高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第08講正余弦定理與解三角形（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)

第08講正余弦定理與解三角形（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值2023年新Ⅱ卷，第17題,10分三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形數(shù)量積的運(yùn)算律2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計(jì)算2021年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2020年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2020年新Ⅱ卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為10-12分【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用2會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問題.3會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式考點(diǎn)一、正弦定理邊角互化與解三角形1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（遼寧·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，且，則A． B． C． D．3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別是，且，求角1．（2023·福建莆田·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，求A2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.求A3．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．求B考點(diǎn)二、利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)1．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，下列結(jié)論中正確的是（

）（1），，，有一個(gè)解.（2），，，有兩個(gè)解（3），，，無解（4），，，有一解A．（1）（2） B．（2）（4）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4）2．（2022·江西·校聯(lián)考二模）設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．（2022·河南鄭州·鄭州外國(guó)語學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，c＝3．且該三角形有兩解，則a的值可以為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．3．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，若角有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三、余弦定理求值1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．求1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．2．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀1．（2023春·重慶長(zhǎng)壽·高三統(tǒng)考）在已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形2．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？迹┰O(shè)中角，，所對(duì)的邊分別為，，；若，，；則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能3．（2023春·廣東珠?！じ呷？迹┮粋€(gè)三角形的三條高的長(zhǎng)度分別是，，，則該三角形（

）A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．有可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形4．（2023春·新疆阿克蘇·高三?？迹┰谥?，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足，則△ABC是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形3．（2023春·山東臨沂·高三山東省臨沂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．等腰或直角三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2023春·廣東東莞·高三東莞高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，則的形狀是（

）.A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形考點(diǎn)五、三角形面積的應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，，，.(1)若，求；(2)若，求的面積.3．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的面積.考點(diǎn)六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問題1．（上?！じ呖颊骖}）已知的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于．2．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知在中，其角、、所對(duì)邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑3．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．1．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎膬?nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．若，則的外接圓半徑為．2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知的角對(duì)邊分別為，滿足，.(1)求；(2)求外接圓的半徑.3．（2023·河北·校聯(lián)考二模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.考點(diǎn)七、雙正弦及雙余弦模型1．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）在中，為中點(diǎn)，．(1)若，求的面積；(2)若，求的長(zhǎng)．2．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)D在BC上，滿足AD＝BC，．(1)求證：AB，AD，AC成等比數(shù)列；(2)若，求．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求．1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求.2．（2023春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，中，若角所對(duì)的邊分別是.(1)證明：；(2)若，求的面積.3．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.(1)求角的大??；(2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．3．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，則（

）A． B．C． D．4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．15．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4二、多選題6．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．7．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）在中，若，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則外接圓的面積為.四、解答題9．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A的大??；(2)若，，求BC邊上高的長(zhǎng).10．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求的大??；(2)當(dāng)，時(shí)，求的面積．【能力提升】一、單選題1．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考模擬預(yù)測(cè)）中，三邊之比，則（

）A． B．4 C． D．2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的值可為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知的面積S滿足，則角A的值為．四、解答題5．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？级＃┰谥?，角所對(duì)的邊分別是，已知．(1)求角；(2)若，且的面積為，求．6．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).7．（2023·福建廈門·廈門雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中，是上的點(diǎn)，平分面積是面積的3倍.(1)求；(2)若，求和的長(zhǎng).8．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測(cè)）在中，．(1)若，求；(2)設(shè)是邊上一點(diǎn)，若，，求．9．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求；(2)證明：.10．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)若，證明：；(2)若，證明：.【真題感知】一、填空題1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．二、解答題3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．9．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．10．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．

第08講正余弦定理與解三角形（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值2023年新Ⅱ卷，第17題,10分三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形數(shù)量積的運(yùn)算律2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計(jì)算2021年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2020年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2020年新Ⅱ卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為10-12分【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用2會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問題.3會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解1. 正弦定理（1）基本公式：（其中為外接圓的半徑）（2）變形2. 三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，3. 余弦定理（1）邊的余弦定理，，（2）角的余弦定理，，4. 三角形的面積公式考點(diǎn)一、正弦定理邊角互化與解三角形1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.2．（遼寧·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，且，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】邊換角后約去sinB，得sin(A＋C)＝，所以sinB＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別是，且，求角【答案】【分析】由正弦定理結(jié)合三角恒等變換計(jì)算即可；【詳解】在中，由正弦定理得：，而，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，，即，所以，又因?yàn)?，所以，?1．（2023·福建莆田·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，求A【答案】【分析】利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，則，又因?yàn)椋瑒t，得，即，所以.2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.求A【答案】【分析】由正弦定理邊化角可得，，然后化簡(jiǎn)即可得出.根據(jù)的范圍即可得出答案；【詳解】由正弦定理邊化角可得，，整理可得，.因?yàn)?，，所以有，所?因?yàn)?，所?3．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．求B【答案】【分析】利用正弦定理邊化角以及誘導(dǎo)公式可得，再利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得，即可求得答案；【詳解】由正弦定理可知，結(jié)合，∴,∴,∵，∴，即，，則，∴，∴，則，即.考點(diǎn)二、利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)1．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，下列結(jié)論中正確的是（

