第50講、外接球、內(nèi)切球、棱切球（教師版）

第50講外接球、內(nèi)切球、棱切球知識梳理知識點一：正方體、長方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．3、補成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4知識點二：正四面體外接球如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．知識點三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．知識點四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出知識點五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．知識點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．知識點七：側(cè)棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．知識點八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．知識點九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2知識點十：最值模型這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數(shù)法，基本不等式法，觀察法等知識點十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．知識點十二：坐標法對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型1、球內(nèi)接圓錐如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3、球內(nèi)接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．知識點十四：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即知識點十五：棱切球方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形必考題型全歸納題型一：外接球之正方體、長方體模型例1．（2024·云南昆明·高一?？计谀┱襟w的表面積為96，則正方體外接球的表面積為【答案】【解析】設正方體的棱長為，因為正方體的表面積為，可得，解得，則正方體的對角線長為，設正方體的外接球的半徑為，可得，解得，所以外接球的表面積為.故答案為：.例2．（2024·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為，則球的表面積為．【答案】【解析】該球為正方體外接球，其半徑與正方體棱長之間的關(guān)系為，由，可得，所以球的表面積.答案：例3．（2024·全國·高一專題練習）已知長方體的頂點都在球表面上，長方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為2，3，4則球的表面積是【答案】【解析】由題意可知：長方體的長寬高為2，3，4，所以長方體的體對角線長為：，故長方體的外接球的半徑為，球的表面積為：，故答案為：變式1．（2024·湖南長沙·高一長郡中學?？计谥校╅L方體的外接球的表面積為，，，則長方體的體積為.【答案】【解析】因為長方體的外接球的表面積為，設球的半徑為，由題意，，，長方體的外接球的一條直徑為.因為，，所以，，則長方體的體積為.故答案為：變式2．（2024·天津靜?！じ咭恍？计谥校┰陂L方體中，，，，則長方體外接球的表面積為．【答案】【解析】由題意，根據(jù)長方體外接球的性質(zhì)，可得，，該長方體的外接球的表面積.故答案為：.題型二：外接球之正四面體模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學?？寄M預測）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為．【答案】【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設正四面體的棱長為a，所以該正四面體的表面積為，所以，又正方體的面對角線可構(gòu)成正四面體，若正四面體棱長為，可得正方體的棱長為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，所以球O的體積為．故答案為：例5．（2024·浙江·高二校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是．【答案】【解析】如圖所示：因為正四面體內(nèi)接于球，則相應的一個正方體內(nèi)接球，設正方體為，則正四面體為，設球的半徑為R，則，解得，所以則正方體的棱長為，所以正四面體的棱長為，故答案為：例6．（2024·全國·高三專題練習）棱長為的正四面體的外接球體積為.【答案】【解析】如圖，棱長為的正四面體可以嵌入到棱長為的立方體中，所以正四面體的外接球與所嵌入的立方體的外接球相同.設立方體的外接球半徑為，則，所以立方體外接球的體積.故正四面體的外接球體積為.故答案為：變式3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點，，則該正四面體的外接球的體積為.【答案】【解析】由圖可知正四面體的外接球的體積等于正方體的外接球的體積，求正方體外接球體積即可．如圖，由題可得正四面體與正四面體全等，所以正四面體的外接球的體積等于正四面體的外接球的體積，也即是正方體的外接球的體積，因為正方體棱長為1，所以外接球直徑為，所以正方體的外接球的體積為：，所以正四面體的外接球的體積為．故答案為：．變式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中學校考期中）正四面體中，其側(cè)面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為.【答案】【解析】設正四面體的邊長為，則該正四面體每個面的面積為，正四面體的側(cè)面積與底面積之差為，解得.如下圖所示：過點作平面，垂足為點，連接，可知外接球球心在上，設球的半徑為，的外接圓半徑為，，由圖可知，，即，解得.因此，正四面體的外接球體積為.故答案為：.題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型例7．（2024·高一單元測試）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．故答案為．例8．（2024·河南·開封高中?？寄M預測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設四面體的外接球的半徑為,則四面體在一個長寬高為的長方體中，如圖，則故，故四面體ABCD外接球的體積為，故選：C例9．（2024·廣東揭陽·高二校聯(lián)考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，所以有，所以所求的球體表面積為：．故選：A．變式5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，設長方體的長、寬、高分別為，則，，，解得，，．所以三棱錐外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：C題型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知矩形ABCD的周長為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為．【答案】52π【解析】設正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則，正六棱柱的體積，當且僅當，即時，等號成立，此時正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的連線的中點，其半徑為，∴外接球的表面積為．故答案為：．例11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學校?？茧A段練習）設直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，因為，所以.于是（是外接圓的半徑），.又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，所以球的半徑為.所以球的表面積為，解得.因此.于是直三棱柱的表面積是.故選：D.例12．（2024·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．12π B．24π C．48π D．96π【答案】C【解析】設為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，則，所以，則，外接圓的半徑為，所以棱柱外接球的半徑為，令，則，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，則該三棱柱外接球表面積最小值為.