滾動(dòng)習(xí)題(二) 范圍1.3~1.4 練習(xí)冊(cè)答案

滾動(dòng)習(xí)題(二)1.A[解析]∵a=(1,y,2),b=(-1,1,1),且a⊥b,∴a·b=-1+y+2=0,解得y=-1.故選A.2.D[解析]因?yàn)锳(0,0,0),B(1,-1,2),C(-1,-2,1),所以AB=(1,-1,2),AC=(-1,-2,1),則|AB|=6,|AC|=6,AC·AB=3,所以cos<AC,AB>=AC·AB|AC|·|AB|=12,又因?yàn)?≤<AC,AB>≤π,所以sin<AC,AB>=32,則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積S=|AC|·|AB|sin<AC3.C[解析]由題意可知PA·n=0.對(duì)于A,PA=(-4,-4,-3),因?yàn)镻A·n=12+0-12=0,所以點(diǎn)(5,5,5)在平面α內(nèi),故點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為(5,5,5);對(duì)于B,PA=(-8,-6,-6),因?yàn)镻A·n=24+0-24=0,所以點(diǎn)(9,7,8)在平面α內(nèi),故點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為(9,7,8);對(duì)于C,PA=(8,-1,10),因?yàn)镻A·n=-24+0+40≠0,所以點(diǎn)(-7,2,-8)不在平面α內(nèi),故點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能為(-7,2,-8);對(duì)于D,PA=(4,1,3),因?yàn)镻A·n=-12+0+12=0,所以點(diǎn)(-3,0,-1)在平面α內(nèi),故點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為(-3,0,-1).故選C.4.B[解析]對(duì)于A選項(xiàng),若a∥n,則a為平面α的一個(gè)法向量,故直線a⊥平面α,A為真命題;對(duì)于B選項(xiàng),若a⊥n,則直線a∥平面α或直線a?平面α,B為假命題;對(duì)于C選項(xiàng),若cos<a,n>=12,則直線a與平面α所成角的大小為π6,C為真命題;對(duì)于D選項(xiàng),若cos<m,n>=12,則平面α與β的夾角為π3,D為真命題5.C[解析]由題可知D(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,1),A(2,2,0),所以BD=(2,-2,0),DE=(-2,0,1),設(shè)平面BDE的法向量為n=(a,b,c),則BD·n=2a-2b=0,DE·n=-2a+c=0,令a=1,得n=(1,1,2).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,x,1),則AM=(x-2,x-2,1),因?yàn)锳M∥平面BDE,所以AM·n=0,6.C[解析]設(shè)圓臺(tái)的上底面圓心為M,下底面圓心為O,連接OM,則OM=CB2-AB-CD22=22-4-222=3.連接OE,因?yàn)镋是弧AB的中點(diǎn),所以O(shè)E⊥AB.以O(shè)為原點(diǎn),OE,OB,OM所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-2,0),C(0,1,3),E(2,0,0),F0,32,32,所以AC=(0,3,3),EF=-2,32,32,則cos<AC,EF>=AC7.ACD[解析]設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a(a>0),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.對(duì)于選項(xiàng)A,A(0,0,0),D(0,a,0),B1(a,0,a),C(a,a,0),D1(0,a,a),則DB1=(a,-a,a),AC=(a,a,0),AD1=(0,a,a),設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x1,y1,z1),則n·AC=ax1+ay1=0,n·AD1=ay1+az1=0,取x1=1,可得平面ACD1的一個(gè)法向量為n=(1,-1,1),因?yàn)镈B1=an,所以DB1⊥平面ACD1,A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)E(b,a-b,a)(0≤b≤a),則AE=(b,a-b,a),由正方體的性質(zhì)可知AC=(a,a,0)為平面BB1D1D的一個(gè)法向量,設(shè)直線AE與平面BB1D1D所成角為α,則sinα=|cos<AE,AC>|=|AE·AC||AE||AC|=|ab+a(a-b)|b2+(a-b)2+a2·a2+a2=a2a2+b2-ab,不是定值,B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,A1(0,0,a),C1(a,a,a),B(a,0,0),則A1C1=(a,a,0),A1B=(a,0,-a),設(shè)平面A1C1B的法向量為m=(x2,y2,z2),則m·A1C1=ax2+ay8.AD[解析]對(duì)于A,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,由題意易得ED∥BB1∥AA1,又ED?平面ACC1A1,AA1?