優(yōu)化設(shè)計(jì)概述公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)該課程的重要目的和任務(wù)：解決簡(jiǎn)樸工程問題掌握基本理論和基本辦法擴(kuò)大視野理解和掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)；機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)課程介紹學(xué)時(shí)分派和課程重難點(diǎn)第一章

優(yōu)化設(shè)計(jì)概述

2：重點(diǎn)：設(shè)計(jì)變量、目的函數(shù)、以及優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的普通形式。難點(diǎn)是：約束條件

第二章

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

4重點(diǎn)是：函數(shù)的方向?qū)?shù)與函數(shù)的梯度；無約束優(yōu)化問題的極值條件；約束優(yōu)化問題的極值條件難點(diǎn)是：函數(shù)的泰勒展開式與hessien矩陣；凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃；優(yōu)化問題的數(shù)值迭代法學(xué)時(shí)分派和課程重難點(diǎn)第三章

一維搜索辦法

4重點(diǎn)：擬定搜索區(qū)間的辦法；黃金分割法

難點(diǎn)：二次插值法第四章無約束優(yōu)化辦法

6重點(diǎn)是：坐標(biāo)輪換法；梯度法；牛頓法。

難點(diǎn)是：鮑威爾共軛方向法；變尺度法第五章線性規(guī)劃

4重點(diǎn)是：線性規(guī)劃的原則形式與基本性質(zhì)難點(diǎn)是：?jiǎn)渭冃畏ǖ诹录s束優(yōu)化辦法

8重點(diǎn)是：約束隨機(jī)方向搜索法

難點(diǎn)是：復(fù)合形法；處罰函數(shù)法第七章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

4

重點(diǎn)是：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的普通環(huán)節(jié)；

難點(diǎn)是：平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)再現(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的最優(yōu)化設(shè)計(jì)；最小體積二級(jí)圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)等學(xué)時(shí)分派和課程重難點(diǎn)授課對(duì)象：機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化專業(yè)先修課程：高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)理論力學(xué)材料力學(xué)機(jī)械原理機(jī)械設(shè)計(jì)高級(jí)語言程序開學(xué)時(shí)間：第六學(xué)期教材與重要參考書：孫靖民．《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》機(jī)械工業(yè)出版社2007年7月羅中華．《最優(yōu)化辦法及其在機(jī)械行業(yè)中的應(yīng)用》電子工業(yè)出版社2008年2月。第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念

§1-1緒論§1-2優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的示例§1-3優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

§1-4優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法優(yōu)化是從解決多個(gè)事物的一切可能的方案中，謀求最優(yōu)的方案。

優(yōu)化的原理與辦法，在科學(xué)的、工程的和社會(huì)的實(shí)際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計(jì)。

§1-1緒論1.優(yōu)化、優(yōu)化設(shè)計(jì)和機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的含義（1）來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過程；（2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以max表達(dá))或極小(以min表達(dá))的過程。優(yōu)化辦法也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)辦法和手段進(jìn)行決策及擬定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)；（3）優(yōu)化設(shè)計(jì)：根據(jù)給定的設(shè)計(jì)規(guī)定和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)用專業(yè)理論和優(yōu)化辦法，在電子計(jì)算機(jī)上從滿足給定的設(shè)計(jì)規(guī)定的許多可行方案中，按照給定的目的自動(dòng)地選出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。

緒論傳統(tǒng)設(shè)計(jì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)辦法：調(diào)查分析→參考類比→初始設(shè)計(jì)方案→強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性分析計(jì)算（校驗(yàn)計(jì)算）→滿足規(guī)定，設(shè)計(jì)方案擬定，否則，憑經(jīng)驗(yàn)等修改設(shè)計(jì)參數(shù)特點(diǎn)：人工試湊、定性分析、非最佳設(shè)計(jì)方案，屬于“安全壽命可行性設(shè)計(jì)”安全壽命可行性設(shè)計(jì)：在滿足所提出規(guī)定的前提下，先擬定構(gòu)造方案，再根據(jù)安全壽命等準(zhǔn)則，進(jìn)行強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等分析、校核，然后修改，擬定構(gòu)造尺寸機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及辦法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目的的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

