2022~2023學(xué)年北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編-幾何綜合（含答案解析）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022~2023學(xué)年北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編——幾何綜合參考答案與試題解析一．全等三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）1．（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC與∠ABC的角平分線AD、BE分別交BC、AC邊于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）求證：△BEC是等腰三角形；（2）用等式表示線段AB、AC、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和，角平分線的定義得出∠EBC＝∠C，進(jìn)而得出EB＝EC，即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AB至F，使BF＝BD，連接DF，利用等邊對(duì)等角和三角形的外角得出∠F＝∠C，再證明△AFD?△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF＝AC，再根據(jù)線段的和差即可得出AB+BD＝AC．【解答】（1）證明：在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝40°，∴∠EBC＝∠C，∴EB＝EC，∴△BEC是等腰三角形．（2）解：AB+BD＝AC，證明：延長(zhǎng)AB至F，使BF＝BD，連接DF，∴∠F＝∠BDF，∵∠ABC＝∠F+∠BDF＝80°，∴2∠F＝80°，∴∠F＝40°，∵∠C＝40°，∴∠F＝∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△AFD?△ACD（ASA），∴AF＝AC，∴AB+BF＝AC，即：AB+BD＝AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?大興區(qū)期末）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，作∠DME＝90°，使得射線MD與射線ME分別交射線AC，CB于點(diǎn)D，E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系是MD＝ME；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示線段CD，CE和BC之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【分析】（1）連接CM，證明△MCD≌△MBE（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出MD＝ME；（2）連接CM，同（1）可證△MCD≌△MBE（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出CD＝BE，則可得出結(jié)論．【解答】解：（1）連接CM，∵△ABC是等腰直角三角形，M是AB的中點(diǎn)，∴CM＝MB，CM⊥AB，∠ACM＝∠ACB＝45°．∴∠ACM＝∠B＝45°，又∵∠DMC+∠CME＝∠BME+∠CME＝90°，∴∠DMC＝∠BME，∴△MCD≌△MBE（ASA），∴MD＝ME；故答案為：MD＝ME；（2）CE＝CB+CD．證明：連接CM，同（1）可知CM＝BM，∠ACM＝∠CBA＝45°，∴∠DCM＝∠MBE＝135°，∵∠DMC+∠DMB＝∠BME+∠DMB＝90°，∴∠CMD＝∠BME，∴△MCD≌△MBE（ASA），∴CD＝BE，∴CE＝CB+BE＝CB+CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋?通州區(qū)期末）如圖△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，EC⊥AC垂足為點(diǎn)C，且AE＝BD，AE交線段BC于點(diǎn)F．（1）在圖1中畫出符合題意的圖形，并證明CE＝AD；（2）當(dāng)∠CFE＝∠ADB時(shí)，求證：BD平分∠ABC．【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△ACE≌Rt△BAD，可得結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠E＝∠ADB，從而有∠CFE＝∠E，再說(shuō)明AE⊥BD，即可證明結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，在Rt△ACE和Rt△BAD中，，∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL），∴CE＝AD；（2）證明：∵Rt△ACE≌Rt△BAD，∴∠E＝∠ADB，∵∠CFE＝∠ADB，∴∠CFE＝∠E，∵∠ACE+∠DAB＝180°，∴CE∥AB，∴∠E＝∠FAB，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠BAF＝∠AFB，∵∠ADB＝∠E＝∠EAB，∴AE⊥BD，∴∠EAB+∠ABD＝90°，∠AFB+∠FBD＝90°，∴∠ABD＝∠FBD，∴BD平分∠ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明AE⊥BD是解題的關(guān)鍵．二．等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）4．（2022秋?海淀區(qū)期末）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α．作△ACD，使得AC＝CD．（1）如圖1，若∠ACD與∠BAC互余，則∠DCB＝α（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ACD與∠BAC互補(bǔ)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，求證：CH＝BC；（3）若△ABC與△ACD的面積相等，則∠ACD與∠BAC滿足什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，兩角互余的概念，即可求解；（2）作AE⊥BC于E，由兩角互補(bǔ)的概念，可以證明△ACH≌△ACH（AAS），即可解決問(wèn)題；（3）分兩種情況，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延長(zhǎng)線于G，應(yīng)用三角形全等，可以解決問(wèn)題．