高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專(zhuān)用)考點(diǎn)35空間直線、平面的平行12種常見(jiàn)考法歸類(lèi)(原卷版+解析)

考點(diǎn)35空間直線、平面的平行12種常見(jiàn)考法歸類(lèi)考點(diǎn)一線面平行的判斷考點(diǎn)二直線與平面平行的證明利用三角形的中位線證明線面平行（二）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行（三）利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線面平行（四）利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行（五）通過(guò)面面平行證線面平行（六）利用空間向量法證線面平行考點(diǎn)三直線與平面平行的探索性問(wèn)題考點(diǎn)四利用線面平行的性質(zhì)證線線平行考點(diǎn)五由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置考點(diǎn)六由線面平行求線段長(zhǎng)度考點(diǎn)七面面平行的判斷考點(diǎn)八平面與平面平行的證明（一）利用面面平行的判定證明面面平行（二）利用空間向量法證明面面平行考點(diǎn)九平面與平面平行的探索性問(wèn)題考點(diǎn)十利用面面平行證線線平行或線面平行考點(diǎn)十一平行關(guān)系的綜合應(yīng)用考點(diǎn)十二翻折類(lèi)問(wèn)題1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．線面平行的判定定理必須具備三個(gè)條件(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可．3．應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；②三角形中位線法；③平行四邊形法；④線段成比例法．提醒：線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．4．線面平行的證明方法（1）定義法：一般用反證法；（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程；（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.5．線面平行性質(zhì)的應(yīng)用證明線線平行，常常將線面平行轉(zhuǎn)化為該線與過(guò)該線的一個(gè)平面和已知平面的交線平行.在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書(shū)寫(xiě)步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．利用面面平行的性質(zhì)證明直線與平面平行關(guān)鍵是構(gòu)造過(guò)該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．7．證明方法“一找二作三證明”“一找二作三證明”是證明線面平行的常用方法，此證明方法分為三步，具體的操作流程如下：第一步，就是“一找”：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個(gè)平面內(nèi)“找”出一條直線與已知直線平行即可.其次是“一找”的原則：一是要“找”的是線線平行，二是要在一個(gè)平面圖形中“找”.第二步，就是“二作”：在分析題意之后，若不能直接“找”到所需要證明的線線平行的關(guān)系，則進(jìn)入“二作”的程序.從三個(gè)方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作輔助線或輔助平面，有簡(jiǎn)單的“作”或復(fù)雜的“作”；第二方面，每一次"作"的時(shí)候都要圍繞證明所需去"作"，要證平行關(guān)系就去“作”線線平行；第三方面，要把線線平行的關(guān)系“作”在一個(gè)平面圖形中.第三步，就是"三證明"：經(jīng)過(guò)第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫(xiě)出證明命題的整體過(guò)程.在"三證明"中要注意三點(diǎn)，第一，數(shù)學(xué)符號(hào)要標(biāo)準(zhǔn)，幾何語(yǔ)言表述要規(guī)范；第二，書(shū)寫(xiě)要有層次性；第三，最后表述證明結(jié)果時(shí)要嚴(yán)格遵守判定定理的條件.8．線線平行的常見(jiàn)找法依據(jù)：（1）構(gòu)造三角形的中位線證明線面平行，通常需運(yùn)用線面平行的判定定理：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.那么在證明線面平行時(shí)，需找到一組平行線，使得其中一條直線在平面外，另一條直線在平面內(nèi).若已知一條線段的中點(diǎn)，且平面內(nèi)或外的一條直線為三角形的底邊，則可過(guò)三角形的中點(diǎn)作三角形的中位線，那么就可以根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)：中位線平行且等于底邊的一半，來(lái)證明線面平行.在構(gòu)造三角形的中位線時(shí)，要注意關(guān)注中點(diǎn)、線段的垂直平分線、三角形的重心等信息，結(jié)合圖形的特征尋找中位線。（2）構(gòu)造平行四邊形我們知道，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.在證明線面平行時(shí)，可根據(jù)圖形的特點(diǎn)，找到一組對(duì)邊平行且相等的線段，分別將這四點(diǎn)連接，便可構(gòu)造出平行四邊形，使另一組對(duì)邊分別為平面內(nèi)外的一條直線，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理證明線面平行.通過(guò)直觀觀察，若平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線長(zhǎng)度相等，一般猜想構(gòu)造平行四邊形，這時(shí)利用平行四邊形對(duì)邊平行得出線線平行，進(jìn)而得到線面平行。（3）利用相似比尋找線平行如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工具。題目中出現(xiàn)比值關(guān)系時(shí)，可考慮利用比值關(guān)系，尋找線線平行，進(jìn)而得到線面平行。（4）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到直線與直線平行，進(jìn)而得到直線與平面平行。先證明線面平行（或題目已知線面平行），再利用線面平行的性質(zhì)定理，得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行。（5）構(gòu)造平行平面面面平行的性質(zhì)有很多，常見(jiàn)的有：（1）若兩個(gè)平面平行，則在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面；（2）若兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行.在證明線面平行時(shí)，只要證明直線所在的平面和平面平行，那么就可以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證明直線和平面平行.當(dāng)構(gòu)造三角形和平行四邊形困難時(shí)，可以考慮構(gòu)造平行平面.若要證明平面，只需構(gòu)造一個(gè)平面//平面，且，那么根據(jù)平行平面的性質(zhì)，即可證明平面.在構(gòu)造平行平面時(shí)，可在平面內(nèi)作一條直線，使其平行于.也可直接根據(jù)正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱的性質(zhì)構(gòu)造平行平面.（6）利用線面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.（7）平行線的傳遞性平行于同一條直線的兩條直線平行.9．尋找線線平行技巧：（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點(diǎn)，連接，如圖三；（4）此時(shí)長(zhǎng)度有長(zhǎng)有短，連接并延長(zhǎng)剛好交于一點(diǎn)，剛好構(gòu)成型模型（為中點(diǎn)，則也為中點(diǎn)，若為等分點(diǎn)，則也為對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)），，如圖四．圖一 圖二 圖三 圖四10．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b11．平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.(5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.(6)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．(7)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(8)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等.12．證明面面平行的常用方法（1）利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（l⊥α，l⊥β?α∥β）；（4）利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行（α∥β，β∥γ?α∥γ）.13．面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行；(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行．注：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說(shuō)明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.14．線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定線∥面線∥線面∥面15．空間位置平行關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2（k∈R）直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝km（k∈R）考點(diǎn)一線面平行的判斷1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如果平面外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面的距離都是a，則直線和平面的位置關(guān)系是_________．2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面，那么這樣的平面（

