人教版八年級數(shù)學上冊《第十二章全等三角形》單元測試卷及答案

第第頁人教版八年級數(shù)學上冊《第十二章全等三角形》單元測試卷及答案學校:___________姓名：___________班級：___________題號一二三總分得分評卷人得分一單選題（共36分）1．（本題3分）如圖,在中．按以下步驟作圖:①以點為圓心適當長為半徑畫弧分別交邊于點②分別以點和點為圓心以大于的長為半徑畫弧,兩弧在內(nèi)交于點③作射線交邊于點．若,則的面積是（

）

A． B． C． D．2．（本題3分）如圖，則EF的長是（

）

A．5 B．4 C．3 D．23．（本題3分）如圖，用尺規(guī)按如下步驟作圖：①以點O為圓心線段m的長為半徑畫弧交于點M交于點N②分別以點MN為圓心線段n的長為半徑畫弧兩弧在的內(nèi)部相交于點C③畫射線連接．下列結(jié)論不一定成立的是（

）

A． B． C． D．4．（本題3分）如圖，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（本題3分）小華在復習用尺規(guī)作一個角等于已知角的過程中，回顧了作圖的過程并作了如下的思考：

請你說明小華得到兩個三角形全等的根據(jù)是（）A． B． C． D．6．（本題3分）如圖，在中，AD為角平分線于E則BD等于（

）A．5 B．6 C．7 D．87．（本題3分）如圖，添加下列條件中的一個后能判定與全等的有（

）①②③④．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（本題3分）如圖，點是的外角平分線上一點且滿足過點作于點E交的延長線于點則下列結(jié)論中，其中正確的結(jié)論有（

）①②平分③④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（本題3分）如圖，ADCE是的角平分線ADCE相交于點F已知則下列說法中正確的個數(shù)是（

）①②③④．A．1 B．2 C．3 D．410．（本題3分）如圖，△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點D過點D作一條平分△ABC面積的直線那么這條直線分成的兩個圖形的周長比是（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：111．（本題3分）如圖，在△ABC中，AC=BC∠ACB=90°AD平分∠BAC與BC相交于點F過點B作BE⊥AD于點D交AC延長線于點E過點C作CH⊥AB于點H交AF于點G則下列結(jié)論：⑤正確的有（

）個.A．1 B．2 C．3 D．412．（本題3分）如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABCCD⊥BD于點DAC＝5BC－AB＝2則△ADC面積的最大值為（

）A．2 B．2.5 C．4 D．5評卷人得分二填空題（共16分）13．（本題4分）如圖，∠BAC=∠ABD請你添加一個條件：能使△ABD≌△BAC（只添一個即可）．14．（本題4分）如圖，點B的坐標為作軸軸垂足分別為AC點D為線段的中點點P從點A出發(fā)在線段上沿A→B→C運動當時點P的坐標為．15．（本題4分）如圖，已知∠DCE=∠A=90°BE⊥AC于B且DC=ECBE=8cm則AD+AB=．16．（本題4分）如圖，在中，在邊上取一點連接且若則的長為．評卷人得分三解答題（共98分）17．（本題10分）如圖，已知：AFCD四點在一條直線上AF＝CD∠D＝∠A且AB＝DE.請將下面說明△ABC≌△DEF的過程和理由補充完整.解：∵AF＝CD(______)∴AF＋FC＝CD＋_____即AC＝DF在△ABC和△DEF中：AC＝______(已知)∠D＝∠A(________)AB＝______(已知)∴△ABC≌△DEF(_______)18．（本題10分）已知如圖，與相交于點O求證：．