常規(guī)設(shè)計(jì)流程2.優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展概況歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長(zhǎng)相似的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)微積分的建立給出了求函數(shù)極值的某些準(zhǔn)則，對(duì)最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在后來的兩個(gè)世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，重要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法。直到上世紀(jì)40年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭(zhēng)中的實(shí)際問題，例如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)計(jì)等。50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃辦法被初次用于構(gòu)造最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)辦法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃辦法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一種新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其重要內(nèi)容。

近十幾年來，最優(yōu)化設(shè)計(jì)辦法已陸續(xù)用到建筑構(gòu)造、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并獲得了明顯效果。其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用雖尚處在早期階段，但也已經(jīng)獲得了豐碩的成果。普通說來，對(duì)于工程設(shè)計(jì)問題，所涉及的因素愈多，問題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計(jì)成果所獲得的效益就愈大。最優(yōu)化設(shè)計(jì)是在數(shù)學(xué)規(guī)劃辦法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計(jì)算機(jī)引入構(gòu)造設(shè)計(jì)領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計(jì)辦法。運(yùn)用這種辦法，不僅使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度明顯提高，并且能夠解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)辦法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。大型電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化辦法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一種重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同時(shí)，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃辦法優(yōu)化：從三百數(shù)年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)推動(dòng)數(shù)學(xué)規(guī)劃辦法在近五十年來得到快速發(fā)展。第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了某些工程優(yōu)化辦法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃辦法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在解決多目的工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗(yàn)和直覺的辦法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和辦法學(xué)研究，特別是建模方略研究引發(fā)重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。第四階段當(dāng)代優(yōu)化辦法：如遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)方略的自動(dòng)選擇和優(yōu)化過程的自動(dòng)控制，智能尋優(yōu)方略快速發(fā)展。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例美國(guó)波音飛機(jī)公司對(duì)大型機(jī)翼用138個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行構(gòu)造優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運(yùn)輸艦用10個(gè)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使成本減少約10%。實(shí)踐證明，最優(yōu)化設(shè)計(jì)是確保產(chǎn)品含有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，減少產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計(jì)辦法。同時(shí)也可使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事發(fā)明性的設(shè)計(jì)，并大大提高設(shè)計(jì)效率。波音787擁有多項(xiàng)技術(shù)創(chuàng)新，其中最引人注目的是波音787機(jī)體構(gòu)造的二分之一左右都用更輕、更結(jié)實(shí)的碳纖維合成材料替代鋁合金，是第一款以碳纖維合成物為主體材料的民用噴氣式客機(jī)。首先是由于金屬能夠隱藏?fù)p傷問題，這種損傷很難發(fā)現(xiàn)，直到碎裂時(shí)才會(huì)被發(fā)現(xiàn)，而合成材料就不存在這種問題；另首先，用合成材料制造的機(jī)身比較輕，這使得波音787將比現(xiàn)在的飛機(jī)節(jié)省燃油，并且也能夠節(jié)省在維護(hù)方面的耗費(fèi)。這種合成材料類似于一級(jí)方程式賽車中所使用的碳纖維合成材料。波音787機(jī)身截面形狀采用雙圓弧形，頂部空間也進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，可為乘客提供更寬敞的空間。在乘坐舒適性方面波音787將增大客艙濕度，還將減少其客艙氣壓高度，這樣客艙環(huán)境更濕潤(rùn)，乘客會(huì)感到更舒適?；A(chǔ)：（1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理論（2）當(dāng)代計(jì)算技術(shù)內(nèi)容：（1）將工程實(shí)際問題數(shù)學(xué)化；（建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型）（2）用最優(yōu)化計(jì)算辦法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種當(dāng)代設(shè)計(jì)辦法，是較好的設(shè)計(jì)工具。3.本課程的任務(wù)該課程的重要目的和任務(wù)：①理解和基本掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)；②擴(kuò)大視野，并初步含有應(yīng)用機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本理論和基本辦法解決簡(jiǎn)樸工程實(shí)際問題的素質(zhì)?！?-2優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的示例優(yōu)化設(shè)計(jì)就是借助最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算辦法與計(jì)算機(jī)技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。優(yōu)化設(shè)計(jì)涉及：（1）必須將實(shí)際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型；（2）選用適宜的一種最優(yōu)化數(shù)值辦法和計(jì)算程序運(yùn)算求解。已知：制造一體積為100m3，長(zhǎng)度不不大于5m，不帶上蓋的箱盒，試擬定箱盒的長(zhǎng)x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面積的體現(xiàn)式；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)擬定：長(zhǎng)x1，寬x2，高x3；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）體積規(guī)定； （b）長(zhǎng)度規(guī)定；