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵∠ACD與∠BAC互余，∴∠ACD＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，故答案為α；（2）證明：作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，AC＝AD，∴∠EAC＝∠BAC，∠ACH＝∠ACD，CE＝BC，∴∠EAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD），∵∠ACD與∠BAC互補(bǔ)，∴∠EAC+∠ACH＝×180＝90°，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ACH，∵∠AHC＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACH≌△ACE（AAS），∴CH＝EC＝BC；（3）∠ACD＝∠BAC或∠ACD與∠BAC互補(bǔ)；理由如下：如圖1，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，∵△ABC與△ACD的面積相等，∴AC×BN＝AC×DM，∴BN＝DM，∵DC＝AB，∴Rt△DMC≌Rt△BNA（HL），∴∠ACD＝∠BAC；如圖2，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延長(zhǎng)線于G，∵△ABC與△ACD的面積相等，∴AC×DG＝AB×CF，∴DG＝CF，∵AC＝CD，∴Rt△ACF≌Rt△CDG（HL），∴∠BAC＝∠DCG，∵∠DCG+∠ACD＝180°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC與∠ACD互補(bǔ)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，互余，互補(bǔ)的概念，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形．三．勾股定理（共1小題）5．（2022秋?延慶區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ABD＝α，點(diǎn)D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，直線BD，CE交于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)α＝20°時(shí)，根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出∠BFC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，用等式表示線段FC，EF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）連接EB，只要證明△ECB是等腰三角形即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：EF2+FC2＝2BC2，只要證明∠BFC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得．在Rt△AFC中，由勾股定理得AF2+FC2＝AC2．由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖1，連接EB，∵A，E關(guān)于BD對(duì)稱，∴∠ABD＝∠EBD＝20°，BA＝BE＝BC．∵∠ACB＝90°，∴∠EBC＝50°，∴∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠CEB＝∠BFC+∠EBD，∴∠BFC＝65°﹣20°＝45°．∴∠BFC的度數(shù)是45°；（2）線段FC，EF，BC之間的數(shù)量關(guān)系是：EF2+FC2＝2BC2．證明：如圖，連接AF，BE．∵點(diǎn)E和點(diǎn)A關(guān)于BD對(duì)稱，∴AF＝EF，AB＝BE，∠AFB＝∠EFB，∠ABF＝∠EBF＝α．∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣2α．∵AB＝BC，AB＝BE，∴BC＝BE．∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣90°+2α）＝45°+α．∵∠BEC＝∠FBE+∠BFE，∠FBE＝α，∴∠BFE＝45°．∴∠AFE＝90°．在Rt△ABC中，由勾股定理得，．在Rt△AFC中，由勾股定理得，AF2+FC2＝AC2．∴．∴EF2+FC2＝2BC2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．四．三角形綜合題（共9小題）6．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜90°），AD為BC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，交AD于點(diǎn)F，作∠ABE的角平分線AD于M，交AC于N．（1）①補(bǔ)全圖形1；②求∠CBE的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）如圖2，若∠α＝45°，猜想AF與BM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②由等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝α，證出∠ADB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）連接MC，證出∠MBC＝45°，證明△AEF≌△BEC（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AF＝BC，證出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC＝BM，則可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如下：②∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝α，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CBE＝∠DAC＝α；（2）BM．