2023-2024學(xué)年上海市寶山區(qū)高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市寶山區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題3分，7-12每小題4分，滿分42分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，否則一律得零分．1.已知集合，，則______．〖答案〗〖解析〗由，可得、，則.故〖答案〗為：.2.函數(shù)的最小正周期為______．〖答案〗〖解析〗由正切型函數(shù)性質(zhì)可知.故〖答案〗為：.3.若指數(shù)函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題意，函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.4.已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)該扇形半徑為，弧長為，圓心角為，面積為，則，即，即，又，則.故〖答案〗為：.5.若，則的值為______．〖答案〗125〖解析〗由題意知，，則，所以，解得.故〖答案〗為：125.6.向量，能組成平面向量的一個基，則實數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，不共線，故有，即，故實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗：.7.已知中，，，，則在方向上的數(shù)量投影為______．〖答案〗〖解析〗.

故〖答案〗為：.8.若正數(shù)，，滿足，且的最小值是4，則的值為______．〖答案〗1〖解析〗由題意得，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，則，方程，，所以是方程的根，所以.故〖答案〗為：1.9.已知，，，則______．〖答案〗〖解析〗由，，，則，則，，.故〖答案〗為：.10.若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗觀察在上的圖象，當(dāng)時，或，當(dāng)時，，所以的最小值為：，的最大值為：，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.11.若函數(shù)對于任意，總存在使得，則稱是上的“階依賴函數(shù)”．已知函數(shù)是上的“階依賴函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，對于任意，存在使得，即，則，即.故〖答案〗為：.12.中，，當(dāng)時，的最小值為，則______．〖答案〗〖解析〗令，則，又，則點(diǎn)在線段上，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，則，則，令點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，即有，設(shè)，則在中，有，即，即，又，則，則有，即，即.

故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，滿分12分）每題有且只有一個正確〖答案〗，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表〖答案〗的小方格涂黑，選對得3分，否則一律得零分．13.已知角終邊上一點(diǎn)，若，則實數(shù)的值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由三角函數(shù)定義可得，解得.

故選：C.14.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則“在上為嚴(yán)格增函數(shù)”是“在上的最小值為”的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要〖答案〗A〖解析〗若在上為嚴(yán)格增函數(shù)，由奇函數(shù)性質(zhì)可得在上為嚴(yán)格增函數(shù)，則在上最小值為，若在上的最小值為，不能得到在上為嚴(yán)格增函數(shù)，即不能得到在上為嚴(yán)格增函數(shù)，故“在上為嚴(yán)格增函數(shù)”是“在上最小值為”的充分非必要條件.故選：A.15.如果兩個復(fù)數(shù)的實部互為相反數(shù)，虛部相等，那么這兩個復(fù)數(shù)互為“共胚復(fù)數(shù)”．已知與互為“共胚復(fù)數(shù)”，其中，，為虛數(shù)單位，則的值為（）A. B.0 C.3 D.〖答案〗D〖解析〗，則有，則.故選：D.16.已知函數(shù)，，，實數(shù)是函數(shù)的一個零點(diǎn)，下列選項中，不可能成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由在上單調(diào)遞減，y＝log2x在上單調(diào)遞增，所以，在定義域上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，，又因為，，所以，當(dāng)都為負(fù)值，則都大于，當(dāng)，則都小于，大于，綜合可得，不可能成立．故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分46分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．（1）求此冪函數(shù)的表達(dá)式和定義域；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)，則有，解得，故，即，則其定義域為.（2）由，則在上單調(diào)遞減，故有，即，即.18.已知坐標(biāo)平面內(nèi)，向量，，．（1）求滿足的實數(shù)、；（2）若向量滿足，且，求的坐標(biāo)．解：（1）由，則有，解得，即，.（2）設(shè)，則有，解得或，故或.19.銳角中角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，則.（2）由，則、，則，由為銳角三角形，可得，解得，則，則，故.20.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示：（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，求方程的所有根的和．解：（1）由函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，因為，即，可得，即，又因為，可得，所以.（2）由，可得或，因為，可得，當(dāng)時，，設(shè)方程的解為，則，可得；當(dāng)時，，則，可得，綜上所述，方程的所有根的和為.21.已知集合（其中是虛數(shù)單位），定義：，.（1）計算的值；（2）記，若，且滿足，求的最大值，并寫出一組符合題意的、；（3）若，且滿足，，記，求證：當(dāng)時，函數(shù)必存在唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時，．解：（1）.（2）設(shè)，由，得，所以，當(dāng)，時等號成立，所以的最大值為4，符合題意的一組解：.（3）由條件可知，所以，設(shè)，當(dāng)時，和是單調(diào)遞增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，即在上有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，得，先增后減，且，因此，即在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，則，而，因此，即在上沒有零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時，必存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時，，且得，所以，其中，此時是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，從而，所以當(dāng)時，.上海市寶山區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題3分，7-12每小題4分，滿分42分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，否則一律得零分．1.已知集合，，則______．〖答案〗〖解析〗由，可得、，則.故〖答案〗為：.2.函數(shù)的最小正周期為______．〖答案〗〖解析〗由正切型函數(shù)性質(zhì)可知.故〖答案〗為：.3.若指數(shù)函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題意，函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.4.已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)該扇形半徑為，弧長為，圓心角為，面積為，則，即，即，又，則.故〖答案〗為：.5.若，則的值為______．〖答案〗125〖解析〗由題意知，，則，所以，解得.故〖答案〗為：125.6.向量，能組成平面向量的一個基，則實數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，不共線，故有，即，故實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗：.7.已知中，，，，則在方向上的數(shù)量投影為______．〖答案〗〖解析〗.

