第14講、導數(shù)的概念與運算（教師版）

[在此處鍵入]第14講導數(shù)的概念與運算知識梳理知識點一：導數(shù)的概念和幾何性質1、概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或．知識點詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點處的導數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．知識點二：導數(shù)的運算1、求導的基本公式基本初等函數(shù)導函數(shù)（為常數(shù)）2、導數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導法則：；（2）函數(shù)積的求導法則：；（3）函數(shù)商的求導法則：，則．3、復合函數(shù)求導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關系為：【解題方法總結】1、在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．2、過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．必考題型全歸納題型一：導數(shù)的定義【例1】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，即.故選：D【對點訓練1】（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【答案】C【解析】由，求導得：.當時，，解得（舍去）.故當時，液體上升高度的瞬時變化率為.故選：C【對點訓練2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學期末）已知函數(shù)的導函數(shù)是，若，則（）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因為所以故選：B【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)在處可導，且，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】由導數(shù)定義可得，所以．故選：A．【對點訓練4】（2024·高三課時練習）若在處可導，則可以等于（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由導數(shù)定義，對于A，，A滿足；對于B，，，B不滿足；對于C，，，C不滿足；對于D，，，D不滿足.故選：A.【解題方法總結】對所給函數(shù)式經過添項、拆項等恒等變形與導數(shù)定義結構相同，然后根據導數(shù)定義直接寫出．題型二：求函數(shù)的導數(shù)【例2】（2024·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；【解析】（1）因為，所以.（2）因為，所以.（3）因為，所以（4）因為，所以【對點訓練5】（2024·高三課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）.（2），所以.（3）.（4）.（5）.（6），故.【對點訓練6】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預測）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則__________．【答案】【解析】因為，所以．因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，于是．故答案為：【對點訓練7】（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）已知可導函數(shù)，定義域均為，對任意滿足，且，求__________.【答案】【解析】由題意可知，令，則，解得，由，得，即，令，得，即，解得.故答案為：.【對點訓練8】（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則______．【答案】【解析】因為，則，故，故．故答案為：.【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則__________.【答案】-2【解析】由函數(shù)求導得：，當時，，解得，因此，，所以.故答案為：-2【解題方法總結】對所給函數(shù)求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數(shù)求導法則，直接轉化為基本函數(shù)求導問題．題型三：導數(shù)的幾何意義方向1、在點P處切線【例3】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】函數(shù)的導函數(shù)為，所以函數(shù)在處的導數(shù)值，所以曲線在點處的切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即，故答案為：.【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線方程為______．【答案】【解析】因為，所以，則，又，所以曲線在點處的切線方程為，即．故答案為：.【對點訓練11】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，為的導函數(shù).若的圖象關于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為______【答案】【解析】，令，，則，令，，解得x＝2k＋1，，當k＝0時，x＝1，所以直線x＝1為的一條對稱軸，故的圖象也關于直線x＝1對稱，則有，解得b＝－1，則，，，，故切線方程為.故答案為；.【對點訓練12】（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______．【答案】【解析】因為是奇函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，所以，則，故，所以，所以曲線在點處的切線方程為，化簡得.故答案為：方向2、過點P的切線【對點訓練13】（2024·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是______．【答案】【解析】由題意可得，設該切線方程，且與相切于點，，整理得，∴，可得，∴.故答案為：.【對點訓練14】（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】由，設切點為，則切線斜率為，所以，過的切線方程為，綜上，，即，所以有三個不同值使方程成立，即與有三個不同交點，而，故、上，遞減，上，遞增；所以極小值為，極大值為，故時兩函數(shù)有三個交點，綜上，的取值范圍是.故答案為：【對點訓練15】（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程：__________.【答案】或（寫出一條即可）【解析】由可得，設過點作曲線的切線的切點為，則，則該切線方程為，將代入得，解得或，故切點坐標為或，故切線方程為或，故答案為：或【對點訓練16】（2024·海南海口·校聯(lián)考模擬預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個可能值為_________．【答案】，，，只需寫出一個答案即可【解析】設切點為，因為，所以切線方程為．因為切線經過點，所以，由題意關于的方程沒有實數(shù)解，則，解得．因為為整數(shù)，所以的取值可能是，，.