4.2.1兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用（教學(xué)設(shè)計(jì)）高一數(shù)學(xué)（北師大版2019）

北師大版必修第二冊(cè)第四章《三角恒等變換》4.2.1兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用（教學(xué)設(shè)計(jì)）【教學(xué)目標(biāo)】1．能運(yùn)用向量的數(shù)量積及三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式；（邏輯推理）2．能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式；（邏輯推理）3．通運(yùn)用兩角和與差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)；（數(shù)學(xué)運(yùn)算）【教學(xué)重點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦公式及其推導(dǎo)，了解其內(nèi)在聯(lián)系【教學(xué)難點(diǎn)】?jī)山遣畹挠嘞夜降耐茖?dǎo)、記憶，靈活運(yùn)用公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)【教學(xué)過(guò)程】一、實(shí)例分析，提出問(wèn)題同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)過(guò)特殊角的三角函數(shù)值，那如果角度不特殊，我們?cè)撊绾吻蟪鏊娜呛瘮?shù)值呢？問(wèn)題1：如何求cos15°的值？問(wèn)題2：15°=45°-30°，我們是否可以利用45°和30°這兩個(gè)特殊角求出問(wèn)題3：請(qǐng)同學(xué)們判斷下列計(jì)算是否正確cos15°=co問(wèn)題4：cos15°的值和45°、30°兩個(gè)特殊角的三角函數(shù)值有什么聯(lián)系呢？問(wèn)題5：如圖，設(shè)角α，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別記為P,

Q

.求由圖可得OP若0≤α-β≤π,故π<α-β<2πcos根據(jù)誘導(dǎo)公式：cos故顯然，對(duì)于任意角α，cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ同學(xué)們能否根據(jù)公式Cα-β得出cos(α+β)并把小組討論的結(jié)果寫(xiě)下來(lái).cos故由此得到兩角和的余弦公式如下：cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ問(wèn)題6：cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβcosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ上面兩組公式結(jié)構(gòu)有什么特征公式結(jié)構(gòu)：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反.記憶口訣：“余余正正，符號(hào)相反”二、抽象概括，得出概念兩角和與差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(Cα＋β)(1)適用條件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式結(jié)構(gòu)：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反.記憶口訣：“余余正正，符號(hào)相反”.【概念辨析】1．判斷正誤（正確的寫(xiě)正確，錯(cuò)誤的寫(xiě)錯(cuò)誤）（1）cos(60°-30°)=（2）當(dāng)α,β∈R時(shí)，cos（3）對(duì)于任意實(shí)數(shù)α,β，cos(α-β)=cos（4）cos30°【參考答案】1．錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確【詳解】對(duì)于（1），因?yàn)閏os(60°-30°)=cos30°=所以cos(60°-30°)≠cos60°-對(duì)于（2），當(dāng)α,β∈R時(shí)，cos(α-β)=cos對(duì)于（3），當(dāng)α=π2,β=3π所以cos(α-β)=cosα-對(duì)于（4），cos30°cos120°+故答案為：（1）錯(cuò)誤，（2）錯(cuò)誤，（3）錯(cuò)誤，（4）正確三、典例剖析，理解概念公式正向應(yīng)用課本P153例1例1利用兩角差的余弦公式求cos15°的值.解：方法一：cos15°=cos(45°-30°=方法二：cos15°=cos(60°-45°=課本P153例2例2已知<β<α<π,sinα-β=4解：因?yàn)閏osα-β=所以=【方法點(diǎn)撥】觀察要求的角和已知的角之間的關(guān)系，常見(jiàn)角的變換：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).【當(dāng)堂訓(xùn)練】已知0<α<β<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(8,17)，cos(α－β)＝eq\f(21,29)，求cosβ的值.解∵α∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(8,17)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(15,17).由0<α<β<eq\f(π,2)，得－eq\f(π,2)<α－β<0.∵cos(α－β)＝eq\f(21,29)，∴sin(α－β)＝－eq\r(1－cos2（α－β）)＝－eq\f(20,29).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(15,17)×eq\f(21,29)＋eq\f(8,17)×(－eq\f(20,29))＝eq\f(155,493).公式逆向應(yīng)用1．cos30°cos15°-A．12 B．22 C．32解：cos30°cos15°-2．cos69°cosA．-22 B．22 C．-解：cos69°cos24°+四、遷移應(yīng)用，掌握概念利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)求值1．化簡(jiǎn)2cos10°A．32 B．3 C．34 D解：=2cos30五、當(dāng)堂檢測(cè)，鞏固達(dá)標(biāo)1．cos15°cos45°-sinA．12 B．22 C．322．在△ABC中，sinA=513,cosA．5665 B．-1665 C．56653．已知α,β為鈍角，且cosα=-255，sinβ=A．π4 B．5π4 C．34．已知向量a=1,3(1)若a//b，求(2)若a?b=65【參考答案】1．A【詳解】cos15°cos2．B【詳解】解：因?yàn)閏osB=35<2又因?yàn)閟inA=513<2若3π4<A<π，則所以0<A<π4，則cos=-cosA3．D【詳解】由于α,β為鈍角，且cosα=-25且α∈π2,π,β∈π4．(1)3