）A．不存在 B．只有一個(gè) C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不能確定3．（2023·北京·101中學(xué)校考三模）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿(mǎn)足直線平面ABC的是（

）A．B．C．D．6．（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)校考三模）如圖所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在平面與直線垂直B．四邊形可能是正方形C．不存在平面與直線平行D．任意平面與平面垂直考點(diǎn)二直線與平面平行的證明（一）利用三角形的中位線證明線面平行7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的三棱錐中，已知，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.8．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出與長(zhǎng)度的比值，若不存在，說(shuō)明理由．9．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，E為PB的中點(diǎn)，已知，.

(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)C到平面的距離；(3)若平面平面，求直線EC與平面所成角的正弦值.10．（2023·上海普陀·曹楊二中校考三模）如圖，在四棱錐中，正方形的邊長(zhǎng)為2，平面平面，且，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的大小.11．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點(diǎn)，求證：直線平面；(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)C到平面的距離．（二）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，，.

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若多面體的體積為32，求的值.13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，E、F分別是、的中點(diǎn)，又二面角大小為.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)設(shè)，求點(diǎn)A到平面的距離.14．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)當(dāng)=時(shí)，求證：平面⊥平面，并求點(diǎn)與到平面的距離.16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．17．（2023·安徽安慶·安慶一中校考三模）如圖,四棱錐中,底面為的中點(diǎn).

(1)若點(diǎn)在上,,證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.18．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求證：平面；(2)若與所成的角為，求多面體的體積．19．（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.(1)求證：直線EC與平面ABD沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)求點(diǎn)C到平面BED的距離.（三）利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線面平行20．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；(2)已知，，若與平面所成角的正切值為，求到平面的距離.21．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；(2)已知，若到平面的距離為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)求二面角的正弦值．23．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)，已知點(diǎn)分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；(2)若，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，，，沿將翻折到的位置，如圖2，.

(1)證明：平面；(2)求平面和平面的夾角.（四）利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.(1)求證：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，分別為的中點(diǎn)，平面與底面的交線為.(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為，試問(wèn)在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿(mǎn)足？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.27．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）四棱錐中，底面為矩形，，，平面與平面的交線為.

(1)求證：直線平行于平面；(2)求二面角的余弦值.（五）通過(guò)面面平行證線面平行28．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．29．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，為點(diǎn)在平面上的射影，為的中點(diǎn)．(1)證明：∥平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．30．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．31．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．32．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.（六）利用空間向量法證線面平行33．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn)，，，.(1)證明：平面；(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.34．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.35．（2023·天津南開(kāi)·南開(kāi)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點(diǎn)，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.36．（2023·天津·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說(shuō)明理由．37．（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分別為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).

