2024-2025學年新教材高中數(shù)學 第七章 復(fù)數(shù) 7.3 復(fù)數(shù)的三角表示（1）教案 新人教A版必修第二冊

2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章復(fù)數(shù)7.3復(fù)數(shù)的三角表示（1）教案新人教A版必修第二冊主備人備課成員教材分析本節(jié)課為人教A版必修第二冊第七章第三節(jié)“復(fù)數(shù)的三角表示（1）”。學生在之前的學習中已經(jīng)掌握了復(fù)數(shù)的基本概念和代數(shù)表示方法，本節(jié)課將引導學生學習復(fù)數(shù)的三角表示，即用角度來表示復(fù)數(shù)，進一步深化對復(fù)數(shù)概念的理解。本節(jié)課的內(nèi)容與后續(xù)的三角函數(shù)、復(fù)數(shù)運算等有著密切的聯(lián)系，是高中數(shù)學中重要的基礎(chǔ)概念。

本節(jié)課的教學目標包括：理解復(fù)數(shù)的三角表示的概念，掌握復(fù)數(shù)在極坐標系下的表示方法，能夠進行基本的復(fù)數(shù)三角表示的運算，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數(shù)學運算能力。

教學重點：復(fù)數(shù)的三角表示的概念和表示方法，復(fù)數(shù)在極坐標系下的運算。

教學難點：復(fù)數(shù)三角表示的運算規(guī)則的理解和應(yīng)用。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，主要包括邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)學建模。通過學習復(fù)數(shù)的三角表示，學生能夠培養(yǎng)邏輯推理能力，理解復(fù)數(shù)從代數(shù)表示到三角表示的轉(zhuǎn)化過程。在復(fù)數(shù)的三角表示運算過程中，學生能夠提升數(shù)學運算能力，熟練掌握三角表示的運算規(guī)則。同時，通過直觀想象，學生能夠?qū)?fù)數(shù)三角表示與幾何圖形相結(jié)合，形成直觀的認識。最后，在數(shù)學建模的過程中，學生能夠運用復(fù)數(shù)的三角表示解決實際問題，提升解決實際問題的能力。重點難點及解決辦法重點：復(fù)數(shù)的三角表示的概念和表示方法，復(fù)數(shù)在極坐標系下的運算。

難點：復(fù)數(shù)三角表示的運算規(guī)則的理解和應(yīng)用。

解決辦法：

1.對于重點內(nèi)容，通過多媒體演示和實物模型輔助教學，讓學生直觀地理解復(fù)數(shù)的三角表示，并借助數(shù)學軟件進行實例操作，加深對概念和方法的理解。

2.對于難點，采用分步教學法，先從簡單的三角表示運算入手，逐步過渡到復(fù)雜的運算問題。同時，設(shè)計具有梯度的練習題，讓學生在實踐中掌握運算規(guī)則。

3.課堂上組織小組討論，讓學生互相交流思路和解題方法，教師巡回指導，針對學生的不同困惑進行針對性解答。

4.利用課后作業(yè)和輔導時間，對學習有困難的學生進行個別輔導，幫助其克服難點，提高學習效果。學具準備Xxx課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學方法與手段教學方法：

1.問題驅(qū)動法：通過提出問題，引導學生思考復(fù)數(shù)三角表示的必要性，激發(fā)學生的探究欲望。

2.案例分析法：選取典型的實例，讓學生觀察、分析和總結(jié)復(fù)數(shù)三角表示的方法和規(guī)律。

3.合作學習法：組織學生進行小組討論，共同解決復(fù)數(shù)三角表示的運算問題，培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作能力。