故答案為：，，，只需寫出一個答案即可【對點訓練17】（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為___________.【答案】或【解析】由可得，設切點坐標為，所以切線斜率，又因為，則切線方程為，把代入并整理可得，解得或.故答案為：或【對點訓練18】（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）若過點有條直線與函數(shù)的圖象相切，則當取最大值時，的取值范圍為__________.【答案】【解析】設過點的直線與的圖象的切點為，因為，所以切線的斜率為，所以切線的方程為，將代入得，即，設，則，由，得或，當或時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增，所以，又0，所以恒成立，所以的圖象大致如圖所示，由圖可知，方程最多個解，即過點的切線最多有條，即的最大值為3，此時.故答案為：.【對點訓練19】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則曲線過點的切線方程為______．【答案】或【解析】設切點為，由，得，∴，得，∴，，∴切點為，，∴曲線在點M處的切線方程為①，又∵該切線過點，∴，解得或．將代入①得切線方程為；將代入①得切線方程為，即．∴曲線過點的切線方程為或．故答案為：或方向3、公切線【對點訓練20】（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，因為，設切點為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調遞增，且，當時，，即，此時函數(shù)單調遞減，當時，，即，此時函數(shù)單調遞增，所以，且當時，，所以函數(shù)的值域為，所以且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【對點訓練21】（2024·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┤糁本€與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為___________.【答案】1【解析】設，則，設切點為，則，則切線方程為，即，直線過定點，所以，所以，設，則，設切點為，則，則切線方程為，即，直線過定點，所以，所以，則是函數(shù)和的圖象與曲線交點的橫坐標，易知與的圖象關于直線對稱，而曲線也關于直線對稱，因此點關于直線對稱，從而，，所以．故答案為：1.【對點訓練22】（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是____．【答案】【解析】曲線在點處的切線方程為，由于直線與圓相切，得（*）因為曲線與圓有三條公切線，故（*）式有三個不相等的實數(shù)根，即方程有三個不相等的實數(shù)根.令，則曲線與直線有三個不同的交點.顯然，.當時，，當時，，當時，，所以，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；且當時，，當時，，因此，只需，即，解得.故答案為：【對點訓練23】（2024·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】由題意得，設與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，則切線方程為，即，，即，由于兩切線為同一直線，所以，得．令，則，當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增．即有處取得極小值，也為最小值，且為．又兩曲線恰好存在兩條公切線，即有兩解，結合當時，趨近于0，趨于負無窮小，故趨近于正無窮大，當時，趨近于正無窮大，且增加幅度遠大于的增加幅度，故趨近于正無窮大，由此結合圖像可得a的范圍是，故答案為：【對點訓練24】（2024·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則________．【答案】【解析】設曲線在處的切線與曲線相切于處，，故曲線在處的切線方程為，整理得.，故曲線在處的切線方程為，整理得.故由(1)再結合知，將(1)代入(2)，得，解得且，將代入(1)，解得且，即且，令，則，.令，，則在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減，且，又兩曲線有且只有一條公切線，所以只有一個根，由圖和知.故答案為：.【對點訓練25】（2024·福建南平·統(tǒng)考模擬預測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為________．【答案】【解析】設曲線和曲線在公共點處的切線相同，則，由題意知，即，解得，故切點為，切線斜率為，所以切線方程為，即，故答案為：方向4、已知切線求參數(shù)問題【對點訓練26】（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【答案】【解析】設切線切點為，因，則切線方程為：.因過，則，由題函數(shù)圖象與直線有兩個交點.，得在上單調遞增，在上單調遞減.又，，.據此可得大致圖象如下.則由圖可得，當時，曲線有兩條過的切線.故答案為：【對點訓練27】（2024·山東聊城·統(tǒng)考三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】設切點坐標為，因為，所以，故切線的斜率為：，，則.又由于切點在切線與曲線上，所以，所以.令，則，設，，令得：，所以當時，，是增函數(shù)；當時，，是減函數(shù).所以.所以的最大值為：1.故選：B.【對點訓練28】（2024·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由且x不為0，得設切點為，則，即，所以，可得.故選：C【對點訓練29】（2024·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知偶函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因為是偶函數(shù)，所以，即；由題意可得：，所以.故選：A【對點訓練30】（2024·全國·高三專題練習）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，且，因為曲線在其上任意一點點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，所以，對任意的恒成立，則，當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，，解得.故選：B.【對點訓練31】（2024·全國·高三專題練習）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【解析】對求導得，由得，則，即，所以，當且僅當時取等號．故選：D．方向5、切線的條數(shù)問題【對點訓練32】（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，由圖象可知點在函數(shù)圖象上方時，過此點可以作曲線的兩條切線，所以，故選：B．【對點訓練33】（2024·全國·高三專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設切點坐標為，由于，因此切線方程為，又切線過點，則，，設，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點，，當時，恒成立，在定義域內單調遞增，不合題意；當時，時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，結合圖像知，即.故選：D.【對點訓練34】（2024·湖南·校聯(lián)考二模）若經過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】設切點．