第19講、原函數(shù)與導函數(shù)混合還原（教師版）

[在此處鍵入][在此處鍵入]第19講原函數(shù)與導函數(shù)混合還原知識梳理1、對于，構造，2、對于，構造3、對于，構造，4、對于，構造5、對于，構造，6、對于，構造7、對于，構造，8、對于，構造9、對于，構造，10、對于，構造11、對于，構造，12、對于，構造13、對于，構造14、對于，構造15、；；；16、；．必考題型全歸納題型一：利用構造型例1．（安徽省馬鞍山第二中學2024學年高三上學期10月段考數(shù)學試題）已知的定義域為，為的導函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，構造函數(shù)，，則，所以函數(shù)的圖象在上單調遞減.又因為，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故選：B.例2．（河南省溫縣第一高級中學2024學年高三上學期12月月考數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為，且滿足（是的導函數(shù)），則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，即在上遞增，又，則等價于，即，所以，解得，原不等式解集為.故選：C例3．（黑龍江省大慶實驗中學2024屆高三下學期5月考前得分訓練（三）數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為，為函數(shù)的導函數(shù)，若，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，，即，所以，即，又，所以，故，，可得，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減，所以的極大值為.簡圖如下：所以，，.故選：D.變式1．（2024屆高三第七次百校大聯(lián)考數(shù)學試題（新高考））已知定義在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，所以當時，，令，則當時，，故在上單調遞增，又因為在上為偶函數(shù)，所以在上為奇函數(shù)，故在上單調遞增，因為，所以，當時，可變形為，即，因為在上單調遞增，所以，解得，故；當時，可變形為，即，因為在上單調遞增，所以，解得，故無解.綜上不等式的解集為.故選：C.變式2．（四川省綿陽市鹽亭中學2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，所以在單調遞減，不等式可以轉化為，即，所以.故選：D.變式3．（河南省豫北重點高中2024學年高三下學期4月份模擬考試文科數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)是，且．若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，且，因為，由可得，即，解得.故選：B.變式4．（廣西15所名校大聯(lián)考2024屆高三高考精準備考原創(chuàng)模擬卷（一）數(shù)學試題）已知是定義在R上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則在R上為奇函數(shù)，且.又，當時，，所以在上為增函數(shù)，因此在R上為增函數(shù).又，當時，不等式化為，即，所以；當時，不等式化為，即，解得，故無解，故不等式的解集為.故選：C【解題方法總結】1、對于，構造，2、對于，構造題型二：利用構造型例4．（河南省信陽市息縣第一高級中學2024學年高三上學期9月月考數(shù)學試題）已知定義在的函數(shù)滿足：，其中為的導函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，因為，所以在上，所以在上單調遞增，由已知，的定義域為，所以，所以等價于，即，所以，解得，所以原不等式的解集是.故選：A.例5．已知定義域為{x|x≠0}的偶函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f′(x)，對任意正實數(shù)x滿足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝，則不等式g(x)<g(1)的解集是（

）A．(－∞，1) B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】因為f(x)是定義域為{x|x≠0}的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x).對任意正實數(shù)x滿足，所以,因為，所以g(x)也是偶函數(shù).當x∈(0，＋∞)時，,所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，在(－∞，0)單調遞減，若g(x)<g(1)，則|x|<1(x≠0)，解得0<x<1或－1<x<0，故g(x)<g(1)的解集是(－1,0)∪(0,1),故選：D例6．（江蘇省蘇州市2024屆高三下學期3月模擬數(shù)學試題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當時，有成立，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】成立設，則，即時是增函數(shù)，當時，，此時；時，，此時．又是奇函數(shù)，所以時，；時則不等式等價為或，可得或，則不等式的解集是，故選：．變式5．（西藏昌都市第四高級中學2024屆高三一模數(shù)學試題）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，當時，，當時，，在上單調遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調遞增；又由不等式得，當，即時，不等式可化為，即，由在上單調遞減得，解得，故；當，即時，不等式可化為，即，由在上單調遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：．故選：D．【解題方法總結】1、對于，構造，2、對于，構造題型三：利用構造型例7．