19．（本題10分）如圖，中，是邊上的中線為直線上的點連接且．求證：．20．（本題10分）如圖，在中，平分延長到點使得連接．

(1)求證：(2)若求的度數(shù)．21．（本題10分）如圖，小明觀察圖形后得出（需證）（需證）的結(jié)論你能說明其中的道理嗎？

22．（本題12分）如圖，點O在直線上過O作射線一直角三角板的直角頂點與點O重合邊與重合邊在直線的下方．（1）三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度當邊在的內(nèi)部在的下方時①若求的度數(shù)：②探究與之間的數(shù)量關系并簡單說明理由（2）若三角板繞點O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)的過程第t秒時直線恰好平分銳角則t的值為_________（直接寫出結(jié)果）．23．（本題12分）如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線．求證：．24．（本題12分）都是等邊三角形．

(1)如圖求證：(2)如圖點在內(nèi)為的中點連若且．①求證：②判斷與的數(shù)量關系并證明．25．（本題12分）【概念學習】在平面中，我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角如果兩個角相加等于那么稱這兩個角互為組角簡稱互組．（1）若互為組角且則________【理解運用】習慣上我們把有一個內(nèi)角大于的四邊形俗稱為鏢形．（2）如圖①在鏢形中，優(yōu)角與鈍角互為組角試探索內(nèi)角與鈍角之間的數(shù)量關系并說明理由【拓展延伸】（3）如圖②________（用含的代數(shù)式表示）（4）如圖③已知四邊形中，延長交于點延長交于的平分線交于點①寫出圖中一對互組的角________（兩個平角除外）②直接運用（2）中的結(jié)論試說明：（5）如圖④分別為的2019等分線（）．它們的交點從上到下依次為…．已知則_______．（用含的代數(shù)式表示）參考答案評卷人得分一單選題（共36分）1．（本題3分）如圖,在中，．按以下步驟作圖:①以點為圓心適當長為半徑畫弧分別交邊于點②分別以點和點為圓心以大于的長為半徑畫弧,兩弧在內(nèi)交于點③作射線交邊于點．若,則的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作QH⊥AB根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到QH=QC=5根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】如圖，作QH⊥AB根據(jù)題中尺規(guī)作圖的方法可知AQ是∠BAC的平分線∵∴QH=QC=5∴的面積===50故選B．

【點睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)解題的關鍵是熟知角平分線的尺規(guī)作圖方法．2．（本題3分）如圖，則EF的長是（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】BC＝BE＋EC＝5再根據(jù)可得EF＝BC即可求解．【詳解】∵BC＝BE＋ECBE＝2CE＝3∴BC＝2＋3＝5∵∴EF＝BC＝5故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)屬于基礎題型．3．（本題3分）如圖，用尺規(guī)按如下步驟作圖：①以點O為圓心線段m的長為半徑畫弧交于點M交于點N②分別以點MN為圓心線段n的長為半徑畫弧兩弧在的內(nèi)部相交于點C③畫射線連接．下列結(jié)論不一定成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)作圖可知證明得到進行判斷即可．【詳解】解：由作圖可知：又∴∴故一定成立不一定成立．故選C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關鍵是證明．4．（本題3分）如圖，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用推出由此證明得到再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出的度數(shù)．【詳解】解：∵∴∴在和中，∴∴∵∴故選：B．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)定理三角形的外角性質(zhì)熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．5．（本題3分）小華在復習用尺規(guī)作一個角等于已知角的過程中，回顧了作圖的過程并作了如下的思考：

請你說明小華得到兩個三角形全等的根據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由作法易得由的判定定理可以得到三角形全等從而求解．【詳解】解：在與中，∴．故選：A．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖全等三角形的判定和性質(zhì)等知識解題的關鍵是理解題意靈活運用所學知識解決問題．6．（本題3分）如圖，在中，AD為角平分線于E則BD等于（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)三角形的面積過D點作于點F得到進而求出再得出是解題的關鍵．【詳解】解：過D點作于點F∵AD為角平分線于E∴∴又∵的高相等∴∴故選B7．（本題3分）如圖，添加下列條件中的一個后能判定與全等的有（

