三次函數(shù)圖像與性質(zhì)【10類題型】（老師版）

更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)三次函數(shù)圖像與性質(zhì)近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2024年甲卷（文），第16題,5分考查頻率：三次函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查在近五年高考中保持一定頻率，尤其在新課標(biāo)全國卷中較為常見?？键c(diǎn)內(nèi)容：主要考查三次函數(shù)的圖像特征（如中心對(duì)稱性、開口方向）、單調(diào)性（通過導(dǎo)數(shù)分析）、極值點(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）以及圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用。題型分布：常以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，涉及三次函數(shù)的零點(diǎn)、最值、極值、單調(diào)區(qū)間等具體問題。難度變化：隨著高考改革的深入，對(duì)三次函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查更加注重學(xué)生的綜合分析能力和解題技巧，難度可能略有提升。備考建議：考生應(yīng)熟練掌握三次函數(shù)的基本性質(zhì)，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行分析，同時(shí)注重題目類型的多樣性和綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)。（1）理解三次函數(shù)的定義域、值域和圖像特點(diǎn)。（2）掌握三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系。（3）判斷三次函數(shù)的極值點(diǎn)及其個(gè)數(shù)。（4）探究三次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。（5）熟練運(yùn)用三次函數(shù)的對(duì)稱中心性質(zhì)。本號(hào)*資料全部來源于微信公眾號(hào)：*數(shù)學(xué)第六感2024年新高考I卷，第10題,6分2024年新高考II卷，第11題,6分2022年新高考I卷，第10題,5分模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】求三次函數(shù)的解析式【題型2】三次函數(shù)的單調(diào)性問題【題型3】三次函數(shù)的圖像【題型4】三次函數(shù)的最值、極值問題【題型5】三次函數(shù)的零點(diǎn)問題【題型6】三次函數(shù)圖像，單調(diào)性，極值，最值綜合問題【題型7】三次函數(shù)對(duì)稱中心【題型8】三次函數(shù)的切線問題【題型9】三次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系模塊二模塊二核心題型·舉一反三(講與練)【題型1】求三次函數(shù)的解析式（1）一般式：（a≠0）（2）交點(diǎn)式：（a≠0）若三次函數(shù)滿足，則（

）A．38 B．171 C．460 D．965本號(hào)資料全部來#源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六*感【解析】待定系數(shù)法，求函數(shù)解析式設(shè)，則，由題意可得：，解得，則，所以.【題型2】三次函數(shù)的單調(diào)性問題三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，其考點(diǎn)廣泛且深入，主要涉及函數(shù)的性質(zhì)、圖像、最值、零點(diǎn)以及與其他函數(shù)的綜合應(yīng)用等方面。以下是對(duì)三次函數(shù)常見考點(diǎn)的詳細(xì)分析：本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第#六感1.三次函數(shù)的定義與形式定義：形如

f(x)=ax3+bx2+cx+d（其中

a≠=0）的函數(shù)稱為三次函數(shù)。形式：注意系數(shù)

a,b,c,d

的作用，特別是

a

的正負(fù)決定了函數(shù)的開口方向（a>0

開口向上，a<0

開口向下）。2.函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)

f′(x)=3ax2+2bx+c

判斷函數(shù)的單調(diào)性。解不等式

f′(x)>0

和

f′(x)<0

得到函數(shù)的單調(diào)遞增和遞減區(qū)間。極值點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)（f′(x)=0）可能是極值點(diǎn)，需結(jié)合單調(diào)性判斷是否為極大值或極小值點(diǎn)。2024·廣東茂名市·一模（多選）若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C.3 D.4【答案】CD【詳解】由題意，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或或，解得或或，即或.【鞏固練習(xí)】三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，則在上恒成立，即恒成立，當(dāng)，即時(shí)，恒成立；當(dāng)，即時(shí)，，則，即，因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不是三次函數(shù)，不滿足題意，所以.【題型3】三次函數(shù)的圖像圖像三次函數(shù)的定義域和值域均為R。對(duì)于值域，可以借助極限的思想。根據(jù)函數(shù)的解析式可知，影響其值域范圍的主要是“ax3”這一項(xiàng)，因此可得：當(dāng)a＞0時(shí)，x趨近于+∞，則f(x)趨近于+∞；x趨近于-∞，則f(x)趨近于-∞。當(dāng)a＜0時(shí)，x趨近于+∞，則f(x)趨近于-∞；x趨近于-∞，則f(x)趨近于+∞。又因?yàn)閒(x)是連續(xù)的函數(shù)，且x∈R，所以f(x)的值域?yàn)镽。由于三次函數(shù)的值域?yàn)镽，則它的函數(shù)圖像與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，換句話說三次方程至少有一個(gè)根。設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【解析】數(shù)軸穿根法，根據(jù)解析式畫出圖象若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，a為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.（1）當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.（2當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.（2024·全國一卷真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）本號(hào)#資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，所以，正確【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)使得 B．方程有唯一正實(shí)數(shù)解C．方程有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解 D．有負(fù)實(shí)數(shù)解【答案】ABC【分析】求導(dǎo)，分析函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.本號(hào)資料全部來源于*微信公眾號(hào)*：數(shù)學(xué)第六感【詳解】因?yàn)椋?由，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且，，可知方程一定有?shí)數(shù)根，故A正確；由或.所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第#六感且為極大值，為極小值.做出函數(shù)草圖如下：

