高中數(shù)學(xué)2輪17 大題規(guī)范練(三)

大題規(guī)范練（三）

1.（2021?揭陽(yáng)模擬）在△ABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,

b,c,已知△AbC的面積為為匪a,cos3=技

16lo

⑴求邊b的最小值;

19

(2)若bsin3=-]sinA+14sinC,求△ABC的面積.

解：(1)因?yàn)閟in3=。1-cos?3=^^,Sz\A8C=；acsinb=與辱

JLO/J/

ac=噂a

所以c=2,

由品=蕭々2力得A'csinB=嚕,

所以方的最小值為斗運(yùn).

O

19

(2)因?yàn)閒tsinB=—^"sinA+14sinC,

19

2

所以運(yùn)用正弦定理可得b=-^a+14c9

由余弦定理及c=2,可得b2=a2+4—4a*cosB=a2+4—

19ii

所以一彳。+28=/+4一1°,即a2+2a—24=0,

解得a=4.

3^15

所以B=

SAABC=^?csin4?

2.（2021?南通模擬）在①G],。3的等差中項(xiàng)是3；②42,。4的等比

中項(xiàng)是山；③田+。3+。5=14.

這三個(gè)條件中任選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答.如果選多

種方案解答，按第一種方案計(jì)分.

已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛"”｝滿足,.

⑴求數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)積為T(mén)”,求數(shù)列[島彳的前n項(xiàng)和S”.

解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛“”｝的公比為q,q>0,

選①②，則…4

〃+1

解得ai=2,q=y[2,所以。"=22；

。1+。3=。1+。均2=6,

選①③，則

41+。3+。5=。1+。1/+4或4=]4,

n+l

解得“1=2,q=yj2,所以a”=22

a2a4=aiq4—ai,

選②③，則，

4i+a3+a5=ai+aiq2+aiq4=i4,

n+1

=

解得。1=2,q'\[2f所以。"=2

23rt+1

(2)由題意，可得Tn=(y[2)X(^2)XX(V2)=(A/2)

2,

6」________4_____<1__1

logiT,,n(〃+3)〃+3,

,41,11,11,,11,11,

則n6尸§(Z1<_^+5_耳+§一4+…+言一市+R_布+

「不)=§(i+5+「布-木-不)=L

12層+48〃+44

3(〃+1)(/14-2)(〃+3)?

3.(2021?蘇州市吳江區(qū)第三次模擬)如圖所示，在四棱錐P-ABCD

中，底面ABC。為矩形，H1JL平面A8CD,點(diǎn)E在線段PC上，PC

JL平面BD￡,設(shè)JR4=LAD=2.

⑴求平面BPC的法向量；

(2)求二面角B-PC-A的正切值.

解：(1)因?yàn)镕4-L平面ABCD,BDU平面4BCD,

所以PA±BD.

因?yàn)镻C-L平面BDE,BOU平面BDE,所以PCA-BD.

又B4npe=P,所以平面B4C,ACU平面B4C,

所以BDJ-AC.

又底面四邊形ABC。為矩形，所以矩形ABC。為正方形.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

A(0,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,1),0(0,2,

0).

―>—?

BC=(0,2,0),BP=(-2,0,1),

設(shè)平面BPC的法向量為n=(x,y,z),

n-BC=O,2j=0,

所以1所以,八取〃=(1,0,2).

f[—2x+z=0,

<n-BP=0,

所以平面3PC的一個(gè)法向量為〃=(1,0,2).

(2)平面44。的法向量為：BD=(-2,2,0).

設(shè)二面角8一尸。一4=仇由圖可知：〃為銳角.

-A

n,/二、n-BD—2

則cos<n,BD〉=--LT=^X2^=-w-

'n\\BD\

所以COS，=［孑.

圻.?口3?

所以sin0—jg.

人.、，八sin0-

所以tan0—^=3.

cos0

即二面角B-PC-A的正切值為3.

