高中數(shù)學 3.1 第2課時類比推理同步檢測 北師大版選修1-2

【成才之路】-學年高中數(shù)學3.1第2課時類比推理同步檢測北師大版選修1-2一、選擇題1．下列哪個平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對象較合適()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形[答案]C[解析]從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對象較為合適．2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不可類比[答案]C3．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關性質(zhì)②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則猜想該教室內(nèi)的所有椅子都壞了④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)A．①② B．①③④C．①②④ D．②④[答案]C[解析]①是類比推理；②④是歸納推理，∴①②④都是合情推理．4．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；③垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]B[解析]根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關系知，②③是正確的結(jié)論．5．(·遼師大附中期中)類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊(2)中位線長等于底邊長的一半(3)三內(nèi)角平分線交于一點可得四面體的對應性質(zhì)：(1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積(2)過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的平面面積等于該頂點所對的面面積的eq\f(1,4)(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點其中類比推理方法正確的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對[答案]C[解析]以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結(jié)論也不一定正確．6．由代數(shù)式的乘法法則類比得到向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]由向量的有關運算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應選B.二、填空題7．對于平面幾何中的命題：“夾在兩平行線之間的平行線段的長度相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到的命題是：_____________________________.[答案]夾在兩個平行平面間的平行線段的長度相等8．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為________．[答案]a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9[解析]等比數(shù)列中，“乘積”類比到等差數(shù)列中“和”，故應有結(jié)論為a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.9．(·湖南長沙實驗中學、沙城一中聯(lián)考)在平面幾何里有射影定理：設△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC上的射影，則AB2＝BD·BC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關系為________．[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＝△OBC·S△DBC[解析]將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC.三、解答題10．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間中，并判斷類比的結(jié)論是否成立；(1)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交；(2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行．[解析]平面幾何與空間幾何的類比中，點的類比對象是線，線的類比對象是面，面的類比對象是體．(1)的類比結(jié)論為：如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交．由空間幾何的知識易得此結(jié)論成立．(2)的類比結(jié)論為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行．由空間幾何的知識易得此結(jié)論不成立，如果兩個平面同時垂直于第三個平面，這兩個平面還可能相交．一、選擇題11．六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體，在?ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)等于()A．2(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1)) B．3(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))C．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1)) D．4(AB2＋AD2)[答案]C[解析]如圖所示，四邊形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四邊形，從而有ACeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＝2(AC2＋AAeq\o\al(2,1))，BDeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝2(BD2＋BBeq\o\al(2,1))，所以ACeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝2(AC2＋BD2)＋4AAeq\o\al(2,1)＝4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))．12．下列類比推理恰當?shù)氖?)A．把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bnD．把a(b＋c)與a·(b＋c)類比，則有a·(b＋c)＝a·b＋a·c[答案]D[解析]選項A，B，C沒有從本質(zhì)屬性上類比，是簡單類比，從而出現(xiàn)錯誤．13.如圖所示，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(5)－1 D．eq\r(5)＋1[答案]A[解析]如圖所示，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，∴eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，又∵eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，∴c2－a2－ac＝0，∴e2－e－1＝0，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故應選A.二、填空題14．(·阜陽一中模擬)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2n－1＝(2n－1)an.由類比推理可得：在等比數(shù)列{bn}中，若其前n項的積為Pn，則P2n－1＝________.[答案]beq\o\al(2n－1,n)[解析]將等差數(shù)列前n項和類比到等比數(shù)列前n項的積，將等差中項的“倍數(shù)”類比到等比中項的“乘方”．因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2n－1＝(2n－1)an.所以類比可得：在等比數(shù)列{bn}中，若其前n項的積為Pn，則P2n－1＝beq\o\al(2n－1,n).15．在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點P(x0，y0)，則圓的面積S圓＝πr2，過點P的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，當離心率e趨近于0時，短半軸b就趨近于長半軸a，此時橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式得橢圓面積S橢圓＝________.類比過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________．[答案]πabeq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1[解析]當橢圓的離心率e趨近于0時，橢圓趨近于圓，此時a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝π·r·r，猜想橢圓面積S橢＝π·a·b，其嚴格證明可用定積分處理．而由切線方程x0·x＋y0·y＝r2變形得eq\f(x0,r2)·x＋eq\f(y0,r2)·y＝1，則過橢圓上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為eq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1，其嚴格證明可用導數(shù)求切線處理．三、解答題16．點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))在圓C：x2＋y2＝1上，經(jīng)過點P的圓的切線方程為eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(\r(2),2)y＝1，又點Q(2,1)在圓C外部，容易證明直線2x＋y＝1與圓相交，點Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))在圓C的內(nèi)部．直線eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)y＝1與圓相離．類比上述結(jié)論，你能給出關于一點P(a，b)與圓x2＋y2＝r2的位置關系與相應直線與圓的位置關系的結(jié)論嗎？[解析]點P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上時，直線ax＋by＝r2與⊙C相切；點P在⊙C內(nèi)時，直線ax＋by＝r2與⊙C相離；點P在⊙C外部時，直線ax＋by＝r2與⊙C相交．容易證明此結(jié)論是正確的．17．我們知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右兩邊分別相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達式的過程．[解析]我們記S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k