三次函數(shù)圖像與性質【10類題型】（學生版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學三次函數(shù)圖像與性質近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2024年甲卷（文），第16題,5分考查頻率：三次函數(shù)圖像與性質的考查在近五年高考中保持一定頻率，尤其在新課標全國卷中較為常見?？键c內容：主要考查三次函數(shù)的圖像特征（如中心對稱性、開口方向）、單調性（通過導數(shù)分析）、極值點（一階導數(shù)為零的點）以及圖像與性質的綜合應用。題型分布：常以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，涉及三次函數(shù)的零點、最值、極值、單調區(qū)間等具體問題。難度變化：隨著高考改革的深入，對三次函數(shù)圖像與性質的考查更加注重學生的綜合分析能力和解題技巧，難度可能略有提升。備考建議：考生應熟練掌握三次函數(shù)的基本性質，靈活運用導數(shù)工具進行分析，同時注重題目類型的多樣性和綜合應用能力的培養(yǎng)。（1）理解三次函數(shù)的定義域、值域和圖像特點。（2）掌握三次函數(shù)的導數(shù)與單調性關系。（3）判斷三次函數(shù)的極值點及其個數(shù)。（4）探究三次函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)。（5）熟練運用三次函數(shù)的對稱中心性質。2024年新高考I卷，第10題,6分2024年新高考II卷，第11題,6分2022年新高考I卷，第10題,5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】求三次函數(shù)的解析式【題型2】三次函數(shù)的單調性問題【題型3】三次函數(shù)的圖像【題型4】三次函數(shù)的最值、極值問題【題型5】三次函數(shù)的零點問題【題型6】三次函數(shù)圖像，單調性，極值，最值綜合問題【題型7】三次函數(shù)對稱中心【題型8】三次函數(shù)的切線問題【題型9】三次函數(shù)根與系數(shù)的關系模塊二模塊二核心題型·舉一反三(講與練)【題型1】求三次函數(shù)的解析式（1）一般式：（a≠0）（2）交點式：（a≠0）若三次函數(shù)滿足，則（

）A．38 B．171 C．460 D．965【題型2】三次函數(shù)的單調性問題三次函數(shù)是高中數(shù)學中的一個重要內容，其考點廣泛且深入，主要涉及函數(shù)的性質、圖像、最值、零點以及與其他函數(shù)的綜合應用等方面。以下是對三次函數(shù)常見考點的詳細分析：1.三次函數(shù)的定義與形式定義：形如

f(x)=ax3+bx2+cx+d（其中

a≠=0）的函數(shù)稱為三次函數(shù)。形式：注意系數(shù)

a,b,c,d

的作用，特別是

a

的正負決定了函數(shù)的開口方向（a>0

開口向上，a<0

開口向下）。2.函數(shù)的單調性導數(shù)應用：利用導數(shù)

f′(x)=3ax2+2bx+c

判斷函數(shù)的單調性。解不等式

f′(x)>0

和

f′(x)<0

得到函數(shù)的單調遞增和遞減區(qū)間。極值點：導數(shù)等于0的點（f′(x)=0）可能是極值點，需結合單調性判斷是否為極大值或極小值點。2024·廣東茂名市·一模（多選）若是區(qū)間上的單調函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（）本*號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感A. B. C.3 D.4【鞏固練習】三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型3】三次函數(shù)的圖像圖像三次函數(shù)的定義域和值域均為R。對于值域，可以借助極限的思想。根據(jù)函數(shù)的解析式可知，影響其值域范圍的主要是“ax3”這一項，因此可得：當a＞0時，x趨近于+∞，則f(x)趨近于+∞；x趨近于-∞，則f(x)趨近于-∞。當a＜0時，x趨近于+∞，則f(x)趨近于-∞；x趨近于-∞，則f(x)趨近于+∞。又因為f(x)是連續(xù)的函數(shù)，且x∈R，所以f(x)的值域為R。由于三次函數(shù)的值域為R，則它的函數(shù)圖像與x軸至少有一個交點，換句話說三次方程至少有一個根。設，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．（2024·全國一卷真題）（多選）設函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【鞏固練習1】（多選題）（2024·湖北武漢·模擬預測）設函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．存在實數(shù)使得 B．方程有唯一正實數(shù)解C．方程有唯一負實數(shù)解 D．有負實數(shù)解【鞏固練習2】（2024·全國甲卷(文)真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．【題型4】三次函數(shù)的最值、極值問題三次函數(shù)的極值與最值極值：通過導數(shù)等于0找到可能的極值點，并判斷其類型（極大值或極小值）。最值：在閉區(qū)間上，最值可能出現(xiàn)在端點或極值點處。需比較這些點的函數(shù)值來確定全局最值。已知三次函數(shù)無極值，且滿足，則.已知三次函數(shù)f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定義域R上無極值點，則m的取值范圍是（

）A．m＜2或m＞4 B．或C． D．2＜m＜4【鞏固練習1】已知三次函數(shù)，其導函數(shù)為，存在，滿足．記的極大值為，則的取值范圍是．【鞏固練習2】（2024·全國·模擬預測）已知三次函數(shù)的極小值點為，極大值點為，則等于（