教學手段：

1.多媒體教學：利用PPT、動畫等多媒體資源，生動展示復(fù)數(shù)的三角表示，增強學生的直觀感受。

2.數(shù)學軟件輔助：運用數(shù)學軟件進行實例演示和操作，讓學生親身體驗復(fù)數(shù)三角表示的運用，提高學生的實踐能力。

3.在線教學平臺：利用在線教學平臺，發(fā)布預(yù)習資料、課堂講解、課后作業(yè)等，方便學生隨時隨地學習，提高學習效果。

4.實體模型：借助復(fù)數(shù)圓模型、極坐標系模型等實體模型，讓學生直觀地理解復(fù)數(shù)三角表示的概念。

5.互動式教學：通過課堂提問、小組討論、搶答等互動環(huán)節(jié)，激發(fā)學生的學習興趣，提高課堂氛圍。

6.個性化輔導：針對學生的不同需求，提供個性化的輔導資源和學習計劃，幫助學生克服學習難點。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習任務(wù)：通過在線平臺或班級微信群，發(fā)布預(yù)習資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習目標和要求。

-設(shè)計預(yù)習問題：圍繞復(fù)數(shù)三角表示課題，設(shè)計一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導學生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習進度：利用平臺功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學生的預(yù)習進度，確保預(yù)習效果。

學生活動：

-自主閱讀預(yù)習資料：按照預(yù)習要求，自主閱讀預(yù)習資料，理解復(fù)數(shù)三角表示的基本概念。

-思考預(yù)習問題：針對預(yù)習問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預(yù)習成果：將預(yù)習成果（如筆記、思維導圖、問題等）提交至平臺或老師處。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：引導學生自主思考，培養(yǎng)自主學習能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺、微信群等，實現(xiàn)預(yù)習資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學生提前了解復(fù)數(shù)三角表示課題，為課堂學習做好準備。

-培養(yǎng)學生的自主學習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過故事、案例或視頻等方式，引出復(fù)數(shù)三角表示課題，激發(fā)學生的學習興趣。

-講解知識點：詳細講解復(fù)數(shù)三角表示的基本概念和方法，結(jié)合實例幫助學生理解。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論、實際操作等活動，讓學生在實踐中掌握復(fù)數(shù)三角表示的運用。

-解答疑問：針對學生在學習中產(chǎn)生的疑問，進行及時解答和指導。

學生活動：

-聽講并思考：認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：積極參與小組討論、實際操作等活動，體驗復(fù)數(shù)三角表示的應(yīng)用。

-提問與討論：針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學生理解復(fù)數(shù)三角表示的基本概念。

-實踐活動法：設(shè)計實踐活動，讓學生在實踐中掌握復(fù)數(shù)三角表示的運用。

-合作學習法：通過小組討論等活動，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學生深入理解復(fù)數(shù)三角表示的基本概念和方法。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學習，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)復(fù)數(shù)三角表示課題，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學習效果。

-提供拓展資源：提供與復(fù)數(shù)三角表示相關(guān)的拓展資源（如書籍、網(wǎng)站、視頻等），供學生進一步學習。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學生反饋和指導。

學生活動：

-完成作業(yè)：認真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學習效果。

-拓展學習：利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學習和思考。

-反思總結(jié)：對自己的學習過程和成果進行反思和總結(jié)，提出改進建議。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：引導學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

-反思總結(jié)法：引導學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學生在課堂上學到的復(fù)數(shù)三角表示知識點和技能。

-通過拓展學習，拓寬學生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。教學資源拓展1.拓展資源：

（1）復(fù)數(shù)三角表示在工程中的應(yīng)用：介紹復(fù)數(shù)三角表示在電路分析、信號處理等工程領(lǐng)域的應(yīng)用，幫助學生了解復(fù)數(shù)三角表示的實際意義。

（2）復(fù)數(shù)游戲：通過數(shù)學游戲的方式，讓學生在輕松愉快的氛圍中學習復(fù)數(shù)三角表示，提高學生的學習興趣。

（3）復(fù)數(shù)三角表示的數(shù)學史：介紹復(fù)數(shù)三角表示的起源和發(fā)展歷程，讓學生了解數(shù)學知識的演進過程，培養(yǎng)學生的文化素養(yǎng)。

（4）復(fù)數(shù)三角表示的練習題庫：提供大量復(fù)數(shù)三角表示的練習題，涵蓋各種難度和類型，幫助學生鞏固知識點。

2.拓展建議：

（1）讓學生利用網(wǎng)絡(luò)資源，查找復(fù)數(shù)三角表示在工程中的應(yīng)用案例，并進行分析和總結(jié)，提高學生的實際應(yīng)用能力。