）①②③④．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理（定理定理）逐個判斷即可得．【詳解】解：①在和中，則條件①符合題意②在和中，則條件②符合題意③在和中，則條件③符合題意④在和中，則條件④符合題意故選：D．【點睛】本題考查了三角形全等的判定熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵．8．（本題3分）如圖，點是的外角平分線上一點且滿足過點作于點E交的延長線于點則下列結(jié)論中，其中正確的結(jié)論有（

）①②平分③④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】利用角平分線的性質(zhì)和證明（）利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖，設交于點．∵∴∵平分∴故①正確在和中，∴（）∴∴平分故②正確∵∴（）∴∴故③正確∵∴故④正確．故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)角平分線的性質(zhì)定理等知識解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題屬于中考?？碱}型．9．（本題3分）如圖，ADCE是的角平分線ADCE相交于點F已知則下列說法中正確的個數(shù)是（

）①②③④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】當AF=FC△AEF≌△CDF時需要滿足條件∠BAC=∠BCA據(jù)此可判斷①②在AC上取AG=AE連接FG即可證得△AEG≌△AGF得∠AFE=∠AFG再證得∠CFG=∠CFD則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC可得DC=GC即可得結(jié)論據(jù)此可判斷③④．【詳解】解：①假設AF=FC．則∠1=∠4．∵ADCE是△ABC的角平分線∴∠BAC=2∠1∠BCA=2∠4∴∠BAC=∠BCA．∴當∠BAC≠∠BCA時該結(jié)論不成立故①不一定正確②假設△AEF≌△CDF則∠2=∠3．同①當∠BAC=∠BCA時該結(jié)論成立∴當∠BAC≠∠BCA時該結(jié)論不成立故②不一定正確③如圖，在AC上取AG=AE連接FG∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2在△AEF與△AGF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴∠AFE=∠AFG∵ADCE分別平分∠BAC∠ACB∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°則∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°∴∠AFC=∠DFE=120°∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°則∠CFG=60°∴∠CFD=∠CFG在△GFC與△DFC中，∴△GFC≌△DFC（ASA）∴DC=GC∵AC=AG+GC∴AC=AE+CD．故③正確④由③知∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°即∠AFC=120°故④正確綜上所述正確的結(jié)論有2個．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應用全等三角形的判定時要注意三角形間的公共邊和公共角必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．10．（本題3分）如圖，△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點D過點D作一條平分△ABC面積的直線那么這條直線分成的兩個圖形的周長比是（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1【答案】B【分析】連接AD過D點作DE⊥AB于點E作DF⊥AC于點F作DG⊥BC于點G根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：AD也是一條角平分線則有DE=DF=DG根據(jù)MDN平分△ABC的面積以此來列等式即可求解．【詳解】連接AD過D點作DE⊥AB于點E作DF⊥AC于點F作DG⊥BC于點G∵△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點D∴DE＝DF＝DG設MN平分△ABC的面積則＋＝＋＋∵＝BM?DE＝AM?DE＝AC?DF＝NC?DG＝BN?DG∴BM?DE＋BN?DG＝AM?DE＋AC?DF＋NC?DG∴BM＋BN＝AM＋AC＋NC∴BM＋BN＋MN＝AM＋AC＋NC＋MN即這條直線分成的兩個圖形的周長比是1：1故選：B【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)掌握三角形中三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等是解答本題的關鍵．11．（本題3分）如圖，在△ABC中，AC=BC∠ACB=90°AD平分∠BAC與BC相交于點F過點B作BE⊥AD于點D交AC延長線于點E過點C作CH⊥AB于點H交AF于點G則下列結(jié)論：⑤正確的有（

