2021-2022學(xué)年貴州省仁懷市周林高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末綜合能力測(cè)試題2數(shù)學(xué)試題解析版

仁懷市周林高級(jí)中2021-2022學(xué)年度新高考高二數(shù)學(xué)期末綜合能力測(cè)試卷2考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題1．被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著名的公式：，其中為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)，時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；在信道帶寬不變的情況下，若要使最大數(shù)據(jù)傳輸速率翻一番，則信噪比變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮ǎ〢．2 B．9 C．99 D．101【答案】D【詳解】當(dāng)，時(shí)，，由，得，所以，所以，即信噪比變?yōu)樵瓉淼?01倍故選：D2．若，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，，則，則.故選：D.3．已知是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，，且當(dāng)時(shí)，的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，∵時(shí)，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．4．已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由可得，所以，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：A.5．下列函數(shù)是偶函數(shù)且值域?yàn)榈氖牵ǎ?；②；③；?A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【詳解】對(duì)于①，是偶函數(shù)，且值域?yàn)椋粚?duì)于②，是奇函數(shù)，值域?yàn)?；?duì)于③，是偶函數(shù)，值域?yàn)?；?duì)于④，是偶函數(shù)，且值域?yàn)?，所以符合題意的有①④故選：C.6．已知人的血壓在不斷地變化，心臟每收縮和舒張一次構(gòu)成一個(gè)心動(dòng)周期，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓.已知某人某次測(cè)量自己的血壓得到收縮壓為126mmHg，舒張壓為78mmHg，心動(dòng)周期約為0.75s，假設(shè)他的血壓關(guān)于時(shí)間近似滿足函數(shù)式，當(dāng)時(shí)，此人的血壓在之間的時(shí)長(zhǎng)約為（）A．0.125s B．0.25s C．0.375s D．0.5s【答案】B【詳解】由題意可知，解得由，則由得出令，，則函數(shù)的圖象如下圖所示由圖可知，此人的血壓在之間的時(shí)長(zhǎng)約為故選：B7．橋梁由于自身結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)占地要比路基工程少，所以在平原區(qū)的高鐵設(shè)計(jì)中大量采用橋梁代替普速鐵路中常見的路基工程.在低樁承臺(tái)對(duì)稱豎直樁樁基基礎(chǔ)剛度計(jì)算及有限元模擬中常用到三個(gè)公式，，：其中，，——分別為承臺(tái)地面以上水平方向地基系數(shù)的圖形面積和對(duì)底面的面積矩和慣性矩；——承臺(tái)底面處水平土的地基系數(shù)；——承臺(tái)底面埋人地面或局部沖刷下的深度.在設(shè)計(jì)某一橋梁時(shí)，已知，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意得：，解得，，故選：C.8．若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為（）A． B． C．1 D．3【答案】C【詳解】解：由題意可得兩圓相外切兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為圓心分別為，半徑分別為2和1故有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C二、多選題9．已知圓C：，直線l：，則（）A．若圓平分圓C的圓周，則B．圓C上一點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離之和為C．若直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為D．若圓C與直線l相交于點(diǎn)P，Q，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則m的值為【答案】BC【詳解】對(duì)于A：由，得，與圓的方程作差，得兩圓公共弦所在的直線方程為，因?yàn)閳A平分圓C的圓周，所以圓心在兩圓的公共弦上，所以，結(jié)合，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：圓心到直線的距離，所以圓C上一點(diǎn)到直線的最大距離為，最小距離為，所以圓C上一點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離之和為，故B正確；對(duì)于C：將直線的方程化為，則由，解得，即直線過定點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，(其中r為圓C的半徑)，故C正確；對(duì)于D：由選項(xiàng)C知直線l恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，與圓C的方程聯(lián)立，消元，得，易知，設(shè)，則因?yàn)椋?，即，所以，即，所以，解得或，所以或，解得或，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．已知圓C過點(diǎn)，，直線m：平分圓C的面積，過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，則（）A．圓心的坐標(biāo)為B．圓C的方程為C．k的取值范圍為D．當(dāng)時(shí)，弦MN的長(zhǎng)為【答案】ABD【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳AC被直線平分，所以圓心在直線m上，可得，由題目條件已知圓C過點(diǎn)，則綜上可解得，所以圓心的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A正確；圓C的方程為，選項(xiàng)B正確；根據(jù)題目條件已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l方程為，即，又直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，所以點(diǎn)到直線l的距離小于半徑r，則利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：，解得k的取值范圍為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可求得點(diǎn)到直線l的距離為，所以根據(jù)勾股定理可得，即弦MN的長(zhǎng)為，所以弦MN的長(zhǎng)為，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11．