(1)求證：//平面ABC；(2)求平面CED與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．38．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.考點(diǎn)三直線與平面平行的探索性問(wèn)題39．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖（1），點(diǎn)E是直角梯形ABCD底邊CD上的一點(diǎn)，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，將沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，連接CD和BD，如圖（2）．(1)求證：平面平面BCD；(2)在線段BD上確定一點(diǎn)F，使得平面ADE.40．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，與交于點(diǎn)M，，的中點(diǎn)分別為N，O，如圖所示.(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使平面，并加以證明；(2)求二面角的正弦值.41．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，三棱臺(tái)中，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出的值；(2)若，，點(diǎn)到平面的距離為，且點(diǎn)在底面的射影落在內(nèi)部，求直線與平面所成角的正弦值.42．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，三棱錐中，底面與側(cè)面是全等三角形，側(cè)面是正三角形，，，，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，平面與平面相交于直線．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．43．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，為中點(diǎn).(1)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由；(2)若平面，，求平面與平面所成角的余弦值.考點(diǎn)四利用線面平行的性質(zhì)證線線平行44．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，已知是平行四邊形，點(diǎn)P是平面外一點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)G，過(guò)G和作平面交平面于，則與的位置關(guān)系是_________．

45．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，在三棱柱中，是中點(diǎn)，平面，平面與棱交于點(diǎn)，，(1)求證：；(2)若與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．46．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為線段AD的中點(diǎn).PE⊥底面ABCD，點(diǎn)F是棱PC的中點(diǎn)，平面BEF與棱PD相交于點(diǎn)G.(1)求證：；(2)若PC與AB所成的角為，求直線PB與平面BEF所成角的正弦值.47．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，三棱臺(tái)中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，平面平面．

(1)證明：；(2)若平面平面，，，求直線與平面所成角的正弦值．48．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．49．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在為等腰直角三角形，，D、E分別是邊和的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使面面，H、F分別是邊和的中點(diǎn)，平面與、分別交于I、G兩點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)求的長(zhǎng)．考點(diǎn)五由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置50．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面與平面相交于直線，∥l．

(1)證明：是的中點(diǎn)；(2)若平面平面，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)在直線上且不與重合，求平面與平面的夾角的余弦值．51．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.52．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿(mǎn)足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.考點(diǎn)六由線面平行求線段長(zhǎng)度53．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若平面，求的長(zhǎng)度；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．54．（2023·全國(guó)·?？寄M預(yù)測(cè)）在底面為等邊三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中點(diǎn)，M是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面ABD，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B．2 C． D．55．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┤鐖D，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，，點(diǎn)在上.

(1)若平面，求；(2)若是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.56．（2023·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，上有點(diǎn)，平面.(1)求的值；(2)若平面，，，求二面角的正弦值.考點(diǎn)七面面平行的判斷57．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，則∥的一個(gè)充分條件是（

）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個(gè)平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線58．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是空間兩個(gè)不同的平面，命題：“”，命題：“平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行”，則是的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件59．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎獌蓷l不同的直線l，m及三個(gè)不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（

）A．l與α，β所成角相等 B．，C．，， D．，，60．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）正方體的平面展開(kāi)圖如圖所示，在這個(gè)正方體中，①與平行；②與是異面直線；③與平面平行；④平面與平面平行．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_________．

61．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個(gè)命題：①，，則；②若，，則；③，，則；④若，，則；⑤若，，則；⑥若，，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1考點(diǎn)八平面與平面平行的證明（一）利用面面平行的判定證明面面平行62．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．

(1)求證：平面平面PCD；(2)求二面角P－EF－O的正弦值．63．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在幾何體中，四邊形是等腰梯形，四邊形是正方形，且平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．64．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．65．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，如圖1，在直角梯形中，．把沿對(duì)角線折起到的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面上的正投影H恰好落在線段上，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面//平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)M，使得M到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．66．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖所示，已知是圓錐底面的兩條直徑，為劣弧的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，為線段上的一點(diǎn)，且，求證：平面平面．67．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.（二）利用空間向量法證明面面平行68．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，AA1中點(diǎn)為E，CC1中點(diǎn)為F．(1)求證：平面BDE∥平面B1D1F；(2)連結(jié)B1D，求直線B1D與平面BDE所成的角的大小．69．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在八面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，二面角與二面角的大小都是，，．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)為的重心，是否在棱上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求到平面的距離，若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)九平面與平面平行的探索性問(wèn)題70．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請(qǐng)說(shuō)明理由．71．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．72．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是平行四邊形，分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在底面四邊形內(nèi)部（包括邊界）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在求點(diǎn)的位置，并求的最大值，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.73．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面.(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．74．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤鐖D，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分別是，的中點(diǎn)，H是AB邊上一動(dòng)點(diǎn).

(1)是否存在點(diǎn)使得平面平面，若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)求多面體的體積.考點(diǎn)十面面平行性質(zhì)的應(yīng)用75．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，平面平面，，則_________．

76．【多選】（2023春·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等B．三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直C．如果直線平面，，那么過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線有無(wú)數(shù)條，且一定在內(nèi)D．已知，為異面直線，平面，平面，若直線滿(mǎn)足，，，，則與相交，且交線平行于考點(diǎn)十一平行關(guān)系的綜合應(yīng)用77．【多選】（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考一模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，E為AB的中點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則（

）A．若∥平面，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為B．平面與平面ABCD的夾角的正切值為C．平面截正方體所得的截面多邊形的周長(zhǎng)為D．不存在一條直線l，使得l與正方體的所有棱所成的角都相等78．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值B．若平面，則的最小值為C．若的外心為，則為定值2D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為79．【多選】（2023·河北滄州·滄縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱中，分別是棱的中點(diǎn)，連接是線段的中點(diǎn)，是線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．平面平面B．三棱錐的體積與正三棱柱的體積之比為C．直線與平面所成的角為D．若，則過(guò)三點(diǎn)作平面，截正三棱柱所得截面圖形的面積為80．【多選】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，P，Q分別為棱，BC的中點(diǎn)，則（

）

A．平面 B．平面平面C．三棱柱的側(cè)面積為 D．三棱錐的體積為考點(diǎn)十二翻折類(lèi)問(wèn)題81．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿(mǎn)足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.