故選：C.變式6．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習）已知正三棱柱的體積為，則其外接球表面積的最小值為（）A．12π B．6π C．16π D．8π【答案】A【解析】設正三棱柱底邊為，高為，外接球半徑為，如圖所示，取上下底面正三角形的的中心分別為（D在中線CE的三等分點靠E處），易知三棱柱的外接球球心在的中點處.故由題意可得:外接球表面積為：當且僅當時取得最小值.故選：A變式7．（2024·全國·高三專題練習）在三棱柱中，已知，側(cè)面，且直線與底面所成角的正弦值為,則此三棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】三棱柱如圖所示，因為，所以該三棱柱為直三棱柱.因為側(cè)面，所以三條側(cè)棱兩兩互相垂直.所以為直線與底面所成角，所以，則.因為所以.將三棱柱補成長方體，設外接球的半徑為，所以，所以.故選D.變式8．（2024·新疆昌吉·高三?？计谀┮阎庵欣忾L都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B．60 C． D．【答案】D【解析】如圖，為棱的中點，為正△的中心，為外接球的球心根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，外接球半徑，∵正△的邊長為6，則∴外接球的表面積.故選：D．題型五：外接球之直棱錐模型例13．（2024·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為．【答案】【解析】根據(jù)已知，底面是邊長為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為，故答案為：．例14．（2024·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【解析】因為是直三棱錐，底面是正三角形，所以可以將圖補形成為正三棱柱，如圖所示，此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，設球心為O，作平面，則為的外接圓圓心，連接，則，設的外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，由正弦定理，得，所以，中，，所以，解得，所以．故答案為：．例15．（2024·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習）已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【解析】根據(jù)題意設底面的外心為G，O為球心，所以平面ABC，因為平面ABC，所以，設是PA中點，因為，所以，因為平面平面ABC，所以，因此，因此四邊形ODAG是平行四邊形，故，∵，∴，又外接圓的半徑，由正弦定理得，所以該外接球的半徑滿足，所以外接球的表面積為.故答案為：．變式9．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學校考模擬預測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為.【答案】/【解析】設，則，取正三角形的外心為，設四面體的外接球球心為，連接，則平面，又平面，則，則平面截球所得截面為大圓，又，則又底面外接圓的半徑，所以三棱錐外接球的半徑.當時，有最小值，所以三棱錐外接球的表面積的最小值為.故答案為：變式10．（2024·陜西榆林·高二?？茧A段練習）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】/【解析】如圖，分別取、、、的中點、、、，連接、、、、，可得，，則為異面直線與所成角，∴，由面，而，故面，面，則，設，可得，，，，則，在中，由余弦定理，可得，，解得，設底面三角形的中心為，三棱錐的外接球的球心為，連接，則平面，由底面三角形是邊長為2的等邊三角形，可得，∴為三棱錐外接球的球心，∴，則，，又，可得，則三棱錐的外接球的半徑．∴三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．變式11．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為.【答案】【解析】取中點，中點，連接，則，因為底面，所以平面，因為四邊形是菱形，則，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四點距離相等，即為三棱錐的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱錐的外接球體積為．故答案為：．變式12．（2024·四川綿陽·綿陽中學?？级＃┰谒睦忮F中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】連接，因為，，所以在直徑為的圓上，取的中點，即四邊形外接圓的圓心，在中，即，解得，所以四邊形外接圓的直徑即外接圓的直徑為，所以，因為平面BCDE，所以四棱錐的外接球的球心與底面的距離為，所以四棱錐的外接球的半徑為，對應的表面積為故答案為：變式13．（2024·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是．【答案】【解析】如圖,將三棱錐還原成直三棱柱,設三棱柱的外接球球心為,分別為上下底面的外心,則為的中點,為底面外接圓的半徑,所以球心O到面的距離為,由正弦定理有:,所以,.故答案為:.題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型例16．（2024·山東濱州·高一校考期中）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為．【答案】【解析】如圖，是正四棱錐的高，而，則，，顯然正四棱錐的外接球的球心O在直線上，令，則，在中，，解得，所以該四棱錐的外接球體積為.故答案為：例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？计谀┮阎忮F的頂點都在球O的球面上，其側(cè)棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為【答案】【解析】如圖，正三棱錐中，設點Q為的中心，則PQ⊥平面ABC，∴，∴，PQ＝3．球心O在直線PQ上，連接AO，設球O的半徑為r，則，，在中，，即，解得，∴球O的表面積為．故答案為：.例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高級中學校聯(lián)考期末）在正三棱錐中，點D在棱上，且滿足，，若，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【解析】在正三棱錐中，取的中點E，連接，，如圖，由，，得，，又，平面，，則平面，而平面，于是，又，,平面，因此平面，而平面，從而，，且，由，得，，由于兩兩垂直，則以為棱的長方體與三棱錐有相同的外接球，于是三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：變式14．（2024·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，高為，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】/【解析】設頂點P在底面的投影為（為等邊的中心），則該三棱錐外接球的球心O在上，連接，因為底面，則側(cè)棱與底面所成的角為，可得，設棱錐外接球的半徑為R，因為，即，解得，所以外接球的表面積為.故答案為：.變式15．（2024·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球體積為．【答案】【解析】在正三棱錐中為等邊三角形，頂點在底面的射影為底面的重心，所以，又，，所以，所以，同理可得、，即，，兩兩垂直，把該三棱錐補成一個正方體，該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球體積.故答案為：變式16．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（

）