觀察圖象可知：方程有唯一正實(shí)數(shù)解，有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解，故BC正確；又，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，所以無負(fù)實(shí)數(shù)解.故D錯(cuò)誤.故選：ABC【鞏固練習(xí)2】（2024·全國甲卷(文)真題）曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，因?yàn)榍€與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.本號(hào)資料全部來源*于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【題型4】三次函數(shù)的最值、極值問題三次函數(shù)的極值與最值極值：通過導(dǎo)數(shù)等于0找到可能的極值點(diǎn)，并判斷其類型（極大值或極小值）。最值：在閉區(qū)間上，最值可能出現(xiàn)在端點(diǎn)或極值點(diǎn)處。需比較這些點(diǎn)的函數(shù)值來確定全局最值。已知三次函數(shù)無極值，且滿足，則.【答案】【解析】由題設(shè)，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，故，可得，所以.已知三次函數(shù)f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定義域R上無極值點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A．m＜2或m＞4 B．或C． D．2＜m＜4【答案】C【詳解】，由題意得導(dǎo)函數(shù)無變號(hào)零點(diǎn)，所以恒成立，，解得【鞏固練習(xí)1】已知三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，存在，滿足．記的極大值為，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)椋允堑牧泓c(diǎn)也是極值點(diǎn)，也是的零點(diǎn)，不妨設(shè)，故，因?yàn)?，所以，故?dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，可得的極大值，因?yàn)椋裕眷柟叹毩?xí)2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知三次函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，得，關(guān)于x的一元二次方程的兩根為b，2b，又極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，所以，即，由韋達(dá)定理得到，所以，，得到．【題型5】三次函數(shù)的零點(diǎn)問題三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)*學(xué)第六感圖像(1)若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2)若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3)若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；本號(hào)資料全部來源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)第六感(4)若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.說明:(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號(hào)），所以（或，且）;(5)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且;(6)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以且.（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得已知三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且在點(diǎn)處切線的斜率為，則.【答案】0【解析】令，其中，，，互不相等.則..已知，，，若三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，即，得，代入得，∵，，解得，設(shè)三次函數(shù)的零點(diǎn)式為，比較系數(shù)得，，故【鞏固練習(xí)1】已知三次函數(shù)的零點(diǎn)從小到大依次為m，0，2，其圖象在處的切線l經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可設(shè)，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，代入點(diǎn)得，且，得，解得.【鞏固練習(xí)2】（2024·全國·一模）已知三次函數(shù)，，且有三個(gè)零點(diǎn).若三次函數(shù)和均為上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn)，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)或個(gè)【答案】A【解析】由可得，因?yàn)槿魏瘮?shù)和均為上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn)，所以這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為完全平方式，設(shè)，，，有三個(gè)零點(diǎn)，不單調(diào)，即必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，且與同號(hào)，不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故單調(diào)，由于當(dāng)趨向于正無窮時(shí)，趨向于正無窮的增長速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于和趨向于正無窮的增長速率；當(dāng)趨向于負(fù)無窮時(shí)，趨向于負(fù)無窮的增長速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于趨向于正無窮和趨向于負(fù)無窮的增長速率；故當(dāng)趨向于正無窮和負(fù)無窮時(shí)，三次函數(shù)兩側(cè)都趨向于無窮，且異號(hào)，所以三次函數(shù)必有零點(diǎn)，故有唯一零點(diǎn)【鞏固練習(xí)3】已知，為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若有9個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題設(shè)，其圖象如下，當(dāng)，與只有一個(gè)交點(diǎn)且；當(dāng)，與有兩個(gè)交點(diǎn)且或；當(dāng)，與有三個(gè)交點(diǎn)且；當(dāng)，與有兩個(gè)交點(diǎn)且；由題圖，要使，有9個(gè)零點(diǎn)，則，，且有，根據(jù)解析式：，綜上，，可得，故.【鞏固練習(xí)4】已知三次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】一定有兩零點(diǎn)與，所以只需或共有四個(gè)根即可．結(jié)合有兩個(gè)零點(diǎn)，所以必有或．然后分兩種情況結(jié)合函數(shù)圖象討論即可.由，則得或三次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，所以只需或共有四個(gè)根即可，所以或.又方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則或共有四個(gè)根.在,上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖①)則，即，解得.當(dāng)，得，要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖②)則，即，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根.故選：C【題型6】三次函數(shù)圖像，單調(diào)性，極值，最值綜合問題（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心C．有三個(gè)零點(diǎn)D．直線是曲線的一條切線【答案】ABD【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義可判斷A；由為奇函數(shù)，根據(jù)平移變換可判斷B；由的單調(diào)性和最值可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】由題意，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)兩個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故B正確；因?yàn)?，所以，函?shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D正確，故選：ABD.（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.【詳解】A：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，不是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，使得，故B正確；C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以若為的極小值點(diǎn)時(shí)，在上先遞增再遞減，故C錯(cuò)誤；D：，而，則，所以點(diǎn)為的對(duì)稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，故D正確.【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的圖像如圖所示，則的取值范圍是．【答案】【分析】由圖可知，，列式求解可得a、b、c的關(guān)系，再結(jié)合可得.【詳解】，由題圖可知，，，，則，…①，…②，②-①得，即．①+②得，則，所以，則．則，所以的取值范圍為：故答案為：．【鞏固練習(xí)2】（23-24高三·廣東清遠(yuǎn)·期末）（多選）已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．的值域?yàn)锽．在處取得極小值為2C．在上是增函數(shù)D．若方程有2個(gè)不同的根，則【答案】AB【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到函數(shù)的單調(diào)性以及值域，即可判斷ABC，再結(jié)合函數(shù)圖像即可判斷D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，令，即，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；則時(shí)，函數(shù)有極小值即最小值，即，故B正確；且，，則函數(shù)值域?yàn)?，故A正確；由函數(shù)的單調(diào)性以及值域可得函數(shù)的大致圖像，如圖所示，結(jié)合圖像可知，若方程有2個(gè)不同的根，則，故D錯(cuò)誤【鞏固練習(xí)3】2024·金華聯(lián)考模擬（多選題）已知函數(shù)，則（ ）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1C．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C選項(xiàng)；畫出函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以，令，即；令，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，故C正確；因?yàn)?，函?shù)大致圖象如圖，要使方程在區(qū)間上有兩解，則，故D錯(cuò)誤.【題型7】三次函數(shù)對(duì)稱中心二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)即為對(duì)稱中心橫坐標(biāo)，即則為函數(shù)的對(duì)稱中心設(shè)三次函數(shù)，則對(duì)稱中心是；三次函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為，則已知三次函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，得，關(guān)于x的一元二次方程的兩根為b，2b，又極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，所以，即，由韋達(dá)定理得到，所以，，得到．人們?cè)谘芯繉W(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)：三次整式函數(shù)都有對(duì)稱中心，其對(duì)稱中心為（其中）.已知函數(shù).若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得,,,令，解得：，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為：，又，所以.已知一元三次函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為其二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)．若，則（