證明：連接MC，∵∠BAC＝45°，∠AEB＝90°，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，∴AE＝EB，∵BN平分∠ABE，∴∠NBE＝∠ABE＝22.5°，∵∠DAC＝∠BAC＝22.5°，∴∠EBC＝∠DAC＝∠NBE＝22.5°，∴∠MBC＝45°，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA），∴AF＝BC，∵D為BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴BM＝MC，∵∠MBC＝45°，∴△BMC是等腰直角三角形，∴BC＝BM，∴AF＝BM．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?懷柔區(qū)期末）康康同學(xué)在研究等邊三角形，如圖1，已知△ABC是等邊三角形，D為BC邊的中點(diǎn)，E為中線AD上一點(diǎn)（E不可取A點(diǎn)，可取D點(diǎn)），點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)F．連接AF，EF，BF．（1）①在圖1中補(bǔ)全圖形；②他發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在中線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AEF是一種特殊三角形．請(qǐng)你回答△AEF是等邊三角形；③利用圖1證明這個(gè)結(jié)論．（2）康康同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)E點(diǎn)在中線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BF的長(zhǎng)度也有規(guī)律的變化．當(dāng)BF為最大值時(shí)，在圖2中畫出點(diǎn)F，并連接AF，BF，BF與AC交于點(diǎn)P．①按要求畫出圖形；②在AF上存在一點(diǎn)Q，使PQ+QC的值最小，猜想這最小值＝BP（填＞，＜，＝）；③證明②的結(jié)論．（3）在邊AC上存在一點(diǎn)M，同時(shí)滿足BM﹣ME的值最大且BM+ME的值最小，則此時(shí)MC與AC的數(shù)量關(guān)系是MC＝AC．【分析】（1）①由題意補(bǔ)全圖形即可；②由等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③由等邊三角形的性質(zhì)得∠CAD＝∠BAC＝30°，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)得AF＝AE，∠CAF＝∠CAD＝30°，則∠EAF＝∠CAD+∠CAF＝60°，即可得出結(jié)論；（2）①按要求畫出圖形即可；②由軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論；③作點(diǎn)P關(guān)于AF的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接CP'交AF于點(diǎn)Q，則PQ＝P'Q，得PQ+QC的最小值為CP'，再證△CAP'≌△BAP（SAS），得CP'＝BP，即可得出結(jié)論；（3）連接BE幷延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M，設(shè)BF交AC于點(diǎn)P，由軸對(duì)稱的在得BP+EP最小，再由BM﹣EM最大，則點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)E在BF上，由等邊三角形的性質(zhì)證明P為AC的中點(diǎn)，即可得出結(jié)論．【解答】（1）①解：補(bǔ)全圖形如圖1；②解：△AEF是等邊三角形，故答案為：等邊；③證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝30°，∵點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)F，∴AF＝AE，∠CAF＝∠CAD＝30°，∴∠EAF＝∠CAD+∠CAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形；（2）①解：按要求畫出圖形，如圖2；②解：在AF上存在一點(diǎn)Q，使PQ+QC的值最小，猜想PQ+QC的最小值＝BP，故答案為：＝；③證明：作點(diǎn)P關(guān)于AF的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接CP'交AF于點(diǎn)Q，則PQ＝P'Q，∴PQ+QC的最小值為CP'，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠ABC＝∠BAC＝60°，∵點(diǎn)P關(guān)于AF的對(duì)稱點(diǎn)為P'，∴∠P'AF＝∠FAC＝30°，AP'＝AP，∴∠CAP'＝∠P'AF+∠FAC＝30°+30°＝60°，∴∠CAP'＝∠BAP＝60°，∴△CAP'≌△BAP（SAS），∴CP'＝BP，∴PQ+QC的最小值＝BP；（3）解：如圖4，連接BE幷延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M，設(shè)BF交AC于點(diǎn)P，∵點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)F，∴BP+EP最小，∵BM﹣EM最大，∴點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)E在BF上，如圖5，∵△AEF是等邊三角形，∴∠F＝60°，∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠ABF＝90°﹣∠F＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABF＝∠ABC，∴BP平分∠ABC，∴P為AC的中點(diǎn)，∴MC＝AC，故答案為：MC＝AC．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及最大值與最小值等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．8．（2022秋?豐臺(tái)區(qū)期末）在△ABC中，∠BAC＝110°，AC＝AB，射線AD，AE的夾角為55°，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，直線BF交AE于點(diǎn)G，連結(jié)CG．