2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四數(shù)列學(xué)生版

專題四數(shù)列1．與數(shù)列有關(guān)的基本量的計(jì)算1．等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知等差數(shù)列，公差為，且、、成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A．13 B．14 C．15 D．164．某文具店開業(yè)期間，用100根相同的圓柱形鉛筆堆成橫截面為“等腰梯形垛”的裝飾品，其中最下面一層鉛筆數(shù)為16根，從最下面一層開始，每一層的鉛筆數(shù)比上一層的鉛筆數(shù)多1根，則該“等腰梯形垛”最上面一層堆放的鉛筆數(shù)為（）A．8 B．9 C．10 D．115．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對(duì)于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．35 B．42 C．49 D．562．與數(shù)列有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，，則等于（）A．27 B．25 C．20 D．102．在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為（）A． B．3 C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A．30 B．25 C．45 D．354．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則___________．5．若數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值與最小值之和為（）A． B． C．2 D．6．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，其前n項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（）A．16 B．17 C．18 D．197．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則使最大值的為（）A．4 B．5 C．4或5 D．68．已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使達(dá)到最大值的n值為（）A．5 B．6 C．7D．83．?dāng)?shù)列綜合1．若數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前99項(xiàng)和為______．2．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足，則an＝________．3．已知數(shù)列，滿足，則等于（）A． B． C． D．4．函數(shù)y＝[x]廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其中[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則（）A．4097 B．4107 C．5119 D．51295．已知數(shù)列，為的前項(xiàng)和，其中，則（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20226．“斐波那契數(shù)列”又稱“兔子”數(shù)列，是由意大利數(shù)學(xué)家里昂那多斐波那契發(fā)現(xiàn)的，該數(shù)列滿足：，，（，），若，則其前2022項(xiàng)和為（）A．G B． C． D．7．（多選）已知數(shù)列滿足：，則下列說法中正確的是（）A． B．C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為定值 D．?dāng)?shù)列的前20項(xiàng)和為定值8．定義：首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”．已知數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．設(shè)m為正整數(shù)，若存在“數(shù)列”，對(duì)任意的正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，都有成立，則m的最大值為________．9．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．10．已知數(shù)列{an}滿足，且．（1）請你在①，②中選擇一個(gè)證明：①若，則{bn}是等比數(shù)列；②若，則{bn}是等差數(shù)列．注：如果選擇多個(gè)分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn．11．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．13．已知數(shù)列滿足．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．14．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5＝17，a1，a2，a7成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列{an}與{3n}的相同的項(xiàng)按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．答案與解析1．與數(shù)列有關(guān)的基本量的計(jì)算1．【答案】A【解析】由，得，又，即，解得，故選A．2．【答案】D【解析】因?yàn)?、、成等比?shù)列，則，即，解得，所以，，故選D．3．【答案】C【解析】，，整理得，∵數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴，∴數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為1，則，故選C．4．【答案】B【解析】記最下面一層鉛筆數(shù)為，一共放層，從下到上各層的鉛筆數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，則，整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，故最上面一層堆放的鉛筆數(shù)為9，故選B．5．【答案】B【解析】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染，則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為，∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時(shí)，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要天，故選B．2．與數(shù)列有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用1．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，解得，則，故選A．2．【答案】B【解析】因?yàn)?是方程的兩根，所以，，所以，，又為等比數(shù)列，則，所以，所以或（舍去），所以，故選B．3．【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則有，解得，，故選C．4．【答案】【解析】由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)可知，構(gòu)成等比數(shù)列，即或（舍），故答案為．5．【答案】C【解析】∵數(shù)列的前項(xiàng)積，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，時(shí)也適合上式，∴，∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，故的最大值為，最小值為，∴的最大值與最小值之和為2，故選C．6．【答案】D【解析】由，得，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，，，，，所以，，，使得的正整數(shù)n的最小值為，故選D．7．【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，，所以，，所以，，當(dāng)n=4或5時(shí)，取得最大值10，故的最大值為，故選C．8．【答案】C【解析】等差數(shù)列滿足，即，解得，故，則等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且，故，所以，，，而，故，故使達(dá)到最大值的n值為7，故選C．3．?dāng)?shù)列綜合1．【答案】3【解析】因?yàn)椋?，故答案?．2．【答案】n【解析】，①，當(dāng)n≥2時(shí)，，②①－②，整理得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0．由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由①知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n，故答案為．3．【答案】D【解析】因?yàn)?，①所以，②①－②得，，所以，而，適合上式，所以，，，∴，故選D．4．【答案】B【解析】由題意時(shí)，，，在上奇數(shù)共有個(gè)，，，，設(shè)，則，相減得，所以，所以，故選B．5．【答案】B【解析】由題意，設(shè)為奇數(shù)，則是偶數(shù)，是奇數(shù)，則，①，②①+②得，所以的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，同理的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以，故選B．6．【答案】D【解析】由，可得…①…②①+②得，化簡得，故選D．7．【答案】AD【解析】取，得，故，選項(xiàng)A正確；取，得，又，兩式相減得，選項(xiàng)B不正確；由題知①，②，③，②-①得，②+③得，∴為定值，題中條件只限制，所以的值不確定，故前10項(xiàng)和無法確定；所以選項(xiàng)C不正確；前20項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有10項(xiàng)，相鄰兩項(xiàng)的和確定，故這10項(xiàng)的和確定，同理10個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和確定，故前20項(xiàng)和為定值．所以選項(xiàng)D正確，故選AD．8．【答案】5【解析】由題意知，，，，恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)可得對(duì)有解，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，，則，化簡，得，令，則，由，得，則，所以，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以，存在，使得，所以整?shù)m的最大值為5，此時(shí)，，故答案為5．9．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：由，得，又，所以，故，故是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得，得，所以，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，①，②由①-②，得，則，故．10．【答案】（1）見解析；（2），．【解析】（1）選擇①，由，可得，∴，又，∴數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．選擇②，∵，，∴，又，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．（2）由上可知，即，∴，∴．11．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，由題意，，解得，所以．（2）由（1），所以，易知是遞增的且，不等式對(duì)任意的都成立，則，所以．12．【答案】（1）證明見解析；（2）前n項(xiàng)和為．【解析】（1）證明：因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，得或7，又，則．當(dāng)時(shí)，，②①-②得，，，由，得，故，即為等差數(shù)列．（2）由（1）知，為等差數(shù)列且公差為4，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，