1.4.2用空間向量研究距離夾角問題（第二課時(shí)）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何

1.4空間向量的應(yīng)用用空間向量研究距離、夾角問題第二課時(shí)夾角問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.教學(xué)目標(biāo)：能用向量方法解決簡(jiǎn)單的夾角問題2.教學(xué)重點(diǎn)：利用直線的方向向量和平面的法向量求解空間夾角問題3.教學(xué)難點(diǎn)：將夾角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題

導(dǎo)入問題：與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類度量問題.本質(zhì)上，角度是對(duì)兩個(gè)方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度問題有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).本節(jié)我們用空間向量研究夾角問題，你認(rèn)為可以按怎樣的順序展開研究.空間向量立體幾何距離問題夾角問題問題1：如何利用空間向量研究角度問題？

直線與直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角直線方向向量的夾角方向向量與法向量的夾角法向量的夾角

1.平行直線與直線的位置關(guān)系共面平行相交異面l1l2l1∥l2，l1與l2的夾角為0°

2.相交直線與直線的位置關(guān)系共面平行相交異面l1l2l1與l2相交，兩條直線形成四個(gè)角，把不大于90°的角稱為兩直線的夾角，此時(shí)

l1與l2的夾角取值范圍是（0°，90°]

3.異面直線與直線的位置關(guān)系共面平行相交異面異面直線可以通過平行轉(zhuǎn)化成兩條相交直線的夾角，因此異面直線夾角取值范圍（0°，90°]l1l2α

因此，兩條直線的夾角是[0°，90°]直線與直線的位置關(guān)系共面平行相交異面根據(jù)上面分析，我們只需研究?jī)蓷l相交直線即可，那么如何用空間向量研究直線的夾角呢？

l1l2

l1l2

因?yàn)閮蓷l直線的夾角是[0°，90°],所以直線夾角的余弦值是≥0的。ABCDMN追問1：這個(gè)問題的已知條件是什么？根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你打算通過什么途徑將這個(gè)立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題？

基底法幾何法坐標(biāo)法

追問1：這個(gè)問題的已知條件是什么？根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你打算通過什么途徑將這個(gè)立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題？

基底法幾何法坐標(biāo)法

將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題的途徑：

途徑1：通過建立一個(gè)基底，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面等元素，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題；

途徑2：通過建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面等元素，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題.實(shí)際上，空間直角坐標(biāo)系也是基底，是“特殊”的基底.

化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算

回到圖形問題

1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟2．求兩條異面直線所成的角的關(guān)注點(diǎn)問題2：如何利用向量求直線到平面的夾角？

兩條直線夾角的定義兩條直線夾角的取值范圍兩條直線夾角的向量求法直線與平面所成角的定義直線與平面所成角的取值范圍直線與平面所成角的向量求法直線與平面所成角問題的研究路徑：

直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線與平面平行直線與平面相交直線與平面夾角為(0°,90°]

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因?yàn)橹本€與平面的夾角是[0°，90°],所以直線與平面夾角的正弦值是≥0的?；追◣缀畏ㄗ鴺?biāo)法

角的正弦值.

化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題

角的類型角的取值范圍方向向量與法向量與向量夾角的關(guān)系兩條直線的夾角兩條直線的方向向量直線與平面所成的角直線的方向向量，平面的法向量利用向量方法求直線與平面所成角的步驟問題1：類比直線與直線的夾角的定義，如何定義平面到平面的夾角？

空間中，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角成為平面α與平面β的夾角。所以,兩個(gè)平面夾角θ的取值范圍為：θ∈[0°,90°]追問3：兩個(gè)平面夾角的大小與這兩個(gè)平面形成的二面角的大小有何關(guān)系？范圍為：θ∈[0°,90°]范圍為：

[0°，180°]兩個(gè)平面的夾角等于相應(yīng)二面角或其補(bǔ)角

平面與平面的位置關(guān)系平行相交

因?yàn)閮蓚€(gè)平面的夾角是[0°，90°],所以平面夾角的余弦值是≥0的。

化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題

ABCC1A1B1xyzPQR

AA1B1C1CBxyzOHABCC1B1A1F1D1xyzAABCC1B1A1F1D1HzPBOACxyCPBOACxyzD2、C

求法：先求兩向量夾角余弦值→設(shè)空間角為θ→下結(jié)論(取絕對(duì)值or定正負(fù))[練習(xí)]如圖，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD為正方形，設(shè)PA=AB=4，求點(diǎn)A到面PDC的距離.ABCDEPzxy③找垂線法(過點(diǎn)找面的垂線)考點(diǎn)五.求直線到面的距離平行于平面的直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為線上任意一點(diǎn)到平面的距離考點(diǎn)六.求面到面的距離兩個(gè)平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)任意一點(diǎn)到平面的距離先證線面平行l(wèi)//α，再轉(zhuǎn)化為直線l上任一點(diǎn)到平面α的距離先證面面平行α//β，再轉(zhuǎn)化為平面α上任一點(diǎn)到平面β的距離考點(diǎn)七.求線線角P41-2.在三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別為AD、BC的中點(diǎn)，求異面直線AN和CM所成角的余弦值.

P41-2.在三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別為AD、BC的中點(diǎn)，求異面直線AN和CM所成角的余弦值.P41-2.在三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別為AD、BC的中點(diǎn)，求異面直線AN和CM所成角的余弦值.OMN

角的正弦值.

考點(diǎn)八.求線面角①空間向量法考點(diǎn)八.求線面角

角的正弦值.③找垂線法(過點(diǎn)找面的垂線)②等體積法(將點(diǎn)面距離看作棱錐的高)ABCDEONF考點(diǎn)九.求面面角6.在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中點(diǎn)，求平面EAC與平面ABCD的夾角.幾何法公式法考點(diǎn)十.證明平行垂直幾何法向量化公式法幾何法向量化1.學(xué)會(huì)兩類夾角問題的向量求法問題3

回顧本節(jié)課的探究過程，