2022~2023學(xué)年北京市八年級上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編-新定義 （含答案解析）

第1頁（共1頁）2022~2023學(xué)年北京市八年級上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編——新定義參考答案與試題解析一．因式分解的應(yīng)用（共1小題）1．（2022秋?房山區(qū)期末）將n個(gè)0或排列在一起組成一個(gè)數(shù)組，記為A＝（t1，t2，…，tn），其中t1，t2，…，tn取0或，稱A是一個(gè)n元完美數(shù)組（n≥2且n為整數(shù)）．例如：（0，），（，）都是2元完美數(shù)組，（，0，0，0），（，0，0，）都是4元完美數(shù)組．定義以下兩個(gè)新運(yùn)算：新運(yùn)算1：對于x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，新運(yùn)算2：對于任意兩個(gè)n元完美數(shù)組M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），M⊕N＝（x1*y1+x2*y2+…+xn*yn）．例如：對于3元完美數(shù)組M＝（，，）和N＝（0，0，），有M⊕N＝×（0+0+2）＝．（1）①在（，），（，0），（，，0）中是2元完美數(shù)組的有（，0）；②設(shè)A＝（，0，），B＝（，0，0），則A⊕B＝；（2）已知完美數(shù)組M＝（，，，0），求出所有4元完美數(shù)組N，使得M⊕N＝2；（3）現(xiàn)有m個(gè)不同的2022元完美數(shù)組，m是正整數(shù)，且對于其中任意的兩個(gè)完美數(shù)組C，D滿足C⊕D＝0，則m的最大可能值是2023．【分析】（1）①根據(jù)定義直接判定即可；②根據(jù)定義直接計(jì)算即可；（2）由定義可知當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x*y＝2x，當(dāng)x≠y時(shí)，x*y＝0，當(dāng)x*y＝2x時(shí)，x*y＝2或0，再由此求解即可；（3）根據(jù)題意可知C、D中對應(yīng)的元都不相等，m的最大值為2023．【解答】解：（1）①∵（，0）都是由0或組成的，并且是含有2個(gè)數(shù)，∴（，0）是2元完美數(shù)組，故答案為：（，0）；②∵A＝（，0，），B＝（，0，0），∴A⊕B＝（*+0*0+*0）＝（2+0+0）＝，故答案為：；（2）∵x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，∴當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x*y＝2x，當(dāng)x≠y時(shí)，x*y＝0，當(dāng)x*y＝2x時(shí)，x*y＝2或0，∵M(jìn)⊕N＝2，M＝（，，，0），∴x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4＝4，∴N＝（，，0，）或（，0，，）或（0，，，）或（，，0，0）或（，0，，0）或（0，，，0）；（3）∵C⊕D＝0，∴C、D中對應(yīng)的元都不相等或C、D中對應(yīng)的元都相等且為0，∵C、D是不同的兩個(gè)完美數(shù)組，∴C、D中對應(yīng)的元都不相等，∴m的最大值為2023．故答案為：2023．【點(diǎn)評】本題考查因式分解的應(yīng)用，理解新定義，熟練掌握絕對值的運(yùn)算，能夠通過所給的運(yùn)算關(guān)系，得到一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二．分式的加減法（共1小題）2．（2022秋?平谷區(qū)期末）閱讀理解：材料1：為了研究分式與其分母x的數(shù)量變化關(guān)系，小力制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1無意義10.50.0.25…從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)x＞0時(shí)，隨著x的增大，的值隨之減小，若x無限增大，則無限接近于0；當(dāng)x＜0時(shí)，隨著x的增大，的值也隨之減?。牧?：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．任何一個(gè)假分式都可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和．例如：；根據(jù)上述材料完成下列問題：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，隨著x的增大，的值減?。ㄔ龃蠡驕p小）；當(dāng)x＜0時(shí)，隨著x的增大，的值減?。ㄔ龃蠡驕p?。唬?）當(dāng)x＞﹣3時(shí)，隨著x的增大，的值無限接近一個(gè)數(shù)，請求出這個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，直接寫出代數(shù)式值的取值范圍是1＜＜2．【分析】（1）由的變化情況，判斷2+、的變化情況即可；（2）由＝2+，即可求解；（3）由＝3+，再結(jié)合x的取值范圍即可求解．