（河南省2024學年高三上學期第五次聯(lián)考文科數(shù)學試題）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，∴在R上單調遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.例8．（河南省2024學年高三上學期第五次聯(lián)考數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設，則，所以函數(shù)在上單調遞增，又，所以．又等價于，即，所以，即所求不等式的解集為．故選：B例9．（廣東省佛山市順德區(qū)北滘鎮(zhèn)莘村中學2024屆高三模擬仿真數(shù)學試題）已知是函數(shù)的導函數(shù)，對于任意的都有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：構造特殊函數(shù).令，則滿足題目條件，把代入得解得，故選：.法二：構造輔助函數(shù).令，則，所以在上單調遞增，又因為，所以，所以，故選：D.變式6．（寧夏吳忠市2024屆高三一輪聯(lián)考數(shù)學試題）函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式：的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】構造函數(shù)，則，，則函數(shù)在上單調遞增，由可得，可得，因此，不等式的解集為.故選：A.【解題方法總結】1、對于，構造，2、對于，構造題型四：用構造型例10．（安徽省六安市第一中學2024學年高二下學期期末數(shù)學試題）定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，滿足：，，且當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則可得所以是上的奇函數(shù)，，當時，，所以，是上單調遞增，所以是上單調遞增，因為，由可得即，由是上單調遞增，可得解得：，所以不等式的解集為，故選：A.例11．（廣東省汕頭市2024屆高三三模數(shù)學試題）已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，所以不等式等價轉化為不等式，即構造函數(shù)，則，由題意，，所以為R上的增函數(shù)，又，所以，所以，解得，即，所以，故選：D.例12．（陜西省安康市2024屆高三下學期4月三模數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為，且對任意，恒成立，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，該函數(shù)的定義域為，則，所以在上單調遞增．由可得，即，又在上單調遞增，所以，解得，所以原不等式的解集是，故選：D．變式7．（新疆克拉瑪依市2024屆高三三模數(shù)學試題）定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，，對于任意的實數(shù)均有成立，且的圖像關于點（，1）對稱，則不等式的解集為（

）A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1）【答案】A【解析】因為的圖像關于點（，1）對稱，所以是奇函數(shù)，因為對任意的實數(shù)均有成立，所以對任意的實數(shù)均有成立，令，則，所以在上遞增，因為，又，所以，故選：A變式8．（浙江省紹興市新昌中學2024屆高三下學期5月適應性考試數(shù)學試題）若定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可設，因為，則，所以函數(shù)在R上單調遞增，又，不等式可轉化為，∴，所以，解得，所以不等式的解集為．故選：A.變式9．（吉林省長春市吉大附中實驗學校2024學年高三上學期第四次摸底考試數(shù)學試題）設是函數(shù)的導函數(shù)，且，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，因為，所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，不等式即不等式，又，，所以不等式即為，即，解得，所以不等式的解集為.故選：C.變式10．（四川省綿陽市南山中學2024學年高三二診熱身考試數(shù)學試題）已知定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以的圖像關于直線對稱，所以，設，則，因為，所以,所以在上為減函數(shù)，又，因為，所以，所以.故選：.變式11．（山東省煙臺市2024屆高三二模數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為R，其導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由得，即，可設，當時，因得，所以，可化為，即，設，因，故為偶函數(shù)，當時，因，，故，所以在區(qū)間上單調遞增，因，所以當時的解集為，又因為偶函數(shù)，故的解集為.故選：C變式12．（江西省九江十校2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題）設函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，且滿足，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，即，，在上單調遞減，又，不等式，即，，原不等式的解集為.故選：D【解題方法總結】1、對于，構造，2、對于，構造題型五：利用、與構造型例13．（江西省2024屆高三教學質量監(jiān)測數(shù)學試題）定義在區(qū)間上的可導函數(shù)關于軸對稱，當時，恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，化簡得，構造函數(shù)，即當時，單調遞增，所以由，則，即.因為為偶函數(shù)且在上單調遞增，所以，解得.故選：C.例14．（天津市南開中學2024屆高三下學期統(tǒng)練二數(shù)學試題）已知可導函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，則則函數(shù)在上單調遞增，又可導函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則是上的偶函數(shù)，且在單調遞減，由，可得，則，則時，不等式可化為又由函數(shù)在上單調遞增，且，，則有，解之得故選：D例15．