）A．0 B．4 C． D．【答案】B【解析】二級(jí)結(jié)論：三次函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是其二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。由題，，故二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為，即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為1，設(shè)對(duì)稱中心為，則，可解得，由，故（2024·全國2卷·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）**本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，由題意也是對(duì)稱中心，故，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱中心D．【答案】ACD【分析】求得，得出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，可判定A正確；根據(jù)極大值為，極小值，進(jìn)而得到函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，可判定B錯(cuò)誤；求得，令，求得，得出，可判定C正確；根據(jù)對(duì)稱性，得到，結(jié)合倒序相加法，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，本號(hào)資料全部來源于#微信公眾*號(hào)：數(shù)學(xué)第六感當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，所以A正確；又由極小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；由，可得，令，可得，又由，所以點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心，所以C正確；因?yàn)槭呛瘮?shù)的對(duì)稱中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正確.【鞏固練習(xí)1】已知三次函數(shù)，若，則.【答案】【詳解】由題意，，，令解得，又，故的對(duì)稱中心為.故當(dāng)時(shí)，.【鞏固練習(xí)2】已知所有的三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，，若函數(shù)，則.【答案】8090【解析】，則，即函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，則，故.【鞏固練習(xí)3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有一個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)y與零點(diǎn)存在性定理求解三次函數(shù)的極值點(diǎn)，零點(diǎn)，對(duì)稱中心，切線問題.本號(hào)資料#全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【詳解】選項(xiàng)A：則恒成立，故單調(diào)遞增，故不存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B:又單調(diào)遞增，故有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C：故點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D：令，即，令，則令，則當(dāng)則當(dāng)切線斜率為切點(diǎn)為則切線方程為：與不相等，當(dāng)時(shí)同樣切線方程不為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【鞏固練習(xí)4】（多選題）（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知三次函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，且，則（

