高中數(shù)學(xué) 2.3 第1課時(shí) 空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo) 表示及空間向量基本定理基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 北師大版選修2-1

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.3第1課時(shí)空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示及空間向量基本定理基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)北師大版選修2-1一、選擇題1．長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，則eq\o(AC1,\s\up6(→))等于()A．i＋j＋k B．eq\f(1,3)i＋eq\f(1,2)j＋eq\f(1,5)kC．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k[答案]C[解析]令A(yù)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間坐標(biāo)系．由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，則C1點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2,5)，即eq\o(AC1,\s\up6(→))＝3i＋2j＋5k，故選C.2．已知線段AB的長(zhǎng)度為6eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))與直線l的夾角為120°，則eq\o(AB,\s\up6(→))在l上的投影為()A．3eq\r(2) B．－3eq\r(2)C．3eq\r(6) D．－3eq\r(6)[答案]B[解析]AB在l上的投影為：|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°＝－3eq\r(2).3．給出下列命題：①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可作為空間的基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量組{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]根據(jù)基底的概念，空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，否則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．顯然②正確，③中由eq\o(BA,\s\up6(→))、eq\o(BM,\s\up6(→))、eq\o(BN,\s\up6(→))共面且過(guò)相同點(diǎn)B，故A、B、M、N共面．下面證明①④正確．①假設(shè)d與a、b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a、b共面與條件矛盾．∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．二、填空題4.三棱錐P－ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M為PC的中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，以{eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[答案](eq\f(1,2)，0，－eq\f(1,2))[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).5．如圖所示，已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且PMMC＝21，N為PD中點(diǎn)，則滿足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實(shí)數(shù)x＝________，y＝________，z＝________.[答案]－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)eq\f(1,6)[解析]在PD上取一點(diǎn)F，使PFFD＝21，連結(jié)MF，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).三、解答題6.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，連接A1B、B1(1)求：eq\o(A1B,\s\up6(→))與eq\o(B1C,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(2)連接A1C，求eq\o(A1C,\s\up6(→))在平面ABCD上的投影的長(zhǎng)．[解析](1)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(4,0,3)、B(4,4,0)、B1(4,4,3)、C(0,4,0)．∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,4，－3)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－4,0，－3)．(2)連結(jié)AC，eq\o(A1C,\s\up6(→))在平面ABCD上的投影長(zhǎng)為|eq\o(A1C,\s\up6(→))|·cos∠A1CA＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).一、選擇題1．若O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則()A．eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共線 B．eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共線C．eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面[答案]D[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))三個(gè)向量共面，∴O，A，B，C四點(diǎn)共面．故選D.2．三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分別BB1，AC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A．eq\f(1,2)(a＋b＋c) B．eq\f(1,2)(a＋b－c)C．eq\f(1,2)(a＋c) D．a(chǎn)＋eq\f(1,2)(c－b)[答案]D[解析]因?yàn)閑q\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b＋a＋eq\f(1,2)c，所以選D.3．已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以與向量p，q構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是()A．a(chǎn) B．bC．c D．無(wú)法確定[答案]C[解析]∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a與p、q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b與p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c與p、q不共面，故{c，p，q}可作為空間的一個(gè)基底，故選C.4．已知i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a＝i＋2j＋3k，則a在i方向的投影為()A．1 B．－1C．eq\r(14) D．－eq\r(14)[答案]A[解析]a·i＝|a|·|i|·cos〈a，i〉，則|a|·cos〈a，i〉＝eq\f(a·i,|i|)＝(i＋2j＋3k)·i＝i2＝1，故選A.5．已知{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，則α、β、γ分別為()A．eq\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2) B．eq\f(5,2)，1，eq\f(1,2)C．－eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2) D．eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2)[答案]A[解析]d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又因?yàn)閐＝e1＋2e2＋3e3，所以有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))二、填空題6．在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)，則在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，eq\o(DO,\s\up6(→))的坐標(biāo)是________，eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐標(biāo)是________．[答案](－2，－1，－4)(－4,2，－4)[解析]eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))＝－2i－j－4k；eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4k－4i＋2j.∴eq\o(DO,\s\up6(→))＝(－2，－1，－4)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－4,2，－4)．7．三棱錐P－ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M為PC的中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，以{eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[答案](eq\f(1,2)，0，－eq\f(1,2))[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).三、解答題8．如圖，已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E在AC′上，且AEEC′＝12，點(diǎn)F，G分別是B′D′和BD′的中點(diǎn)，求下列各式中的x，y，z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)∵AEEC′＝12，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F為B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分別為BD′、B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.9.已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別在AB，PC上且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．[解析]設(shè)eq\o(DA,\s\up6(→))＝i，eq\o(AB,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k.∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\o(DA,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)i＋eq\f(1,3)k，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－eq\f(2,3)，0，eq\f(1,3))．10．如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)證明：A、E、C1、F四點(diǎn)共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．[解析](1)證明：因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up6(→