【解答】解：（1）∵當(dāng)x＞0時(shí)隨著x的增大而減小，∴隨著x的增大，2+的值減小，＝3+的值減?。还蚀鸢笧椋簻p小，減??；（2）∵＝2+，∴當(dāng)x＞﹣3時(shí)，的值無限接近0，∴的值無限接近2；（3）∵＝3+，∵0＜x＜1，∴﹣2＜＜﹣1，∴1＜＜2．故答案為：1＜＜2．【點(diǎn)評】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵．三．一次函數(shù)綜合題（共1小題）3．（2022秋?東城區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P和正方形OABC，給出如下定義：若點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'到正方形OABC的邊所在直線的最大距離是最小距離的k倍，則稱點(diǎn)P是正方形OABC的“k倍距離點(diǎn)”．已知：點(diǎn)A（a，0），B（a，a）．（1）當(dāng)a＝4時(shí)，①點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）；②在P1（﹣1，1），P2（﹣2，2），P3（2，2）三個(gè)點(diǎn)中，P1，P3是正方形OABC的“3倍距離點(diǎn)”；（2）當(dāng)a＝6時(shí)，點(diǎn)P（﹣2，n）（其中n＞0）是正方形OABC的“2倍距離點(diǎn)”，求n的取值范圍；（3）點(diǎn)M（﹣2，2），N（﹣3，3）．當(dāng)0＜a＜6時(shí)，線段MN．上存在正方形OABC的“2倍距離點(diǎn)”，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）①當(dāng)a＝4時(shí)，可得點(diǎn)A（4，0），B（4，4）．根據(jù)四邊形OABC是正方形，可得OC＝OA＝4，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）；②根據(jù)點(diǎn)P1（﹣1，1）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），而點(diǎn)（1，1）到正方形OABC的邊所在直線AB的最大距離是4﹣1＝3，到OA的最小距離為1，可得點(diǎn)P1是正方形OABC的“3倍距離點(diǎn)”，同理即可解決問題；（2）當(dāng)a＝6時(shí)，點(diǎn)A（6，0），B（6，6）．C（0，6），結(jié)合（1）即可解決問題；（3）根據(jù)點(diǎn)M（﹣2，2），N（﹣3，3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為M′（2，2），N′（3，3），得直線M′N′的解析式為y＝x，設(shè)線段M′N′上一點(diǎn)P（m，m），則2≤m≤3，分兩種情況討論：當(dāng)P在正方形內(nèi)時(shí)，當(dāng)P在正方形外時(shí)，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：（1）①當(dāng)a＝4時(shí)，如圖1，點(diǎn)A（4，0），B（4，4）．∵四邊形OABC是正方形，∴OC＝OA＝4，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），故答案為：（0，4）；②∵點(diǎn)P1（﹣1，1）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），而點(diǎn)（1，1）到正方形OABC的邊所在直線AB的最大距離是4﹣1＝3，到OA的最小距離為1，∴點(diǎn)P1是正方形OABC的“3倍距離點(diǎn)”；同理可得點(diǎn)P2（﹣2，2）是正方形OABC的“1倍距離點(diǎn)”；同理可得點(diǎn)P3（2，2）是正方形OABC的“3倍距離點(diǎn)”；∴P1，P3是正方形OABC的“3倍距離點(diǎn)”，故答案為：P1，P3；（2）當(dāng)a＝6時(shí)，如圖2，點(diǎn)A（6，0），B（6，6）．C（0，6），∵點(diǎn)P（﹣2，n）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n），n＞0，當(dāng)0＜n＜2時(shí)，＞2，當(dāng)2≤n≤4時(shí)，＝2，當(dāng)4＜n＜6時(shí)，＞2，當(dāng)n≥6時(shí)，＝2，∴＝2，∴n＝12，因?yàn)楫?dāng)n大于8最小距離不是P到BC而是P到OC距離為2，∴n＝12，不符合題意舍去，此時(shí)P'到正方形邊的最小距離是2，最大距離是12，比值為6，∴n＞6之后都不符合題意，綜上所述：點(diǎn)P（﹣2，n）（其中n＞0）是正方形OABC的“2倍距離點(diǎn)”時(shí)，n的取值范圍是2≤n≤4；（3）∵點(diǎn)M（﹣2，2），N（﹣3，3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為M′（2，2），N′（3，3），設(shè)直線M′N′的解析式為y＝kx+b，代入M′（2，2），N′（3，3）得，，∴，∴直線M′N′的解析式為y＝x，設(shè)線段M′N′上一點(diǎn)P（m，m），則2≤m≤3，當(dāng)P在正方形內(nèi)時(shí)，①＝2，∴a＝3m，∴6≤a≤9（舍去）；②＝2，∴a＝m，∴3≤a≤；當(dāng)P在正方形外時(shí)，＝2，∴a＝m，此時(shí)不存在＝2的情況，∴1≤a≤；∵0＜a＜6，∴線段MN上存在正方形OABC的“2倍距離點(diǎn)”，a的取值范圍是1≤a≤或3≤a≤．