）個.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①②正確只要證明△BCE≌△ACF△ADB≌△ADE即可解決問題③正確只要證明GB=GA得到△BDG是等腰直角三角形即可得到④正確求出∠CGF=67.5°=∠CFG則CF=CG=CE然后AE=AC+CE=BC+CG即可得到結(jié)論⑤錯誤作GM⊥AC于M．利用角平分線的性質(zhì)定理即可證明【詳解】解：∵AD⊥BE∴∠FDB=∠FCA=90°∵∠BFD=∠AFC∴∠DBF=∠FAC∵∠BCE=∠ACF=90°BC=AC∴△BCE≌△ACF∴EC=CFAF=BE故①正確∵∠DAB=∠DAEAD=AD∠ADB=∠ADE=90°∴△ADB≌△ADE∴BD=DE∴AF=BE=2BD故②正確如圖，連接BG∵CH⊥ABAC=AB∴BH=AH∠BHG=∠AHG=90°∵HG=HG∴△AGH≌△BGH∴BG=AG∠GAH=∠GBH=22.5°∴∠DGB=∠GAH+∠GBH=45°∴△BDG是等腰直角三角形∴BD=DG=DE故③正確由△ACH是等腰直角三角形∴∠ACG=45°∴∠CGF=45°+22.5°=67.5°∵∠CFG=∠DFB=90°-22.5°=67.5°∴∠CGF=∠CFG∴CG=CF∵AB=AEBC=ACCE=CF=CG又∵AE=AC+CE∴AB=BC+CG故④正確作GM⊥AC于M由角平分線性質(zhì)GH=GM∴△AGH≌△AGM（HL）∴△AGH的面積與△AGM的面積相等故⑤錯誤綜合上述正確的結(jié)論有：①②③④故選擇：D.【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等腰直角三角形的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)定理等知識解題的關鍵是熟練掌握基本知識屬于中考選擇題中的壓軸題．12．（本題3分）如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABCCD⊥BD于點DAC＝5BC－AB＝2則△ADC面積的最大值為（