）A． B．有3個(gè)零點(diǎn)C．的對(duì)稱中心是 D．【答案】ABD【解析】由題設(shè)，，且，所以，整理得，故，可得，故，又，即，A正確；有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；由，則，所以關(guān)于對(duì)稱，C錯(cuò)誤；，D正確.【題型8】三次函數(shù)的切線問題一般地，過三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心作切線，則坐標(biāo)平面被切線和函數(shù)的圖象分割為四個(gè)區(qū)域，有以下結(jié)論：（1）過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)作的切線，有且僅有3條；（2）過區(qū)域Ⅱ、Ⅲ內(nèi)的點(diǎn)以及對(duì)稱中心作的切線，有且僅有1條；（3）過切線或函數(shù)圖象（除去對(duì)稱中心）上的點(diǎn)作的切線，有且僅有2條.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．若經(jīng)過點(diǎn)可以作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】∵，∴，根據(jù)題意得，解得，∴函數(shù)的解析式為，設(shè)切點(diǎn)為，則，，故切線的斜率為，由題意得，即，∵過點(diǎn)可作曲線的三條切線，∴方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．由于，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為．∵函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，∴，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．（多選題）（2024·山西晉中·二模）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．若函數(shù)，則（

）A．一定有兩個(gè)極值點(diǎn)B．函數(shù)在R上單調(diào)遞增C．過點(diǎn)可以作曲線的2條切線D．當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】由題意知，，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，代入點(diǎn)得，即，解得或，所以切線方程為或，C正確；易知，令，則．當(dāng)時(shí)，，，所以點(diǎn)是的對(duì)稱中心，所以有，即．令，又，所以，所以，D正確．【鞏固練習(xí)1】（2022·新高考一卷真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）#本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.【鞏固練習(xí)2】（多選題）（山東省棗莊市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍為B．若滿足，則C．若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，有三個(gè)零點(diǎn)，，解得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，滿足，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱可知的對(duì)稱點(diǎn)為，將其代入，得，*本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感解得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率化簡，得由條件可知該方程有三個(gè)實(shí)根，有三個(gè)實(shí)根，記，令，解得或，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)檫^點(diǎn)可作出曲線的三條切線，所以，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，，，當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；存在極值點(diǎn)，由得令，，于是，所以，化簡得：，，，于是，.故選項(xiàng)D正確【鞏固練習(xí)3】（多選題）下列關(guān)于三次函數(shù)敘述正確的是（

）A．函數(shù)的圖象一定是中心對(duì)稱圖形B．函數(shù)可能只有一個(gè)極值點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，在處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，則過點(diǎn)的切線可能有一條或者三條【答案】AC【解析】對(duì)于A，，故為定值，故函數(shù)的圖象一定是中心對(duì)稱圖形.對(duì)于B，，若有極值點(diǎn)，則有變號(hào)零點(diǎn)，而的圖像為拋物線，故，故有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，在處的切線方程為，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，故，不妨設(shè)，若，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，而時(shí)，，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故的圖像與切線有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)，同理可得當(dāng)時(shí)，故的圖象與切線有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故C正確.對(duì)于D，過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，由（2）的切線方程可得，故，整理得到：，故或，下面考慮的解，整理得到：，，而，故方程有且只有一個(gè)異于的實(shí)數(shù)根，過點(diǎn)的切線有且只有兩條，故D錯(cuò)誤.【題型9】三次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系三次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系：對(duì)于，若有3個(gè)交點(diǎn)，則方程可以寫為， 展開后得

比對(duì)系數(shù)，則有：，，，2024屆·廣東省“六?！备呷蠈W(xué)期9月聯(lián)合摸底（多選）已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，若函數(shù)也有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列等式或不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對(duì)于A，由題意可得有兩個(gè)不同的實(shí)根，