平面ACC1A1,所以ED∥平面ACC1A1,A正確;對(duì)于B,在Rt△A1B1C1中,B1C1=A1B12+A1C12=13,在Rt△B1C1C中,斜邊B1C=B1C12+C1C2=17,斜邊B1C上的高h(yuǎn)=B1C1·C1CB1C=2×1317=222117,則點(diǎn)C1到直線B1C的距離為222117,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由AA1∥CC1,得異面直線B1C與AA1所成角即為∠B1CC1或其補(bǔ)角,在Rt△B1CC1中,CC1=2,B1C1=13,則tan∠B1CC1=B1C1CC1=132,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,AC,AA1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),B1(3,0,2),所以AC=(0,2,0),BC=(-3,2,0),B1C=(-3,2,-2),設(shè)平面BB1C的法向量為m=(9.-2[解析]∵l⊥α,直線l的一個(gè)方向向量為(4,2,m),平面α的一個(gè)法向量為(2,1,-1),∴向量(4,2,m)與向量(2,1,-1)平行,則存在實(shí)數(shù)λ,使(4,2,m)=λ(2,1,-1),即4=2λ,2=λ10.-567[解析]以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽C=1,AB=2,DD1=3,所以D(0,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0),A1(1,0,3),C1(0,2,3),D1(0,0,3).因?yàn)锽D1=(-1,-2,3),C1D=(0,-2,-3),所以BD1·C1D=0+(-2)×(-2)+3×(-3)=-5.設(shè)平面A1C1B的法向量為n=(x,y,z),因?yàn)锳1C1=(-1,2,0),BC1=(-1,0,3),所以A1C1·n=-x+2y=0,BC11.34,12∪32,+∞[解析]以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,4),C(0,3,0),設(shè)N(x,3,z)(0<x<3,0<z<4),則D1N=(x,3,z-4),CN=(x,0,z),因?yàn)镈1N⊥CN,所以D1N·CN=x2+z2-4z=0,則x2=-z2+4z,又0<x<3,所以0<-z2+4z<3,解得0<z<1或3<z<4.易知平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),所以sinθ=|D1N·n||D1N|·|12.解:(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,2),B(2,2,0),D(0,0,0),E(0,1,1),所以PB=(2,2,-2),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1).設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),則DB·n=2x+2y=0,DE·n=y+z=0,取y=-1,則平面BDE的一個(gè)法向量為n=(1,-(2)由(1)可知A(2,0,0),則AB=(0,2,0),所以點(diǎn)A到平面BDE的距離為|AB·n||13.解:(1)證明:根據(jù)圓柱的幾何性質(zhì),以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)圓柱的底面半徑為1,則高為2,則A(0,0,0),P(0,0,2),O(0,1,0),C(0,2,0).設(shè)B(x,y,0),0<y<2,則OB=(x,y-1,0).易知D點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱,所以D(-x,2-y,0).因?yàn)閨OB|=x2+(y-1)2=1,所以x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,可得x2+y2=2y.AB=(x,y,0),PD=(-x,2-y,-2),則AB·PD=-x2+y(2-y)=-(x2+y2)+2y=0,所以AB(2)若∠AOB=π3,則△AOB是等邊三角形,所以B32,12,0,D-32,32,0,所以PC=(0,2,-2),BC=-32,32,0則n1·BC=-32x1+32y1=0,n1·PC=2y1-2z1=0,取y1=1,得n1=(3,1,1),同理可求得平面DPC的一個(gè)法向量為n2=(1,-3,-3故平面BPC與平面DPC的夾角的正弦值為47014.解:(1)證明:因?yàn)锳,D分別為MB,MC的中點(diǎn),所以AD∥BC.因?yàn)锽M⊥BC,所以BM⊥AD,所以PA⊥AD.又PA⊥AB,AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.(2)由題意知AP,AB,AD兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,依題意有A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(1,1,1),則PC=(2,2,-2),DE=(1,0,1),BD=(-2,1,0),BP=(-2,0,2).設(shè)平面PBD的法向量為n=(x1,y1,z1),則BD·n=-2x1+y1=0,BP·n=-2x1+2因?yàn)閏os<DE,n>=DE·n|DE|·|n|=(1,0,1)·((3)假設(shè)存在λ,使平面PAD與平面ADG夾角的正弦值為1010,即使平面PAD與平面ADG夾角的余弦值為31010.由(2)得,PG=λPC=(2λ,2λ,-2λ所以G(2λ,2λ,2-2λ).易得平面PAD的一個(gè)