x1x2x3箱盒的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目的：約束條件：已知：傳動(dòng)比i,轉(zhuǎn)速n,傳動(dòng)功率P，大小齒輪的材料，設(shè)計(jì)該齒輪副，使其重量最輕。例2：直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設(shè)計(jì)分析：（1）圓柱齒輪的體積(v)與重量(w)的體現(xiàn)；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)擬定：模數(shù)m，齒寬b，齒數(shù)z1；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）大齒輪滿足彎曲強(qiáng)度規(guī)定； （b）小齒輪滿足彎曲強(qiáng)度規(guī)定； （c）齒輪副滿足接觸疲勞強(qiáng)度規(guī)定；（d）齒寬系數(shù)規(guī)定；（e）最小齒數(shù)規(guī)定。例2：直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目的：約束條件：某工廠生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品單位價(jià)格為PA萬元，B產(chǎn)品單位價(jià)格為PB萬元。每生產(chǎn)一種單位A產(chǎn)品需消耗煤aC噸，電aE度，人工aL個(gè)人日；每生產(chǎn)一種單位B產(chǎn)品需消耗煤bC噸，電bE度，人工bL個(gè)人日?，F(xiàn)有可運(yùn)用生產(chǎn)資源煤C噸，電E度，勞動(dòng)力L個(gè)人日，欲找出其最優(yōu)分派方案，使產(chǎn)值最大。分析：（1）產(chǎn)值的體現(xiàn)式；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)擬定：A產(chǎn)品xA，B產(chǎn)品xB；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束； （b）生產(chǎn)資源勞動(dòng)力約束；

最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分派問題數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目的：約束條件：§1-3

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

1.設(shè)計(jì)變量一種設(shè)計(jì)方案能夠用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表達(dá)，這些基本參數(shù)能夠是構(gòu)件尺寸等幾何量，也能夠是質(zhì)量等物理量，還能夠是應(yīng)力、變形等表達(dá)工作性能的導(dǎo)出量。設(shè)計(jì)變量——在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，能夠進(jìn)行調(diào)節(jié)和優(yōu)選的獨(dú)立參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)體現(xiàn)式，它反映了物理現(xiàn)象各重要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)變量的全體事實(shí)上是一組變量，可用一種列向量表達(dá)。由n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱作設(shè)計(jì)空間。一個(gè)“設(shè)計(jì)”，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問題。按照產(chǎn)品設(shè)計(jì)變量的取值特點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量可分為持續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如多個(gè)原則規(guī)格等）。圖1-1設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間（a）二維設(shè)計(jì)問題（b）三維設(shè)計(jì)問題只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標(biāo)表達(dá)；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問題可用圖1-1（b）所示的空間直角坐標(biāo)表達(dá)。設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。