（2）組織學生進行復(fù)數(shù)游戲活動，如復(fù)數(shù)接龍、復(fù)數(shù)猜謎等，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的動手能力和思維能力。

（3）鼓勵學生閱讀關(guān)于復(fù)數(shù)三角表示的數(shù)學史資料，了解復(fù)數(shù)三角表示的起源和發(fā)展，培養(yǎng)學生的歷史觀念和文化素養(yǎng)。

（4）建議學生利用課余時間，完成復(fù)數(shù)三角表示的練習題庫，檢測自己的學習效果，提高學生的自主學習能力。

（5）引導學生關(guān)注復(fù)數(shù)三角表示的最新研究成果和學術(shù)動態(tài)，拓寬學生的知識視野，提高學生的學術(shù)素養(yǎng)。課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學習了復(fù)數(shù)的三角表示，主要包括復(fù)數(shù)在極坐標系下的表示方法和復(fù)數(shù)的三角表示的運算規(guī)則。通過學習，我們知道了復(fù)數(shù)可以用角度來表示，進一步深化了對復(fù)數(shù)概念的理解。同時，我們也了解到了復(fù)數(shù)的三角表示在工程、數(shù)學史和實際應(yīng)用等方面的廣泛用途。

當堂檢測：

1.選擇題：

（1）復(fù)數(shù)1的三角表示是（）。

A.1°

B.1rad

C.π°

D.πrad

（2）復(fù)數(shù)（3+4i）的三角表示是（）。

A.3+4i

B.3rad

C.4rad

D.5rad

2.填空題：

（1）復(fù)數(shù)1的三角表示是______。

（2）復(fù)數(shù)（3+4i）的模是______，輻角是______。

3.計算題：

（1）已知復(fù)數(shù)1的三角表示是1rad，求復(fù)數(shù)1的代數(shù)表示。

（2）已知復(fù)數(shù)（3+4i）的三角表示是3rad，求復(fù)數(shù)（3+4i）的代數(shù)表示。

4.應(yīng)用題：

（1）已知電路中有一個電阻R和電容C，復(fù)數(shù)表示為R+jωL，其中ω=2πf，f為頻率。求該電路的復(fù)數(shù)表示。

（2）某信號的復(fù)數(shù)表示為2∠30°，求該信號的振幅和頻率。

答案解析：

1.選擇題答案：

（1）B

（2）D

2.填空題答案：

（1）1

（2）5；30°

3.計算題答案：

（1）1

（2）3-4i

4.應(yīng)用題答案：

（1）R+jωL

（2）振幅為2，頻率為50Hz板書設(shè)計1.復(fù)數(shù)的三角表示的概念和表示方法

-復(fù)數(shù)的三角表示：復(fù)數(shù)可以用角度來表示，即復(fù)數(shù)z=a+bi可以表示為z=r∠θ（其中r為模，θ為輻角）

-復(fù)數(shù)的三角表示的運算規(guī)則：復(fù)數(shù)的三角表示與代數(shù)表示之間的轉(zhuǎn)換，以及復(fù)數(shù)的三角表示的加減乘除運算規(guī)則

2.復(fù)數(shù)在極坐標系下的運算

-復(fù)數(shù)在極坐標系下的加法運算：兩個復(fù)數(shù)相加，模相加，輻角相加

-復(fù)數(shù)在極坐標系下的減法運算：兩個復(fù)數(shù)相減，模相減，輻角相加

-復(fù)數(shù)在極坐標系下的乘法運算：兩個復(fù)數(shù)相乘，模相乘，輻角相加

-復(fù)數(shù)在極坐標系下的除法運算：兩個復(fù)數(shù)相除，模相除，輻角相加

3.復(fù)數(shù)的三角表示的實際應(yīng)用

-復(fù)數(shù)在電路分析中的應(yīng)用：復(fù)數(shù)可以用來表示電路中的電阻、電容和電感等元件，便于進行電路分析

-復(fù)數(shù)在信號處理中的應(yīng)用：復(fù)數(shù)可以用來表示信號的幅度和相位信息，便于進行信號處理重點題型整理1.復(fù)數(shù)的三角表示與代數(shù)表示的轉(zhuǎn)換