A．64 B． C． D．【答案】B【解析】設外接球球心為，等邊三角形的外心為，等邊三角形的外心為，三點共線，則是正三棱臺的高，設臺體的高為，設外接球的半徑為，過作，垂足為，根據(jù)正棱臺的性質(zhì)可知，所以平面，平面，所以，設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.在直角三角形中，，所以.當球心O在線段上，則，解得，當球心O在的延長線上時，則，無解，所以正三棱臺的外接球表面積為.故選：B變式17．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）正四棱臺高為2，上下底邊長分別為2和4，所有頂點在同一球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，，，為外接球球心，設外接球半徑為R，分別為棱臺上下底面的中心，則，由勾股定理得：，，設，則，，故，解得：，故，故球的表面積為.故選:B變式18．（2024·貴州六盤水·高一?？茧A段練習）已知正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，則該四棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】如圖所示：連接交于點，連接，則平面ABCD，因為正四棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，所以，設外接球的半徑為R，易知球心O在線段上，在中，，即，解得，所以外接球的表面積為，故答案為：變式19．（2024·山西晉中·高三祁縣中學?？茧A段練習）在正四棱錐中，，若四棱錐的體積為，則該四棱錐外接球的體積為．【答案】【解析】如圖所示：作平面，垂足為H．連接，則H為的中點．設，則，，從而，故四棱錐的體積為，解得．由題意可知正四棱錐外接球的球心O在上，連接．設正四棱錐外接球的半徑為R，則，即解得，故該四棱錐外接球的體積為．故答案為：變式20．（2024·湖北·高三統(tǒng)考階段練習）在正四棱臺中，，．當該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圖1設底邊長為a，原四棱錐的高為h，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，當且僅當，即時等號成立，此時棱臺的高為1.上底面外接圓半徑，下底面半徑，設球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在的直線上.圖2當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段上，如圖2，設，則，，顯然則，有，即解得，舍去.圖3當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，顯然球心M在線段的延長線上，如圖3，設，則，顯然即，即解得，，此時，外接球的表面積為.故選：D.題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型例19．（2024·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預測）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】因為，，所以由余弦定理可得，解得，所以，所以是以為斜邊的直角三角形，因為，所以點P在平面內(nèi)的射影是的外心，即斜邊的中點，且平面平面，于是的外心即為三棱錐的外接球的球心，因此的外接圓半徑等于三棱錐的外接球半徑．因為，，所以，于是，根據(jù)正弦定理知的外接圓半徑R滿足，所以三棱錐的外接球半徑為，因此三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：例20．（2024·江蘇常州·高三華羅庚中學?？茧A段練習）在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】/【解析】取的中點，連接，因為，所以和都是等邊三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，設球心為，和的中心分別為，則平面，平面，因為，公共邊，所以≌，所以，因為，所以，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為故答案為：例21．（2024·河北承德·高一校聯(lián)考階段練習）已知三棱錐的各側(cè)棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】如圖：過P點作平面ABC的垂線，垂足為M，則都是直角三角形，又，同理可得，，所以M點是的外心；又，是以斜邊的直角三角形，在底面的射影為斜邊的中點，如下圖：則，設三棱錐外接球的球心為，半徑為，則在上，則，即，得，外接球的表面積為；故答案為：變式21．（2024·吉林長春·高一長春市解放大路學校?？计谀┮阎忮FP-ABC的四個頂點在球O的球面上，，△ABC是邊長為的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，，則球O的體積為.【答案】【解析】設，則，因為，則，在中，因為，則，由余弦定理可得，即，解得，可知，即，所以兩兩垂直，可以把三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方體，可知球O即為正方體的外接球，其體對角線即為外接球的直徑，即，所以球O的體積.故答案為：.變式22．（2024·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點為，連接，易知在中：又平面為外心球心在上設半徑為，球心為在中：故答案選A變式23．（2024·全國·高一專題練習）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖1，過作垂足為，取的中點，連接過作∥,且=，連接，則∵△為等邊三角形，則∴，，根據(jù)題意可得∵，則由題意可得，則，則如圖2，∵，則頂點在平面的投影為△的外接圓圓心，則三棱錐的外接球的球心在直線上，連接，則∴△的外接圓半徑，則設棱錐的外接球的半徑為，則即，解得三棱錐的外接球的表面積為故選：D．變式24．（2024·全國·高三專題練習）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C．s D．【答案】D【解析】作出圖形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)證明出平面平面，并找出球心的位置，列等式求出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式可得出結(jié)果.如下圖所示：取的中點，連接、，設和的外心分別為點、，分別過點、作平面和平面的垂線交于點，則點為外接球球心，由題意可知，和都是邊長為的等邊三角形，為的中點，，且，，，，，平面，平面，平面平面，易得，，平面，平面，，同理可得，則四邊形為菱形，，菱形為正方形，平面，平面，，所以外接球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：D.題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型例22．（2024·浙江臺州·高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的外接球的體積為.【答案】【解析】由題設，圓錐體的高為，若外接球的半徑為，則，可得，所以圓錐的外接球的體積為.故答案為：.例23．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側(cè)面積為，該圓錐內(nèi)接于球，則球的表面積為.【答案】/【解析】作圓錐的軸截面，則該軸截面等邊△的外接圓圓心即為圓錐的外接球球心，且△ABC外接圓半徑等于圓錐的外接球半徑，如下圖所示，因為圓錐的側(cè)面積，所以,設球的半徑為R，由正弦定理得，因此，這個球的表面積為.故答案為：例24．（2024·河北石家莊·高二校考階段練習）一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的表面積與球的表面積之比為.【答案】【解析】設球的半徑為，則圓柱的表面積，球的表面積，所以.故答案為：.變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，已知一個球內(nèi)接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】設球的半徑為，則，所以，，取圓臺的軸截面，如下圖所示：設圓臺的上、下底面圓心分別為、，則、分別為、的中點，連接、、、、、，則，由垂徑定理可知，，，所以，，，因為，，，所以，，所以，，所以，，所以，，則，因此，圓臺的側(cè)面積為，故選：D.變式26．（2024·云南·高三校聯(lián)考開學考試）已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得圓臺的高為，設圓臺的上下底面圓心為，，，球的半徑為，當圓臺的兩個底面在球心異側(cè)時，，所以，解得，；當圓臺的兩個底面在球心同側(cè)時，，，解得，，此時，不合題意，舍去，故球的體積，故選：B．變式27．（2024·陜西西安·高一?？计谥校┤鐖D所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為圓臺外接球的表面積，所以球的半徑，設圓臺的上?下底面圓心分別為，在上?下底面圓周上分別取點，連接，如圖，因為圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，所以，，所以，,所以，所以圓臺體積.故選：D.題型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一?？计谀┤鐖D，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點在某個球面上，則該球體的表面積為.

