2023-2024學年山西省太原市高二下學期期中學業(yè)診斷數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2山西省太原市2023-2024學年高二下學期期中學業(yè)診斷數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.等差數(shù)列中，，則的公差（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，故選：A．2.已知函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗，則.故選：C3.等比數(shù)列中，，則的前項和（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，則，由，則，解得，所以.故選：B.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．故選：D.5.已知是等差數(shù)列，，，則（）A.6 B.9 C.18 D.27〖答案〗C〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以.故選：C6.已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，,,由圖可知，，在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故的解集為,所以二次函數(shù)開口向下，，且的根為，故，，所以.故選：C7.已知、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，其前項和分別是和，且，，，則（）A.13 B.3或13 C.9 D.9或18〖答案〗D〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，，得，解得或．或．故選：D．8.已知函數(shù)在處有極小值，則的極大值為（）A.1 B.1或3 C. D.4或〖答案〗C〖解析〗因為，所以，由，即，解得或，當時令，解得或，所以當或時，當時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值，則；當時令，解得或，所以當或時，當時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，不符合題意，故舍去；綜上可得；故選：C．二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則下列結論正確的是（）A. B.C.是遞增數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗由得，，即，因為，所以，，故A正確；因為為增數(shù)列，且，所以時最小，所以是遞增數(shù)列，故C正確；因，故B錯誤；因為，所以，即為公差為1的等差數(shù)列，所以是遞增數(shù)列，故D正確，故選：ACD．10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.有兩個極值點 B.的極小值為C.在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)無零點〖答案〗BD〖解析〗定義域為，，令，得或（舍去），當時，，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以是極小值點，極小值為，故B正確，A錯誤，C錯誤；，即函數(shù)無零點，故D正確；故選：BD．11.已知數(shù)列滿足，則下列結論正確的是（）A. B.是遞增數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗對于AB，依題意，，，A正確，B錯誤；對于C，，而，因此是以為首項，為公比的等比數(shù)列，C正確；對于D，由選項C知，，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，因此數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確.故選：ACD12.已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，且，則下列結論正確的是（）A B.C.當時， D.當時，〖答案〗BC〖解析〗設，由是定義在上的奇函數(shù)知，則時，為偶函數(shù)，且時，，故在單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對稱性知，在單調(diào)遞增，故，即，故，B選項正確；當時，，故，C選項正確；當時，，故，D選項錯誤；由B，D選項知，，故，A選項錯誤.故選：BC三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）13.曲線在處的切線方程為______．〖答案〗〖解析〗當時，，，則，所以曲線在處的切線方程為，即，故〖答案〗為：．14.已知數(shù)列中，，則______．〖答案〗〖解析〗由可得，可見數(shù)列的周期為3，因，則.故〖答案〗為：.15.已知遞增等比數(shù)列的前項和為，且，，，則數(shù)列的前項和為______．〖答案〗〖解析〗由為遞增等比數(shù)列，所以，且，由，得，，解得或（舍去），將代入，得，所以，所以，，設數(shù)列的前項和為，故〖答案〗為：．16.函數(shù)的最小值為______〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為，且，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，所以，存在，使得，則，.當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共52分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．解：（1），令得，或，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為．（2）由（1）得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以在區(qū)間上的最大值為；因為，所以在區(qū)間上的最小值為．18.已知遞增等比數(shù)列滿足，是與的等差中項．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為是與的等差中項，，所以，即，解得或，因為為遞增等比數(shù)列，所以，所以．（2），．19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），因為，所以，令，即，解得，令，即，解得，所以遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和．（2）函數(shù)恰有兩個零點，則有兩個根，即與有兩個交點，由，，，，由（1）畫出圖象，由圖象可知，．20.已知數(shù)列中，，，是的前項和，且滿足，等比數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最大值．解：（1）當時，由，得，兩式相減得，因為，所以，當時，，則數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，則，則數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，則，綜上：；（2）由，，解得，則，，則，，兩式相減得，，所以，由，當時，，當時，，所以使成立的的最大值為6.21.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設滿足，證明：．解：（1）函數(shù)的定義域為，求導得，令，求導得，即函數(shù)在上遞增，則，即，于是，由，得；由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，所以實數(shù)的取值范圍.