4.(2021?沈陽(yáng)市皇姑區(qū)校級(jí)模擬)“綠水青山，就是金山銀山”，

2020年9月22日，國(guó)家主席習(xí)近平在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)一般性

辯論上發(fā)表重要講話，指出要加快形成綠色發(fā)展方式和生活方式，建

設(shè)生態(tài)文明和美麗地球，中國(guó)將提高貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策

和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060

年前實(shí)現(xiàn)碳中和.某企業(yè)為了響應(yīng)中央號(hào)召，準(zhǔn)備在企業(yè)周邊區(qū)域內(nèi)

通過(guò)植樹(shù)造林實(shí)現(xiàn)減碳，從某育苗基地隨機(jī)采購(gòu)了120株銀杏樹(shù)樹(shù)苗

進(jìn)行栽種，測(cè)量樹(shù)苗的高度，得到如下頻率分布直方圖，已知不同高

度區(qū)間內(nèi)樹(shù)苗的售價(jià)區(qū)間如表.

樹(shù)苗高度/cm[120,140)[140,160)[160,180]

樹(shù)苗售價(jià)/(元/株)468

(1)現(xiàn)從120株樹(shù)苗中，按售價(jià)分層抽樣抽取8株，再?gòu)闹腥芜x

三株，求售價(jià)之和不低于20元的概率；

(2)以樣本中樹(shù)苗高度的頻率作為育苗基地中樹(shù)苗高度的概

率.若從該育苗基地銀杏樹(shù)樹(shù)苗中任選4株，記樹(shù)苗高度超過(guò)140cm

的株數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

解：⑴高度在［120,140)內(nèi)的占比為：(0.005+0.02)X10=0.25,

高度在［140,160)內(nèi)的占比為：(0.03+0.02)X10=0.5,

高度在［160,180］內(nèi)的占比為：(0.015+0.01)X10=0.25,

所以現(xiàn)從120株樹(shù)苗中，按售價(jià)分層抽樣抽取8株，其中2株4

元，4株6元，2株8元.

再?gòu)闹腥芜x三株，售價(jià)之和不低于20元可以為：(6,6,8),(4,

8,8),(6,8,8),

CiCl+ClCi+ClCl9

故所求概率P=

~cl=28-

⑵若從該育苗基地銀杏樹(shù)樹(shù)苗中任選4株，樹(shù)苗高度超過(guò)140

3

cm的概率為彳.

由題意可得：X?3（4,皆，則P（X=A）=cd；y",左=0,

1,2,3,4.

1327

所以P（X=0）=痂，p（x=l）=府，P（x=2）=近，

27ci

P（X=3）=d尸（*=4）=痂

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X01234

13272781

P

2566412864256

3

期望E（X）=4><4=3.

5.（2021?重慶市沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知橢圓C：。+i=1（4>方

>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,（2,0）,且點(diǎn)P（小,1）在橢圓。上.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)M是直線y=2上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作兩條斜率之積為一1的

直線小h,且直線兒，2均與橢圓。只有一個(gè)公共點(diǎn)，求M的坐標(biāo).

解：（1）因?yàn)镻（小，1）在橢圓上，所以u(píng)+u二7=1，

解得〃=6或/=2（舍去），

所以橢圓C的方程為2+3=1.

oL

（2）如圖，設(shè)M（機(jī)，2）,設(shè)九b的斜率分別為右，k2,

得(3/+1)*2+6A(2—km)x+3(2—km)2—6=0,

關(guān)于x的方程①的判別式J=36^(2-jt/n)2-4(3A:2+l)[3X(2-

km)2—6]=Q,

化簡(jiǎn)得他機(jī)一2產(chǎn)一2(3公+1)=0,

(m2-6)k2—4km+2=0,②

關(guān)于k的方程②有兩個(gè)實(shí)根ki,比分別是切線MPx,MP2的斜

率，

2

又kik?=—1,故,“2N=-1,解得機(jī)=±2,

所以"(一2,2)或M(2,2).

6.(2021?江西省模擬)已知函數(shù)Hx)=2x-aeX(a￡R),g(x)=x(x

—Inx+1).

(1)討論函數(shù)y=/(x),x￡R的單調(diào)性；

(2)若對(duì)于任意的x￡(0,4-°°),不等式/(x)>g(x)恒成立，求實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

解：(16(%)=2—ae。

當(dāng)“W0時(shí)，/(x)>0,大x)在R上單調(diào)遞增，

2

當(dāng)a>0時(shí)，令/(幻=2—優(yōu)"=0,得x=In

22

則x<In,時(shí)，f(x)>0,_/U)單調(diào)遞增；x>ln,時(shí)，

/(x)VO,f(x)單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，A%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時(shí)，於)在［―8,加上單調(diào)遞增，在(in，，+8)上單

調(diào)遞減.

(2)不等