【點(diǎn)評】本題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，“k倍距離點(diǎn)”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會(huì)尋找特殊位置．四．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）4．（2022秋?大興區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為不重合的兩個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)C到A，B兩點(diǎn)的距離相等，則稱點(diǎn)C是線段AB的“公正點(diǎn)”．特別地，當(dāng)60°≤∠ACB≤180°時(shí)，稱點(diǎn)C是線段AB的“近公正點(diǎn)”．（1）已知A（1，0），B（3，0），在點(diǎn)C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F(xiàn)（0，4）中，線段AB的“公正點(diǎn)”為點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)E（2，﹣2.3）；（2）已知點(diǎn)M（0，3），作∠OMN＝60°，射線MN交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N．①若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)P是線段MN的“公正點(diǎn)”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，﹣3）；②若點(diǎn)Q（a，b）是線段MN的“近公正點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍是﹣3≤b≤6．【分析】（1）判斷點(diǎn)C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F(xiàn)（0，4）在直線x＝2上即可；（2）①畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出答案即可；②得出點(diǎn)Q的兩個(gè)“臨界值”，即b的“臨界值”即可．【解答】解：（1）如圖，A（1，0），B（3，0），線段AB的“公正點(diǎn)”在線段AB的中垂線上．即“公正點(diǎn)”在直線x＝2的直線上，在C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F(xiàn)（0，4）中只有點(diǎn)C、點(diǎn)E在直線x＝2上，故答案為：點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)E（2，﹣2.3）；（2）①如圖，作MN的中垂線交y軸的負(fù)半軸于P1，∵OM＝3，∠OMN＝60°，∴MN＝2OM＝6，ON＝OM＝3，在Rt△P1QM中，MQ＝MN＝3，∠OMN＝60°，∴P1M＝6，∴OP1＝P1M﹣OM＝6﹣3＝3，∴點(diǎn)P1（0，﹣3），故答案為：（0，﹣3）；②如圖，連接P1N，由對稱性可知△MNP1是正三角形，此時(shí)，∠MP1N＝60°，△MNP1是關(guān)于MN的對稱三角形△MNP2是正三角形，此時(shí)P2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，∵點(diǎn)Q（a，b）是線段MN的“近公正點(diǎn)”，∴60°≤∠MQN≤180°，即點(diǎn)Q在線段P1P2上，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P1時(shí)，b＝﹣3，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P2時(shí)，OE＝6，即b＝6，∴b的取值范圍為﹣3≤b≤6，故答案為：﹣3≤b≤6．【點(diǎn)評】本題考查線段垂直平分線，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的定義以及解直角三角形是正確解答的前提．五．等腰直角三角形（共1小題）5．（2022秋?延慶區(qū)期末）在同一平面內(nèi)的兩個(gè)圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形M，N間的“最距離”，記作：d（M，N）．如圖，點(diǎn)B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為0，2，AB⊥BC于點(diǎn)B，且AB＝BC．（1）若點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為5，求d（點(diǎn)D，△ABC）；（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是x，x+2，當(dāng)d（線段EF，△ABC）≥2時(shí)，求x的取值范圍．