）（1），，，有一個(gè)解.（2），，，有兩個(gè)解（3），，，無解（4），，，有一解A．（1）（2） B．（2）（4）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4）【答案】D【分析】由條件利用正弦定理求得角的正弦值，再根據(jù)大邊對(duì)大角可得三角形解得個(gè)數(shù)，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于（1）：，，，由正弦定理得，解得，有唯一解，故（1）正確；對(duì)于（2）：，，，由正弦定理得，解得，再由大邊對(duì)大角可得C>B,故C可以是銳角也可以是鈍角，故三角形有2解，故（2）正確。對(duì)于（3）：，，，則由正弦定理得，解得，再由大邊對(duì)大角，可得C為銳角，故三角形有唯一解，故（3）不正確，對(duì)于（4）：，，，由正弦定理得，解得，再由B為銳角，可得三角形有唯一解，故（4）正確，故選：D.2．（2022·江西·校聯(lián)考二模）設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因?yàn)椴晃ㄒ?，即有兩解，所以且，即，所以，所以，即；故選：A3．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理結(jié)合已知，可推得.進(jìn)而根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)推得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，所以，所以.故選：B．1．（2022·河南鄭州·鄭州外國(guó)語學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，c＝3．且該三角形有兩解，則a的值可以為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理可求出，再依據(jù)該三角形有兩解可知，，即得角A的取值范圍，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可求出的取值范圍，從而得解．【詳解】由正弦定理得，且，所以，即．因?yàn)樵撊切斡袃蓚€(gè)解，當(dāng)時(shí)只有一解，所以．故選：B.2．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對(duì)于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對(duì)于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對(duì)于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.3．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，若角有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得到，以為圓心，為半徑畫圓弧，當(dāng)圓弧與邊有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足條件，結(jié)合圖象，列出關(guān)系式，即可求解.【詳解】在中，，，若有唯一解，則有唯一解，設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，由，則為一確定的銳角且，所以，如圖以為圓心，為半徑畫圓弧，當(dāng)圓弧與邊有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足條件，如圖示：即圓弧與邊相切或與圓弧與邊相交有2個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上（或在點(diǎn)處），故或，由，即，得或，解得或.故選：．考點(diǎn)三、余弦定理求值1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.2．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．3．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．求【答案】【分析】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又，所?1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，且，由余弦定理可得?故選：C．3．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【詳解】由得，所以，由于,故選：A考點(diǎn)四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀1．（2023春·重慶長(zhǎng)壽·高三統(tǒng)考）在已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】由余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理可得，則為鈍角，即是鈍角三角形.故選：C2．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？迹┰O(shè)中角，，所對(duì)的邊分別為，，；若，，；則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得,故為銳角，由于，因此均為銳角，故為銳角三角形，故選：A3．（2023春·廣東珠?！じ呷？迹┮粋€(gè)三角形的三條高的長(zhǎng)度分別是，，，則該三角形（

）A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．有可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積表示邊長(zhǎng)，再利用余弦定理計(jì)算判斷作答.【詳解】設(shè)這個(gè)三角形面積為，三邊長(zhǎng)分別為，依題意，，，顯然，即邊c所對(duì)角是最大角，由余弦定理得，則是鈍角，所以該三角形一定是鈍角三角形.故選：C4．（2023春·新疆阿克蘇·高三?？迹┰谥?，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理或三角恒等變換，記得判斷的形狀.【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足，則△ABC是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】令，再利用余弦定理得解.【詳解】解：由正弦定理可得，令，則為最長(zhǎng)的邊，故角最大，由余弦定理可得，所以角為直角.故是直角三角形．故選：B．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，，從而，代入中，得到，由勾股定理逆定理得到為直角三角形.【詳解】由題意得：，即，故，因?yàn)?，所以，故，即因?yàn)?，所以，即，故，故，故，所以為直角三角?故選：A3．（2023春·山東臨沂·高三山東省臨沂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．等腰或直角三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及正弦定理邊角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得，即可判斷三角形形狀.【詳解】由得,由正弦定理得,由于,所以，所以,由于為三角形的內(nèi)角，所以,又得,進(jìn)而可得,而為三角形內(nèi)角，故，進(jìn)而，故三角形為等邊三角形，故選：B4．（2023春·廣東東莞·高三東莞高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，則的形狀是（

