專題01空間向量及其應(yīng)用（考點(diǎn)串講）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（2020選修）

高二滬教版數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考點(diǎn)大串講串講01空間向量及其應(yīng)用01020403目

錄易錯(cuò)易混題型剖析考點(diǎn)透視押題預(yù)測(cè)七大易錯(cuò)易混經(jīng)典例題+錯(cuò)因分析與防范措施6道期末真題對(duì)應(yīng)考點(diǎn)練三大重難點(diǎn)題型典例剖析五大?？键c(diǎn)：知識(shí)梳理+考點(diǎn)分類訓(xùn)練+技巧總結(jié)考點(diǎn)透視1．空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為1的向量—相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一個(gè)平面的向量—知識(shí)梳理2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).5.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量．顯然一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們是共線向量．(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0例1如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.題型一：應(yīng)用空間向量證明位置關(guān)系證明

(1)如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M(jìn),N分別為AB,PC的中點(diǎn),方法技巧

利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系的方法(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可.(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩個(gè)不共線向量來(lái)線性表示直線的方向向量.(3)證明面面平行的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向量);②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題.(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直;②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問(wèn)題.例2如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長(zhǎng);(2)求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.題型二：應(yīng)用空間向量求空間距離解

(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設(shè)F(0,0,z).由題意得AEC1F為平行四邊形,方法技巧

向量法求點(diǎn)面距離的步驟

例3如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點(diǎn)且B1M=2,點(diǎn)N在線段A1D上,A1D⊥AN.(1)求異面直線A1D與AM所成的角;(2)求直線AD與平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD夾角的余弦值.題型三：應(yīng)用空間向量求空間角解

以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).方法技巧

向量法求線面角、兩平面夾角的方法(1)利用空間向量求直線與平面所成的角的兩種方法:①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角或其補(bǔ)角;②通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,則其余角就是斜線和平面所成的角.(2)利用空間向量求兩平面夾角的兩種方法:①利用定義,分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小,再由此得兩平面的夾角;②通過(guò)平面的法向量來(lái)求:設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則兩平面夾角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>),注意取銳角或直角.例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點(diǎn).(1)求證:A1B∥平面ADC1.(2)求平面ADC1與平面ABC夾角的余弦值.(3)線段A1B1上是否存在點(diǎn)E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.題型四：空間中的折疊與探究性問(wèn)題(1)證明

連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OD,如圖.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn).又D為BC的中點(diǎn),所以O(shè)D為△A1BC的中位線,所以A1B∥OD.因?yàn)镺D?平面ADC1,A1B?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解

由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1兩兩垂直,以B為原點(diǎn),分別以BC,BA,BB1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.(3)解

存在.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),方法技巧

解決存在性問(wèn)題的基本策略假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立),然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理,若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí),說(shuō)明假設(shè)成立,即存在,并可進(jìn)一步證明;若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論,則說(shuō)明假設(shè)不成立,即不存在.例5如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=6,AD=2,E,F分別是CD的兩個(gè)三等分點(diǎn),若把等腰梯形沿虛線AF,BE折起,使得點(diǎn)C和點(diǎn)D重合,記為點(diǎn)P,如圖②.(1)求證:平面PEF⊥平面ABEF;(2)求平面PAE與平面PAB夾角的余弦值.(1)證明

∵四邊形ABCD為等腰梯形,AB=2,CD=6,AD=2,E,F是CD的兩個(gè)三等分點(diǎn),∴四邊形ABEF是正方形,∴BE⊥EF.∵BE⊥PE,且PE∩EF=E,∴BE⊥平面PEF.又BE?平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF.(2)解

過(guò)點(diǎn)P作PO⊥EF于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作BE的平行線交AB于點(diǎn)G,則PO⊥平面ABEF,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)G,OE,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.方法技巧

解決與折疊有關(guān)問(wèn)題的方法解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下,折線同一側(cè)的,線段的長(zhǎng)度是不變量,而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化,抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口.易錯(cuò)01空間向量數(shù)乘運(yùn)算易錯(cuò)易混四棱錐V－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為4且∠ABC＝60°的菱形，頂點(diǎn)V在底面的射影是底面對(duì)角線的交點(diǎn)O，VO＝3，建立正確的坐標(biāo)系求各點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，下列建系方式正確的是

(

)A．(2)(3)B．(2)(4)C．(1)(4)D．(1)(2)(4)易錯(cuò)04求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的建系問(wèn)題錯(cuò)解：選D．在空間直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系是兩兩垂直．由于菱形的對(duì)角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO，AO，BO和VO，BO，CO兩兩互相垂直；(3)中的x軸和y軸不垂直，(1)(3)(4)中三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩互相垂直．錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的根本原因是忽略了坐標(biāo)軸應(yīng)兩兩互相垂直而錯(cuò)選．正解：選B．在空間直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系是兩兩垂直．由于菱形的對(duì)角線互相垂直，且VO垂直于底面，則VO，AO，BO和VO，BO，CO兩兩互相垂直；(1)中的x軸和y軸不垂直，(3)中三個(gè)坐標(biāo)軸都不垂直，(2)(4)中三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩互相垂直．防范措施：1．準(zhǔn)確把握建系原則空間直角坐標(biāo)系是右手直角坐標(biāo)系，故三個(gè)坐標(biāo)軸應(yīng)兩兩互相垂直，如本題(1)(3)中x軸和y軸不垂直，故不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系．2．正確使用幾何圖形的性質(zhì)建立合理的空間直角坐標(biāo)系要尋找互相垂直的坐標(biāo)軸，垂直關(guān)系往往用到平面和立體圖形的性質(zhì)，尋找垂直關(guān)系的關(guān)鍵是正確使用幾何圖形的性質(zhì)．如本題(2)(4)利用了菱形的對(duì)角線互相垂直這一性質(zhì)，從而確定出x軸與y軸互相垂直.易錯(cuò)05由向量的夾角求參數(shù)的取值范圍錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的根本原因是忽視了a·b<0包含〈a，b〉＝180°的情況．實(shí)際上a與b夾角為鈍角?a·b<0且〈a，b〉≠180°.正解：選B．因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.由a·b<0得(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使b＝λa，即(－1，x－1,1)＝λ(3，－2，－3)，防范措施：1．明確兩個(gè)充要條件(1)向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且〈a，b〉≠0°.(2)向量a與b的夾角為鈍角?a·b<0且〈a，b〉≠180°.2．注意向量共線情況的計(jì)算先利用a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，求出參數(shù)，再根據(jù)“λ>0，a與b同向，λ<0，a與b反向”確定滿足題意的參數(shù)的值.已知u是平面α的一個(gè)法向量，a是直線l的一個(gè)方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，則l與α的位置關(guān)系是________．錯(cuò)解：因?yàn)閡·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，所以u(píng)⊥a，所以l∥α.錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的根本原因是忽視了直線與平面平行和向量與平面平行的區(qū)別．實(shí)際上，本例中由向量u⊥a可得l?α或l∥α.正解：因?yàn)閡·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，所以u(píng)⊥a.所以l?α或l∥α.易錯(cuò)