【分析】（1）由d（點(diǎn)D，△ABC）＝AD即可得到答案；（2）分兩種情況討論，由定義“最距離”，即可求出x的取值范圍．【解答】解：（1）連接AD，d（點(diǎn)D，△ABC）＝AD＝＝＝；（2）①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，d（線段EF，△ABC）＝AF＝＝，∵d（線段EF，△ABC）≥2，∴≥2，∴x≥2．②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，d（線段EF，△ABC）＝CE＝2﹣x，∵d（線段EF，△ABC）≥2，∴2﹣x≥2，∴x≤2﹣2，∴x的取值范圍是x≥2或x≤2﹣2．【點(diǎn)評】本題考查新定義“最距離”，關(guān)鍵是理解定義“最距離”．六．三角形綜合題（共6小題）6．（2022秋?西城區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P，點(diǎn)M給出如下定義：如果點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為a，點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離是a的k倍（k為整數(shù)），那么稱點(diǎn)M為點(diǎn)P的“k倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）當(dāng)P1（﹣1.5，0）時(shí)．①如果點(diǎn)P1的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)M在x軸上，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1.5，0）或（﹣4.5，0）；②如果點(diǎn)M（x，y）是點(diǎn)P1的k倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且滿足x＝﹣1.5，﹣3≤y≤5，那么整數(shù)k的最大值為3；（2）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，A（b，0），B（b+1，0）．若P2（﹣1，0），且在△ABC的邊上存在點(diǎn)P2的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)Q，求b的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)k倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義即可求出；②根據(jù)k倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，以及點(diǎn)M與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同，可知y＝4.5時(shí)，k值最大，列方程求解即可；（2）先求出x軸上的點(diǎn)P2的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)k倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，列出不等式，可求解．【解答】解：（1）①設(shè)M（m，0），根據(jù)題意可得|m+1.5|＝2×1.5，解得m＝1.5或m＝﹣4.5，∴M（1.5，0）或（﹣4.5，0），故答案為：（1.5，0）或（﹣4.5，0）；②∵P1的坐標(biāo)為（﹣1.5，0）且M的橫坐標(biāo)為x＝﹣1.5，根據(jù)題意，可知當(dāng)y＝4.5時(shí)，k的值最大，∴4.5＝1.5k，解得k＝3，故答案為：3；（2）∵P2（﹣1，0），∴x軸上的點(diǎn)P2的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣3，0），（1，0），∵在△ABC的邊上存在點(diǎn)P2的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)Q，A（b，0），B（b+1，0），∴b+1≥﹣3，b≤1，∴﹣4≤b≤1．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了新定義，理解新定義并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?密云區(qū)期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M和圖形G，給出如下定義：點(diǎn)N為圖形G上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，稱點(diǎn)P是點(diǎn)M和圖形G的“中立點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)A（4，0），若點(diǎn)P是點(diǎn)A和原點(diǎn)的中立點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）；（2）已知點(diǎn)B（﹣2，3），C（1，3），D（﹣2，0）．