）.A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】先用正弦定理將邊化為角，再把倍角公式及商數(shù)關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)椋谥杏烧叶ɡ泶肟傻茫?，將代入可得：，化?jiǎn)可知，即，因?yàn)?，所以有或，解得或，所以為等腰三角形或直角三角?故選：D考點(diǎn)五、三角形面積的應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，，，.(1)若，求；(2)若，求的面積.【答案】(1)或(2)4或.【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理可得，從而求得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由正弦定理化簡(jiǎn)得，再由正弦定理即可得到，結(jié)合三角形的面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）

在中，，，由余弦定理得，∴，化簡(jiǎn)得，解得，或.∴，或.∴，或，綜上可得，或.（2）在中，設(shè)，則，∵，由正弦定理得，∴.在中，，，由正弦定理得，即.化簡(jiǎn)得，∵，∴，.∴或，解得或.當(dāng)時(shí)，，，∴為等腰直角三角形，得到的面積為；當(dāng)，，在中由正弦定理得，∴∴的面積為，綜上可得的面積為4或.3．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)2(2)12【分析】（1）將通分，結(jié)合兩角和的正切公式即可求解；（2）由（1）切化弦可求出，由兩角和與差的余弦公式得，進(jìn)而求得，再根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由可得，，因?yàn)?，所以可得，解?（2）由（1）知，所以，又因?yàn)椋裕?，即，又，所以，由正弦定理可得，，所以，所以，所以的面積.考點(diǎn)六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問題1．（上?！じ呖颊骖}）已知的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于．【答案】【分析】利用余弦定理得到，進(jìn)而得到結(jié)合正弦定理得到結(jié)果.【詳解】，由正弦定理得.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的有關(guān)知識(shí)，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本關(guān)系式，考查恒等變形能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知在中，其角、、所對(duì)邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑【答案】(1)1(2)1【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定義可求得的外接圓半徑；（2）由余弦定理和三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以外接圓半徑．所以.（2）因?yàn)椋深}可知，所以，又因?yàn)?，可得，因?yàn)椋傻拿娣e，得．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系可得，應(yīng)用余弦定理即可求，進(jìn)而確定其大??；（2）由正弦定理有，，根據(jù)余弦定理有，結(jié)合（1）及，應(yīng)用三角恒等變換有，由三角形內(nèi)角性質(zhì)、正弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦邊角關(guān)系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，則.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面積法可得，則，∵，∴，故，則，所以，故.1．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎膬?nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．若，則的外接圓半徑為．【答案】【分析】運(yùn)用余弦定理和正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)余弦定理由，而，因此有，因?yàn)?，所以，由正弦定理可知的外接圓半徑為，故答案為：2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知的角對(duì)邊分別為，滿足，.(1)求；(2)求外接圓的半徑.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化以及和差角公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合三角函數(shù)同角關(guān)系即可求解，（2）由余弦定理代入已知關(guān)系即可得，由正弦定理即可求解.【詳解】（1）由以及正弦定理可得：，，，，，而.（2），整理得，.由正弦定理可得3．（2023·河北·校聯(lián)考二模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，，可得再由余弦定理，，又，所以.因?yàn)?，所?（2）由（1）可知：，則.則.在中，由正弦定理，，所以，則，又，所以，所以，，所以.考點(diǎn)七、雙正弦及雙余弦模型1．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）在中，為中點(diǎn)，．(1)若，求的面積；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.【詳解】（1）在中，，由余弦定理可知，因?yàn)?，所以，所?（2）在中，設(shè),則由正弦定理，即，得，所以，，所以，所以，由正弦定理得：，即．2．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)D在BC上，滿足AD＝BC，．(1)求證：AB，AD，AC成等比數(shù)列；(2)若，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得證；（2）記A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由（1）得，設(shè)，在△ABD與△ACD中，分別使用余弦定理，解方程組可求出或，依題意排除，利用余弦定理即可求出.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：①，由已知得：②，由①②聯(lián)立得：，因?yàn)?，所以．故AB，AD，AC成等比數(shù)列；（2）在△ABC中，記A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，故，由（1）知：③，在△ABD中，設(shè)，由已知得，由余弦定理得：，即④，在△ACD中，設(shè)，由已知得，由余弦定理得：，⑤，由⑤＋④×2整理得：⑥，由③⑥聯(lián)立整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，由可求得，所以故舍去，當(dāng)時(shí)，由可求得，滿足，在△ABC中，由余弦定理得綜上：3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求．【答案】(1)詳見解析；(2)【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；（2）先利用余弦定理求得，進(jìn)而利用余弦定理求得【詳解】（1）在中，，則整理得，則又，則在中，由正弦定理得，則在中，由正弦定理得，則則則（2）由，可得，又則由可得，解之得又，則，由，可得則1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求.【答案】(1)(2)【分析】(1)運(yùn)用正弦定理以及誘導(dǎo)公式求解；(2)根據(jù)條件運(yùn)用正弦定理求解.【詳解】（1）由條件及正弦定理可得：，即故，則有，又，故有，或（舍去），或（舍去），則，又，所以；（2）設(shè)，在和中，由正弦定理可得于是，又，則，，；綜上，，.2．（2023春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，中，若角所對(duì)的邊分別是.(1)證明：；(2)若，求的面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用正弦定理求出和即得證；（2）設(shè)由得，再利用余弦定理求出即得解.