函數(shù)對任意的滿足(其中是函數(shù)的導函數(shù))，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，又由已知可得，，所以，所以在上單調遞增因為，所以，故，D正確，故選：D變式13．已知可導函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，則則函數(shù)在上單調遞增，又可導函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則是上的偶函數(shù)，且在單調遞減，由，可得，則，則時，不等式可化為又由函數(shù)在上單調遞增，且，，則有，解之得故選：D【解題方法總結】1、對于，構造，2、對于，構造3、對于正切型，可以通分（或者去分母）構造正弦或者余弦積商型題型六：利用與構造型例16．（重慶市九龍坡區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試題）已知偶函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，當時，有成立，則關于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】構造函數(shù)，，所以函數(shù)在單調遞增，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)也為偶函數(shù)，且函數(shù)在單調遞增，所以函數(shù)在單調遞減，因為，所以，關于x的不等式可變?yōu)?，也即，所以，則解得或，故選:C.例17．已知偶函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，當時，有成立，則關于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，設，則，當時，因為，則有，所以在上單調遞減，又因為在上是偶函數(shù)，可得，所以是偶函數(shù)，由，可得，即，即又由為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域為，則有，解得或，即不等式的解集為，故選：B.例18．設函數(shù)在上存在導數(shù)，對任意的，有，且在上有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，∵，即，即，故是奇函數(shù)，由于函數(shù)在上存在導函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).∵在上有，∴，故在單調遞增，又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調遞增，∵，∴，即，∴，故，故選：B．【解題方法總結】1、對于，構造，2、對于，構造3、對于正切型，可以通分（或者去分母）構造正弦或者余弦積商型題型七：復雜型：與等構造型例19．（廣西柳州市2024屆高三11月第一次模擬考試數(shù)學試題）已知可導函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的，都有．且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，構造，則，且，故在上單調遞減；又為上的奇函數(shù)，故可得，即，則.則不等式等價于，又因為是上的單調減函數(shù)，故解得.故選：A.例20．（河南省多校聯(lián)盟2024屆高考終極押題（C卷）數(shù)學試題）已知函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設函數(shù)，所以，因為，所以，即，所以在上單調遞減，因為，所以，因為，整理得，所以，因為在上單調遞減，所以.故選：C.例21．（2024屆高三沖刺卷（一）全國卷文科數(shù)學試題）已知函數(shù)與定義域都為，滿足，且有，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得.而，∴，∴在上單調遞減，又，則，所以，則，故不等式的解集為．故選：D．變式14．（陜西省渭南市華州區(qū)咸林中學2024學年高三上學期開學摸底考試數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)滿足為的導函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，所以，因為，所以，化簡得，所以是上的奇函數(shù)；，因為當時，，所以當時，，從而在上單調遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調遞增；考慮到，由，得，即，由在上單調遞增，得解得，所以不等式的解集為，故選：B.變式15．（黑龍江省哈爾濱市第三中學2024學年高三上學期期中考試數(shù)學試題）設函數(shù)在上的導函數(shù)為，若，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，可得，因為，可得，所以，所以函數(shù)為上的單調遞增函數(shù)，由不等式，可得，所以，即因為，令，可得，又因為，可得，所以所以不等式等價于，由函數(shù)為上的單調遞增函數(shù)，所以，即不等式的解集為.故選：A.變式16．（新疆新源縣第二中學2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題）定義在R上的函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】將左右兩邊同乘得：，令，則，所以在R上單調遞增，且；不等式等價于，即，所以故選：A變式17．（陜西省西安市西北工業(yè)大學附屬中學2024屆高三下學期第十二次適應性考試數(shù)學試題）定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】構造函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，，由可得，所以，.故選：B.【解題方法總結】對于，構造題型八：復雜型：與型例22．