（1）如圖1，射線AD，AE都在∠BAC的內(nèi)部．①設(shè)∠BAD＝α，則∠CAG＝55°﹣α（用含有α的式子表示）；②作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，則線段B′G與圖1中已有線段CG＝B'G的長(zhǎng)度相等；（2）如圖2，射線AE在∠BAC的內(nèi)部，射線AD在∠BAC的外部，其他條件不變，用等式表示線段BF，BG，CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）①根據(jù)∠BAD+∠CAE＝55°，可求∠CAG＝55°﹣α；②連接AB'，證明△CAG≌△B'AG（SAS），即可得到CG＝B'G；（2）作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，設(shè)∠BAF＝β，證明△CAG≌△B'AG（SAS），即可得CG＝B'G＝2BF+BG．【解答】解：（1）①∵∠BAC＝110°，∠DAE＝55°，∴∠BAD+∠CAE＝55°，∵∠BAD＝α，∴∠CAG＝55°﹣α，故答案為：55°﹣α；②連接AB'，由對(duì)稱性可知，AB＝AB'，∠BAD＝∠B'AD，∵AB＝AC，∴AC＝AB'，∵∠DAG＝55°，∠BAC＝110°，∴∠BAF+∠CAG＝∠B'AD+∠GAB'，∴∠CAG＝∠GAB'，∴△CAG≌△B'AG（SAS），∴CG＝B'G，故答案為：CG＝B'G；（2）CG＝2BF+BG，理由如下：作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，由對(duì)稱性可知，AB＝AB'，∠BAD＝∠B'AD，∵AB＝AC，∴AC＝AB'，設(shè)∠BAF＝β，∵∠DAG＝55°，∴∠BAG＝55°﹣β，∵∠BAC＝110°，∴∠CAG＝55°+β，∵∠GAB'＝55°+β，∴△CAG≌△B'AG（SAS），∴CG＝B'G，∵B'G＝2BF+BG，∴CG＝2BF+BG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）在△ABC中，AC＝BC，0°＜∠ACB＜120°，CD是AB邊的中線，E是BC邊上一點(diǎn)，∠EAB＝∠BCD，AE交CD于點(diǎn)F．（1）如圖①，判斷△CFE的形狀并證明；（2）如圖②，∠ACB＝90°，①補(bǔ)全圖形；②用等式表示CA，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【分析】（1）設(shè)∠EAB＝α，得出∠CFE＝90°﹣α，再表示出∠B＝90°﹣2α，進(jìn)而得出∠CFE＝∠CEF，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)要求補(bǔ)全圖形即可；②2CD＝AC+CF；先判斷出AB＝2CD，BH＝EH，再判斷出△AEC≌△AEH（AAS），得出AC＝AH，CE＝EH，借助（1）的結(jié)論，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）△CEF是等腰三角形，證明：∵AC＝BC，CD是AB邊的中線，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ADC＝90°，設(shè)∠EAB＝α，∴∠CFE＝∠AFD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣α，∵∠EAB＝∠BCD，∴∠BCD＝2∠EAB＝2α，∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣2α，∴∠CEF＝∠EAB+∠B＝α+90°﹣2α＝90°﹣α，∴∠CFE＝∠CEF，∴△CEF是等腰三角形；（2）①補(bǔ)全圖形如圖②所示，②2CD＝AC+CF；證明：如圖③，在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∴∠BEH＝45°＝∠B，∴BH＝EH，在Rt△ABC中，AC＝BC，CD是AB邊的中線，∴AB＝2CD，∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠EAB＝∠BCD＝22.5°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝22.5°＝∠EAB，∵∠ACB＝∠AHE＝90°，∵AE＝AE，∴△AEC≌△AEH（AAS），∴AC＝AH，CE＝EH，由（1）知，CE＝CF，∴CF＝BH，∴AB＝AH+BH＝AC+CF，∴2CD＝AC+CF．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?石景山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，點(diǎn)B關(guān)于AC邊的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接CD，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD且AE＝CD，連接CE，DE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷AB和DE的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）平面內(nèi)有一點(diǎn)M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）結(jié)論：AB＝DE，證明四邊形ACDE是平行四邊形，推出AC＝DE，可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖2中，當(dāng)∠CDM是鈍角．證明△ABE≌△DEM（SSS），推出∠BAE＝∠EDM＝135°，即可解決問(wèn)題，如圖3中，當(dāng)∠CDM′是銳角時(shí)，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°解決問(wèn)題．【解答】解：（1）圖形如圖1所示：（2）結(jié)論：AB＝DE．理由：∵AE＝CD，AE∥CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形，∴AC＝DE，∵AB＝AC，∴AB＝DE；（3）如圖2中，當(dāng)∠CDM是鈍角．