【詳解】（1）證明：在中，由正弦定理得.在中，由正弦定理得.所以.故得證.（2）解：設(shè)由題得,所以.所以.所以.所以的面積為.3．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.(1)求角的大?。?2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互化得，再結(jié)合正弦和角公式得，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理得，再計(jì)算面積即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）解：如圖，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，且，所以，，因?yàn)?，所以，即，整理得，因?yàn)?，即，解得，所以，的面積為．【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知條件和正弦定理得，再由角的范圍得滿足的關(guān)系.【詳解】由，得，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以或，所以?即是等腰或直角三角形.故選：D.2．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理化邊為角有，再利用兩角和與差的正弦公式有，再利用正弦定理進(jìn)行化角為邊有.【詳解】因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，移項(xiàng)得，即，即，則根據(jù)正弦定理有．故選：D.3．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件利用正弦定理把邊化角，然后可得，再根據(jù)角都是銳角即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以由正弦定理得，即，因?yàn)椋?，所以，所以，即，因?yàn)?，即，解?故選：A.4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】對(duì)于，利用正弦定理角化邊可得，繼而化簡(jiǎn)可得，代入“三斜求積”公式即得答案.【詳解】由得，由得，故，股癬：A5．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4【答案】D【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.【詳解】在中，由可得，即所以，因?yàn)椋?，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故選：D.二、多選題6．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，結(jié)合的范圍即能得到答案【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因?yàn)椋曰?，故選：BD.7．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）在中，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由三角形大邊對(duì)大角和正弦定理可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由余弦函數(shù)單調(diào)性可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，由正弦的二倍角公式可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，由余弦的二倍角公式可判斷【詳解】在中，若，由三角形中大邊對(duì)大角，可得，又由正弦定理，可知，故A選項(xiàng)正確；又由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知，故B選項(xiàng)正確；由和，當(dāng)時(shí)，，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，由A選項(xiàng)可知正確，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題8．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則外接圓的面積為.【答案】【分析】首先利用正弦定理，邊化角，再結(jié)合三角恒等變換，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圓的半徑和面積.【詳解】由正弦定理得，因?yàn)椋?，即，可?因?yàn)?，所以，得，解?，化簡(jiǎn)得，由正弦定理?余弦定理，得，化簡(jiǎn)得，由正弦定理可得，得，因此外接圓的面積為.故答案為：四、解答題9．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┰谥校瑑?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A的大小；(2)若，，求BC邊上高的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角變換可得答案；（2）利用余弦定理求出邊，根據(jù)面積相等可得答案.【詳解】（1）∵，∴，∴，即.又∵，，∴，.（2）設(shè)BC邊上的高為h，∵，即，解得，∴，解得，即BC邊上的高為.10．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求的大??；(2)當(dāng)，時(shí)，求的面積．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系、和角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，即可得大??；（2）由余弦定理列方程求，再應(yīng)用三角形面積公式求的面積．【詳解】（1）由得：，∴，，∴．又，則．（2）由余弦定理得：，整理得：．解得，檢驗(yàn)均滿足構(gòu)成三角形．∴或．【能力提升】一、單選題1．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測(cè)）中，三邊之比，則（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】首先由結(jié)合余弦定理得出，然后根據(jù)二倍角公式和正弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，不妨設(shè)，則，由正弦定理可得.故選：C.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的值可為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合條件可得，然后利用正弦定理可得，再通過換元法，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而即得.【詳解】由題知，則，即，因?yàn)椋?，則，所以，則，為鈍角，為銳角，，因?yàn)?，則，則，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，則，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過三角恒等變換得到，然后利用邊角互化及換元法把問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值，再利用導(dǎo)數(shù)即得.二、多選題3．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由，得到或，推出，判斷AB；由得到C正確；由三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到D正確.【詳解】因?yàn)橹?，，所以或，?dāng)時(shí)，，由于無意義，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，B正確；因?yàn)?，所以，由大角?duì)大邊，得，C正確；因?yàn)?，所以，即，令，，則，所以單調(diào)遞減，又，，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知的面積S滿足，則角A的值為．【答案】【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式化簡(jiǎn)已知條件，得求解可得角A的值.【詳解】由已知得，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，得，化簡(jiǎn)為，由于，所以，化簡(jiǎn)得，