(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求四棱錐的體積.82．（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，，M為BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折，構(gòu)成四棱錐，N為的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，①對(duì)于任意一個(gè)位置總有平面；②存在某個(gè)位置，使得；③存在某個(gè)位置，使得；④四棱錐的體積最大值為．上面說(shuō)法中所有正確的序號(hào)是____________．83．（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．84．【多選】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使B點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．存在點(diǎn)P，使得C．存在點(diǎn)P，使得 D．三棱錐的體積最大值為85．【多選】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，、分別為、的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿問(wèn)上翻折，使點(diǎn)移到點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球表面積為86．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正三角形中，、、分別是、、邊上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：：：：如圖將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)如圖

(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的大?。键c(diǎn)35空間直線、平面的平行12種常見(jiàn)考法歸類(lèi)考點(diǎn)一線面平行的判斷考點(diǎn)二直線與平面平行的證明利用三角形的中位線證明線面平行（二）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行（三）利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線面平行（四）利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行（五）通過(guò)面面平行證線面平行（六）利用空間向量法證線面平行考點(diǎn)三直線與平面平行的探索性問(wèn)題考點(diǎn)四利用線面平行的性質(zhì)證線線平行考點(diǎn)五由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置考點(diǎn)六由線面平行求線段長(zhǎng)度考點(diǎn)七面面平行的判斷考點(diǎn)八平面與平面平行的證明（一）利用面面平行的判定證明面面平行（二）利用空間向量法證明面面平行考點(diǎn)九平面與平面平行的探索性問(wèn)題考點(diǎn)十利用面面平行證線線平行或線面平行考點(diǎn)十一平行關(guān)系的綜合應(yīng)用考點(diǎn)十二翻折類(lèi)問(wèn)題1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．線面平行的判定定理必須具備三個(gè)條件(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可．3．應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；②三角形中位線法；③平行四邊形法；④線段成比例法．提醒：線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．4．線面平行的證明方法（1）定義法：一般用反證法；（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程；（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.5．線面平行性質(zhì)的應(yīng)用證明線線平行，常常將線面平行轉(zhuǎn)化為該線與過(guò)該線的一個(gè)平面和已知平面的交線平行.在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書(shū)寫(xiě)步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．利用面面平行的性質(zhì)證明直線與平面平行關(guān)鍵是構(gòu)造過(guò)該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．7．證明方法“一找二作三證明”“一找二作三證明”是證明線面平行的常用方法，此證明方法分為三步，具體的操作流程如下：第一步，就是“一找”：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個(gè)平面內(nèi)“找”出一條直線與已知直線平行即可.其次是“一找”的原則：一是要“找”的是線線平行，二是要在一個(gè)平面圖形中“找”.第二步，就是“二作”：在分析題意之后，若不能直接“找”到所需要證明的線線平行的關(guān)系，則進(jìn)入“二作”的程序.從三個(gè)方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作輔助線或輔助平面，有簡(jiǎn)單的“作”或復(fù)雜的“作”；第二方面，每一次"作"的時(shí)候都要圍繞證明所需去"作"，要證平行關(guān)系就去“作”線線平行；第三方面，要把線線平行的關(guān)系“作”在一個(gè)平面圖形中.第三步，就是"三證明"：經(jīng)過(guò)第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫(xiě)出證明命題的整體過(guò)程.在"三證明"中要注意三點(diǎn)，第一，數(shù)學(xué)符號(hào)要標(biāo)準(zhǔn)，幾何語(yǔ)言表述要規(guī)范；第二，書(shū)寫(xiě)要有層次性；第三，最后表述證明結(jié)果時(shí)要嚴(yán)格遵守判定定理的條件.8．線線平行的常見(jiàn)找法依據(jù)：（1）構(gòu)造三角形的中位線證明線面平行，通常需運(yùn)用線面平行的判定定理：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.那么在證明線面平行時(shí)，需找到一組平行線，使得其中一條直線在平面外，另一條直線在平面內(nèi).若已知一條線段的中點(diǎn)，且平面內(nèi)或外的一條直線為三角形的底邊，則可過(guò)三角形的中點(diǎn)作三角形的中位線，那么就可以根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)：中位線平行且等于底邊的一半，來(lái)證明線面平行.在構(gòu)造三角形的中位線時(shí)，要注意關(guān)注中點(diǎn)、線段的垂直平分線、三角形的重心等信息，結(jié)合圖形的特征尋找中位線。（2）構(gòu)造平行四邊形我們知道，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.在證明線面平行時(shí)，可根據(jù)圖形的特點(diǎn)，找到一組對(duì)邊平行且相等的線段，分別將這四點(diǎn)連接，便可構(gòu)造出平行四邊形，使另一組對(duì)邊分別為平面內(nèi)外的一條直線，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理證明線面平行.通過(guò)直觀觀察，若平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線長(zhǎng)度相等，一般猜想構(gòu)造平行四邊形，這時(shí)利用平行四邊形對(duì)邊平行得出線線平行，進(jìn)而得到線面平行。