高中數(shù)學(xué) 2.2.3 第1課時(shí) 直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2.3第1課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固北師大版必修2一、選擇題1．直線4x＋3y－40＝0與圓x2＋y2＝100的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交 D．相切或相離[答案]C[解析]圓心O到直線的距離d＝eq\f(|－40|,5)＝8<10＝r，∴直線與圓相交．2．直線y＝kx被圓x2＋y2＝2截得的弦AB長(zhǎng)等于()A．4 B．2C．2eq\r(2) D．eq\r(2)[答案]C[解析]直線y＝kx過(guò)圓心，被圓x2＋y2＝2所截得的弦長(zhǎng)恰為圓的直徑2eq\r(2)，故選C.3．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0[答案]D[解析]設(shè)所求切線方程為y－eq\r(3)＝k(x－1)．解法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0,y＝kx－k＋\r(3)))?x2－4x＋(kx－k＋eq\r(3))2＝0.該二次方程應(yīng)有兩個(gè)相等實(shí)根，則Δ＝0，解得k＝eq\f(\r(3),3).∴y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0.解法二：點(diǎn)(1，eq\r(3))在圓x2＋y2－4x＝0上，∴點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直．又∵圓心為(2,0)，∴eq\f(0－\r(3),2－1)·k＝－1.解得k＝eq\f(\r(3),3)，∴切線方程為x－eq\r(3)y＋2＝0.解法三：把x2＋y2－4x＝0配方，得(x－2)2＋y2＝22，圓心坐標(biāo)為(2,0)，而過(guò)點(diǎn)P的半徑所在直線的斜率為－eq\r(3)，則切線斜率為eq\f(\r(3),3)，由此排除A、B，再代入P(1，eq\r(3))，排除C.4．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[答案]C[解析]本題考查直線與圓的位置關(guān)系．圓的圓心為(a,0)，半徑為eq\r(2)，所以eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1，幾何法是解決直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的常規(guī)方法．5．圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上與直線x＋y＋1＝0的距離等于eq\r(2)的點(diǎn)共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[答案]C[解析]圓心到直線的距離d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，r＝2eq\r(2)，所以直線與圓相交．又r－d＝eq\r(2)，所以劣弧上到直線的距離等于eq\r(2)的點(diǎn)只有1個(gè)，在優(yōu)弧上到直線距離等于eq\r(2)的點(diǎn)有2個(gè)．6．(陜西高考)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定[答案]B[解析]本題考查直線與圓的位置關(guān)系判定，點(diǎn)到直線距離公式等．由點(diǎn)(a，b)在圓x2＋y2＝1外知a2＋b2>1，而圓心(0,0)到直線ax＋by＝1的距離為d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，所以直線與圓相交．二、填空題7．已知圓O：x2＋y2＝5和點(diǎn)A(1,2)，則過(guò)A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于________．[答案]eq\f(25,4)[解析]本題考查直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式以及運(yùn)算能力．由題意知切線的斜率存在，設(shè)為k，切線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(|2－k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝－eq\f(1,2)，∴切線方程為－eq\f(1,2)x－y＋eq\f(5,2)＝0，令x＝0，y＝eq\f(5,2)，令y＝0，x＝5，∴三角形面積為S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4).8．(·湖北理，12)直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2＋b2＝________.[答案]2[解析]本題考查直線與圓的位置關(guān)系．依題意，圓心O(0,0)到兩直線l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距離相等，且每段弧長(zhǎng)等于圓周的eq\f(1,4)，即eq\f(|a|,\r(2))＝eq\f(|b|,\r(2))＝1×sin45°＝eq\f(\r(2),2)，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.三、解答題9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．[解析](1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)．故可設(shè)圓心C為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2eq\r(2))2＋t2，解得t＝1.則圓C的半徑為eq\r(32＋t－12)＝3.所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋a＝0，,x－32＋y－12＝9.))