①連接BC，求點(diǎn)D和線段BC的中立點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE的取值范圍；②點(diǎn)F為第一、三象限角平分線上的一點(diǎn)，在△BCD的邊上存在點(diǎn)F和△BCD的中立點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)xF的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)“中立點(diǎn)”的定義求解即可；（2）①連接BD，取BD中點(diǎn)E1，求出E1的橫坐標(biāo)，連接CD，取CD中點(diǎn)E2，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出E2的橫坐標(biāo)，即可得出對答案；②分D為中立點(diǎn)時(shí)和C為中立點(diǎn)時(shí)，求出兩個(gè)臨界值即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（4，0），若點(diǎn)P是點(diǎn)A和原點(diǎn)的中立點(diǎn)，∴P（2，0），故答案為：（2，0）；（2）①連接BD，取BD中點(diǎn)E1，如圖，∵B（﹣2，3），D（﹣2，0），∴E1點(diǎn)的橫坐標(biāo)﹣2，連接CD，取CD中點(diǎn)E2，∵B（﹣2，3），C（1，3），∴，∴；②第一、三象限角平分線所在直線的解析式為y＝x．當(dāng)D為中立點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)D的中立點(diǎn)為點(diǎn)Q，∵點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是3，∴點(diǎn)F1的縱坐標(biāo)是﹣3，代入y＝x，得∴x＝﹣3，即點(diǎn)F1的橫坐標(biāo)是﹣3．當(dāng)C為中立點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)C的中立點(diǎn)為點(diǎn)L，∵點(diǎn)L的橫坐標(biāo)是﹣2，C（1，3），∴，∴，∴﹣3≤xF≤4．【點(diǎn)評】本題考查了新定義，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，正比例函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022秋?懷柔區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M（0，m），直線l是過點(diǎn)M且垂直于y軸的直線，點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的軸對稱點(diǎn)Q，連接PQ，過Q作垂直于y軸的直線與射線PM交于點(diǎn)P′則P′稱為P點(diǎn)的M中心對稱點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)m＝1，P（2，3）時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），P′點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）；（2）若P點(diǎn)的M中心對稱點(diǎn)為P′（﹣1，3），∠QP′M＝45°，則m＝2，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；（3）在（1）中，在△PQP′內(nèi)部（不含邊界）存在點(diǎn)N，使點(diǎn)N到PQ和P′Q的距離相等，則N點(diǎn)橫坐標(biāo)n的取值范圍是0＜n＜2．【分析】（1）如圖1，設(shè)PQ與直線l交于點(diǎn)A，根據(jù)題意證明AM是△PP′Q的中位線，進(jìn)而可以解決問題；（2）如圖2，設(shè)P′Q與y軸交于點(diǎn)A，PQ與直線l交于點(diǎn)B，結(jié)合（1）證明AM是△PP′Q的中位線，可得PQ＝2AM＝2，根據(jù)AP′＝AQ＝1，即可解決問題；（3）在（1）中，如圖1，連接MQ，證明△PQP′是等腰直角三角形，由題意可得點(diǎn)M是PP′的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得MQ平分∠PQP′，可得點(diǎn)N在MQ上，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)PQ與直線l交于點(diǎn)A，∵m＝1，∴點(diǎn)M（0，1），∵P（2，3），點(diǎn)P關(guān)于直線l的軸對稱點(diǎn)Q，∴點(diǎn)A是PQ的中點(diǎn)，∴Q（2，﹣1），∵過Q作垂直于y軸的直線與射線PM交于點(diǎn)P′，∴AM∥P′Q，∴點(diǎn)M是PP′的中點(diǎn)，∴AM是△PP′Q的中位線，∴P′Q＝2AM＝4，則P′（﹣2，﹣1），故答案為：（2，﹣1），（﹣2，﹣1）；（2）如圖2，設(shè)P′Q與y軸交于點(diǎn)A，PQ與直線l交于點(diǎn)B，∵P點(diǎn)的M中心對稱點(diǎn)為P′（﹣1，3），∠QP′M＝45°，∴P′A＝1，OA＝3，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣1＝2，∴m＝2，由（