∵AE＝CD，CD＝DM，∴AE＝DM，∵AB＝DE，BE＝EM，∴△ABE≌△DEM（SSS），∴∠BAE＝∠EDM，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，B，D關(guān)于AC對(duì)稱，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵AE∥CD，∴∠EAD＝∠ADC＝75°，∴∠BAE＝30°+30°+75°＝135°，∴∠EDB＝∠BAE＝135°，∴∠CDM＝360°﹣75°﹣﹣30°﹣135°＝120°．如圖3中，當(dāng)∠CDM′是銳角時(shí)，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°，∴∠CDM′＝135°﹣75°﹣30°＝30°，綜上所述，∠CDM的值為120°或30°．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．11．（2022秋?大興區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，AC＝AD，∠DAC＞60°，連接BD交AC于點(diǎn)E，分別延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）若∠DBC＝40°，直接寫出∠BAF的度數(shù)為40°；（3）用等式表示線段CF，AF，AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由題意畫出圖形即可；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝60°，AB＝AC，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得出答案；（3）在BC上取點(diǎn)M，使CM＝AE，連接AM，證明△ABE≌△CAM（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ABE＝∠CAM，證出AF＝FM，則可得出結(jié)論．【解答】解：（1）依題意補(bǔ)全圖形如下：（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC，∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABE＝∠ADE，∵∠DBC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADE＝20°，∴∠BAF＝∠ABE+∠ADE＝40°；故答案為：40°；（3）CF＝AF+AE．證明：在BC上取點(diǎn)M，使CM＝AE，連接AM，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC，在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（ASA），∴∠ABE＝∠CAM，∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABE＝∠ADB，∴∠FAB＝∠ABD+ADB＝2∠ABD，∴∠FAM＝∠FAB+∠BAC﹣∠CAM＝2∠ABE+60°﹣∠ABE＝∠ABE+60°，∵∠AMB＝∠CAM+∠ACB＝∠ABE+60°，∴∠FAM＝∠AMB，∴AF＝FM，∵CF＝AF+CM，∴CF＝AF+AE．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?通州區(qū)期末）已知：線段AB及過(guò)點(diǎn)A的直線l．如果線段AC與線段AB關(guān)于直線l對(duì)稱，連接BC交直線l于點(diǎn)D，以AC為邊作等邊△ACE，使得點(diǎn)E在AC的下方，作射線BE交直線l于點(diǎn)F，連結(jié)CF．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；（2）如圖，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°），①∠ABE＝120°﹣α；（用含有α代數(shù)式表示）②用等式表示線段FA，F(xiàn)E與FC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）①利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可；②結(jié)論：FA＝EF+FC；在FA上截取FG，使得FG＝EF，連接EG，F(xiàn)C；證明△AEG≌△CEF（SAS），推出AG＝CF，推出FA＝FG+AG＝FG+CF，可得結(jié)論．【解答】解：（1）圖形如圖1所示：（2）①∵線段AC與線段AB關(guān)于直線l對(duì)稱，∴AC＝AB，AD垂直平分線段BC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵△ACE是等邊三角形，∴AC＝AE＝CE，∠EAC＝∠AEC＝60°，∴AB＝AE，∠BAE＝2α﹣60°，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣2α+60°）＝120°﹣α．故答案是：120°﹣α；②結(jié)論：FA＝EF+FC；理由：在FA上截取FG，使得FG＝EF，連接EG，F(xiàn)C．∵∠ABE＝120°﹣α，∠BAD＝α，∴∠AFB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAD＝60°，∵FG＝EF，∴△EFG是等邊三角形，∴EG＝EF＝FG，∠GEF＝60°，∴∠AEC＝∠GEF，∴∠AEC＝∠GEF，∴∠AEG＝∠CEF，在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF（SAS），∴AG＝CF，∴FA＝FG+AG＝FG+CF＝EF+FC，即FA＝EF+FC．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．13．（2022秋?房山區(qū)期末）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且CE＝AD，連接DB，DE．（1）如圖1，若點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，則∠BDE＝120°；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示DB與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接用等式表示DB與DE的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）證明∠DBC＝∠E＝30°，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：DB＝DE．如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作DT∥CB交AB于點(diǎn)T．