）A．2 B．2.5 C．4 D．5【答案】B【分析】延長CDBA兩者交于點G過G點作GH⊥AC交于AC（或AC的延長線）于點H證明△BDG≌△BDC即有BC=BGCD=DG進而有AG=BC-AB=2根據(jù)GH⊥AC有△AGC的面積為當G點與H點重合時即AC⊥BG時可得GH=AG此時GH達到最大則△AGC的最大面積為：根據(jù)CD=DG可得則△ACD的最大面積可求．【詳解】延長CDBA兩者交于點G過G點作GH⊥AC交于AC（或AC的延長線）于點H如圖，∵BD平分∠ABCBD⊥CD∴∠DBG=∠DBC∠BDG=∠BDC=90°∵BD=BD∴△BDG≌△BDC∴BC=BGCD=DG∵BC-AB=2∴AG=BC-AB=2∵在△AGC中，GH⊥AC∴△AGC的面積∵AC=5∴∵在△AGH中，GH⊥AH∴即∠GHA=90°△AHG是直角三角形斜邊為AG∴GH＜AG∵AG=2∴GH＜2當G點與H點重合時即AC⊥BG時可得GH=AG此時GH達到最大∴則GH的最大值為2∴△AGC的最大面積為：∵CD=DG∴D點為CG中點∴∴△ACD的最大面積為：故選：B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積公式等知識構(gòu)造輔助線AGDG并判斷出當G點與H點重合時GH達到最大是解答本題的關鍵．評卷人得分二填空題（共16分）13．（本題4分）如圖，∠BAC=∠ABD請你添加一個條件：能使△ABD≌△BAC（只添一個即可）．【答案】BD=AC（答案不唯一）【分析】本題要判定△ABD≌△BAC已知AB是公共邊∠BAC=∠ABD具備了一組邊一對角對應相等故添加AC=BD后可以根據(jù)SAS判定△ABD≌△BAC．【詳解】解：∠BAC=∠ABD（已知）AB=BA（公共邊）BD=AC∴△DAB≌△CBA（SAS）故答案為：BD=AC（答案不唯一）14．（本題4分）如圖，點B的坐標為作軸軸垂足分別為AC點D為線段的中點點P從點A出發(fā)在線段上沿A→B→C運動當時點P的坐標為．【答案】或【分析】此題是全等三角形的判定和性質(zhì)主要考查了正方形的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)．分兩種情況：①當點在正方形的邊上時根據(jù)正方形的性質(zhì)用判斷出得出得出點的坐標②當點在正方形的邊上時同①的方法即可．【詳解】解：①當點在正方形的邊上時在和中，點是中點②當點在正方形的邊上時同①的方法得出或．故答案為：或．15．（本題4分）如圖，已知∠DCE=∠A=90°BE⊥AC于B且DC=ECBE=8cm則AD+AB=．【答案】8cm【分析】本題可先根據(jù)AAS判定△ADC≌△BCE從而可得出對應邊AD=BCAC=BE那么所求兩邊和即為BE的長由此可得出所求的解．【詳解】∵∠DCE=∠A=90°∴∠DCA+∠ACE=90°∠D+∠DCA=90°∴∠D=∠ACE．∵BE⊥AC∴∠EBC=∠A=90°又∵DC=EC∴△ADC≌△BCE（AAS）∴AD=BCAC=BE∴AD+AB=BC+AB=AC=BE=8cm．故答案為8cm．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)判定兩個三角形全等的一般方法有：SSSSASASAAASHL．本題利用角互余得到角相等時關鍵．16．（本題4分）如圖，在中，在邊上取一點連接且若則的長為．【答案】【分析】過點作交的延長線于首先證明再得再根據(jù)高相等的兩個三角形面積比等于底之比解決問題．【詳解】如圖，過點作交的延長線于點..在和中，.在和中，...故答案為.【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)平行線的性質(zhì)以及三角形面積等知識．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．評卷人得分三解答題（共98分）17．（本題10分）如圖，已知：AFCD四點在一條直線上AF＝CD∠D＝∠A且AB＝DE.請將下面說明△ABC≌△DEF的過程和理由補充完整.解：∵AF＝CD(______)∴AF＋FC＝CD＋_____即AC＝DF在△ABC和△DEF中：AC＝______(已知)∠D＝∠A(________)AB＝______(已知)∴△ABC≌△DEF(_______)【答案】見解析.【分析】由題目已知易知可用全等三角形的判定（SAS）按照過程的提示作用逐一填空即可．【詳解】解：∵AF=CD（已知）∴AF+FC=CD+FC即AC=DF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）故答案為已知FCDF已知DESAS【點睛】本題考查了三角形全等的判定判定兩個三角形全等先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形然后再根據(jù)三角形全等的判定方法看需要的條件再從已知去求證該條件．18．（本題10分）已知如圖，與相交于點O求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)角角邊判定直接求解即可得到證明【詳解】證明：在和中，∴∵∴即【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)解題的關鍵是根據(jù)題意得到三角形全等的條件．19．（本題10分）如圖，中，是邊上的中線為直線上的點連接且．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定三角形中線的定義平行線的性質(zhì)先由三角形中線的定義得到再由平行線的性質(zhì)得到由此證明即可證明．【詳解】證明：∵是邊上的中線∴∵∴∴∴．20．（本題10分）如圖，在中，平分延長到點使得連接．

(1)求證：(2)若求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)角平分線的定義三角形外角的定義及性質(zhì)解答的關鍵是結(jié)合圖形分析清楚各邊與各角之間的關系．（1）由角平分線的定義可得利用即可判定（2）由角平分線的定義可得再由三角形的外角性質(zhì)可得【詳解】（1）證明：平分在與中，∴（2）解：∵平分∴∵∴∵∴∴．21．（本題10分）如圖，小明觀察圖形后得出（需證）（需證）的結(jié)論你能說明其中的道理嗎？