【答案】/【解析】作出底面的外心，側(cè)面的外心，取中點，連接，因為平面平面，面平面，因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又因為平面，所以平面，由球的性質(zhì)可得平面，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，故，在中，因為，，則，設的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理有，則，設三棱錐外接球的半徑為，則，則外接球的表面積為.故答案為：.例26．（2024·四川樂山·高二期末）已知正邊長為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為．【答案】【解析】如圖，取BC中點G，連接AG,DG，則，，分別取與的外心E,F分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，所以正方形OEGF的邊長為，則，所以四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故答案為：．例27．（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面平面，點是的中點，，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】因為，所以的外接圓圓心即點，三棱錐外接球球心在過點與平面垂直的直線上，由于平面平面即球心在平面內(nèi)，所以球心即為的外接圓圓心，球的半徑即為的外接圓半徑.因為，所以，從而.設，在中，根據(jù)余弦定理有，所以，由正弦定理得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：變式28．（2024·江蘇·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為．【答案】【解析】取的中點E，連接AE，如圖．因為，所以．又面面，面面，且面，所以面，面，所以．在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．又AE，面，且AE，相交，所以面，面，所以．設，則，解得，所以．所以三棱柱外接球的表面積．故答案為：變式29．（2024·河南開封·開封高中?？寄M預測）如圖,在三棱錐中,平面平面ABC,,,,為等邊三角形,則三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】因為平面平面,平面平面,平面,所以平面;如圖,因為,所以三角形的外心即為中點,過三角形的外心作平面的垂線,過三角形的外心作平面的垂線,則兩垂線必相交于球心,連接,則外接球半徑.在中,,,所以,所以表面積.故答案為:.變式30．（2024·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

【答案】【解析】在平面四邊形中設，即在Rt中，.在等腰中，.設外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，則，所以四邊形為直角梯形.設外接球的半徑為，在平面四邊形中，過做于，在中，為的中點，，由，所以.令，則，因為，當且僅當，即時（滿足）等號成立.所以，所以外接球表面積的最小值為.故答案為：變式31．（2024·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】如圖所示，作中點，連接、，在上作的中心，過點作平面的垂線，在垂線上取一點，使得，因為三棱錐底面是等邊三角形，是的中心，所以三棱錐外接球球心在過點的平面垂線上，又因，則即為球心，因為平面平面，，，平面平面，，所以平面，，，，，設球的半徑為，則，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.故答案為：變式32．（2024·云南臨滄·高二?？计谥校┤鐖D，已知矩形中，，現(xiàn)沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為．

【答案】【解析】設，由矩形的性質(zhì)可知：，則三棱錐的外接球的球心即為，半徑，所以三棱錐的外接球的體積.故答案為：.變式33．（2024·全國·高三校聯(lián)考開學考試）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為.【答案】【解析】依題意，點是三棱錐外接球的球心，設球的半徑為是外接圓的圓心，設圓的半徑為，點到底面的距離為，由題意，可得，則.因為是邊長為3的正三角形，所以由正弦定理，可得，則.所以三棱錐的體積為，三棱錐的體積取最大值則需要最大.由題意可知，點在過且與底面（此處底面為水平）垂直的截面圓的圓周上運動，當點運動到該圓的最高點時，最大.取的中點，連接，過點作.如圖所示，由圓的對稱性可知，此時，則.又平面平面，且平面平面平面，所以平面.因為在中，，又，所以.易得四邊形為矩形，所以.因為在中，，所以，所以.故答案為：.變式34．（2024·四川樂山·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積的最小值為．【答案】【解析】如圖，取中點，連接，，由，則，，由面面ABC，面面ABC，面，所以面ABC，而面，所以，設，，則，易知，，取外接圓的圓心，易知在直線上，設外接圓半徑為，由正弦定理，，同理，取外接圓的圓心，則在直線上，，過，分別做平面和平面的垂線交于點，易證，，∴，為三棱錐外接球的球心.①當時，，，，，分別在線段，上，易知，設三棱錐外接球的半徑為，則，，由基本不等式，，當且僅當，即時，等號成立.②當時，，，，，分別在線段，的延長線上，如下圖所示，此時，，∵，∴，且無最小值.綜上所述，的最小值為，∴三棱錐的外接球表面積的最小值為.故答案為：.變式35．（2024·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預測）在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.【答案】【解析】在平面圖形中設，即Rt中，.在中，.設外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，交線為平面四邊形為直角梯形.設外接球的半徑為，在平面中，過做于，在中，為的中點，.令，則，當且僅當時，即時（滿足）等號成立.所以球表面積最小值為.故答案為：.題型十：外接球之二面角模型例28．（2024·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學考試）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當D在△ACD的外接圓上動的時候，該三棱錐的外接球不變，故可使D點動到一個使得DA=DC的位置，取AC的中點M，連接，因為，DA=DC，所以，，故即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過O1作平面ABC的垂線，過△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內(nèi)，它們的交點就是球心O，畫出平面BMD，如圖所示；在平面ABC內(nèi)，設，則，，因為，所以，所以，所以令，則，所以，當且僅當時取等，故選:B例29．（2024·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在四面體PABC中，，是邊長為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點，因為，所以是的外接圓的圓心，過作平面，過作平面，，如圖，則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，，則在中，，設四面體PABC的外接球的半徑為，則，所以四面體PABC的外接球的表面積為.故選：C.例30．