（專題32盤點構造法在研究函數(shù)問題中的應用—備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學二輪復習常考點專題突破）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，有，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設，則，則有，，即有，故函數(shù)的圖象關于對稱，則有，當時，，，又由當時，，即當時，，即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，由可得，即，，函數(shù)的圖象關于對稱，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，且在上恒成立，由可得，即，此時不存在.綜上：不等式解集為.故選：A例23．（遼寧省實驗中學2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學試卷）已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，若對任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設，則恒成立，故函數(shù)在上單調遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：B.例24．（山東省泰安肥城市2024屆高三下學期5月高考適應性訓練數(shù)學試題（三））定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且對任意恒成立.若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，即，即，即對恒成立，令，則在上單調遞增，∵，∴，由即，即，因為在上單調遞增，∴故選：B.【解題方法總結】寫出與的加、減、乘、除各種形式題型九：復雜型：與結合型例25．（2024屆高三數(shù)學臨考沖刺原創(chuàng)卷（四））已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)，得．設（），則，則函數(shù)在上單調遞增，且，則不等式，可化為，則，解得.故選：C．例26．（華大新高考聯(lián)盟2024屆高三3月教學質量測評文科數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為，圖象關于原點對稱，其導函數(shù)為，若當時，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調遞減，易知，當時，，，此時，當時，，，此時，因為函數(shù)的定義域為，圖象關于原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，若或時，，且，由可得，當時，即，可得或，此時，可得；當時，即，可得，此時，可得.因此，不等式的解集為.故選：C.例27．（2024屆高三數(shù)學新高考信息檢測原創(chuàng)卷（四））已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則的定義域為且，所以在上單調遞減.因為，所以當時，；當時，.又當時，，當時，，所以當時，恒有.因為是上的奇函數(shù)，所以當時，，所以等價于或解得或，所以不等式的解集是.故選：D.變式18．（廣東省梅州市2024屆高三二模數(shù)學試題）已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，所以函數(shù)在上遞增，又因，所以當時，，當時，，又因當時，，當時，，所以當時，，當時，，又因為，所以當時，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，當時，，由不等式，得或，解得，所以不等式的解集是.故選：B.變式19．定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，由于,故,故在單調遞增，而，由，得，∴，即,∴不等式的解集為,故選：D．【解題方法總結】1、對于，構造2、寫出與的加、減、乘、除各種結果題型十：復雜型：基礎型添加因式型例28．（遼寧省名校聯(lián)盟2024屆高考模擬調研卷數(shù)學（三））已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當時，，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，構造函數(shù)，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，且，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以是定義在R上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間內單調遞減，且．不等式整理可得：，即，當時，，則，解得；當時，，則，解得，又，所以．綜上，不等式的解集為．故選：A．例29．定義在上的函數(shù)滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為的導函數(shù)，若，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則，所以等價于，由，可得則，所以在上單調遞增，所以由，得．故選：D例30．定義在上的函數(shù)滿足，且，則滿足不等式的的取值有（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】構造函數(shù)，則，因為，所以，所以單調遞減，又，所以，不等式變形為，即，由函數(shù)單調性可得：故選：D變式20．已知在定義在上的函數(shù)滿足，且時，恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，當時，恒成立，即恒成立，又由，可得，令，可得，則函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，單調遞增，結合偶函數(shù)的對稱性可得在上單調遞減，由，化簡得到，即，所以，解得，即不等式的解集為.故選：B.【解題方法總結】在本題型一、二、三、四等基礎上，變形或者添加因式，增加復雜度題型十一：復雜型：二次構造例31．（福建省福州第一中學2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題）函數(shù)滿足：，，則當時，（