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，由，得，令，求導得，設，求導得，設，求導得，令，求導得，當時，，當時，，函數(shù)，即在上遞減，在上遞增，，函數(shù)上遞增，于是，即，函數(shù)在上遞增，當時，則有，即，因此，函數(shù)在上遞減，則，從而，即，顯然，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.山西省太原市2023-2024學年高二下學期期中學業(yè)診斷數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.等差數(shù)列中，，則的公差（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，故選：A．2.已知函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗，則.故選：C3.等比數(shù)列中，，則的前項和（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，則，由，則，解得，所以.故選：B.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．故選：D.5.已知是等差數(shù)列，，，則（）A.6 B.9 C.18 D.27〖答案〗C〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以.故選：C6.已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，,,由圖可知，，在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故的解集為,所以二次函數(shù)開口向下，，且的根為，故，，所以.故選：C7.已知、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，其前項和分別是和，且，，，則（）A.13 B.3或13 C.9 D.9或18〖答案〗D〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，，得，解得或．或．故選：D．8.已知函數(shù)在處有極小值，則的極大值為（）A.1 B.1或3 C. D.4或〖答案〗C〖解析〗因為，所以，由，即，解得或，當時令，解得或，所以當或時，當時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值，則；當時令，解得或，所以當或時，當時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，不符合題意，故舍去；綜上可得；故選：C．二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則下列結論正確的是（）A. B.C.是遞增數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗由得，，即，因為，所以，，故A正確；因為為增數(shù)列，且，所以時最小，所以是遞增數(shù)列，故C正確；因，故B錯誤；因為，所以，即為公差為1的等差數(shù)列，所以是遞增數(shù)列，故D正確，故選：ACD．10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.有兩個極值點 B.的極小值為C.在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)無零點〖答案〗BD〖解析〗定義域為，，令，得或（舍去），當時，，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以是極小值點，極小值為，故B正確，A錯誤，C錯誤；，即函數(shù)無零點，故D正確；故選：BD．11.已知數(shù)列滿足，則下列結論正確的是（）A. B.是遞增數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗對于AB，依題意，，，A正確，B錯誤；對于C，，而，因此是以為首項，為公比的等比數(shù)列，C正確；對于D，由選項C知，，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，因此數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確.故選：ACD12.已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，且，則下列結論正確的是（）A B.C.當時， D.當時，〖答案〗BC〖解析〗設，由是定義在上的奇函數(shù)知，則時，為偶函數(shù)，且時，，故在單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對稱性知，在單調(diào)遞增，故，即，故，B選項正確；當時，，故，C選項正確；當時，，故，D選項錯誤；由B，D選項知，，故，A選項錯誤.故選：BC三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）13.曲線在處的切線方程為______．〖答案〗〖解析〗當時，，，則，所以曲線在處的切線方程為，即，故〖答案〗為：．14.已知數(shù)列中，，則______．〖答案〗〖解析〗由可得，可見數(shù)列的周期為3，因，則.故〖答案〗為：.15.已知遞增等比數(shù)列的前項和為，且，，，則數(shù)列的前項和為______．〖答案〗〖解析〗由為遞增等比數(shù)列，所以，且，由，得，，解得或（舍去），將代入，得，所以，所以，，設數(shù)列的前項和為，故〖答案〗為：．16.函數(shù)的最小值為______〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為，且，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，所以，存在，使得，則，.當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共52分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．解：（1），令得，或，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為．（2）由（1）得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以在區(qū)間上的最大值為；因為，所以在區(qū)間上的最小值為．18.已知遞增等比數(shù)列滿足，是與的等差中項．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為是與的等差中項，，所以，即，解得或，因為為遞增等比數(shù)列，所以，所以．（2），．19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），因為，所以，令，即，解得，令，即，解得，所以遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和．（2）函數(shù)恰有兩個零點，則有兩個根，即與有兩個交點，由，，，，由（1）畫出圖象，由圖象可知，．20.已知數(shù)列中，，，是的前項和，且滿足，等比數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最大值．解：（1）當時，由，得，兩式相減得，因為，所以，當時，，則數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，則，則數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，則，綜上：；（2）由，，解得，則，，則，，兩式相減得，，所以