（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為點均在球的表面上，所以四邊形內(nèi)接于圓，所以，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角為，所以，在中，因為，所以，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圓的直徑為：，即四邊形外接圓的直徑為，因為平面，所以，四棱錐外接球的半徑為：所以四面體外接球的表面積為.故選：B.變式36．（2024·福建·高一福建師大附中?？计谀┰谒拿骟w中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π【答案】A【解析】如圖所示，取的中點，連接，分別取和的外心與，過兩點分別作平面和平面的垂線，交于點，則就是外接球的球心，連接，則為二面角的平面角，即，則是等邊三角形，其邊長為，，在中，，所以，又由，所以，所以四面體的外接球的表面積為.故選：A.變式37．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長度相等，小三角形紙板的直角邊長為a，現(xiàn)將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點D到達點M的位置，得到三棱錐，如圖2．若二面角的大小為，則所得三棱錐M－ABC的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取AC的中點E，AB的中點F，連接ME，EF．因為，所以．易知，因為，所以，所以．過點E作OE⊥平面MAC，過點F作OF⊥平面ABC，，連接OA，易知E，F(xiàn)兩點分別是△MAC和△ABC的外心，所以點O是三棱錐的外接球的球心．因為，所以，，所以，因為，，所以，所以，又，所以，則三棱錐的外接球的半徑為，所以外接球的表面積．故選：C.變式38．（2024·全國·高三專題練習）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，平面，平面，所以平面．又平面，則，因為平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，即90°．因為為60°，所以60°，在中，，可得，．易知，的四個頂點可以與一個長方體的四個頂點重合，如圖所示，則該長方體的外接球即為的外接球，球心PC的中點，，表面積為，故A正確．故選：A.變式39．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接，因為，所以到的距離相等，故即為球心．由球的表面積等于，設外接球半徑為，故，解得，過作垂直于于點，因為，，所以，同理，過點作，且，則，是二面角的平面角，，過點作，垂足為點.因為，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，,且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，則為三棱錐的高，故三棱錐的高為，其中，所以三棱錐的體積．故選：B.變式40．（2024·全國·高一專題練習）在三棱錐中，，二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設E，F(xiàn)，G分別是BC，AC，BD的中點，則，因為，所以，則二面角的平面角為，且平面EFG，又因為，所以，所以，因為平面EFG，所以，所以平面ABC．又因為F是外接圓的圓心，所以FG經(jīng)過球心，且G是外接圓的圓心，所以G是三棱錐外接球的球心，設外接球的半徑為，則，故三棱錐外接球的表面積．故選：D.題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型例31．（2024·貴州黔東南·高二凱里一中校考期中）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點，連接，因為，，所以，.因為平面平面，所以平面.設，所以，所以球的體積為.故選：例32．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的體積為，，，若是其外接球的直徑，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由是其外接球的直徑，得中點是外接球球心，設是的外心，則平面，且等于到平面的距離的一半．求出中長（用余弦定理），由正弦定理求得外接圓半徑，求出面積，求體積求出，從而可得外接圓半徑，得表面積．如圖，是中點，則是外接球球心，設是的外心，則平面，且等于到平面的距離的一半．∵，，∴，，，，，，∴，．故選：D.例33．（2024·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學?？计谥校┮阎忮F的所有頂點都在球的球面上,為球的直徑,是邊長為的等邊三角形,三棱錐的體積為,則球的表面積為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出其立體圖像,如圖:設中點為為球的直徑,故點為三棱錐外接球的球心.設外接圓的圓心為是邊長為,故外接圓半徑為:.故是邊長為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得:三棱錐的體積為根據(jù)三棱錐體積公式可得:可得,解得:根據(jù)幾何關(guān)系可知:在中,有根據(jù)球的表面積公式為故選:A.變式41．（2024·重慶·校聯(lián)考一模）已知三棱錐各頂點均在球上，為球的直徑，若，，三棱錐的體積為4，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】求解出面積后，利用三棱錐的體積，構(gòu)造方程，求解出點到底面的距離，從而可知的長度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半徑，從而求得球的表面積.原題如下圖所示：由，得：則設外接圓圓心為，則由正弦定理可知，外接圓半徑：設到面距離為由為球直徑可知：則球的半徑球的表面積本題正確選項：變式42．（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）三棱錐的四個頂點都在球面上，是球的直徑，，，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖：由題意，是球的直徑，，，，，，，，球的半徑為，球的表面積為，故選：．變式43．（2024·河南南陽·統(tǒng)考模擬預測）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】連接AO,BO因為PA=AC,PB=BC,所以和為等腰三角形,又因為為球O的直徑,所以O為PC的中點,所以,又因為平面PCA平面PCB,所以BO,又因為所以平面PBC,設半徑為r，則

，所以，故選B．變式44．（2024·福建莆田·高三統(tǒng)考期中）三棱錐的各頂點均在球上，為該球的直徑，，三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，，三棱錐的體積為，所以，解得三棱錐的高為，設為三角形的外接圓的圓心，連接，則平面，因為為該球的直徑，所以，連接，由正弦定理可知三角形的外接圓的直徑為，由勾股定理可得球半徑球的表面積為，故選D.變式45．（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐的四個頂點均在某球面上，為該球的直徑，是邊長為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意作出圖形如圖示.設球心為O，球的半徑r.過三點的小圓的圓心為，則⊥平面，延長交球于點，則平面.所以.因為為的中點，所以因為是邊長為4的等邊三角形，所以.且.由勾股定理得：.所以.所以三棱錐的體積為，解得：.所以該三棱錐的外接球的表面積為.故選：D變式46．（2024·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）已知是球的直徑，是球球面上的兩點，且，若三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】設球心為是球心的直徑，是的中點，，設到面距離為，則，即，由正弦定理可得外接圓直徑為球半徑為，球表面積為，故選D.題型十二：外接球之共斜邊拼接模型例34．（2022·江西·高二階段練習（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵底面ABCD為菱形，∴，又底面ABCD，∴，∴平面PBD，∴，即，取PC的中點M，如下圖：連結(jié)BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，在中MO=PC，∴點M為三棱椎P-BOC的外接球的球心，在中，由于，O是AC的中點，所以是等腰三角形，

