廣西南寧三校聯(lián)考2024-2025學年高二數(shù)學上學期段考期中試題文含解析

PAGE18-廣西南寧三校聯(lián)考2024-2025學年高二數(shù)學上學期段考（期中）試題文（含解析）第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.已知向量，，若，則實數(shù)的值為（）.A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量共線的坐標公式計算即可．【詳解】故選：D【點睛】本題考查平面對量的坐標表示，考查向量共線的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2.化簡的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩角和余弦公式化簡求值即可.【詳解】，故選C．【點睛】本題考查了三角恒等變換，逆用兩角和余弦公式化簡求值，屬于簡潔題.3.已知中，,那么為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】試題分析：在中，,，，那么為銳角，由正弦定理可得解得.考點：正弦定理的應(yīng)用.4.已知數(shù)列滿意，則（）A.18 B.20 C.32 D.64【答案】A【解析】【分析】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的性質(zhì)易得結(jié)論．【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以．故選：A．【點睛】本題考查等差數(shù)列的推斷，考查等差數(shù)列的性質(zhì)．推斷等差數(shù)列的方法：（1）定義法：證明，為常數(shù)；（2）等差中項法：；（3）通項公式法：；（4）前項和法：．證明數(shù)列為等差數(shù)列通常用定義法．5.若，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】.分子分母同時除以，即得：.故選D6.數(shù)列滿意，，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由遞推關(guān)系，可求出的前5項，從而可得出該數(shù)列的周期性，進而求出即可.【詳解】由，可得，由，可得，，，，由，可知數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，所以.故選：B.7.的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意，則的形態(tài)是（）A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，再結(jié)合已知可求得，從而可得，可推斷的形態(tài).【詳解】解：中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，∴或，即或，∴為等腰三角形或直角三角形.故選：D.【點睛】本題考查推斷三角形的形態(tài)，利用正弦定理化邊為角后，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得角的關(guān)系，得三角形形態(tài)．8.的三邊為，若為銳角三角形，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，得到，再由，求得，依據(jù)正切函數(shù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性及誘導(dǎo)公式，可判定A、B不正確；再由余弦定理，可判定D不正確.【詳解】由為銳角三角形，可得，又由，可得，即，所以C正確；由，可得，由正切函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，所以，所以A不正確；由正弦函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，即，所以B不正確；由余弦定理可得，則，所以D不正確.故選：C.【點睛】本題主要考查了銳角三角形的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，著重考查了推理與論證實力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知，點為斜邊的中點，,,,則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可分別以直線AC，AB為x，y軸，建立平面直角坐標系，依據(jù)條件便可求出點A，B，C，D的坐標，進而求出點E的坐標，從而得出向量的坐標，這樣進行數(shù)量積的坐標運算即可求出的值．【詳解】如圖，分別以邊AC，AB所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，則：因為，所以∴=，∴故選C．【點睛】考查建立平面直角坐標系，通過坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，以及向量數(shù)乘的幾何意義，數(shù)量積的坐標運算．10.已知向量，滿意，，且，則在方向上的投影為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由向量垂直求得，再依據(jù)數(shù)量積的定義求得在方向上的投影．【詳解】因為，，，所以在方向上的投影為．故選：B．11.已知數(shù)列滿意：，．則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法進行轉(zhuǎn)化得，構(gòu)造為等比數(shù)列，求解出通項，進而求出.【詳解】因為，所以兩邊取倒數(shù)得，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，則，所以，故.故選：C【點睛】方法點睛：對于形如型，通?？蓸?gòu)造等比數(shù)列（其中）來進行求解.12.在中，角的對邊分別為，已知，且，點滿意，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得是的重心，設(shè)直線交于，則是中點，利用得，兩邊平方后可求得，再由可得三角形面積．【詳解】∵，∴是的重心，設(shè)直線交于，則是中點，設(shè)，∴，則，∴，化簡得，解得（舍去），由，是三角形內(nèi)角，則，∴．故選：D．【點睛】本題考查向量的線性運算，向量的數(shù)量積運算，考查三角形面積公式．解題關(guān)鍵是由得是的重心，然后可由向量的線性運算得出關(guān)系式（是邊中點），平方后變成向量的數(shù)量積運算，從而求得中線長，由面積公式可得面積．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知在等比數(shù)列中，，則=_______．