)外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；故選：B變式50．（2024·湖北武漢·高一武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）期末）如圖，已知四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，則，，，于是，則，∴，四棱錐外接球直徑為，故其表面積為．故選：B.變式51．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中中，，AD＝2，M是棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B，M，的平面交棱AD于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為．【答案】【解析】設(shè)三棱錐外接球球心為，半徑為R，則在過(guò)直角斜邊的中點(diǎn)與平面垂直的直線上，且滿足.以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)球心，，又，設(shè)，，則，由，得，則，由，，可得，又，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，所以三棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：.變式52．（2024·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱?的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值為.【答案】【解析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設(shè)，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時(shí)，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.變式53．（2024·廣東陽(yáng)江·高三陽(yáng)春市第一中學(xué)階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為．【答案】【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為的中點(diǎn)，為三棱錐外接球的球心，則為外接圓的圓心，平面，，設(shè)，則，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以球的半徑.故答案為：.題型十四：外接球之空間多面體例40．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）自2015年以來(lái)，貴陽(yáng)市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級(jí)為“公園中的城市”．截至目前，貴陽(yáng)市公園數(shù)量累計(jì)達(dá)到1025個(gè)．下圖為貴陽(yáng)市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長(zhǎng)為，則石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的表面積為．【答案】【解析】設(shè)正方體的中心為，為棱的中點(diǎn)，連接，則為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則，同理，到其余各棱的中點(diǎn)的距離也為，故石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的半徑為20，其表面積為，故答案為：例41．（2024·山東青島·高一山東省青島第五十八中學(xué)校考階段練習(xí)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為.【答案】【解析】因?yàn)槔忾L(zhǎng)為的正四面體的高為，所以截角四面體上下底面距離為，序曲其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，則垂直于平面與平面，則,所以，解得，所以該截角四面體的外接球的表面積為,故答案為：例42．（2024·寧夏銀川·銀川二中?？家荒＃┌岩粋€(gè)棱長(zhǎng)都是6的正四棱錐（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是正方形的中心）每條棱三等分，沿與正四棱錐頂點(diǎn)相鄰的三等分點(diǎn)做截面，將正四棱錐截去四個(gè)小正四面體和一個(gè)小正四棱錐（如圖所示），則剩下的幾何體的外接球的表面積等于．【答案】【解析】設(shè)正四棱錐底面的正方形為，頂點(diǎn)為，棱的三等分點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)，棱的三等分點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，，，，，則底面，如圖所示，因?yàn)檎睦忮F的棱長(zhǎng)是6，即，所以，所以，即，所以正四棱錐的外接球的球心為點(diǎn)，，又因?yàn)椋?，，所以，則,同理可證，則,又因?yàn)椋?，，所以，則，同理可證出該幾何體其他頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等，故剩下的幾何體的外接球的球心也為點(diǎn)，，所以在中，，解得，即剩下的幾何體的外接球的半徑為，故剩下的幾何體的外接球的表面積：，故答案為：．變式54．（2024·山東濟(jì)南·高一山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）取兩個(gè)相互平行且全等的正n邊形，將其中一個(gè)旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱(chēng)作“n角反棱柱”.當(dāng)n=4時(shí)，得到如圖所示棱長(zhǎng)均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)上下底面的中心分別為，設(shè)該“四角反棱柱”外接球的球心是，顯然是的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，過(guò)做，垂足為，因?yàn)?，，所以，在直角三角形中，，所以有，于是有，在直角三角形中，，所以該“四角反棱柱”外接球的表面積等于，故選：B題型十五：與球有關(guān)的最值問(wèn)題例43．（2024·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱中，，棱柱的側(cè)棱足夠長(zhǎng)，點(diǎn)P在棱上，點(diǎn)在上，且，則當(dāng)△的面積取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的體積為.【答案】【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?，所以平面ABC，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)榍?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)榍?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)，在直角中，，同理，所以，整理得到，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，的面積取最小值，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，又因?yàn)闉橹苯侨切?，故，所以為三棱錐的外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，可得外接球的直徑為，所以外接球的體積為.故答案為：.例44．（2024·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】由余弦定理得：設(shè)，則，由得：，解得：，因?yàn)?，故由基本不等式得：?dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)取最小值.底面三角形外接圓半徑，.故答案為：例45．