1）知：BM∥P′Q，PQ∥y軸，∵點(diǎn)B是PQ的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M是PP′的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A是P′Q的中點(diǎn)，∴AM是△PP′Q的中位線，∴PQ＝2AM＝2，∵AP′＝AQ＝1，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；故答案為：2，（1，1）；（3）在（1）中，如圖1，連接MQ，在△PQP′內(nèi)部（不含邊界）存在點(diǎn)N，使點(diǎn)N到PQ和P′Q的距離相等，由（1）知：P′Q＝4，PQ＝4，∴△PQP′是等腰直角三角形，由題意可知：點(diǎn)M是PP′的中點(diǎn)，∴MQ平分∠PQP′，∵點(diǎn)N到PQ和P′Q的距離相等，∴點(diǎn)N在MQ上，（不含邊界），∴0＜n＜2，∴N點(diǎn)橫坐標(biāo)n的取值范圍是0＜n＜2．故答案為：0＜n＜2．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識．9．（2022秋?豐臺(tái)區(qū)期末）在平面中，對于點(diǎn)M，N，P，若∠MPN＝90°，且PM＝PN，則稱點(diǎn)P是點(diǎn)M和點(diǎn)N的“垂等點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，（1）已知點(diǎn)M（﹣3，2），點(diǎn)N（1，0），則點(diǎn)P1（0，3），P2（﹣2，﹣1），P3（﹣5，﹣2）中是點(diǎn)M和點(diǎn)N的“垂等點(diǎn)”的是P1，P2；（2）已知點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，b）（b＞0）．①若在第二象限內(nèi)存在點(diǎn)C，使得點(diǎn)B是點(diǎn)A和點(diǎn)C的“垂等點(diǎn)”，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含b的式子表示），并說明理由；②當(dāng)b＝4時(shí)，點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AO，BO上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B，O重合）．若點(diǎn)F是點(diǎn)D和點(diǎn)E的“垂等點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)t的取值范圍．【分析】（1）由“垂等點(diǎn)”的定義，通過三角形全等即可解決問題；（2）①由△CBK≌△BAO（AAS）可得CK＝BO，KB＝AO，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②，當(dāng)D，E分別與A，B重合時(shí)，點(diǎn)F是點(diǎn)D和點(diǎn)E的“垂等點(diǎn)”，可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可求出t的取值范圍．【解答】解：（1）由題意得：MH＝OP1，∠MHP1＝∠NOP1＝90°，HP1＝ON，∴△MHP1≌△P1ON（SAS），∴MP1＝NP1，∠P1MH＝∠NP1O，∵P1MH+∠MP1H＝90°，∴∠NP1O+∠MP1H＝90°，∴∠MP1N＝90°，∴點(diǎn)P1是點(diǎn)M和點(diǎn)N的“垂等點(diǎn)”，同理點(diǎn)P2點(diǎn)M和點(diǎn)N的“垂等點(diǎn)”，故答案為：P1，P2；（2）①點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣b，b+4），理由如下：∵在第二象限內(nèi)存在點(diǎn)C，使得點(diǎn)B是點(diǎn)A和點(diǎn)C的“垂等點(diǎn)，∴BC＝AB，∠ABC＝90°，∵∠CBK+∠ABO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBK＝∠BAO，∵∠CKB＝∠BOA＝90°，∴△CBK≌△BAO（AAS），∴CK＝BO，KB＝AO，∵點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，b）（b＞0），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣b，b+4）；②當(dāng)b＝4時(shí)，當(dāng)D，E分別與A，B重合時(shí)，點(diǎn)F是點(diǎn)D和點(diǎn)E的“垂等點(diǎn)”，點(diǎn)F是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)，F(xiàn)A＝FB，∠FAB＝90°，顯然點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是0或4，當(dāng)點(diǎn)F是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)，顯然點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是﹣2，2．