（1）已知復(fù)數(shù)z=3+4i的代數(shù)表示，求其三角表示。

解：復(fù)數(shù)z=3+4i的模r=√(3^2+4^2)=5，輻角θ=arctan(4/3)=45°。所以，復(fù)數(shù)z=3+4i的三角表示為z=5∠45°。

（2）已知復(fù)數(shù)z=3∠60°的三角表示，求其代數(shù)表示。

解：復(fù)數(shù)z=3∠60°的模r=|3|=3，輻角θ=60°。所以，復(fù)數(shù)z=3∠60°的代數(shù)表示為z=3+0i。

2.復(fù)數(shù)的三角表示的加減運算

（1）已知復(fù)數(shù)z1=2∠30°和z2=3∠45°，求z1+z2和z1-z2。

解：復(fù)數(shù)z1和z2的模分別為r1=√2，r2=√3，輻角分別為θ1=30°，θ2=45°。

z1+z2的模r=r1+r2=√2+√3，輻角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1-z2的模r=r1-r2=√2-√3，輻角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1+z2=2√6∠75°，z1-z2=√6∠15°。

3.復(fù)數(shù)的三角表示的乘除運算

（1）已知復(fù)數(shù)z1=2∠30°和z2=3∠45°，求z1*z2和z1/z2。

解：復(fù)數(shù)z1和z2的模分別為r1=√2，r2=√3，輻角分別為θ1=30°，θ2=45°。

z1*z2的模r=r1*r2=2*√3=√6，輻角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1/z2的模r=r1/r2=√2/√3=√6/3，輻角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1*z2=2√6∠75°，z1/z2=√6∠15°。

4.復(fù)數(shù)三角表示的實際應(yīng)用

（1）已知信號的復(fù)數(shù)表示為2∠45°，求該信號的振幅和頻率。

解：信號的振幅為|2|=2，頻率為ω=tan(θ/2)=tan(45°/2)=√2。

（2）已知電路中有一個電阻R和電容C，復(fù)數(shù)表示為R+jωL，其中ω=2πf，f為頻率。求該電路的復(fù)數(shù)表示。

解：電路的復(fù)數(shù)表示為R+jωL，其中模r=√(R^2+(ωL)^2)，輻角θ=arctan(ωL/R)。

5.復(fù)數(shù)的三角表示的綜合應(yīng)用

（1）已知復(fù)數(shù)z1=2∠30°和z2=3∠45°，求復(fù)數(shù)z1*z2和z1/z2。

解：復(fù)數(shù)z1和z2的模分別為r1=√2，r2=√3，輻角分別為θ1=30°，θ2=45°。

z1*z2的模r=r1*r2=2*√3=√6，輻角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1/z2的模r=r1/r2=√2/√3=√6/3，輻角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1*z2=2√6∠75°，z1/z2=√6∠15°。反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.引入實際應(yīng)用案例：在教學過程中，通過引入復(fù)數(shù)在電路分析、信號處理等領(lǐng)域的實際應(yīng)用案例，幫助學生更好地理解復(fù)數(shù)的三角表示，提高學生的學習興趣和主動性。

2.利用信息技術(shù)手段：充分利用多媒體教學資源，如PPT、動畫等，形象生動地展示復(fù)數(shù)的三角表示，提高學生的直觀感受，增強教學效果。

3.組織小組合作學習：通過小組合作學習的方式，讓學生在小組內(nèi)共同探討復(fù)數(shù)的三角表示，互相交流學習心得，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

（二）存在主要問題

1.學生基礎(chǔ)差異較大：在教學過程中，發(fā)現(xiàn)部分學生對復(fù)數(shù)的基本概念掌握不夠牢固，導致學習復(fù)數(shù)的三角表示時感到困難。

2.教學方法單一：在教學過程中