消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a因此x1,2＝eq\f(8－2a±\r(56－16a－4a2),4)，從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝eq\f(a2－2a＋1,2). ①由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ②由①②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1.一、選擇題1．直線a(x＋1)＋b(y＋1)＝0與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系是()A．相切 B．相離C．相切或相交 D．相切或相離[答案]C[解析]直線過(guò)定點(diǎn)(－1，－1)，而點(diǎn)(－1，－1)恰巧是圓x2＋y2＝2上一點(diǎn)，故直線與圓相切或相交．2．如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，那么eq\f(y,x)的最大值是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)[答案]D[解析]eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，即圓(x－2)2＋y2＝3上的點(diǎn)和原點(diǎn)(0,0)連線斜率的最大值．如圖所示，OA取得最大值kOA＝eq\r(3).故選D.二、填空題3．已知圓的方程是x2＋y2＝2，則經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)(1，－1)的切線方程是__________．[答案]x－y＝2[解析]因?yàn)檫^(guò)x2＋y2＝r2上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2，故x－y＝2即為所求．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．[答案](－13,13)[解析]由題意知，圓心O(0,0)到直線12x－5y＋c＝0的距離d<1，∴eq\f(|c|,13)<1，∴－13<c<13.三、解答題5．求實(shí)數(shù)m，使直線x－my＋3＝0和圓x2＋y2－6x＋5＝0.(1)相交；(2)相切；(3)相離．[解析]圓的方程為(x－3)2＋y2＝4，圓心為(3,0)，半徑為r＝2，圓心到直線的距離d＝eq\f(6,\r(1＋m2)).(1)若直線與圓相交，則d<r，即eq\f(6,\r(1＋m2))<2，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).(2)若直線與圓相切，則d＝r，即eq\f(6,\r(1＋m2))＝2，解得m＝－2eq\r(2)或2eq\r(2).(3)若直線與圓相離，則d>r，即eq\f(6,\r(1＋m2))>2，解得－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).6．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直線l的方程．[解析]經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)P(2,3)在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝1的外部，①若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－2)．∵直線l與圓相切，∴eq\f(|k×1－－2－2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得：k＝eq\f(12,5).∴所求直線l的方程為：y－3＝eq\f(12,5)(x－2)，即：12x－5y－9＝0.②若直線l的斜率不存在，則直線x＝2也符合題意，∴所求直線l的方程為：x＝2，綜上可知，所求直線l的方程為12x－5y－9＝0或x＝2.7．已知圓C∶(x－3)2＋(y－4)2＝4和直線l∶kx－y－4k＋3＝0.(1)求證：不論k取何值，直線和圓總相交；(2)求k取何值時(shí)，圓被直線截得的弦最短，并求最短弦的長(zhǎng)．[解析]解法一：(1)∵圓的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝4，∴圓心為C(3,4)，半徑為2，∴圓心到直線的距離為d＝eq\f(|3k－4－4k＋3|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1)).假設(shè)d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))<2，即3k2－2k＋3>0.∵Δ＝(－2)2－36<0，∴k為任意實(shí)數(shù)，∴不論k取什么值，d<2，即不論k取什么值時(shí)，直線和圓都相交．(2)設(shè)直線和圓的交點(diǎn)為A，B，則由勾股定理得(eq\f(1,2)|AB|)2＝r2－d2，當(dāng)d最大時(shí)，AB最小．∵d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k＋12,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))；∵k2＋1－2k＝(k－1)2≥0；∴k2＋1≥2k.∴eq\f(2k,k2＋1)≤1，當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．∴當(dāng)k＝1時(shí)，d的值最大，且為eq\r(2)，此時(shí)有(eq\f(1,2)|AB|)2＝r2－d2＝4－2＝2，即|AB|＝2eq\r(2).∴當(dāng)k＝1時(shí)，圓被直線截得的弦最短，最短弦長(zhǎng)為2eq\r(2).解法二：圓的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝4，∴圓心為C(3,4)，半徑為r＝2.(1)直線方程可化為k(x－4)＋(3－y)＝0，∴直線過(guò)定點(diǎn)P(4,3)．∵(4－3)2＋(3－4)2<4，∴點(diǎn)P在圓C內(nèi)部．