【答案】見解析【分析】利用全等三角形的性質(zhì)得出角相等從而可證直線平行．【詳解】理由：∵∴∴②理由：∵∴∵∴∴．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定的應用．22．（本題12分）如圖，點O在直線上過O作射線一直角三角板的直角頂點與點O重合邊與重合邊在直線的下方．（1）三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度當邊在的內(nèi)部在的下方時①若求的度數(shù)：②探究與之間的數(shù)量關系并簡單說明理由（2）若三角板繞點O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)的過程第t秒時直線恰好平分銳角則t的值為_________（直接寫出結(jié)果）．【答案】（1）①20°②∠COM-∠BON=10°理由見解析（2）5或23【分析】（1）①依據(jù)∠BON=10°∠MON=90°即可得到∠BOM=80°再根據(jù)∠BOC=100°即可得出∠COM的度數(shù)②依據(jù)∠BOC=100°∠MON=90°可得∠BOM=100°-∠COM∠BOM=90°-∠BON進而得到∠COM-∠BON=10°（2）分兩種情況進行討論分別依據(jù)直線ON恰好平分銳角∠AOC得到三角板旋轉(zhuǎn)的度數(shù)進而得到t的值．【詳解】解：（1）①∵∠BON=10°∠MON=90°∴∠BOM=80°又∵∠BOC=100°∴∠COM=100°-80°=20°②∵∠BOC=100°∠MON=90°∴∠BOM=100°-∠COM∠BOM=90°-∠BON∴100°-∠COM=90°-∠BON即∠COM-∠BON=10°（2）∵∠BOC=100°∴∠AOC=80°如備用圖當直線ON恰好平分銳角∠AOC時∠BON=∠AOC=40°此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90°-40°=50°∴t=50°÷10°=5當ON在∠AOC的內(nèi)部時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為360°-90°-40°=230°∴t=230°÷10°=23故答案為：5或23．【點睛】本題考查了角平分線的定義應該認真審題并仔細觀察圖形找到各個量之間的關系是解題的關鍵．23．（本題12分）如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線．求證：．【答案】見解析【分析】方法一在BC上截取BE使連接DE由角平分線的定義可得根據(jù)全等三角形的判定可證和全等再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得由AD=CD等量代換可得繼而可得由于可證方法2延長BA到點E使由角平分線的定義可得根據(jù)全等三角形的判定可證和全等繼而可得．由可得繼而求得由繼而可得方法3作于點E交BA的延長線于點F由角平分線的定義可得由可得根據(jù)全等三角形的判定可證和全等繼而可得再根據(jù)HL定理可得可證．【詳解】解：方法1截長如圖，在BC上截取BE使連接DE因為BD是的平分線所以．在和中，因為所以所以．因為所以所以．因為所以．方法2

補短如圖，延長BA到點E使．因為BD是的平分線所以在和中，因為所以所以．因為所以所以．因為所以．方法3

構(gòu)造直角三角形全等作于點E．交BA的延長線于點F因為BD是的平分線所以．因為所以在和中，因為所以所以．在和中，因為所以所以．因為所以．24．（本題12分）都是等邊三角形．

(1)如圖求證：(2)如圖點在內(nèi)為的中點連若且．①求證：②判斷與的數(shù)量關系并證明．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析②證明見解析【分析】本題屬于三角形綜合題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)直角三角形角的性質(zhì)等知識解題的關鍵是學會添加常用輔助線．（1）證明可得結(jié)論（2）①如圖中，延長到使得連接．證明推出再證明可得結(jié)論②根據(jù)得到設根據(jù)列出方程求出可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖中，∵都是等邊三角形∴∴在和中，∴∴（2）①證明：如圖中，延長到使得連接

∵∴在和中，∴∴同法可證∴∵∴∵∴∵∴．②結(jié)論：．證明：∵∴設則∵∴∴∴∵∴∵∴．25．（本題12分）【概念學習】在平面中，我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角如果兩個角相加等于那么稱這兩個角互為組角簡稱互組．（1）若互為組