2023-2024學(xué)年天津市河北區(qū)高一下學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河北區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.-1 B.1 C.-5 D.5〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，，則有.故選：A.2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與互為對(duì)立事件 B.C.與相等 D.與互斥〖答案〗B〖解析〗AD選項(xiàng)，事件與能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，不是對(duì)立事件，故AD均錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，事件與事件不是同一個(gè)事件，故C錯(cuò)誤．故選：B．3.一個(gè)總體中共有10個(gè)個(gè)體，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)樣本容量為3的樣本，則某一個(gè)特定個(gè)體被抽到的概率為（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗依題意每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為，則某一個(gè)特定個(gè)體被抽到的概率為.

故選：A.4.如圖，在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因，所以即為異面直線與所成角的平面角，而，所以異面直線與所成角的大小為.故選：C.5.用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，則該圓錐筒的高為（）A.12 B.C.9 D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，依題意可得，，所以，則.故選：D.6.如圖，已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.7.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：若，，則或，又，則或與相交，相交也不一定垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則或，若，則在平面內(nèi)存在直線，使得，又，則，又，所以；若，又，所以；綜上可得，由，，，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，又，，是兩個(gè)不同的平面，則，故C正確；對(duì)于D：若，，，則或與異面，故D錯(cuò)誤．故選：C．8.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，則點(diǎn)在直線上的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，則點(diǎn)有種可能，其中滿足的數(shù)對(duì)有，共5種可能，所以點(diǎn)在直線上的概率是.故選：C.9.某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢(shì)如圖所示，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，下列說(shuō)法中不正確的是（）A.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為78.5B.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的第30百分位數(shù)為55C.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于100D.計(jì)算連續(xù)3天空氣質(zhì)量指數(shù)方差，其中6日到8日的方差最大〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，將14天的空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大排列為：，所以該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為：，故A正確.對(duì)于B：因?yàn)?，所以該?4天空氣質(zhì)量指數(shù)的百分位數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：，該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值小于100，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)檫B續(xù)3天空氣質(zhì)量指數(shù)，6日到8日的波動(dòng)最大，也即方差最大，故D正確.故選：C.10.如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由直三棱柱的體積為6，可得，設(shè)到平面的距離為，由，，，解得，即到平面的距離為.故選：B.二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，〖答案〗填在題中橫線上．11.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.12.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．為掌握各類超市的營(yíng)業(yè)情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，應(yīng)抽取中型超市__________家．〖答案〗20〖解析〗∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家.故〖答案〗為：20．13.某校團(tuán)委舉辦“強(qiáng)國(guó)復(fù)興有我”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)回答一道題目．已知甲同學(xué)答對(duì)的概率為，乙同學(xué)答對(duì)的概率為．若這兩位同學(xué)回答正確與否互不影響，則甲、乙兩位同學(xué)中至少1位同學(xué)答對(duì)這道題的概率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意，所求概率為.故〖答案〗為：.14.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，且長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，又長(zhǎng)方體外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，所以外接球的表面積.

故〖答案〗為：.15.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案，河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗所有的基本事件為，其中，，共25個(gè)基本事件；目標(biāo)事件為，，，，，共5個(gè)基本事件，所以.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為一號(hào)和二號(hào)），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；（2）求下列事件的概率；①“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；②“一號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)比二號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大”.解：（1）拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，一號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都與二號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果，用數(shù)字表示一號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，用數(shù)字表示二號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則數(shù)組表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，所以這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為：，樣本空間共有36個(gè)樣本點(diǎn)，由于骰子的質(zhì)地均勻，因此各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，所以這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.（2）由（1）知，事件A所含樣本點(diǎn)：，共4個(gè)，所以；事件B所含樣本點(diǎn)為：，共15個(gè)，所以.17.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值和的面積．解：（1）因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，由正弦定理得，又，則，顯然，則，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，解得或（舍），所以面積.18.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）已知該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說(shuō)明理由；（3）估計(jì)居民月均用水量的眾數(shù)、中位數(shù)，說(shuō)明理由．解：（1）由頻率分布直方圖知，，解得，所以直方圖中的值為.（2）由圖得月均用水量不低于3噸的頻率為，所以估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為（人）.（3）由圖可知，眾數(shù)是；因?yàn)?，，所以中位?shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則，解得，即中位數(shù)為.19.如圖，在三棱柱中，與交于點(diǎn)，平面，，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）在三棱柱中，與交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面.（3）取的中點(diǎn)，連接、、，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平面，所以為直線與平面所成角的平面角，因?yàn)槠矫?，平面，所以，設(shè)，則，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.天津市河北區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.-1 B.1 C.-5 D.5〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，，則有.故選：A.2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與互為對(duì)立事件 B.C.與相等 D.與互斥〖答案〗B〖解析〗AD選項(xiàng)，事件與能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，不是對(duì)立事件，故AD均錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，事件與事件不是同一個(gè)事件，故C錯(cuò)誤．故選：B．3.一個(gè)總體中共有10個(gè)個(gè)體，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)樣本容量為3的樣本，則某一個(gè)特定個(gè)體被抽到的概率為（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗依題意每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為，則某一個(gè)特定個(gè)體被抽到的概率為.