）A． B．C． D．【題型5】三次函數(shù)的零點問題三次方程的實根個數(shù)設三次函數(shù)其導函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設的兩根為、，結合函數(shù)草圖易得：本號資料全部來源于微信公*眾號：數(shù)學第六感圖像(1)若，則恰有一個實根；(2)若,且，則恰有一個實根；(3)若,且，則有兩個不相等的實根；(4)若,且，則有三個不相等的實根.說明:(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;(5)有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且;(6)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且.（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．若要存在3個零點，則，即，解得已知三次函數(shù)有三個零點，，，且在點處切線的斜率為，則.已知，，，若三次函數(shù)有三個零點，，，且滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習1】已知三次函數(shù)的零點從小到大依次為m，0，2，其圖象在處的切線l經過點，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習2】（2024·全國·一模）已知三次函數(shù)，，且有三個零點.若三次函數(shù)和均為上的單調函數(shù)，且這兩個函數(shù)的導函數(shù)均有零點，則零點的個數(shù)為（

）本*號資料全部來源于微*信公眾號：數(shù)學第六感A．個 B．個 C．個 D．個或個【鞏固練習3】已知，為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若有9個零點，則的取值范圍是.【鞏固練習4】已知三次函數(shù)有兩個零點，若方程有四個實數(shù)根，則實數(shù)a的范圍為（

）本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學第六感A． B． C． D．【題型6】三次函數(shù)圖像，單調性，極值，最值綜合問題（24-25高三上·云南·階段練習）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點B．點是曲線的對稱中心C．有三個零點D．直線是曲線的一條切線（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)下列結論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調遞減D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形【鞏固練習1】函數(shù)的圖像如圖所示，則的取值范圍是．【鞏固練習2】（23-24高三·廣東清遠·期末）（多選）已知函數(shù)，則下列選項中正確的是（

）A．的值域為B．在處取得極小值為2C．在上是增函數(shù)D．若方程有2個不同的根，則【鞏固練習3】2024·金華聯(lián)考模擬（多選題）已知函數(shù)，則（ ）A．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1C．函數(shù)在點處的切線方程為D．若關于的方程在區(qū)間上有兩解，則【題型7】三次函數(shù)對稱中心二階導數(shù)的零點即為對稱中心橫坐標，即則為函數(shù)的對稱中心設三次函數(shù)，則對稱中心是；三次函數(shù)f(x)的對稱中心為，則已知三次函數(shù)的極小值點為，極大值點為，則等于（

）A． B．C． D．人們在研究學習過程中，發(fā)現(xiàn)：三次整式函數(shù)都有對稱中心，其對稱中心為（其中）.已知函數(shù).若，則（

）A． B． C． D．已知一元三次函數(shù)對稱中心的橫坐標為其二階導函數(shù)的零點．若，則（

）A．0 B．4 C． D．（2024·全國2卷·高考真題）（多選）設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學經探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個零點C．點是的對稱中心D．【鞏固練習1】已知三次函數(shù)，若，則.【鞏固練習2】已知所有的三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，，若函數(shù)，則.【鞏固練習3】（2024·四川成都·模擬預測）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點B．有一個零點C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【鞏固練習4】（多選題）（2024·江蘇·模擬預測）已知三次函數(shù)，若函數(shù)的圖象關于點（1，0）對稱，且，則（

）A． B．有3個零點C．的對稱中心是 D．【題型8】三次函數(shù)的切線問題一般地，過三次函數(shù)圖象的對稱中心作切線，則坐標平面被切線和函數(shù)的圖象分割為四個區(qū)域，有以下結論：（1）過區(qū)域內的點作的切線，有且僅有3條；（2）過區(qū)域Ⅱ、Ⅲ內的點以及對稱中心作的切線，有且僅有1條；（3）過切線或函數(shù)圖象（除去對稱中心）上的點作的切線，有且僅有2條.已知函數(shù)在點處的切線方程為．若經過點可以作出曲線的三條切線，則實數(shù)的取值范圍為．（多選題）（2024·山西晉中·二模）對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”．某同學經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若函數(shù)，則（

）A．一定有兩個極值點B．函數(shù)在R上單調遞增C．過點可以作曲線的2條切線D．當時，【鞏固練習1】（2022·新高考一卷真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【鞏固練習2】（多選題）（山東省棗莊市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．當時，若有三個零點，則b的取值范圍為B．若滿足，則C．若過點可作出曲線的三條切線，則D．若存在極值點，且，其中，則本號資料全部來源于微*信公眾號：數(shù)學第*六感【鞏固練習3】（多選題）下列關于三次函數(shù)敘述正確的是（

）A．函數(shù)的圖象一定是中心對稱圖形B．函數(shù)可能只有一個極值點C．當時，在處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個交點D．當時，則過點的切線可能有一條或者三條【題型9】三次函數(shù)根與系數(shù)的關系三次函數(shù)根與系數(shù)關系：對于，若有3個交點，則方程可以寫為， 展開后得

比對系數(shù)，則有：，，，2024屆·廣東省“六?！备呷蠈W期9月聯(lián)合摸底（多選）已知三次函數(shù)有