（3）利用相似比尋找線平行如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工具。題目中出現(xiàn)比值關(guān)系時(shí)，可考慮利用比值關(guān)系，尋找線線平行，進(jìn)而得到線面平行。（4）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到直線與直線平行，進(jìn)而得到直線與平面平行。先證明線面平行（或題目已知線面平行），再利用線面平行的性質(zhì)定理，得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行。（5）構(gòu)造平行平面面面平行的性質(zhì)有很多，常見(jiàn)的有：（1）若兩個(gè)平面平行，則在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面；（2）若兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行.在證明線面平行時(shí)，只要證明直線所在的平面和平面平行，那么就可以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證明直線和平面平行.當(dāng)構(gòu)造三角形和平行四邊形困難時(shí)，可以考慮構(gòu)造平行平面.若要證明平面，只需構(gòu)造一個(gè)平面//平面，且，那么根據(jù)平行平面的性質(zhì)，即可證明平面.在構(gòu)造平行平面時(shí)，可在平面內(nèi)作一條直線，使其平行于.也可直接根據(jù)正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱的性質(zhì)構(gòu)造平行平面.（6）利用線面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.（7）平行線的傳遞性平行于同一條直線的兩條直線平行.9．尋找線線平行技巧：（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點(diǎn)，連接，如圖三；（4）此時(shí)長(zhǎng)度有長(zhǎng)有短，連接并延長(zhǎng)剛好交于一點(diǎn)，剛好構(gòu)成型模型（為中點(diǎn)，則也為中點(diǎn)，若為等分點(diǎn)，則也為對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)），，如圖四．圖一 圖二 圖三 圖四10．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b11．平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.(5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.(6)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．(7)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(8)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等.12．證明面面平行的常用方法（1）利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（l⊥α，l⊥β?α∥β）；（4）利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行（α∥β，β∥γ?α∥γ）.13．面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行；(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行．注：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說(shuō)明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.14．線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定線∥面線∥線面∥面15．空間位置平行關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2（k∈R）直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝km（k∈R）考點(diǎn)一線面平行的判斷1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如果平面外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面的距離都是a，則直線和平面的位置關(guān)系是_________．【答案】平行或相交【分析】若在平面的同側(cè)，可判斷直線和平面平行；若在平面的兩側(cè)，可判斷直線和平面相交；【詳解】若在平面的同側(cè)，因?yàn)槠矫嫱庥袃牲c(diǎn)到平面的距離相等，所以直線和平面平行；若在平面的兩側(cè)，因?yàn)槠矫嫱庥袃牲c(diǎn)到平面的距離相等，所以直線和平面相交；綜上所述:直線和平面的位置關(guān)系一定是平行或相交故答案為：平行或相交.2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面，那么這樣的平面（

）A．不存在 B．只有一個(gè) C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不能確定【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)所在的直線與已知直線的位置關(guān)系分類(lèi)分析即可得結(jié)論.【詳解】過(guò)直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面，如果兩點(diǎn)所在的直線與已知直線相交,則這樣的平面不存在;如果兩點(diǎn)所在的直線與已知直線平行,則這樣的平面有無(wú)數(shù)個(gè);如果兩點(diǎn)所在的直線與已知直線異面,則這樣的平面只有一個(gè).因此只有D正確.故選：D.3．（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎莾蓷l不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中線面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，若，則與可能相交、平行或，A錯(cuò)；若，則或，B錯(cuò)；若，則或相交，C錯(cuò)；若，則確定一個(gè)平面，設(shè)為，又，所以，則由面面平行的判定定理得，D正確.故選：D4．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)B；求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)C，D.【詳解】選項(xiàng)A：若，則或異面或相交.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若，則或.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若，則或相交.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若，則必有，又，則，則.判斷正確.故選：D5．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿(mǎn)足直線平面ABC的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿(mǎn)足；

對(duì)于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿(mǎn)足；

對(duì)于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿(mǎn)足；

對(duì)于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿(mǎn)足.