證明△BTD≌△DCE（SAS），可得結(jié)論；（3）結(jié)論：DB＝DE．證明方法類似（2）．【解答】解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，AD＝DC，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵AD＝CE，AD＝DC，∴CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°，∴∠E＝30°，∴∠BDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案為：120；（2）結(jié)論：DB＝DE．理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作DT∥CB交AB于點(diǎn)T．∵DT∥CB，∴∠ATD＝∠ABC＝60°，∠ADT＝∠ACB＝60°，∴△ADT是等邊三角形，∴AD＝DT＝AT，∠ATD＝60°，∵AD＝CE，AB＝AC，∴BT＝CD，DT＝CE，∵∠BTD＝∠DCE＝120°，∴△BTD≌△DCE（SAS），∴DB＝DE；（3）結(jié)論：DB＝DE．理由：如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DT∥CB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．∵DT∥CB，∴∠ATD＝∠ABC＝60°，∠ADT＝∠ACB＝60°，∴△ADT是等邊三角形，∴AD＝DT＝AT，∠ATD＝60°，∵AD＝CE，AB＝AC，∴BT＝CD，DT＝CE，∵∠BTD＝∠DCE＝60°，∴△BTD≌△DCE（SAS），∴DB＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．14．（2022秋?昌平區(qū)期末）在等邊△ABC中，點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP＝AQ．（1）若∠BAP＝20°，則∠AQB＝80°；（2）在圖1中，求證：BP＝CQ；（3）點(diǎn)M在邊AC上，CM＝CQ，點(diǎn)D為AQ的中點(diǎn)，連接MD并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，連接PM，PN．①依題意將圖2補(bǔ)全；②猜想△PMN的形狀，并證明．【分析】（1）在△ABP中，∠APQ＝∠B+∠BAP＝60°+20°＝80°，而AP＝AQ，即可求解；（2）證明BH＝CH，PH＝QH，即可求解；（3）①按要求補(bǔ)全圖即可；②證明△ADN≌△QDM（AAS）、△ANM≌△BPN（SAS），得到MN＝PN，進(jìn)而求解．【解答】（1）解：∵△ABC為等邊三角形，則∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，在△ABP中，∠APQ＝∠B+∠BAP＝60°+20°＝80°，∵AP＝AQ，∴∠AQB＝∠APQ＝80°，故答案為：80；（2）證明：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵△ABC為等邊三角形，則BH＝CH，同理可得：PH＝QH，∴BP＝BH﹣PH＝CH﹣QH＝CQ；（3）解：①連接MD并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，連接PM，PN，補(bǔ)全圖如下：②△PMN為等邊三角形，理由：連接CM，∵CM＝CQ，∠C＝60°，∴△CQM為等邊三角形，則CQ＝CM＝QM，∴∠B＝∠CQM＝60°，∴QM∥AB，∴∠MQD＝∠NAD，∠ADN＝∠DMQ，∵D為AQ的中點(diǎn)，即AD＝QD，∴△ADN≌△QDM（AAS），∴AN＝QM，設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，等邊三角形CMN的邊長(zhǎng)為b，則AN＝QM＝b，由（2）知，則BP＝CQ＝b＝AN，而BN＝AB﹣AN＝a﹣b，AM＝AC﹣CM＝a﹣b＝BN，在△BNP和△MAN中，，∴△ANM≌△BPN（SAS），∴MN＝PN，同理可得：MN＝PM，∴MN＝PN＝PM，∴△PMN為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五．作圖—復(fù)雜作圖（共1小題）15．（2022秋?西城區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，連接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）作圖與探究：①小明畫出圖1并猜想AE＝AC．同學(xué)小亮說(shuō)“要讓你這個(gè)結(jié)論成立，需要增加條件：∠ABC＝36°．”請(qǐng)寫出小亮所說(shuō)的條件；②小明重新畫出圖2并猜想△ABE≌△DAC．他證明的簡(jiǎn)要過(guò)程如下：小明的證明：在△ABE與△DAC中，，可得△ABE≌△DAC．（ASA）請(qǐng)你判斷小明的證明是否正確并說(shuō)明理由；（2）證明與拓展：①借助小明畫出的圖2證明BE＝DE；②延長(zhǎng)AD到F，使DF＝AE，連結(jié)BF，CF．補(bǔ)全圖形，猜想∠BFE與∠AFC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【分析】（1）①增加∠ABC＝36°，證明△ABC≌△ABE（ASA），即可的結(jié)論成立；②小明證明時(shí)所使用的△DAC中的三個(gè)條件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“兩角和它們的夾邊”的關(guān)系，所以不能使用“ASA”來(lái)證明，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角定義即可解決問(wèn)題；②根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形；過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，如圖4，證明△ABE≌△CAF（SAS），可得∠E＝∠AFC，然后利用線段的和差和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】（1）解：①增加∠ABC＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝36°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠DAC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠DAC＝36°，∴∠ABE＝∠ABC＝36°，∵∠BAC＝∠BAE＝180°﹣2×36°＝108°，∵AB＝AB，∴△ABC≌△ABE（ASA），∴AC＝AE．