因為，所以，所以點處的切線方程為，又因為切線經過點，所以，即.令，則與有且僅有1個交點，，當時，恒成立，所以單調遞增，顯然時，，于是符合題意；當時，當時，，遞減，當時，，遞增，所以，則，即．綜上，或．故選：D方向6、切線平行、垂直、重合問題【對點訓練35】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設函數(shù)圖象上切點為，因為，所以，得，所以，所以切線方程為，即，設函數(shù)的圖象上的切點為，因為，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．故選：A【對點訓練36】（2024·全國·高三專題練習）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3【答案】B【解析】設，由得，由題意，因為，則有．把代入得，由題意都是此方程的解，即①，，化簡為②，把①代入②并化簡得，即，，當時，①②兩式相同，說明，舍去．所以．故選：B．【對點訓練37】（2024·江西撫州·高三金溪一中?？奸_學考試）已知曲線在點處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點，記點的縱坐標與點的縱坐標之差為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，當時，，當時，，因為切線互相垂直，所以，所以，所以，直線的方程為，令，得，故，直線的方程為，令，得，故，所以，設，則，在上單調遞減，所以，即，故選：A.【對點訓練38】（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，不妨設函數(shù)在和的切線互相垂直，則，即①，因為a一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，所以方程①變?yōu)?，所以，故A，B，D錯誤.故選：C.【對點訓練39】（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期末）若函數(shù)的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，顯然是偶函數(shù)，，當時，，單調遞減，當時，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，單調遞增；在時，，都取得極小值，由于是偶函數(shù)，在這兩點的切線是重合的，故A是“切線重合函數(shù)”；對于B，是正弦函數(shù)，顯然在頂點處切線是重合的，故B是“切線重合函數(shù)”；對于C，考察兩點處的切線方程，，兩點處的切線斜率都等于1，在A點處的切線方程為，化簡得：，在B點處的切線方程為，化簡得，顯然重合，C是“切線重合函數(shù)”；對于D，，令，則，是增函數(shù)，不存在時，，所以D不是“切線重合函數(shù)”；故選：D.【對點訓練40】（2024·全國·高三專題練習）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點，若函數(shù)在點A、B處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，的導數(shù)為；當時，的導數(shù)為，設，為函數(shù)圖象上的兩點，且，當或時，，故，當時，函數(shù)在處的切線方程為：；當時，函數(shù)在處的切線方程為兩直線重合的充要條件是①，②，由①②得：，，令，則，令，則，由，得，即時有最大值，在上單調遞減，則.a的取值范圍是.故選：B.方向7、最值問題【對點訓練41】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】與互為反函數(shù)，其圖像關于直線對稱先求出曲線上的點到直線的最小距離．設與直線平行且與曲線相切的切點，．，，解得．．得到切點，點P到直線的距離．最小值為．故選：B．【對點訓練42】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與互為反函數(shù)，它們圖像關于直線對稱；故可先求點P到直線的最近距離d，又，當曲線上切線的斜率時，得，，則切點到直線的距離為，所以的最小值為．故選：D．【對點訓練43】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與互為反函數(shù)，所以與的圖像關于直線對稱，設，則，令得，則當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，所以與無交點，則與也無交點，下面求出曲線上的點到直線的最小距離，設與直線平行且與曲線相切的切點，，，，解得，，得到切點，到直線的距離，的最小值為，故選：D．【對點訓練44】（2024·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【解析】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，不妨設曲線，直線，設與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設切點為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.【對點訓練45】（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方，動點在函數(shù)的圖像上，在直線的圖像上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由得，當時，解得，即曲線上斜率為2的切線，切點為，曲線上點到直線的距離，則，根據題意，要使，則，此時恰好為垂足，由，解得．故選：A．【對點訓練46】（2024·寧夏銀川·銀川二中?？家荒＃┮阎獙崝?shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，表示點與曲線上的點之間的距離；點的軌跡為，表示直線上的點與曲線上的點之間的距離；令，則，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即為點到直線的距離，的最小值為.故選：B.【對點訓練47】（2024·四川成都·川大附中校考二模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小.設切點為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點到直線距離.故選：C方向8、牛頓迭代法【對點訓練48】（2024·湖北咸寧·?？寄M預測）英國數(shù)學家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設是的根，選取作為的初始近似值，過點做曲線的切線：，則與軸交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；重復以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點大小，則函數(shù)的零點一次近似值為（

）（精確到小數(shù)點后3位，參考數(shù)據：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【答案】C【解析】易知在定義域上單調遞增，，即函數(shù)的零點有且只有一個，且在區(qū)間上.不妨取作為初始近似值，，由題意知.故選：C.【對點訓練49】（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（

）A． B．切線：C． D．【答案】ABD【解析】由，可得，即，根據函數(shù)零點的存在性定理，可得，所以A正確；又由，設切點，則切線的斜率為，所以切線方程為，令，可得，所以D正確；當時，可得，則