故選：D.6．（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)校考三模）如圖所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在平面與直線垂直B．四邊形可能是正方形C．不存在平面與直線平行D．任意平面與平面垂直【答案】D【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再由，即可判斷B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)為的中點(diǎn)，即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法說(shuō)明D.【詳解】對(duì)于A：在正方體中平面，顯然平面與平面不平行，故直線不可能垂直平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在正方體中，是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，由平面平面，并且四點(diǎn)共面，平面平面，平面平面，∴，同理可證，故四邊形是平行四邊形，在正方體中，由幾何知識(shí)得，平面，∵平面，∴，若是正方形，有，此時(shí)與重合時(shí)，但顯然四邊形不是正方形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

由幾何知識(shí)得，,∴,∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴任意平面與平面垂直，故D正確.故選：D考點(diǎn)二直線與平面平行的證明（一）利用三角形的中位線證明線面平行7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的三棱錐中，已知，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可證結(jié)論正確；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭堑闹形痪€，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，，則.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，得，取，得，則，所以，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.8．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出與長(zhǎng)度的比值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在；【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，由于四邊形為矩形，所以O(shè)為的中點(diǎn)，又D是棱的中點(diǎn)，故在中，是的中位線，因此//，平面，平面，所以//平面（2）由平面，可知，三棱柱為直三棱柱，且底面為直角三角形，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則，，，，，由，得，，，設(shè)平面的法向量為，則取，則，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，可得，因?yàn)?，整理得，解得或，由于，所以，所以棱上存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成角的余弦值為，此時(shí).9．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，E為PB的中點(diǎn)，已知，.

(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)C到平面的距離；(3)若平面平面，求直線EC與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）利用三角形的中位線得到線線平行，再通過(guò)線面平行的判定定理即可得證；（2）利用等體積法轉(zhuǎn)化即可求解；（3）通過(guò)面面垂直性質(zhì)定理，得出線面垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角正弦的向量計(jì)算方法即可求解.【詳解】（1）連接，交于，連接，由條件得為的中點(diǎn)，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?/p>

（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以到平面的距離等于到平面的距離等于倍，因?yàn)椋?，由，可得，因?yàn)?，，所以，故點(diǎn)C到平面的距離為；（3）作，交于，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，則平面，過(guò)作，交于，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，平面平面，平面平面，所以平面，所以即為到平面的距離，由小問(wèn)2可知點(diǎn)C到平面的距離為，即，從而正方形邊長(zhǎng)為2，故，因?yàn)?，所以，所以，，，，，則，，;設(shè)平面的法向量為，由，，得，取，即，設(shè)直線EC與平面所成角為，則，所以直線EC與平面所成角的正弦值為.

10．（2023·上海普陀·曹楊二中校考三模）如圖，在四棱錐中，正方形的邊長(zhǎng)為2，平面平面，且，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接可得為的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明；（2）利用四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及線面垂直的判定定理，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量和線面角的位置關(guān)系，即可求得直線與平面所成角的大小為.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，連接，則交與；如下圖所示：

在中，為的中點(diǎn)，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）由平面平面，且平面平面，又四邊形是正方形，所以，又平面，所以平面；過(guò)點(diǎn)作直線平行于，又，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，直線，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系；如下圖所示：

由正方形的邊長(zhǎng)為2，，可得，；所以；；又點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，所以；即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為；所以，可得，令，解得；即設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得；所以直線與平面所成角的大小為.11．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點(diǎn)，求證：直線平面；(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可證平面，平面，建系，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，平面，平面，所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點(diǎn)C到平面的距離.

（二）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，，.

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若多面體的體積為32，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）多面體ABCDEF的體積等于，分別求出代入化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】（1）證明：連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

（2）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，AE⊥平面ABCD，所以AB，AD，AE兩兩垂直，