故〖答案〗為：.8.若正數(shù)，，滿足，且的最小值是4，則的值為______．〖答案〗1〖解析〗由題意得，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，則，方程，，所以是方程的根，所以.故〖答案〗為：1.9.已知，，，則______．〖答案〗〖解析〗由，，，則，則，，.故〖答案〗為：.10.若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗觀察在上的圖象，當(dāng)時，或，當(dāng)時，，所以的最小值為：，的最大值為：，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.11.若函數(shù)對于任意，總存在使得，則稱是上的“階依賴函數(shù)”．已知函數(shù)是上的“階依賴函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，對于任意，存在使得，即，則，即.故〖答案〗為：.12.中，，當(dāng)時，的最小值為，則______．〖答案〗〖解析〗令，則，又，則點(diǎn)在線段上，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，則，則，令點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，即有，設(shè)，則在中，有，即，即，又，則，則有，即，即.

故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，滿分12分）每題有且只有一個正確〖答案〗，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表〖答案〗的小方格涂黑，選對得3分，否則一律得零分．13.已知角終邊上一點(diǎn)，若，則實數(shù)的值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由三角函數(shù)定義可得，解得.

故選：C.14.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則“在上為嚴(yán)格增函數(shù)”是“在上的最小值為”的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要〖答案〗A〖解析〗若在上為嚴(yán)格增函數(shù)，由奇函數(shù)性質(zhì)可得在上為嚴(yán)格增函數(shù)，則在上最小值為，若在上的最小值為，不能得到在上為嚴(yán)格增函數(shù)，即不能得到在上為嚴(yán)格增函數(shù)，故“在上為嚴(yán)格增函數(shù)”是“在上最小值為”的充分非必要條件.故選：A.15.如果兩個復(fù)數(shù)的實部互為相反數(shù)，虛部相等，那么這兩個復(fù)數(shù)互為“共胚復(fù)數(shù)”．已知與互為“共胚復(fù)數(shù)”，其中，，為虛數(shù)單位，則的值為（）A. B.0 C.3 D.〖答案〗D〖解析〗，則有，則.故選：D.16.已知函數(shù)，，，實數(shù)是函數(shù)的一個零點(diǎn)，下列選項中，不可能成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由在上單調(diào)遞減，y＝log2x在上單調(diào)遞增，所以，在定義域上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，，又因為，，所以，當(dāng)都為負(fù)值，則都大于，當(dāng)，則都小于，大于，綜合可得，不可能成立．故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分46分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．（1）求此冪函數(shù)的表達(dá)式和定義域；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)，則有，解得，故，即，則其定義域為.（2）由，則在上單調(diào)遞減，故有，即，即.18.已知坐標(biāo)平面內(nèi)，向量，，．（1）求滿足的實數(shù)、；（2）若向量滿足，且，求的坐標(biāo)．解：（1）由，則有，解得，即，.（2）設(shè)，則有，解得或，故或.19.銳角中角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，則.（2）由，則、，則，由為銳角三角形，可得，解得，則，則，故.20.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示：（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，求方程的所有根的和．解：（1）由函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，因為，即，可得，即，又因為，可得，所以.（2）由，可得或，因為，可得，當(dāng)時，，設(shè)方程的解為，則，可得；當(dāng)時，，則，可得，綜上所述，方程的所有根的和為.21.已知集合（其中是虛數(shù)單位），定義：，.（1）計算的值；（2）記，若，且滿足，求的最大值，并寫出一組符合題意的、；（3）若