，外接球半徑為，外接球的體積為；故選：B．例35．（2022·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，則，所以，又因為，，，則，所以，由，，，則，所以，又由，，，則，所以，可得為三棱錐的外接球的直徑，又由，所以此三棱錐的外接球半徑為，所以球的表面積為．故選：C．例36．（2022·江西贛州·高二期中（理））在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設SC的中點為O，AB的中點為D，連接OA、OB、OD，因為，所以，則，所以O為其外接球的球心，設球的半徑為R，因為，，所以，所以，因為，所以平面AOB，所以，解得，所以其外接球的體積為，故選：D變式47．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖2所示．∴外接球的半徑．故．選C．變式48．三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為【答案】1【解析】是公共的斜邊，的中點是球心，球半徑為．題型十三：外接球之坐標法模型例37．（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）空間直角坐標系中，則四面體ABCD外接球體積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取，則是長方體，其對角線長為，∴四面體外接球半徑為．，故選：B．例38．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，某環(huán)保組織設計一款苗木培植箱，其外形由棱長為2（單位：）的正方體截去四個相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面積的最小值為【答案】【解析】如圖將正方體補全，依題意可得、、、為正方體底面邊上的中點，要使球的表面積最小，即為求的外接球的表面積，如圖建立空間直角坐標系，則，，則幾何體外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，設球心為，球的半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的表面積，即該球表面積的最小值為.故答案為：例39．（2024·河南開封·開封高中?？家荒＃┤鐖D，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【解析】過C作面于H，則三棱錐的體積為，所以，取AD中點M，連接CM，MH，因為為等邊三角形，所以，又面，面，所以，又，所以面，面，所以，在中，所以以AB，AD為軸，垂直于AB，AD方向為軸，建立如圖所示空間坐標系，設球心，在面的投影為，由得，所以N為的外接圓圓心，所以N為斜邊的中點，故設由得，解得，所以，故外接球的表面積為，故答案為：變式49．（2024·全國·高三專題練習）如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，，平面，所以平面，又，如圖建立空間直角坐標系，則、、、、、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點，設外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；故選：B變式50．（2024·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）期末）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，則，，，于是，則，∴，四棱錐外接球直徑為，故其表面積為．故選：B.變式51．（2024·河南鄭州·模擬預測）在長方體中中，，AD＝2，M是棱的中點，過點B，M，的平面交棱AD于點N，點P為線段上一動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為．【答案】【解析】設三棱錐外接球球心為，半徑為R，則在過直角斜邊的中點與平面垂直的直線上，且滿足.以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設球心，，又，設，，則，由，得，則，由，，可得，又，所以當時，取最小值，最小值為，所以三棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：.變式52．（2024·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱?的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為.【答案】【解析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.變式53．（2024·廣東陽江·高三陽春市第一中學階段練習）已知正方體的棱長為2，點是線段上的動點，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為．【答案】【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，設為的中點，為三棱錐外接球的球心，則為外接圓的圓心，平面，，設，則，所以，化簡得，所以，所以球的半徑.故答案為：.題型十四：外接球之空間多面體例40．（2024·全國·高三專題練習）自2015年以來，貴陽市著力建設“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數(shù)量累計達到1025個．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對應幾何體的外接球的表面積為．【答案】【解析】設正方體的中心為，為棱的中點，連接，則為矩形的對角線的交點，則，同理，到其余各棱的中點的距離也為，故石凳所對應幾何體的外接球的半徑為20，其表面積為，故答案為：例41．（2024·山東青島·高一山東省青島第五十八中學?？茧A段練習）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為.【答案】【解析】因為棱長為的正四面體的高為，所以截角四面體上下底面距離為，序曲其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，則垂直于平面與平面，則,所以，解得，所以該截角四面體的外接球的表面積為,故答案為：例42．（2024·寧夏銀川·銀川二中?？家荒＃┌岩粋€棱長都是6的正四棱錐（底面是正方形，頂點在底面的射影是正方形的中心）每條棱三等分，沿與正四棱錐頂點相鄰的三等分點做截面，將正四棱錐截去四個小正四面體和一個小正四棱錐（如圖所示），則剩下的幾何體的外接球的表面積等于．【答案】【解析】設正四棱錐底面的正方形為，頂點為，棱的三等分點為點和點，棱的三等分點為點和點，連接與交于點，連接，，，，，則底面，如圖所示，因為正四棱錐的棱長是6，即，所以，所以，即，所以正四棱錐的外接球的球心為點，，又因為，，，所以，則,同理可證，則,又因為，，，所以，則，同理可證出該幾何體其他頂點到點的距離都相等，故剩下的幾何體的外接球的球心也為點，，所以在中，，解得，即剩下的幾何體的外接球的半徑為，故剩下的幾何體的外接球的表面積：，故答案為：．變式54．（2024·山東濟南·高一山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）取兩個相互平行且全等的正n邊形，將其中一個旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個多邊形的頂點，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“n角反棱柱”.