∴增加∠ABC＝36°時(shí)，AE＝AC成立．故答案為：36；②小明的證明不正確，他證明時(shí)所使用的△DAC中的三個(gè)條件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“兩角和它們的夾邊”的關(guān)系，所以不能使用“ASA”來(lái)證明．（2）①證明：如圖2，∵AB＝AC，∴∠3＝∠C，∵∠DBE＝∠1+∠3，∠4＝∠2+∠C，∠1＝∠2，∴∠DBE＝∠4．∴BE＝DE；②解：補(bǔ)全的圖形如圖3，猜想∠BFE＝∠AFC，證明：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，如圖4，∵DF＝AE，∴AE+AD＝DF+AD，∴DE＝AF，∵BE＝DE，∴BE＝AF．在△ABE與△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴∠E＝∠AFC，∵BA＝BD，BG⊥EF，∴DG＝AG，∵DF＝AE，∴DG+DF＝AG+AE，∴FG＝EG，∵BG⊥EF于點(diǎn)G，∴BE＝BF，∴∠BFE＝∠E，∴∠BFE＝∠AFC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABE≌△CAF．六．作圖-軸對(duì)稱變換（共2小題）16．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且AD＝AB，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．以直線CH為對(duì)稱軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P，連接CP（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）直接寫出AB與CP的位置關(guān)系；（3）用等式表示線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．以直線CH為對(duì)稱軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P，連接CP即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠BAD＝∠CAD，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知∠P＝∠CAD，據(jù)此可得出結(jié)論；（3）作輔助線，構(gòu)建等腰三角形，易證△ACH≌△AFH，則AC＝AF，HC＝HF，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：AG＝AH，再由線段的和可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖．（2）∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線CH對(duì)稱，∴∠P＝∠CAD，∴∠P＝∠BAD，∴AB∥CP；（3）線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系：2AH＝AB+AC．證明：延長(zhǎng)AB和CH交于點(diǎn)F，取BF的中點(diǎn)G，連接GH．在△ACH與△AFH中，，∴△ACH≌△AFH（ASA），∴AC＝AF，HC＝HF，∴GH∥BC，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠AGH＝∠AHG，∴AG＝AH，∴AB+AC＝AB+AF＝2AB+BF＝2（AB+BG）＝2AG＝2AH．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理等知識(shí)，熟練掌握這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，構(gòu)建等腰三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?北京期末）如圖，△ABC中，AB＜AC，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，∠BAD＝α．作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交直線AB'于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠AB'E和∠AFC的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）用等式表示線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)題中步驟畫圖，根據(jù)對(duì)稱和平行的性質(zhì)求解；（2）添加輔助線，證明線段相等，利用等量代換證明．【解答】解：（1）如圖：∵點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，∴AB＝AB′，∴△ABE≌△AB′E，∴∠BAF＝∠BAD＝a，∠AEB＝∠AEB′＝90°，∴∠AB′E＝90°﹣a，∵CF∥AB，∴∠AFC＝180°﹣2a；（2）AF＝AB+CF；理由：如圖：連接B′C，B′D，∵點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，D平分BC∴BD＝CD＝DB′，∴∠BB′C＝90°，∴∠CB′B＝90°﹣∠AB′B＝a，∴∠B′CF＝180°﹣∠CB′B﹣∠F＝a，∴∠CB′B＝∠B′CF，∴CF＝CB′，∵AB＝AB′，∴AF＝AB′+B′F＝AB+CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．七．幾何變換綜合題（共2小題）18．（2022秋?東城區(qū)期末）已知：在△ABC中，∠CAB＝2∠B．點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱，連接AD，CD，CD交直線AB于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠CAB＝60°時(shí)，如圖1．用等式表示，AD與AE的數(shù)量關(guān)系是：AE＝AD，BE與AE的數(shù)量關(guān)系是：BE＝3AE；（2）當(dāng)∠CAB是銳角（∠CAB≠60°）時(shí)，如圖2