故選：A.4.如圖，在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因，所以即為異面直線與所成角的平面角，而，所以異面直線與所成角的大小為.故選：C.5.用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，則該圓錐筒的高為（）A.12 B.C.9 D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，依題意可得，，所以，則.故選：D.6.如圖，已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.7.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：若，，則或，又，則或與相交，相交也不一定垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則或，若，則在平面內(nèi)存在直線，使得，又，則，又，所以；若，又，所以；綜上可得，由，，，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，又，，是兩個(gè)不同的平面，則，故C正確；對(duì)于D：若，，，則或與異面，故D錯(cuò)誤．故選：C．8.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，則點(diǎn)在直線上的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，則點(diǎn)有種可能，其中滿足的數(shù)對(duì)有，共5種可能，所以點(diǎn)在直線上的概率是.故選：C.9.某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢(shì)如圖所示，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，下列說(shuō)法中不正確的是（）A.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為78.5B.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的第30百分位數(shù)為55C.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于100D.計(jì)算連續(xù)3天空氣質(zhì)量指數(shù)方差，其中6日到8日的方差最大〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，將14天的空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大排列為：，所以該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為：，故A正確.對(duì)于B：因?yàn)?，所以該?4天空氣質(zhì)量指數(shù)的百分位數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：，該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值小于100，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)檫B續(xù)3天空氣質(zhì)量指數(shù)，6日到8日的波動(dòng)最大，也即方差最大，故D正確.故選：C.10.如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由直三棱柱的體積為6，可得，設(shè)到平面的距離為，由，，，解得，即到平面的距離為.故選：B.二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，〖答案〗填在題中橫線上．11.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.12.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．為掌握各類超市的營(yíng)業(yè)情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，應(yīng)抽取中型超市__________家．〖答案〗20〖解析〗∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家.故〖答案〗為：20．13.某校團(tuán)委舉辦“強(qiáng)國(guó)復(fù)興有我”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)回答一道題目．已知甲同學(xué)答對(duì)的概率為，乙同學(xué)答對(duì)的概率為．若這兩位同學(xué)回答正確與否互不影響，則甲、乙兩位同學(xué)中至少1位同學(xué)答對(duì)這道題的概率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意，所求概率為.故〖答案〗為：.14.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，且長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，又長(zhǎng)方體外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，所以外接球的表面積.

故〖答案〗為：.15.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案，河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗所有的基本事件為，其中，，共25個(gè)基本事件；目標(biāo)事件為，，，，，共5個(gè)基本事件，所以.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為一號(hào)和二號(hào)），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；（2）求下列事件的概率；①“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；②“一號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)比二號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大”.解：（1）拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，一號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都與二號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果，用數(shù)字表示一號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，用數(shù)字表示二號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則數(shù)組表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，所以這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為：，樣本空間共有36個(gè)樣本點(diǎn)，由于骰子的質(zhì)地均勻，因此各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，所以這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.（2）由（1）知，事件A所含樣本點(diǎn)：，共4個(gè)，所以；事件B所含樣本點(diǎn)為：，共1