第十四章學業(yè)質(zhì)量評價卷整式的乘法與因式分解

第十四章學業(yè)質(zhì)量評價卷——整式的乘法與因式分解時間：120分鐘總分：120分一、選擇題(每小題3分，共30分)1.

下列計算正確的是(

A

)A.

(－

a

)4÷

a3＝

a

B.

a2·

a3＝

a6C.

(－

x3

y

)2＝

x5

y2D.

(

x

－

y

)2＝

x2－

y2A1234567891011121314151617181920212223242.

如果□×3

ab

＝－27

a2

b3，那么□內(nèi)應填的代數(shù)式是(

C

)A.

9

ab2B.

－9

a2

b

C.

－9

ab2D.

9

a2

b

C1234567891011121314151617181920212223243.

下列式子中是完全平方式的是(

D

)A.

a2＋

ab

＋

b2B.

a2＋2

a

＋2C.

a2－2

b

＋

b2D.

a2＋2

a

＋1D1234567891011121314151617181920212223244.

從前，一位莊園主把一塊長為

a

米、寬為

b

米(

a

＞

b

＞100)的長方形土地租給租

戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的長增加10米，寬減少10米，繼

續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租

地面積會(

A

)A.

變小了B.

變大了C.

沒有變化D.

無法確定A1234567891011121314151617181920212223245.

圖1是一個長為2

a

、寬為2

b

(

a

＞

b

)的長方形，用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開，

把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后拼成如圖2所示的一個正方形，

則中間空余部分的面積是(

C

)A.

ab

B.

(

a

＋

b

)2C.

(

a

－

b

)2D.

a2－

b2C1234567891011121314151617181920212223246.

一次課堂練習，某同學做了如下4道分解因式題，你認為他做得不夠完整的一題

是(

A

)A.

x3－

x

＝

x

(

x2－1)B.

x2－2

xy

＋

y2＝(

x

－

y

)2C.

x2

y

－

xy2＝

xy

(

x

－

y

)D.

x2－

y2＝(

x

－

y

)(

x

＋

y

)A1234567891011121314151617181920212223247.

小李在計算2

0243－2

024時，發(fā)現(xiàn)其計算結(jié)果能被三個連續(xù)整數(shù)整除，則這三個

整數(shù)是(

A

)A.

2

023，2

024，2

025B.

2

022，2

023，2

024C.

2

021，2

022，2

023D.

2

020，2

021，2

022A1234567891011121314151617181920212223248.

已知2

x

＝8，2

y

＝5，2

z

＝40，那么下列關(guān)于

x

，

y

，

z

之間滿足的等量關(guān)系正確

的是(

A

)A.

x

＋

y

＝

z

B.

xy

＝

z

C.

2

x

＋

y

＝

z

D.

2

xy

＝

z

A1234567891011121314151617181920212223249.

如圖，△

ABC

中，

AB

＝

a

，

BC

＝2

a

，∠

B

＝90°，將△

ABC

沿

BC

方向平移

b

個

單位長度得到△

DEF

(其中

A

，

B

，

C

的對應點分別是

D

，

E

，

F

)，設

DE

交

AC

于

點

G

，若△

ADG

的面積比△

CEG

的面積大8，則代數(shù)式

a

(

b

－

a

)的值為(

D

)A.

32B.

16C.

4D.

8思路：由平移的性質(zhì)可得

AD

＝

BE

＝

b

，然后根據(jù)已知條件可得

S長方形

ABED

－

S△

ABC

＝8，再根據(jù)長方形的面積公式和三角形的面積公式即可求解.D12345678910111213141516171819202122232410.

我國宋代數(shù)學家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋

了二項和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”.

請你利用楊輝三角，計算(

a

＋

b

)6的展開式中，含

a5項的系數(shù)是(

C

)A.

15B.

－6C.

6D.

－15解析：根據(jù)圖中的規(guī)律，得(

a

＋

b

)5展開后的各項系數(shù)為1，5，10，10，5，1，(

a

＋

b

)6展開后的各項系數(shù)為1，6，15，20，15，6，1，∴(

a

＋

b

)6的展開式中，含

a5

項的系數(shù)是6.C123456789101112131415161718192021222324二、填空題(每小題3分，共18分)11.

當(

x

－2)0有意義，那么

x

的取值范圍是

?.12.

已知(

x

＋1)(

x

－2)＝

x2＋

mx

＋

n

，則

m

＋

n

＝

?.x

≠2

－3

123456789101112131415161718192021222324

500

s

12345678910111213141516171819202122232415.