已知的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】若a＝0，則f(x)＝，圖像為C；若a＞0，則f(x)定義域?yàn)閧x|x≠±}，f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)，x∈(－∞，－)時(shí)，f(x)＜0，x∈(－，0)時(shí)，f(x)＞0，x∈(0，)，f(x)＜0，x∈(，＋∞)時(shí)，f(x)＞0，又x≠0時(shí)，f(x)＝，函數(shù)y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)均單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，－)，(－，0)，(0，)，(，＋∞)均單調(diào)遞減，綜上f(x)圖像如A選項(xiàng)所示；若a＜0，則f(x)定義域?yàn)镽，f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＜0，當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)＝，函數(shù)y＝x＋時(shí)雙勾函數(shù)，x∈時(shí)，y均單調(diào)遞減，x∈時(shí)，y均單調(diào)遞增，∴f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，結(jié)合以上性質(zhì)，可知B圖像符合.故選：ABC.12．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)無最小值B．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C．直線與函數(shù)的圖象最多有3個(gè)公共點(diǎn)D．經(jīng)過點(diǎn)可作圖象的1條切線【答案】AC【詳解】由題可得的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)在，上均單調(diào)遞增，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出的大致圖象如圖所示，所以函數(shù)無最小值，A正確；易知，結(jié)合選項(xiàng)A可知，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；易知直線過點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)k足夠大時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，故直線與函數(shù)的圖象最多有3個(gè)公共點(diǎn)，C正確；易知點(diǎn)在的圖象上，故以為切點(diǎn)可作曲線的一條切線，當(dāng)不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，得，故經(jīng)過點(diǎn)可作圖象的2條切線，D錯(cuò)誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、雙空題13．設(shè)a，b，c為正數(shù)，且滿足a2＋b2＝c2.（1）log2＋log2＝________．（2）若＝1，(a＋b－c)＝則＝________．【答案】13【詳解】（1）原式＝＝＝＝.（2）由＝1，得－3a＋b＋c＝0，①由(a＋b－c)＝得a＋b－c＝4，②由題設(shè)，a2＋b2＝c2，③聯(lián)立①②③及a，b，c為正數(shù)，可得a＝6，b＝8，c＝10.∴.故答案為：1，3.四、填空題14．點(diǎn)A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距離為，則該球的體積為___________.【答案】【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以三角形外接圓半徑，又球心O到截面的距離為，所以球的半徑為．球體積為．故答案為：．15．“”是“”的___________條件（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一個(gè)）【答案】充分不必要【詳解】因?yàn)?，所以或，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.16．已知中，點(diǎn)，點(diǎn)，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，且，則滿足條件的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為______．【答案】【詳解】如圖，，，，，，又，外接圓半徑為，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故答案為：.五、解答題17．如圖，從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn).又點(diǎn)是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，.（1）求橢圓的方程；（2）直線交橢圓于?兩點(diǎn)，判斷是否存在直線，使點(diǎn)恰為的重心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，（1）由題可知，，，因?yàn)?，則，解得，故有，解得，，橢圓方程為（2）法一：假設(shè)存在，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得則因?yàn)闉榈闹匦?，則，解得則，化簡(jiǎn)得，解得所以直線.法二：設(shè)，因?yàn)闉榈闹匦模瑒t，解得設(shè)的中點(diǎn)，則因?yàn)?，在橢圓上，則，兩式相減得：，即所以直線.18．已知函數(shù).（1）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）已知函數(shù)既存在極大值點(diǎn)又存在極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，由題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，由對(duì)勾函數(shù)知：在區(qū)間上是減函數(shù)，，所以，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2），既存在極大值又存在極小值等價(jià)于方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，需滿足解得:.所求實(shí)數(shù)的取值范圍為19．已知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)；（2）求的前項(xiàng)和的最大值.【答案】（1）（2）（1）為等差數(shù)列，，，，，；（2），，，故當(dāng)時(shí)，有最大值.20．研究表明：使全球氣候逐年變暖的一個(gè)重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據(jù)測(cè)，2010年、2011年、2012年大氣中的CO2濃度分別比2009年增加了1個(gè)可比單位、3個(gè)可比單位、6個(gè)可比單位.若用一個(gè)函數(shù)模擬每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)(其中p，q，r為常數(shù))或函數(shù)(其中a，b，c為常數(shù))，且又知2014年大氣中的CO2濃度比2009年增加了16個(gè)可比單位，請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？【答案】【詳解】若以作模擬函數(shù)，則依題意得：，解得，所以.若以作模擬函數(shù)