小型設(shè)計(jì)問題：普通含有2—10個(gè)設(shè)計(jì)變量；中型設(shè)計(jì)問題：10—50個(gè)設(shè)計(jì)變量；大型設(shè)計(jì)問題：50個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量?，F(xiàn)在已能解決200個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。如何選定設(shè)計(jì)變量？任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志構(gòu)造尺寸的綜合體。變量越多，能夠淋漓盡致地描述產(chǎn)品構(gòu)造，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。因此設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意下列幾點(diǎn)：（1）抓重要，舍次要。對(duì)產(chǎn)品性能和構(gòu)造影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至能夠不考慮。（2）根據(jù)要解決設(shè)計(jì)問題的特殊性來選擇設(shè)計(jì)變量。例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計(jì)變量有4個(gè)，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設(shè)計(jì)中，將材料的許用剪切應(yīng)力和剪切模量Ｇ等作為設(shè)計(jì)常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計(jì)彈簧，則可把彈簧中徑D作為設(shè)計(jì)常量。

2.約束條件設(shè)計(jì)空間是全部設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一種設(shè)計(jì)滿足全部對(duì)它提出的規(guī)定，就稱為可行設(shè)計(jì)。一種可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡(jiǎn)稱約束。約束又可按其數(shù)學(xué)體現(xiàn)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束顯式約束隱式約束約束函數(shù)有的能夠表達(dá)成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表達(dá)成隱式形式,如例中的復(fù)雜構(gòu)造的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等辦法計(jì)算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)能夠把它們分辨成：性能約束——針對(duì)性能規(guī)定而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些構(gòu)造必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等規(guī)定；邊界約束——只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范疇加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范疇，對(duì)軸段長(zhǎng)度的限定范疇就屬于邊界約束。圖1-2設(shè)計(jì)空間中的約束面（或約束線）(a)二變量設(shè)計(jì)空間中的約束線(b)三變量設(shè)計(jì)空間中的約束面可行域:在設(shè)計(jì)空間中，滿足全部約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的空間。例：滿足兩項(xiàng)約束條件g1（X）=x12＋x22—16≤O和g2（X）＝2—X2≤0的二維設(shè)計(jì)問題的可行域D?？尚杏?約束條件:g1（X）=x12＋x22—16≤Og2（X）＝2—X2≤0圖1-3約束條件規(guī)定的可行域D3.目的函數(shù)在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計(jì)變量的不停向F(X)值改善的方向自動(dòng)調(diào)節(jié)，最后求得F(X)值最佳或最滿意的X值。在構(gòu)造目的函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目的函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，全部的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目的函數(shù)的有：體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、構(gòu)造運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。

為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，能夠只有一種目的函數(shù)，稱為單目的函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目的函數(shù)時(shí)，這種問題稱為多目的函數(shù)的最優(yōu)化問題。在普通的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目的函數(shù)的狀況較多。目的函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問題中，經(jīng)常會(huì)碰到在多目的函數(shù)的某些目的之間存在矛盾的狀況，這就規(guī)定設(shè)計(jì)者對(duì)的解決各目的函數(shù)之間的關(guān)系。目的函數(shù)等值（線）面目的函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目的函數(shù)的變化狀況，常采用目的函數(shù)等值面的辦法。目的函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)體現(xiàn)式為：c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，F(xiàn)(x1,x2)=c代表x-x設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。對(duì)于含有相等目的函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。圖1-4等值線圖1-4表達(dá)目的函數(shù)f（X）與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量x1，x2階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多含有相等目的函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目的函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目的函數(shù)的等值線族。在極值處目的函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。當(dāng)目的函數(shù)值的變化范疇一定時(shí)，等值線愈稀疏闡明目的函數(shù)值的變化愈平緩。運(yùn)用等值線的概念可用幾何圖象形象地體現(xiàn)出目的函數(shù)的變化規(guī)律。從等值線上，能夠去除地看到函數(shù)值的變化狀況。其中F=40的等值線就是使F(x1,x2)=40的各點(diǎn)[x1,x2]T所構(gòu)成的連線。如圖函數(shù)的等值線圖。圖1-5等值線4.優(yōu)化設(shè)計(jì)問題普通數(shù)學(xué)形式：滿足約束條件：求設(shè)計(jì)變量向量使目的函數(shù)對(duì)于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會(huì)碰到諸多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住核心因素，適宜無視不重要的成分，使問題合理簡(jiǎn)化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時(shí)間，有時(shí)也會(huì)改善優(yōu)化成果。最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的函數(shù)普通為求目的函數(shù)的最小值。若目的函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值時(shí)，則可當(dāng)作是求［-F（X）］的最小值，由于min［-F（X）］與maxF（X）是等價(jià)的。固然，也可當(dāng)作是求1／F（X）的極小值。5.建模實(shí)例