即，解得，或（舍），由于，所以.故答案為：四、解答題5．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┰谥?，角所對(duì)的邊分別是，已知．(1)求角；(2)若，且的面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，利用邊化角的思想，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，可得答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理，可得答案.【詳解】（1）由已知可得，即，由正弦定理可得，即，即，因?yàn)椋约矗驗(yàn)?，所以．?）由已知得，又，所以，故，解得．6．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)6【分析】（1）已知，由正弦定理和輔助角公式可得，解得.（2）由余弦定理和三角形面積公式，可解求，，則得到周長(zhǎng).【詳解】（1）中，已知，由正弦定理可得，∵，∴，△ABC中，，∴，∴.（2），的面積為，∴，解得.由余弦定理可得：化為.聯(lián)立，解得∴，所以周長(zhǎng)為6.7．（2023·福建廈門·廈門雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中，是上的點(diǎn)，平分面積是面積的3倍.(1)求；(2)若，求和的長(zhǎng).【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用三角形面積之間的關(guān)系，結(jié)合正弦定理可得結(jié)果；（2）利用三角形角平分線定理可求得；設(shè)，則，由，知，由余弦定理得到和，建立方程求解即可得.【詳解】（1），，由正弦定理可知（2），.設(shè)，則，在與中，由余弦定理可知，，，，解得，即.8．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，．(1)若，求；(2)設(shè)是邊上一點(diǎn)，若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和降冪公式即可求解；（2）利用二倍角公式及正弦定理，結(jié)合余弦定理及同角函數(shù)的基本關(guān)系，再利用兩角差的正弦公式及三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）∵在中，，∴，∵，∴，即，∴，∴或，∵，∴．（2）∵，∴，由正弦定理得，又由余弦定理得，∴，即，∴，∵為內(nèi)角，∴．∵，∴，，又，∴，∴，∴，∴．9．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求；(2)證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，由誘導(dǎo)公式逆推可得，再由，可得，再代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）可得，再通過二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，換元后構(gòu)造新函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)從而判斷函數(shù)單調(diào)性，從而可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的平方關(guān)系與商式關(guān)系，判斷三角函數(shù)的范圍，由正弦定理邊角互化即可證明.【詳解】（1）由，得，由題意可知，存在，所以，即，所以，所以.（2）由，得，故，令，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，進(jìn)而，，可得，所以.而，故.所以.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目等式關(guān)系結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)得，然后利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性，從而得的范圍，再利用三角函數(shù)平方關(guān)系與商式關(guān)系判斷其他三角函數(shù)值，結(jié)合正弦定理邊角互化證明邊的關(guān)系.10．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)若，證明：；(2)若，證明：.【答案】(1)見詳解；(2)見詳解.【分析】（1）根據(jù)正余弦定理角化邊，整理即可；（2）根據(jù)正弦定理推得，即可得到.通過分析，可得以及，代入，整理可得到，令，構(gòu)造，求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞減.進(jìn)而得到.【詳解】（1）證明：由正弦定理可得，，所以，由余弦定理及其推論可得，，，所以，由已知可得，，即，因?yàn)?，所?（2）證明：由已知得，，又由正弦定理可得，，因?yàn)?，所?由（1）知，，則，又由正弦定理可得，，又，則，將以及代入可得，，整理可得，，因?yàn)椋?，，所以，則.令，則，，則，所以，當(dāng)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.所以，，即.綜上所述，.【真題感知】一、填空題1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．【答案】.【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正