高中數(shù)學(xué)人教A版必修4課件311兩角差的余弦公式

第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.1兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式

公式cos(α-β)=______________________簡記符號(hào)______使用條件α,β都是_______cosαcosβ+sinαsinβC(α-β)任意角【點(diǎn)撥】關(guān)于兩角差的余弦公式(1)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)公式的左邊是差角的余弦,右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的和式,可用口訣“余余正正號(hào)相反”記憶公式.(2)公式中的角α,β公式中的角α,β不僅可以是角,而且可以是任意的整體,可以根據(jù)題目需要進(jìn)行替換、變形代入,展開式仍然成立.(3)公式的靈活應(yīng)用首先是公式的逆用,可以把符合公式特點(diǎn)的展開式合并,其次是角的靈活變化,如cosα=cos[(α+β)-β].【自我檢測(cè)】1.化簡cos15°cos45°+cos75°sin45°的值為(

)【解析】選B.cos15°cos45°+cos75°sin45°=cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos(15°-45°)=cos(-30°)=2.cos(-15°)的值是(

)【解析】選D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°3.若向量a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),則a·b=

(

)【解析】選A.a·b=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=.4.(cos75°+sin75°)=________.【解析】原式=cos45°cos75°+sin45°sin75°=cos(75°-45°)=cos30°=.答案:

5.若cos(α-β)=,則(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=________.【解析】原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)=.答案:

類型一兩角差的余弦公式的簡單應(yīng)用【典例】1.cos75°cos15°-sin75°sin195°的值為(

)2.已知sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=,則cos(α-β)=

(

)3.求值:【審題路線圖】1.兩角差的余弦公式的特點(diǎn)?利用誘導(dǎo)公式sin195°=-sin15°求解.2.已知和差的式子?通過平方構(gòu)造cosαcosβ,sinαsinβ?求值.3.-π?利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的差求值.【解析】1.選B.原式=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=.2.選D.因?yàn)閟inα-sinβ=1-,cosα-cosβ=,所以(cosα-cosβ)2=,(sinα-sinβ)2=兩式相加,得2-2cos(α-β)=2-所以cos(α-β)=.3.【方法技巧】運(yùn)用兩角差的余弦公式求值的關(guān)注點(diǎn)(1)運(yùn)用兩角差的余弦公式解決問題要深刻理解公式的特征,不要死記.(2)在逆用公式解題時(shí),還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數(shù)值.【變式訓(xùn)練】化簡cos80°·cos35°+cos10°·cos55°=________.【解析】原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=.答案:

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

sin75°+sin15°的值等于________.【解析】原式=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=.答案:

類型二給值求值問題【典例】1.已知sin(π+α)=,則的值為(

)2.(2017·全國卷Ⅰ)已知α∈tanα=2,則cos(α-)=________.3.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈求cosβ.

【審題路線圖】1.誘導(dǎo)公式化簡?求cosα?兩角差的余弦公式展開求值.2.?展開?由tanα求得sinα,cosα?代入求值.3.β=(α+β)-α?求sinα,sin(α+β)代入求值.【解析】1.選A.因?yàn)閟in(π+α)=-sinα=所以sinα=,又因?yàn)?<α<,所以cosα=所以2.由tanα=2得sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因?yàn)棣痢仕砸驗(yàn)樗源鸢?

3.因?yàn)榍姚?β∈,所以α+β∈(0,π),所以sinα=sin(α+β)=所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα【方法技巧】給值求值問題的解題策略(1)從角的關(guān)系中找解題思路已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系,根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.(2)常見角的變換①α=(α-β)+β;②③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).【變式訓(xùn)練】已知α,β為銳角,且cos(α+β)=,sinα=,則cosβ的值為(

)【解析】選A.根據(jù)題意,α,β為銳角,若sinα=,則cosα=若cos(α+β)=,則(α+β)也為銳角,則sin(α+β)=,則cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sinθ=,θ∈,則的值為________.【解析】由sinθ=,且θ∈,得cosθ=,所以

答案:

類型三給值求角問題【典例】已知sin(π-α)=,cos(α-β)=,0<β<α<,求角β的大小.

【審題路線圖】β=α-(α-β)?分別求cosα,sin(α-β)代入求值.【解析】因?yàn)閟in(π-α)=,所以sinα=因?yàn)?<α<,所以cosα=因?yàn)閏os(α-β)=且0<β<α<,所以0<α-β<,所以sin(α-β)=所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)因?yàn)?<β<,所以β=.【方法技巧】已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍,根據(jù)條件確定所求角的范圍.(2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.提醒:在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí),易忽視角的范圍,而得到錯(cuò)誤答案.【變式訓(xùn)練】若cos(α-β)=,cos2α=,且α,β均為銳角,α<β,則α+β的值為(

)【解析】選C.因?yàn)?<α<,0<β<,α<β,所以-<α-β<0.又cos(α-β)=,所以sin(α-β)=又因?yàn)?<2α<π,cos2α=,所以sin2α=所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)又0<α+β<π,故α+β=【補(bǔ)償訓(xùn)練】a=(cosα,sinβ),b=(cosβ,sinα),0<β<α<,且a·b=,則α-β=________.【解析】a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=,又0<β<α<,所以0<α-β<,故α-β=.答案:

【核心素養(yǎng)培優(yōu)區(qū)】

【易錯(cuò)案例】給值求角問題【典例】已知α,β均為銳角,且則α-β等于()C【失誤案例】因?yàn)棣?β均為銳角,所以sinα=,sinβ=.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,因?yàn)?<α<,0<β<,所以-<α-β<,所以α-β=±.【錯(cuò)解分析】分析解題過程,請(qǐng)找出錯(cuò)誤之處.提示:本題出錯(cuò)的根本原因是確定α-β