連接AC，多面體ABCDEF的體積等于.因?yàn)锳B=AE=2CF=2m，所以四棱錐B-ACFE和四棱錐D-ACFE的高都為，四邊形（直角梯形）ACFE的面積為，所以多面體ABCDEF的體積等于，因?yàn)槎嗝骟wABCDEF的體積為32，所以4m3=32，解得m=2.13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，E、F分別是、的中點(diǎn)，又二面角大小為.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)設(shè)，求點(diǎn)A到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)1【分析】（1）取PC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，借助中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)易得AFGE，即可證明；（2）要證平面PEC⊥平面PCD，只需證EG⊥平面PCD，又AFEG，易知AF⊥平面PCD；（3）由（1）（2）知AF平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，過(guò)F作FH⊥PC交PC于H，則FH⊥平面PEC，F(xiàn)H的長(zhǎng)度為F到平面PEC的距離.【詳解】（1）取PC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，因?yàn)镕為PD的中點(diǎn)，所以GFCD，GFCD，因?yàn)镃DAB，CDAB，又E為AB的中點(diǎn)，所以AEGF，AEGF，所以四邊形AEGF為平行四邊形，所以AFGE，且平面PEC，因此AF平面PEC.（2）因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以PACD，因?yàn)椋?，平面PAD，平面PAD，所以CD平面PAD，平面PAD，平面PAD，所以CDAF，CDPD，所以二面角的平面角為，則，又且F為斜邊PD的中點(diǎn)，所以，又，平面PCD，平面PCD，所以AF⊥平面PCD，由（1）知AFGE，所以EG⊥平面PCD.因?yàn)镋G平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.（3）由（2）知平面PCD⊥平面PEC，過(guò)F作FH⊥PC交PC于H，因?yàn)槠矫鍼CD平面PECPC，平面PCD，則FH⊥平面PEC，所以FH的長(zhǎng)度為F到平面PEC的距離，由（1）知AF平面PEC，所以FH的長(zhǎng)度點(diǎn)A到平面PEC的距離，在與中，為公共角，，所以∽，所以，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)A到平面的距離為1.14．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)椋?，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，所以，又，所?15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)當(dāng)=時(shí)，求證：平面⊥平面，并求點(diǎn)與到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析，距離為【分析】（1）利用線面平行判定定理即可證得平面；（2）利用面面垂直判定定理即可證得平面⊥平面；利用三棱錐等體積法即可求得點(diǎn)與到平面的距離.【詳解】（1）取線段的中點(diǎn),連接,則為的中位線,∴由題知,∴,∴四邊形為平行四邊形.∴又∵平面,平面,∴平面（2）在中，∵,∴.又∵,平面∴平面，平面，∴平面平面，∵為的中點(diǎn)，∴到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半.∵平面，∴平面∴.∴取中點(diǎn)，連接，又為等邊三角形，則.∵平面平面，∴平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.由，得，解得.∴點(diǎn)到平面的距離為

16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接．先證明，再證明平面．（2）利用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接．因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面平面，所以平面．?）在平面中，過(guò)作，在平面中，過(guò)作．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面．所以，所以?xún)蓛苫ハ啻怪保詾樵c(diǎn)，向量的方向分別為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即取，得．設(shè)直線與平面所成角為．則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┤鐖D,四棱錐中,底面為的中點(diǎn).

(1)若點(diǎn)在上,,證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件證明四邊形是平行四邊形,即可證明;（2）取中點(diǎn),根據(jù)條件可以證明,所以所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量和平面的法向量,再利用公式求解即可.【詳解】（1）如圖所示:

取中點(diǎn),連接,因?yàn)?所以,又,所以,因?yàn)?所以,又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以且,即有且,所以四邊形是平行四邊形,所以,又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）連接,因?yàn)?所以為等腰三角形,取中點(diǎn),連接,則有,又因?yàn)?所以,又因?yàn)榈酌?如圖,以所在直線分別為軸,軸,軸建立空間坐標(biāo)系,

因?yàn)?則有,所以,設(shè)平面的法向量為,則有,則,因?yàn)榈酌?取平面的法向量,設(shè)二面角的大小為為鈍角,則有,即二面角的余弦值為.18．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求證：平面；(2)若與所成的角為，求多面體的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，根據(jù)已知求得，易證為平行四邊形，有，則為平行四邊形，即，最后應(yīng)用線面平行的判定證結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)N，可得，在平面內(nèi)，過(guò)G作FB的平行線交AB于P，得，證明為的中位線，由棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征確定為棱臺(tái)，最后應(yīng)用棱錐體積公式求體積.【詳解】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，則在面內(nèi)，由，則，又，所以，可得，由，G在上且，故為平行四邊形，則，且，又共線，所以，且，故為平行四邊形，則，由平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)N，則，且，所以為平行四邊形，則，在平面內(nèi)，過(guò)G作FB的平行線交AB于P，所以與所成的角，即為與所成角，則，平面，平面，則，而，設(shè)，則△中，，，則為等邊三角形，故，即，所以在中，P為的中點(diǎn)，且，故為的中位線，所以，易知多面體為棱臺(tái)，且，且，體積．19．（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.(1)求證：直線EC與平面ABD沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)求點(diǎn)C到平面BED的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面即可得解；（2）在三棱錐中，利用等體積法即可求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，如圖，依題意，在中，，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且，因?yàn)槠矫妫?，則有，且，從而得四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，則平面，所以直線EC與平面ABD沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面所以平面因?yàn)椋谑堑闷矫?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以，則等腰底邊上的高，，而，設(shè)點(diǎn)C到平面BED的距離為d，由得，即，解得，所以點(diǎn)C到平面BED的距離為1（三）利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線面平行20．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；(2)已知，，若與平面所成角的正切值為，求到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用相似證明線線平行，再利用線面平行判定定理證明線面平行；（2）利用線面角的正切值求出，利用已知條件求出與的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以與相似，所以，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，所以，所以與相似，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：連接，則，因?yàn)槠矫?，且，平面，所以，，所以?又，，平面，所以平面.連接，則為與平面所成的角，且，因?yàn)?，，四邊形是矩形，易求，又與平面所成角的正切值為，因?yàn)?，所?所以，設(shè)到平面的距離為，則,由條件知，所以，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.21．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；(2)已知，若到平面的距離為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線線平行和線面平行的證法和線面平行的判定即可求解；（2）根據(jù)二面角的法向量求法即可求解.【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)闉榈闹匦模裕?，所以，又平面平面，所以平?（2）由題意易知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線，分別為軸，軸，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，