當n=4時，得到如圖所示棱長均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：設上下底面的中心分別為，設該“四角反棱柱”外接球的球心是，顯然是的中點，設的中點為，連接，過做，垂足為，因為，，所以，在直角三角形中，，所以有，于是有，在直角三角形中，，所以該“四角反棱柱”外接球的表面積等于，故選：B題型十五：與球有關(guān)的最值問題例43．（2024·江西撫州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，直三棱柱中，，棱柱的側(cè)棱足夠長，點P在棱上，點在上，且，則當△的面積取最小值時，三棱錐的外接球的體積為.【答案】【解析】如圖所示，取的中點為，連接，因為三棱柱為直棱柱，所以平面ABC，因為平面，所以，又因為且，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為且，平面，所以平面，因為平面，所以，設，在直角中，，同理，所以，整理得到，又由，當且僅當時等號成立，即時，的面積取最小值，因為平面，平面，所以，所以，又因為為直角三角形，故，所以為三棱錐的外接球的球心，設外接球的半徑為，可得外接球的直徑為，所以外接球的體積為.故答案為：.例44．（2024·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）如圖，直三棱柱中，，點在棱上，且，當?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】由余弦定理得：設，則，由得：，解得：，因為，故由基本不等式得：當且僅當，且時，即時取最小值.底面三角形外接圓半徑，.故答案為：例45．（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）正方體的棱長為2，點平面，點是線段的中點，若，則當?shù)拿娣e取得最小值時，三棱錐外接球的體積為.【答案】【解析】如圖以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，取的中點，連接，，，得，，，，，所以，，，因為，，所以，，所以平面，因為，點又在平面上，所以點在直線上，則，當?shù)拿娣e取得最小值時，線段的長度即為點到直線的距離，即時，面積最小，由，，為直角三角形，可得，，，過點作交平面于點，連接，，可以得到直三棱柱，向外構(gòu)建長方體，則三棱錐外接球即可以為長方體的外接球，設外接球的半徑為，所以，即，則外接球體積為.故答案為：變式55．（2024·廣東深圳·高三深圳中學校考開學考試）如圖，直三棱柱中，⊥，，，點P在棱上，且，當?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【解析】由勾股定理得：，設BP=x，，則，，，由得：，解得：，因為，故由基本不等式得：，當且僅當，即時，等號成立，將三棱錐補形為長方體，則三棱錐的外接球即該長方體的外接球，其中長方體的外接球的直徑為，故半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：變式56．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期末）已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為.【答案】【解析】如圖所示：設球心為所在圓面的圓心為，則平面．因為為等腰直角三角形且，所以是中點；所以當三棱錐體積最大時，為射線與球的交點，所以；因為，設球的半徑為，所以，所以，解得：，所以球的表面積為.故答案為：．變式57．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學?？茧A段練習）已知四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝3，則當四棱錐的體積取得最大值時，其外接球的表面積為．【答案】【解析】依題意可知，當側(cè)面底面ABCD時，四棱錐S－ABCD的體積最大．設球心為O，半徑為R，正方形ABCD和外接圓的圓心分別為，，正方形ABCD外接圓半徑為，則平面ABCD，平面SAB．因為和正方形ABCD的邊長均為3，設AB的中點為E，所以，，由勾股定理得，所以球O的表面積．故答案為：變式58．（2024·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中校考階段練習）在三棱錐中，底面，，，為的中點，若三棱錐的頂點均在球的球面上，是球上一點，且三棱錐體積的最大值是，則球的體積為.【答案】/【解析】正中，為的中點，則，而平面，平面，即，而，平面，則平面，平面，有，又，因此，與的斜邊中點到點A，B，M，P的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點，從而，點O是三棱錐外接球球心，設球的半徑為，有，的外接圓圓心為的中點，設為，連接，則平面，如圖，則有，即到平面的距離為，因此到平面距離的最大值為，又，即有，解得，，，所以球的體積為.故答案為：變式59．（2024·江西南昌·南昌十中?？寄M預測）點，，，在同一個球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則這個球的表面積為.【答案】/【解析】依題意，三角形為正三角形，面積為，設四面體的高為，則，解得，設球心為O,三角形的外接圓圓心，當四面體體積最大時，三點共線，如圖，三角形所在平面截球得到的圓為三角形的外接圓，其半徑，連接球心和三角形的外接圓圓心，則平面，設球的半徑為，，，解得，這個球的表面積為，故答案為：題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型例46．（2024·廣東肇慶·高一校考階段練習）棱長為2的正方體的內(nèi)切球的球心為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的內(nèi)切球的球心為，由對稱性可知為正方體的中心，球半徑為1，即球的體積為.故選：B.例47．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學?？茧A段練習）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，故，故的內(nèi)切圓的半徑為.因為直三棱柱存在內(nèi)切球，故直三棱柱的高即為內(nèi)切球的直徑.而內(nèi)切球的半徑即為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切球的半徑為1，故直三棱柱的高為2.將直三棱柱補成如圖所示的長方體，則外接球的直徑即為該長方體的體對角線，故外接球的半徑為，故外接球的的表面積為.故選：D.例48．（2024·山西太原·高一?？茧A段練習）已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（

）A．4 B．16 C．8 D．64【答案】D【解析】根據(jù)球的體積公式，，解得.因為正方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長，所以正方體的棱長為，故正方體的體積為.故選：D.變式60．（2024·全國·高一專題練習）若一個正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，則正三棱柱的內(nèi)切球半徑等于正三角形的內(nèi)切圓半徑，則內(nèi)切球的半徑，正三棱柱的高．設正三角形的外接圓半徑為R，易得，所以外接球的半徑．所以它的外接球與內(nèi)切球體積之比為．故選：C變式61．（2024·遼寧·高二沈陽二中校聯(lián)考開學考試）在正三棱柱中，D是側(cè)棱上一點，E是側(cè)棱上一點，若線段的最小值是﹐且其內(nèi)部存在一個內(nèi)切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設正三棱柱的底面邊長為高為，對三個側(cè)面進行展開如圖，要使線段的最小值是，則連接（左下角，右上角），此時在連接線上，故①，因為正三棱柱內(nèi)部存在一個半徑為的內(nèi)切球，所以整理得，將代入①可得，所以正三棱柱的底面外接圓半徑為，所以正三棱柱的外接球半徑為，所以該棱柱的外接球表面積為故選：B變式62．