1）根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)定，應(yīng)用專業(yè)范疇內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行分析。必要時(shí)，需要對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的公式進(jìn)行改善，并盡量反映該專業(yè)范疇內(nèi)的當(dāng)代技術(shù)進(jìn)步的成果。2）對(duì)構(gòu)造諸參數(shù)進(jìn)行分析，以擬定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)計(jì)變量。3）根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)定，擬定并構(gòu)造目的函數(shù)和對(duì)應(yīng)的約束條件，有時(shí)要構(gòu)造多目的函數(shù)。4）必要時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸構(gòu)成項(xiàng)間由于量綱不同等因素造成的數(shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型普通環(huán)節(jié)：配料每磅配料中的營(yíng)養(yǎng)含量鈣蛋白質(zhì)纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.080.01640.04630.1250以最低成本擬定滿足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：最少0.8%而不超出1.2%的鈣;最少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定重要配料涉及石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的重要營(yíng)養(yǎng)成分為：混合飼料配合解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè)是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。6.優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類

對(duì)于最優(yōu)化問題普通可作以下分類：尚有其它的某些劃分辦法：如按設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)分：持續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問題:二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等。一、幾何解釋§1-4優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對(duì)設(shè)計(jì)變量求目的函數(shù)的極小點(diǎn)。在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，目的函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則無約束優(yōu)化問題的極小點(diǎn)即為等值面的中心。約束優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目的函數(shù)的極小點(diǎn)，此極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。等值線—等高線等值線－等高線：它是由許多含有相似目的函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線目的函數(shù)的等值線數(shù)學(xué)體現(xiàn)式為：例1：以下二維非線性規(guī)劃問題例題