【答案】【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)干脆計算．【詳解】因為是等比數(shù)列，所以，又同號，所以．故答案為：6．14.已知向量，滿意，，且向量，的夾角為，若與垂直，則實數(shù)的值為__________【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知條件求得，再對向量垂直進行轉(zhuǎn)化，即可列出等式求得參數(shù)值.【詳解】依據(jù)與垂直得到（）·=0，所以故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)量積的運算，以及向量垂直的轉(zhuǎn)化，屬綜合基礎(chǔ)題.15.若，，，，則________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，，再由，依據(jù)兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】∵，，則，，∴，，因此，故答案為：【點睛】本題考查了三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查了基本運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，在同一個平面內(nèi)，與的夾角為，且，與的夾角為，，，，若，則的取值是_______．【答案】【解析】【分析】由，與的夾角為，可建立如圖所示的平面直角坐標系，進而用坐標表示出，，，結(jié)合，可求出的值.【詳解】由題意，可知，與夾角為，建立如圖所示的平面直角坐標系，可得，，，，所以，，，由，可得，即，所以.故答案為：.三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.如圖，是直角斜邊上一點，．（1）若，求角的大??；（2）若，且求的長．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得可得，從而求得角；（2）由直角三角形求得，再用余弦定理計算．【詳解】解：（1）在中，由正弦定理得：，由題意得：，∵，∴，∴；（2），∴在中，∴，在中，由余弦定理得：．【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，駕馭正弦定理與余弦定理解三角形的類型是解題關(guān)鍵．正弦定理解三角形類型：（1）已知兩角及一角對邊；（2）已知兩邊及一邊對角（這種類型可能出現(xiàn)兩解，需推斷）；余弦定理解三角形類型：（1）已知兩邊及夾角；（2）已知三邊求內(nèi)角．在已知兩邊及一角時都可得用余弦定理解三角形．18.某中學組織了地理學問競賽，從參與考試的學生中抽出40名學生，將其成果（均為整數(shù)）分成六組，，…，，其部分頻率分布直方圖如圖所示．視察圖形，回答下列問題．（1）求成果在的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）估計這次考試的平均分（計算時可以用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）；（3）從成果在和的學生中選兩人，求他們在同一分數(shù)段的概率．【答案】（1）頻率為0.3，頻率分布直方圖見解析；（2）71分；（3）．【解析】【分析】（1）由全部頻率之和為1可求得成果在的頻率，從而可補全頻率分布直方圖；（2）由每組數(shù)據(jù)的中值乘以頻率相加可得均值；（3）成果在的人數(shù)為人，成果在的人數(shù)為人，將分數(shù)段的4人編號為，，，，將分數(shù)段的2人編號為，，用列舉法寫出任取2人的全部基本領(lǐng)件，同時得出同一分數(shù)段內(nèi)所含基本領(lǐng)件，計數(shù)后可得概率．【詳解】（1）因為各組的頻率之和等于1，所以成果在的頻率為．補全頻率分布直方圖如圖所示：（2）利用中值估算學生成果的平均分，則有所以本次考試的平均分為71分．（3）成果在的人數(shù)為人，成果在的人數(shù)為人從成果在和的學生中選兩人，將分數(shù)段的4人編號為，，，，將分數(shù)段的2人編號為，，從中任選兩人，則基本領(lǐng)件構(gòu)成集合共15個，其中同一分數(shù)段內(nèi)所含基本領(lǐng)件為：，，，，，，共7個，故所求概率為=．【點睛】方法點睛：本題考查頻率分布直方圖，考查由頻率分布直方圖求均值，考查古典概型．求古典概型方法：列舉法，用列舉法寫出事務(wù)空間中的全部基本領(lǐng)件，同時得出所求概率事務(wù)中所含有的基本領(lǐng)件，計數(shù)后計算概率．假如元素個數(shù)較多，事務(wù)的個數(shù)也可用排列組合學問計算．19.已知數(shù)列中，已知：，．（1）設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）已知等式變形為由的定義可得，同時求得，從而證得等比數(shù)列；（2）求出等比數(shù)列的通項公式，然后利用等差數(shù)列的前項和公式教化處出．【詳解】（1）∵∴∵∴是首項為，公比為的等比數(shù)列．（要指明首項和公比，否則扣1分）（2）∵，．【點睛】本題考查等比數(shù)列的證明，證明方法是等比數(shù)列的定義．本題證明事實上可以干脆由得，代入已知等式即可遞推關(guān)系，然后肯定要計算出，只有在時才能確定數(shù)列為等比數(shù)列，這是易錯點．20.如圖，四邊形是正方形，平面，，且（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理證明平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明平面；（2）先證明平面，設(shè)點到平面的距離為，利用等體積法得，通過計算即可得.【詳解】（Ⅰ）因為四邊形是正方形，所以，又平面，平面，平面，因為，同理可證平面，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面；（2）因為平面，∴，平面，又∵，，∴平面，∴又，設(shè)點到平面的距離為∵又∵∴;∴即點到平面的距離為【點睛】方法點睛：證明直線與平面平行可通過證明直線與直線平行或平面與平面平行來證明.21.已知數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：對隨意，都有，使得成等比數(shù)列.【答案】（1）（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）由和項求通項，主要依據(jù)進行求解.因為所以當時又時，所以（2）證明存在性問題，實質(zhì)是確定要使得成等比數(shù)列，只須要，即.而此時，且所以對隨意，都有，使得成等比數(shù)列.試題解析：（1）因為所以當時又時，所以（2）要使得成等比數(shù)列，只須要，即.而此時，且所以對隨意，都有，使得成等比數(shù)列.考點：由和項求