∴t的取值范圍是﹣2＜t＜4．【點(diǎn)評】本題考查定義“垂等點(diǎn)”，關(guān)鍵是理解“垂等點(diǎn)”的定義．10．（2022秋?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P，Q分別在線段OA，OB上．如果存在點(diǎn)M使得MP＝MQ，∠MPQ＝∠AOB（點(diǎn)M，P，Q逆時(shí)針排列），則稱點(diǎn)M是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．如圖1，點(diǎn)M是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）如圖2，已知點(diǎn)A（4，4），B（8，0），點(diǎn)P與點(diǎn)A重合．①當(dāng)點(diǎn)Q是線段OB中點(diǎn)時(shí)，在M1（4，2），M2（6，2）中，其中是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是M2；②已知點(diǎn)M（8，4）是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（8，0）．（2）如圖3，已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°．①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)O重合），若點(diǎn)M是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求證：BM∥OA；②當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在線段OA，OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”M形成的區(qū)域的周長．【分析】（1）①畫出圖形，利用圖象法解決問題；②畫出圖形發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件；（2）①證明△OAQ≌△BAM（SAS），推出∠AOQ＝∠ABM＝60°，可得結(jié)論；②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q與B重合時(shí)，得到△ABM′，△ABM′是邊長為4的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在線段OA，OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”M形成的區(qū)域是菱形OAM′B．【解答】解：（1）解：①如圖2中，觀察圖形可知，點(diǎn)M2是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．故答案為：M2；②∵△AMB是等腰直角三角形，∴∠ABM＝45°，MA＝MB，∴當(dāng)點(diǎn)Q與B重合時(shí)，滿足條件，此時(shí)Q（8，0）．故答案為：（8，0）；（2）①證明：如圖3中，∵AO＝OB＝4，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∵M(jìn)A＝MQ，∠AQM＝60°，∴△AQM是等邊三角形，∴AO＝AB，AQ＝AM，∠OAB＝∠QAM＝60°，∴∠OAQ＝∠BAM，∴△OAQ≌△BAM（SAS），∴∠AOQ＝∠ABM＝60°，∴∠OAB＝∠ABM＝60°，∴BM∥OA；②解：如圖，當(dāng)點(diǎn)Q與B重合時(shí)，得到△ABM′，△ABM′是邊長為4的等邊三角形，觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在線段OA，OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”M形成的區(qū)域是菱形OAM′B，周長為16．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．11．（2022秋?昌平區(qū)期末）【閱讀學(xué)習(xí)】如果平面內(nèi)一點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離中，最長距離的平方等于另兩個(gè)距離的平方和，則稱這個(gè)點(diǎn)為該三角形的勾股點(diǎn)，如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為PA、PB、PC，PA＝3，PB＝4，PC＝5，可知PC2＝PA2+PB2，所以點(diǎn)P就是△ABC的勾股點(diǎn)．（1）如圖2，在3×3的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，P1，P2，P3三個(gè)點(diǎn)中，P2，P3是△ABC的勾股點(diǎn)；（2）如圖3，△ABC為等邊三角形，過點(diǎn)A作AB的垂線，點(diǎn)D在該垂線上，連接CD，以CD為邊在其右側(cè)作等邊△CDE，連接AE，BD．①求證：△ACE≌△BCD；②判斷點(diǎn)A是否為△CDE的勾股點(diǎn)，并說明理由；③若AD＝，AE＝，直接寫出等邊△CDE的邊長：或．