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)平面，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，三棱錐外接球的體積為.【答案】【解析】如圖以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，連接，，，得，，，，，所以，，，因?yàn)椋?，所以，，所以平面，因?yàn)?，點(diǎn)又在平面上，所以點(diǎn)在直線上，則，當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到直線的距離，即時(shí)，面積最小，由，，為直角三角形，可得，，，過(guò)點(diǎn)作交平面于點(diǎn)，連接，，可以得到直三棱柱，向外構(gòu)建長(zhǎng)方體，則三棱錐外接球即可以為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，所以，即，則外接球體積為.故答案為：變式55．（2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，直三棱柱中，⊥，，，點(diǎn)P在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【解析】由勾股定理得：，設(shè)BP=x，，則，，，由得：，解得：，因?yàn)?，故由基本不等式得：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球，其中長(zhǎng)方體的外接球的直徑為，故半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：變式56．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期末）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為.【答案】【解析】如圖所示：設(shè)球心為所在圓面的圓心為，則平面．因?yàn)闉榈妊苯侨切吻?，所以是中點(diǎn)；所以當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，為射線與球的交點(diǎn)，所以；因?yàn)?，設(shè)球的半徑為，所以，所以，解得：，所以球的表面積為.故答案為：．變式57．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝3，則當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為．【答案】【解析】依題意可知，當(dāng)側(cè)面底面ABCD時(shí)，四棱錐S－ABCD的體積最大．設(shè)球心為O，半徑為R，正方形ABCD和外接圓的圓心分別為，，正方形ABCD外接圓半徑為，則平面ABCD，平面SAB．因?yàn)楹驼叫蜛BCD的邊長(zhǎng)均為3，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，所以，，由勾股定理得，所以球O的表面積．故答案為：變式58．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，底面，，，為的中點(diǎn)，若三棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，是球上一點(diǎn)，且三棱錐體積的最大值是，則球的體積為.【答案】/【解析】正中，為的中點(diǎn)，則，而平面，平面，即，而，平面，則平面，平面，有，又，因此，與的斜邊中點(diǎn)到點(diǎn)A，B，M，P的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點(diǎn)，從而，點(diǎn)O是三棱錐外接球球心，設(shè)球的半徑為，有，的外接圓圓心為的中點(diǎn)，設(shè)為，連接，則平面，如圖，則有，即到平面的距離為，因此到平面距離的最大值為，又，即有，解得，，，所以球的體積為.故答案為：變式59．（2024·江西南昌·南昌十中?？寄M預(yù)測(cè)）點(diǎn)，，，在同一個(gè)球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為.【答案】/【解析】依題意，三角形為正三角形，面積為，設(shè)四面體的高為，則，解得，設(shè)球心為O,三角形的外接圓圓心，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，三點(diǎn)共線，如圖，三角形所在平面截球得到的圓為三角形的外接圓，其半徑，連接球心和三角形的外接圓圓心，則平面，設(shè)球的半徑為，，，解得，這個(gè)球的表面積為，故答案為：題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型例46．（2024·廣東肇慶·高一?？茧A段練習(xí)）棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的球心為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的內(nèi)切球的球心為，由對(duì)稱(chēng)性可知為正方體的中心，球半徑為1，即球的體積為.故選：B.例47．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，故的?nèi)切圓的半徑為.因?yàn)橹比庵嬖趦?nèi)切球，故直三棱柱的高即為內(nèi)切球的直徑.而內(nèi)切球的半徑即為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切球的半徑為1，故直三棱柱的高為2.將直三棱柱補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，則外接球的直徑即為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，故外接球的半徑為，故外接球的的表面積為.故選：D.例48．（2024·山西太原·高一?？茧A段練習(xí)）已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個(gè)面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（

）A．4 B．16 C．8 D．64【答案】D【解析】根據(jù)球的體積公式，，解得.因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，所以正方體的棱長(zhǎng)為，故正方體的體積為.故選：D.變式60．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，則正三棱柱的內(nèi)切球半徑等于正三角形的內(nèi)切圓半徑，則內(nèi)切球的半徑，正三棱柱的高．設(shè)正三角形的外接圓半徑為R，易得，所以外接球的半徑．所以它的外接球與內(nèi)切球體積之比為．故選：C變式61．（2024·遼寧·高二沈陽(yáng)二中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在正三棱柱中，D是側(cè)棱上一點(diǎn)，E是側(cè)棱上一點(diǎn)，若線段的最小值是﹐且其內(nèi)部存在一個(gè)內(nèi)切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為高為，對(duì)三個(gè)側(cè)面進(jìn)行展開(kāi)如圖，要使線段的最小值是，則連接（左下角，右上角），此時(shí)在連接線上，故①，因?yàn)檎庵鶅?nèi)部存在一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，所以整理得，將代入①可得，所以正三棱柱的底面外接圓半徑為，所以正三棱柱的外接球半徑為，所以該棱柱的外接球表面積為故選：B變式62．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖：分別為底面中心，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為若正六棱柱有內(nèi)切球，則，即內(nèi)切球的半徑，即外接球的半徑則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為故選：C．變式63．