通過二維約束優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想。

目的函數(shù)等值線是以點(diǎn)（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-9由圖易見約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾何的方法得該切點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值為(見圖）例2：解：先畫出目的函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是允許集。而最優(yōu)點(diǎn)就是可行域上使等值線含有最小值的點(diǎn)。解：①先畫出等式約束曲線的圖形。這是一條拋物線，如圖例3：②再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）③最后畫出目的函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點(diǎn)，ABCD以及等值線與可行集的切點(diǎn)，易見可行域?yàn)榍€段ABCD。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿拋物曲線段ABCD由A點(diǎn)出發(fā)時(shí)，AB段目的函數(shù)值下降。過點(diǎn)B后，在BC段目的函數(shù)值上升。過C點(diǎn)后，在CD段目的函數(shù)值再次下降。D點(diǎn)是使目的函數(shù)值最小的可行點(diǎn)，其坐標(biāo)可通過解方程組：得出：ABCD例4人字架構(gòu)造優(yōu)化設(shè)計(jì)如圖所示的人字架由兩個(gè)鋼管構(gòu)成，其頂點(diǎn)承受外力為2F=3×105N。人字架跨度2B＝152cm，鋼管壁厚T＝0.25cm，鋼管材料的彈性模量E＝2.1×105MPa,材料密度為ρ＝7.8×103Kg/m3,許用壓應(yīng)力σy＝420MPa。求在鋼管壓應(yīng)力σ不超出許用壓應(yīng)力σy和失穩(wěn)臨界應(yīng)力σe的條件下。人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小。根據(jù)題意，能夠把人字架的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為求使結(jié)構(gòu)質(zhì)量但應(yīng)滿足強(qiáng)度約束條件和穩(wěn)定約束條件數(shù)學(xué)模型：鋼管所受的壓力壓桿失穩(wěn)的臨界力鋼管截面慣性矩鋼管截面面積（r，R為截面內(nèi)外半徑）鋼管所受的壓應(yīng)力鋼管的臨界應(yīng)力強(qiáng)度約束條件能夠?qū)懗煞€(wěn)定約束條件能夠?qū)懗山馕龇俣ㄊ谷俗旨芸傊盗繛樽钚〉淖顑?yōu)解剛好滿足強(qiáng)度條件，即有從而能夠?qū)⒃O(shè)計(jì)變量D用設(shè)計(jì)變量h表達(dá)將D帶入目的函數(shù)m(D,h)中，得根據(jù)極值必要條件得把所得參數(shù)帶入穩(wěn)定條件，可以證明即穩(wěn)定條件得到滿足。因此h*，D*這兩個(gè)參數(shù)是滿足強(qiáng)度約束和穩(wěn)定約束，且使構(gòu)造最輕的最佳參數(shù)。作圖法在設(shè)計(jì)平面D-h上畫出代表的兩條曲線?？尚杏驐l件然后再畫出一族等質(zhì)量等值線C為一系列常數(shù)。X*的坐標(biāo)：D*＝6.43㎝h*＝76㎝m*＝8.47㎏討論：若對(duì)于含有不等式約束條件的優(yōu)化問題，判斷那些約束是起作用的，那些約束是不起作用的，這對(duì)求解優(yōu)化問題是很核心的。按解析法求解得用作圖法求解得由以上四個(gè)例子可見，對(duì)二維最優(yōu)化問題。我們總能夠用圖解法求解，而對(duì)三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上的空間中，使目的函數(shù)取同一常數(shù)值的是{X|f(X)=C,C是常數(shù)}稱為目的函數(shù)的等值面。等值面含有下列性質(zhì)：（1）不同值的等值面之間不相交，由于目的函數(shù)是單值函數(shù)；（2）等值面稠的地方，目的函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；（3）普通地，在極值點(diǎn)附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。求解優(yōu)化問題的基本解法有：

二、優(yōu)化問題的基本解法解析法數(shù)值解法解析法：即運(yùn)用數(shù)學(xué)分析(微分、變分等）的辦法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充足條件求出其最優(yōu)解析解的求解辦法。在目的函數(shù)比較簡(jiǎn)樸時(shí)，求解還能夠。

局限性：工程優(yōu)化問題的目的函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時(shí)甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種狀況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析辦法就會(huì)帶來麻煩。最優(yōu)化辦法是與近代電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計(jì)算法比解析法更能適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)，由于數(shù)值計(jì)算的迭代辦法含有下列特點(diǎn)：1）是數(shù)值計(jì)算而不是數(shù)學(xué)分析辦法；2）含有簡(jiǎn)樸的邏輯構(gòu)造并能進(jìn)行重復(fù)的同樣的算術(shù)計(jì)算；3）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點(diǎn)正與計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)相一致。

數(shù)值解法：這是一種數(shù)值近似計(jì)算方法，又稱為數(shù)值迭代方法。它是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)或直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本解法。

其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長(zhǎng)的確定等。數(shù)值迭代法的基本思路：是進(jìn)行重復(fù)的數(shù)值計(jì)算，謀求目的函數(shù)值不停下降的可行計(jì)算點(diǎn)，直到最后獲得足夠精度的最優(yōu)點(diǎn)。這種辦法的求優(yōu)過程大致可歸納為下列環(huán)節(jié)：

1）首先初選一種盡量靠