【分析】（1）由題意得：P1A2＝1，P1B2＝4，P1C2＝13，P2A2＝1，P2B2＝2，P2C2＝1，P3A2＝5，P3B2＝4，P3C2＝1，進(jìn)而求解；（2）①證明∠BCD＝∠ACE，即可求解；②在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝a2+AD2＝AC2+AD2，而BD＝AE，即可求解；③當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A上方右邊時(shí)，∠HAC＝30°，求出CH＝AC＝，AH＝AC＝3，得到則DH＝AH﹣AD＝3﹣＝，即可求解；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A上方左邊時(shí)，同理可解．【解答】解：（1）由題意得：P1A2＝1，P1B2＝4，P1C2＝13，P2A2＝1，P2B2＝2，P2C2＝1，P3A2＝5，P3B2＝4，P3C2＝1，則P2B2＝P2A2+P2C2；P3A2＝P3B2+P3C2，∴P2，P3是勾股點(diǎn)，故答案為：P2，P3；（2）①∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，又∵AB＝BC，CD＝CE，∴△ACE≌△BCD（SAS）；②點(diǎn)A是否為△CDE的勾股點(diǎn)，理由：設(shè)等邊三角形ABC的為a，則AB＝BC＝AC＝a，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝a2+AD2＝AC2+AD2，∵△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，即AE2＝AC2+AD2；③由②知，AE2＝AB2+AD2，即（）2＝AB2+（）2，解得：AB＝＝2＝AC，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A上方右邊時(shí)，過點(diǎn)C作CH⊥AE于H，∵∠HAC＝30°，∴CH＝AC＝，AH＝AC＝3，則DH＝AH﹣AD＝3﹣＝，則CD＝＝＝；∴等邊△CDE的邊長為．當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A上方左邊時(shí)，同理可得CD＝，綜上：等邊△CDE的邊長為或，故答案為：或．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是對新定義概念的理解，以及用AC的代數(shù)式表示各線段的長．七．坐標(biāo)與圖形變化-對稱（共1小題）12．（2022秋?朝陽區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），過點(diǎn)（﹣1，0）作x軸的垂線l，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，2）；（2）已知點(diǎn)C（﹣3，﹣2），點(diǎn)D（1，﹣2），在圖中描出點(diǎn)B，C，D，順次連接點(diǎn)A，B，C，D．①在四邊形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，滿足S△PAD＝S△PBC且S△PAB＝S△PCD，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），S△PAB＝；②在四邊形ABCD外部是否存在點(diǎn)Q，滿足S△QAD＝S△QBC且S△QAB＝S△QCD，若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先作軸對稱，再寫坐標(biāo)；（2）先描點(diǎn)，再連線；①根據(jù)三角形的面積公式求解；②根據(jù)三角形的面積公式求解；【解答】解：（1）B（﹣2，2），故答案為：（﹣2，2）；（2）如圖：①∵S△PAD＝S△PBC且S△PAB＝S△PCD，BC＝AD，CD＝2AB，∴點(diǎn)P在直線l上，且到AB的距離是到CD距離的2倍，∵P在四邊形ABCD的內(nèi)部，∴2﹣×（2+2）＝﹣，∴P（﹣1，﹣）；S△PAB＝×2×（2+）＝，故答案為：（﹣1，﹣），②∵S△PAD＝S△PBC且S△PAB＝S△PCD，BC＝AD，CD＝2AB，∴點(diǎn)P在直線l上，且到AB的距離是到CD距離的2倍，∴Q在四邊形ABCD的外部，∴﹣2﹣（2+2）＝﹣6，∴Q（﹣1，﹣6）．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．八．作圖-軸對稱變換（共1小題）13．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）我們規(guī)定：在同一平面內(nèi)的點(diǎn)A以直線l1為對稱軸進(jìn)行翻折后得到點(diǎn)A1，稱作點(diǎn)A的“一次對稱點(diǎn)”，將一次對稱點(diǎn)A1再以直線l2為對稱軸進(jìn)行翻折后得到點(diǎn)A2，稱作點(diǎn)A的“二次對稱點(diǎn)”．（1）如圖1，依題意畫出點(diǎn)A的“二次對稱點(diǎn)”，并說出以A、A1、A2為頂點(diǎn)的三角形的形狀；（2）如圖2，已知直線l1與直線l2的夾角是45°，點(diǎn)A在直線l2上，依題意畫出點(diǎn)A的“二次對稱點(diǎn)”，并說出以A、A1、A2為頂點(diǎn)的三角形的形狀；（3）如圖3，如果“二次對稱點(diǎn)”落在l1上，且點(diǎn)A在直線l2上，請依