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內(nèi)切球，若球O的表面積為，的周長(zhǎng)為4，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直三棱柱的高為h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，內(nèi)切球O的半徑為r，則h＝2r，由題意可知球O的表面積為，解得r＝2，∴h＝4，又△ABC的周長(zhǎng)為4，即a＋b＋c＝4，∴連接OA，OB，OC，可將直三棱柱分成5個(gè)棱錐，即三個(gè)以原來(lái)三棱柱側(cè)面為底面，內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)的四棱錐，兩個(gè)以原來(lái)三棱柱底面為底面，內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)的的三棱錐，∴由體積相等可得直三棱柱的體積為h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，∴三棱錐的體積為h＝×4×4＝．故選：B．題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型例49．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）邊長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將棱長(zhǎng)為的正四面體補(bǔ)成正方體，則該正方體的棱長(zhǎng)為，，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體每個(gè)面的面積均為，由等體積法可得，解得，因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為.故選：D.例50．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球的表面積為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，取中點(diǎn)，作平面于，則為中心，則，.，，，又，，內(nèi)切球表面積.故選：.例51．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為，則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，正四面體的內(nèi)切球與外接球球心重合，記為，令正的中心為，連接，顯然點(diǎn)在上，令正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑分別為，即，而，則，在中，，解得，，所以它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為.故選：D題型十八：內(nèi)切球之棱錐模型例52．（2024·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知矩形中，，沿著對(duì)角線將折起，使得點(diǎn)不在平面內(nèi)，當(dāng)時(shí)，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)可知，即為該四面體的外接球的球心，故外接球的半徑；因?yàn)?，，平面，可得平面，平面，則，且，，平面，可得平面，平面，則，故該四面體的四個(gè)面都是直角三角形，設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)閮?nèi)切球與四面體的四個(gè)面都相切，故滿足，則，解得；因此該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積的比值為.故選：C.例53．（2024·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知四棱錐的各棱長(zhǎng)均為2，則其內(nèi)切球表面積為（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗睦忮F的各棱長(zhǎng)均為2，所以四棱錐是正四棱錐，則，過(guò)P作底面垂線，垂足為H，則，所以，則，故其內(nèi)切圓表面積為，故選：B．例54．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，并延長(zhǎng)交底面于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，，解得球的半徑，設(shè)，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：D.變式64．（2024·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高校考階段練習(xí)）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個(gè)面都相切（稱(chēng)球?yàn)槿忮F的內(nèi)切球），則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均為直角三角形，設(shè)球的半徑為r，則，而，，所以，解得，所以球的表面積為，故選：A.變式65．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)圖形，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，易知正八面體的棱長(zhǎng)為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即為，如圖，在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，為正八面體的中心，平面，平面，則，，.在中，，則該正八面體的體積，該八面體的表面積設(shè)正八面體的內(nèi)切球半徑為，，即，解得，.故選：C.變式66．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樗拿骟w四個(gè)面都為直角三角形，平面，所以，，設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則所以，因?yàn)樗拿骟w的表面積為，又因?yàn)樗拿骟w的體積，所以，所以?xún)?nèi)切球表面積.故選：C.題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺(tái)模型例55．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在Rt中，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意該幾何體是兩個(gè)共底面的圓錐的組合體，如圖是其軸截面，由對(duì)稱(chēng)性知其內(nèi)切球球心在上，到的距離相等為球的半徑，設(shè)其為，因?yàn)槭侵苯?，所以是正方形，即，由得，即，解得，球體積為．故選：C．例56．（2024·天津·統(tǒng)考二模）已知一個(gè)圓錐的高為，底面直徑為，其內(nèi)有一球與該圓錐的側(cè)面和底面都相切，則此球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓錐的母線長(zhǎng)為，取圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)該圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，，因此，球的體積為.故選：C.例57．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知某圓錐的母線長(zhǎng)為2，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．圓錐的體積為 B．圓錐的表面積為C．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形 D．圓錐的內(nèi)切球表面積為【答案】B【解析】由題設(shè)，底面直徑，故半徑為，體高為，所以圓錐的體積為，A正確；圓錐的表面積為，B錯(cuò)誤；底面周長(zhǎng)為，側(cè)面展開(kāi)扇形半徑為2，故圓心角為，C正確；由軸截面是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，圓錐的內(nèi)切球最大截面為其內(nèi)切圓，所以?xún)?nèi)切球半徑為，故球體表面積為，D正確.故選：B變式67．（2024·貴州貴陽(yáng)·