如圖，邊長分別為

a

和

b

的兩個正方形拼接在一起，則圖中陰影部分的面積

為

?.思路：先將原圖形補成一個大的長方形，再用大長方形的面積減去陰影周圍三個直

角三角形的面積即可求解.

12345678910111213141516171819202122232416.

定義一種新運算(

a

，

b

)，若

ac

＝

b

，則(

a

，

b

)＝

c

，例如：(2，8)＝3，(3，81)

＝4.若(4，

n

)＝3，則

n

＝

；若(3，7)＋(3，11)＝(3，

m

)，則

m

的值

為

?.解析：∵(4，

n

)＝3，∴

n

＝43＝64.設(3，7)＝

x

，(3，11)＝

y

，(3，

m

)＝

z

，則3

x

＝7，3

y

＝11，3

z

＝

m

.∵(3，7)＋(3，11)＝(3，

m

)，∴

x

＋

y

＝

z

，則3

x＋

y

＝3

z

，

∴

m

＝3

x

×3

y

＝7×11＝77.64

77

123456789101112131415161718192021222324三、解答題(共72分)17.

(6分)分解因式：(1)

ax2＋2

ax

＋

a

；解：原式＝

a

(

x2＋2

x

＋1)＝

a

(

x

＋1)2. 3分(2)

n2(

m

－2)＋(2－

m

).解：原式＝

n2(

m

－2)－(

m

－2)＝(

m

－2)(

n2－1)＝(

m

－2)(

n

＋1)(

n

－1). 6分12345678910111213141516171819202122232418.

(6分)已知4

a2－7

a

－5＝0，求代數(shù)式(3

a2－2

a

)÷

a

－(2

a

－1)2的值.解：(3

a2－2

a

)÷

a

－(2

a

－1)2＝3

a

－2－(4

a2－4

a

＋1)＝3

a

－2－4

a2＋4

a

－1＝－4

a2＋7

a

－3. 3分∵4

a2－7

a

－5＝0，∴4

a2－7

a

＝5，∴原式＝－(4

a2－7

a

)－3＝－5－3＝－8. 6分12345678910111213141516171819202122232419.

(8分)如圖，從一個長方形鐵皮中剪去一個小正方形，長方形的長為(2

a

＋

b

)

米，寬為(

a

＋

b

)米，正方形的邊長為

a

米.(1)求剩余鐵皮的面積；解：(1)(

a

＋

b

)(2

a

＋

b

)－

a2

2分＝2

a2＋

ab

＋2

ab

＋

b2－

a2＝

a2＋3

ab

＋

b2.即剩余鐵皮的面積為(

a2＋3

ab

＋

b2)平方米. 5分123456789101112131415161718192021222324(2)當

a

＝3，

b

＝2時，求剩余鐵皮的面積.解：(2)當

a

＝3，

b

＝2時，

a2＋3

ab

＋

b2＝32＋3×3×2＋22＝31，∴剩余鐵皮的面積為31平方米. 8分12345678910111213141516171819202122232420.

(8分)求證：任意五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).證明：設五個連續(xù)整數(shù)的中間一個整數(shù)為

n

，則另四個整數(shù)為

n

－2，

n

－1，

n

＋

1，

n

＋2，

1分∴它們的平方和為(

n

－2)2＋(

n

－1)2＋

n2＋(

n

＋1)2＋(

n

＋2)2＝

n2－4

n

＋4＋

n2－2

n

＋1＋

n2＋

n2＋2

n

＋1＋

n2＋4

n

＋4 3分＝5

n2＋10＝5(

n2＋2). 6分∵

n2＋2是正整數(shù)，∴它們的平方和是5的倍數(shù). 8分12345678910111213141516171819202122232421.

(10分)已知

m

，

n

滿足(

m

＋

n

)2＝169，(

m

－

n

)2＝9.(1)求

m2＋

n2的值；(1)由①＋②，得2(

m2＋

n2)＝178，則

m2＋

n2＝89. 7分(2)求

mn

的值.(2)由①－②，得4

mn

＝160，則

mn

＝40. 10分解：(

m

＋

n

)2＝

m2＋

n2＋2

mn

＝169，① 2分(

m

－

n

)2＝

m2＋

n2－2

mn

＝9.②

4分12345678910111213141516171819202122232422.