）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值【答案】D【解析】因為，所以，令，則，且，所以，令，則，令，解得：，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，取得最大值，則，故在上恒成立，所以在上單調遞減，則當時，既無極大值，也無極小值.故選：D例32．（江西省百所名校2024學年高三第四次聯(lián)考數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，對恒成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)已知條件構造一個函數(shù)，再利用的單調性求解不等式即可.由，可得，即，令，則.令，，所以在上是單調遞減函數(shù).不等式，等價于，即，，所求不等式即，由于在上是單調遞減函數(shù)，所以，解得，且，即，故不等式的解集為.故選：D例33．（河南省濮陽市2024屆高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題）已知函數(shù)為定義域在R上的偶函數(shù)，且當時，函數(shù)滿足，，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可知，當時，．令，則，，令，，令，解得．可知函數(shù)在上單調遞減﹐在上單調遞增．又，所以，，所以函數(shù)在上單調遞減，，可化為，又函數(shù)關于對稱，故或，所以不等式的解集為．故選：A變式21．（寧夏平羅中學2024屆高三上學期第一次月考數(shù)學試題）已知定義在上的連續(xù)偶函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，∴，令，∴在上單調遞減，又是定義在上的連續(xù)偶函數(shù)，∴是上的奇函數(shù)，即在上單調遞減，∵，∴，當，即時，，∴；當，即時，，∴，則.故不等式的解集為.故選：A.變式22．（江西省九江市2024屆高三三模數(shù)學（理）試題）已知是定義在上的可導函數(shù)，是的導函數(shù)，若，，則在上（

）A．單調遞增 B．單調遞減 C．有極大值 D．有極小值【答案】A【解析】構造函數(shù)，則，所以，，則，設，則，，當時，，此時函數(shù)單調遞減；當時，，此時函數(shù)單調遞增.所以，，對任意的恒成立，因此，函數(shù)在上單調遞增.故選：A.變式23．（湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2024學年高二下學期期中理科數(shù)學試題）定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值【答案】D【解析】因為，且，所以，①令，則，又，記，所以.當時，，遞減；當時，，遞增.結合①當時，，所以的最小值為0，即，因為，則，（當且僅當時，取等號），所以既沒有最大值，也沒有最小值.故選：D.變式24．（福建省泉州市2024學年高二下學期期末教學質量跟蹤監(jiān)測數(shù)學（理）試題）設函數(shù)滿足：，，則時，（

）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值【答案】B【解析】，令，則，所以，令，則，即，當時，，單調遞增，而，所以當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增；故有極小值，無極大值，故選B.變式25．（遼寧省大連市中山區(qū)第二十四中學2024學年高三上學期11月月考數(shù)學試題）函數(shù)滿足：，．則時，A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值【答案】D【解析】因為，所以,令，則，所以，令，則，則當時，，當時，即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以，即，即函數(shù)在為減函數(shù)，即時，既無極大值，也無極小值，故選D.變式26．設函數(shù)的導數(shù)為，且，，，則當時，A．有極大值，無極小值 B．無極大值，有極小值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值又無極小值【答案】B【解析】由題設，所以，，所以存在使得，又，所以在上單調遞增.所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.因此，當時，取極小值，但無極大值，故選B.【解題方法總結】二次構造：，其中等題型十二：綜合構造例34．（福建省泉州市泉港區(qū)第一中學、廈門外國語學校石獅分校2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）已知函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，若滿足，關于直線對稱，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，，，當時，，則，在上單增；當時，，則，在上單減；，不等式即為不等式，關于直線對稱，，解得或，故選：．例35．（貴州省銅仁市2024屆高三適應性考試數(shù)學試題（—））已知定義在上的函數(shù)，為其導函數(shù)，滿足①，②當時，.若不等式有實數(shù)解，則其解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】構造函數(shù)，當時，遞增，由于，所以，即，所以是偶函數(shù)，所以當時，遞減.不等式等價于：，即，所以，兩邊平方并化簡得，解得或，所以不等式的解集為.故選：D例36．（黑龍江省哈爾濱市第三中學2024學年高三第一次模擬數(shù)學（文科）試題）已知是定義在R上的偶函數(shù)，是的導函數(shù)，當時，，且，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，則，所以函數(shù)也是偶函數(shù)，，因為當時，，所以當時，，所以函數(shù)在上遞增，不等式即為不等式，由，得，所以，所以，解得或，所以的解集是.故選：B.變式27．（貴州省綏陽縣育才中學2024屆高三信息壓軸卷數(shù)學試題）已知函數(shù)的定義域為R，其導函數(shù)為