設(shè)，則，所以因?yàn)椋?設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，解得，所以，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為，所以，解得，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即令，解得，所以，.設(shè)平面與平面所成的銳二面角大小為，則，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）連接，利用平行線分線段成比例定理，及線面平行的判斷定理推理作答.（2）由已知證明平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）在三棱柱中，連接，交于點(diǎn)，連接，如圖，四邊形為平行四邊形，有，而為的中點(diǎn)，則，由，得，又分別為的中點(diǎn)，即有，因此，則，而平面平面，所以平面．（2）因?yàn)?，則是菱形，又，即，是正三角形，則，矩形中，，而，平面，于是平面，令，過(guò)作，則平面，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，則，令，得，，令，得，，令二面角的大小為，則，于是，所以二面角的正弦值為．23．（2023·四川內(nèi)江·校考模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)，已知點(diǎn)分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；(2)若，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)，【分析】（1）構(gòu)造面面平行來(lái)推線面平行，作QE∥AB交AC于E，連接PE即證面PEQ∥面AB1即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出與平面所成最大角時(shí)的P點(diǎn)位置，求其正切，再求二面角即可.【詳解】（1）

如圖所示，過(guò)Q作QE∥AB交AC于E，連接PE，過(guò)C1作C1F∥A1A，交AC于F，∵，結(jié)合圓臺(tái)的特征知，又∵，解三角形得，故，即，∵，由題意易知四邊形為直角梯形，∴，，故，∵面，面，∴QE∥面，同理PE∥面，又面PQE，∴面∥面，面，∴平面，得證；（2）

如圖，結(jié)合圓臺(tái)的特征，當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩兩垂直，故以A為中心，以AB、AC、AA1所在的直線分別為軸、軸、軸，則，設(shè)，則，，易知軸⊥面，不妨取作為面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為最大角，，設(shè)此時(shí)面APQ的一個(gè)法向量為，易得，則，令，則，即，由圖可知該二面角的平面角為銳角，設(shè)其為，故，故與平面所成最大角的正切值為，此時(shí)二面角的余弦值為.24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，，，沿將翻折到的位置，如圖2，.

(1)證明：平面；(2)求平面和平面的夾角.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）確定為正三角形，，證明，得到證明.（2）確定平面，，建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面和平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），，為正三角形，，則為中點(diǎn)，設(shè)，，，故，故為的三等分點(diǎn)，

，為的三等分點(diǎn)，即F為的中點(diǎn)，故，平面，平面，故平面.（2）由題設(shè)易得，，，故，即，，故，，，PH、HF在面PHF內(nèi)，故平面.PF在面PHF內(nèi)，故，又，，AC、AD在面ABCD內(nèi)，故平面.在中，，由題意易得∠ABC=60°，∠BAC=30°，則∠ACB=90°，故，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線為z軸，以分別為軸、軸正方向，建立如圖所示坐標(biāo)系.

則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)平面和平面的夾角為，,則，，所以平面和平面的夾角為.（四）利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.(1)求證：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(8，12)【分析】（1）通過(guò)證明平面，證得，由此證得平面.（2）設(shè)，求得四邊形周長(zhǎng)的表達(dá)式，由此求得四邊形周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1）∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.（2）設(shè)，∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴，則＝＝＝1－，∴.∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)l＝2＝12－x.又∵0<x<4，∴8<l<12，即四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是(8，12).26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，分別為的中點(diǎn)，平面與底面的交線為.(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為，試問(wèn)在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿(mǎn)足？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）由已知可推得.根據(jù)線面平行的判定定理，可得平面.然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得.進(jìn)而即可得出證明；（2）由已知可得.又易知，即可得出平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，求出平面的法向量以及，根據(jù)向量法表示出，根據(jù)已知，即可得出的值.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，.又平面，平面，所以，平面.又平面，平面與底面的交線為，所以，.從而，.而平面，平面，所以，平面.（2）取的中點(diǎn)記為，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，.由（1）可知，在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的平行線，即平面與底面的交線.由題意可得，即，所以的面積.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由已知可得，于是.因?yàn)?，所以平?取的中點(diǎn)記為，連接，則.因?yàn)?，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè).于是，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，即是平面的一個(gè)法向量，所以.又直線與平面所成角為，于是.又，而異面直線所成角為，于是.假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)，則，即，所以.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有.綜上所述，這樣的點(diǎn)存在，且有.27．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）四棱錐中，底面為矩形，，，平面與平面的交線為.

(1)求證：直線平行于平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證得平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證得直線，再由線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取的方向向量，根據(jù)，，利用向量的夾角公式，求得，進(jìn)而求得平面和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌媸蔷匦?，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所以直線，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，，垂直于平面的直線分別為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)