(10分)已知

A

，

B

均為整式，

A

＝(

xy

＋1)(

xy

－2)－2

x2

y2＋2，小馬在計算

A

÷

B

時，誤把“÷”抄成了“－”，這樣他計算的結(jié)果為－

x2

y2.(1)將整式

A

化為最簡形式；解：(1)

A

＝(

xy

＋1)(

xy

－2)－2

x2

y2＋2＝

x2

y2－2

xy

＋

xy

－2－2

x2

y2＋2＝－

x2

y2－

xy

. 2分123456789101112131415161718192021222324(2)求整式

B

；解：(2)由題意，得

A

－

B

＝－

x2

y2，∴

B

＝

A

－(－

x2

y2)＝

A

＋

x2

y2. 4分由(1)知，

A

＝－

x2

y2－

xy

，∴

B

＝－

x2

y2－

xy

＋

x2

y2＝－

xy

. 6分(3)求

A

÷

B

的正確結(jié)果.解：(3)由(1)知，

A

＝－

x2

y2－

xy

，由(2)知，

B

＝－

xy

，∴

A

÷

B

＝(－

x2

y2－

xy

)÷(－

xy

)＝

xy

＋1. 10分12345678910111213141516171819202122232423.

(10分)對于二次三項式

x2＋2

ax

＋

a2可以直接用公式法分解為(

x

＋

a

)2的形式，

但對于二次三項式

x2＋2

ax

－3

a2，就不能直接用公式法了，我們可以在二次三項

式

x2＋2

ax

－3

a2中先加上一項

a2，使其成為完全平方式，再減去

a2這項，使整個

式子的值不變.于是有：

x2＋2

ax

－3

a2＝

x2＋2

ax

＋

a2－

a2－3

a2＝(

x

＋

a

)2－4

a2＝(

x

＋

a

)2－(2

a

)2＝(

x

＋3

a

)(

x

－

a

).123456789101112131415161718192021222324像上面這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添(拆)項法.(1)請用上述方法把

x2－4

x

＋3分解因式；解：(1)

x2－4

x

＋3＝

x2－2×2

x

＋22－22＋3＝(

x

－2)2－12＝(

x

－1)(

x

－3). 4分123456789101112131415161718192021222324(2)多項式

x2＋2

x

＋2有最小值嗎？如果有，那么當它有最小值時

x

的值是多少；如

果沒有，請說明理由.解：(2)

x2＋2

x

＋2＝

x2＋2

x

＋12－12＋2＝(

x

＋1)2＋1，

8分故多項式

x2＋2

x

＋2有最小值，當它有最小值時

x

的值是－1. 10分12345678910111213141516171819202122232424.

(14分)閱讀下列材料，完成相應的任務.平衡多項式定義：對于一組多項式

x

＋

a

，

x

＋

b

，

x

＋

c

，

x

＋

d

(

a

，

b

，

c

，

d

是常數(shù))，當

其中兩個多項式的乘積與另外兩個多項式乘積的差是一個常數(shù)

p

時，稱這樣的四

個多項式是一組平衡多項式，

p

的絕對值是這組平衡多項式的平衡因子.例如：對于多項式

x

＋1，

x

＋2，

x

＋5，

x

＋6，因為(

x

＋1)(

x

＋6)－(

x

＋2)(

x

＋

5)＝(

x2＋7

x

＋6)－(

x2＋7

x

＋10)＝－4，所以多項式

x

＋1，

x

＋2，

x

＋5，

x

＋6

是一組平衡多項式，其平衡因子為｜－4｜＝4.123456789101112131415161718192021222324任務：(1)小明發(fā)現(xiàn)多項式

x

＋3，

x

＋4，

x

＋6，

x

＋7是一組平衡多項式，在求其平衡因

子時，列式如下：(

x

＋3)(

x

＋7)－(

x

＋4)(

x

＋6)，根據(jù)他的思路求該組平衡多項式

的平衡因子；解：(1)(

x

＋3)(

x

＋7)－(

x

＋4)(

x

＋6)＝

x2＋10

x

＋21－

x2－10

x

－24＝－3. 2分∵｜－3｜＝3，∴該組平衡多項式的平衡因子是3. 4分123456789101112131415161718192021222324(2)判斷多項式

x

－1，

x

－2，

x

－4，

x

－5是否為一組平衡多項式，若是，求出其

平衡因子；若不是，請說明理由；解：(2)∵(

x

－1)(

x

－5)－(

x

－2)(

x

－4)＝

x2－6

x

＋5－

x2＋6

x

－8＝－3，

6分∴多項式

x

－1，

x

－2，

x

－4，

x

－5是一組平衡多項式，其平衡因子是｜－3｜＝3.

7分123456789101112131415161718192021222324(3)若多項式

x

＋2，

x

－4，

x

＋1，