（2024·全國·高一專題練習）若一個正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖：分別為底面中心，為的中點，為的中點設正六棱柱的底面邊長為若正六棱柱有內(nèi)切球，則，即內(nèi)切球的半徑，即外接球的半徑則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為故選：C．變式63．（2024·全國·高三專題練習）已知點O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內(nèi)切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設直三棱柱的高為h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，內(nèi)切球O的半徑為r，則h＝2r，由題意可知球O的表面積為，解得r＝2，∴h＝4，又△ABC的周長為4，即a＋b＋c＝4，∴連接OA，OB，OC，可將直三棱柱分成5個棱錐，即三個以原來三棱柱側(cè)面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的四棱錐，兩個以原來三棱柱底面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的的三棱錐，∴由體積相等可得直三棱柱的體積為h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，∴三棱錐的體積為h＝×4×4＝．故選：B．題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型例49．（2024·高一課時練習）邊長為的正四面體內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將棱長為的正四面體補成正方體，則該正方體的棱長為，，設正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體每個面的面積均為，由等體積法可得，解得，因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為.故選：D.例50．（2024·全國·高三專題練習）已知正四面體的棱長為，則其內(nèi)切球的表面積為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設正四面體內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，取中點，作平面于，則為中心，則，.，，，又，，內(nèi)切球表面積.故選：.例51．（2024·江蘇·高一專題練習）正四面體的棱長為，則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，正四面體的內(nèi)切球與外接球球心重合，記為，令正的中心為，連接，顯然點在上，令正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑分別為，即，而，則，在中，，解得，，所以它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為.故選：D題型十八：內(nèi)切球之棱錐模型例52．（2024·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習）已知矩形中，，沿著對角線將折起，使得點不在平面內(nèi)，當時，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中點，由矩形的性質(zhì)可知，即為該四面體的外接球的球心，故外接球的半徑；因為，，平面，可得平面，平面，則，且，，平面，可得平面，平面，則，故該四面體的四個面都是直角三角形，設四面體的內(nèi)切球的半徑為，因為內(nèi)切球與四面體的四個面都相切，故滿足，則，解得；因此該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積的比值為.故選：C.例53．（2024·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】因為四棱錐的各棱長均為2，所以四棱錐是正四棱錐，則，過P作底面垂線，垂足為H，則，所以，則，故其內(nèi)切圓表面積為，故選：B．例54．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，，解得球的半徑，設，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：D.變式64．（2024·河南濮陽·高一濮陽一高?？茧A段練習）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內(nèi)切球），則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為平面，平面，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均為直角三角形，設球的半徑為r，則，而，，所以，解得，所以球的表面積為，故選：A.變式65．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)圖形，已知正方體的棱長為2，易知正八面體的棱長為正方體面對角線長的一半，即為，如圖，在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，為正八面體的中心，平面，平面，則，，.在中，，則該正八面體的體積，該八面體的表面積設正八面體的內(nèi)切球半徑為，，即，解得，.故選：C.變式66．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學校聯(lián)考期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為四面體四個面都為直角三角形，平面，所以，，設四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則所以，因為四面體的表面積為，又因為四面體的體積，所以，所以內(nèi)切球表面積.故選：C.題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺模型例55．（2024·全國·高三專題練習）在Rt中，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意該幾何體是兩個共底面的圓錐的組合體，如圖是其軸截面，由對稱性知其內(nèi)切球球心在上，到的距離相等為球的半徑，設其為，因為是直角，所以是正方形，即，由得，即，解得，球體積為．故選：C．例56．（2024·天津·統(tǒng)考二模）已知一個圓錐的高為，底面直徑為，其內(nèi)有一球與該圓錐的側(cè)面和底面都相切，則此球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓錐的母線長為，取圓錐的軸截面如下圖所示：設該圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，，因此，球的體積為.故選：C.例57．（2024·全國·高一專題練習）已知某圓錐的母線長為2，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中錯誤的是（

）A．圓錐的體積為 B．圓錐的表面積為C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形 D．圓錐的內(nèi)切球表面積為【答案】B【解析】由題設，底面直徑，故半徑為，體高為，所以圓錐的體積為，A正確；圓錐的表面積為，B錯誤；底面周長為，側(cè)面展開扇形半徑為2，故圓心角為，C正確；由軸截面是腰長為2的等腰直角三角形，圓錐的內(nèi)切球最大截面為其內(nèi)切圓，所以內(nèi)切球半徑為，故球體表面積為，D正確.故選：B變式67．（2024·貴州貴陽·