初中數(shù)學《全等三角形》基本模型訓練含解析

全等三角形基本模型專項訓練1Rt△ABC中，AB=AC∠=90°DE分別在邊BC及其延長線上，BD2+CE2=2F為△ABCFB⊥BC⊥AE=AE∠E=45°S=14AD?CE2+BE2=2AE2()A.①②③④AB.①②④C.①③④①②△ABF和△ACE=AEDF明△和△ADF∠E=45°AD交于H△AFE12三線合一的性質(zhì)，∠=90°∠E=45°∠=45°AH⊥S=AD?EHHE=HF1=Rt△EBF和Rt△EAF2：∵AB=AC∠=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ACE=180°-∠ACB=135°∵FB⊥BC∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠ABC+∠FBE=135°∴∠ABF=∠ACE∵⊥AE∴∠=90°=∠∴∠-∠=∠-∠即∠CAE=∠∠ACE=∠ABF在△ABF和△ACE中，AC=AB∠CAE=∠∴△ACE≌△ABF∴=EA連接DF1∵△ACE≌△ABF∴BF=CE在Rt△BDF中，BD2+BF2=DF2∴BD2+CE2=DF2∵BD2+CE2=2∴=DF∵AE=AFAD=AD∴△≌△ADFSSS∴∠E=∠12∴∠E=∠EAF=45°延長AD交于H∵AE=AF∠EAD=∠12∴AH⊥HE=HF=12121214∴S=AD?EH=AD?=AD?在Rt△EBF中，BE∵CE=BF2+BF2=2∴BE2+CE2=2∵AE=AF∠=90°∴2=AE2+AF2=2AE2∴BE2+CE2=2AE2故選：A．運用所學知識．2如圖所示，△ABC中，AC=BCMN分別為BCACBM=CNAMCNAMCMCN+BN最小時，=(??)．23254A.2B.C.1DB點在BC下方作BH∥ACBH=ACBHAH△BCN≌△HBMBN=HMAM+BN=AM+MHAMH三點共線時，AM+MH△ACM≌△HBM題隨之得解．B點在BC下方作BH∥ACBH=ACBHAH，∵BH∥AC，∴∠C=∠CBH，∵BH=ACBM=CN，∴△BCN≌△HBM，∴BN=HM，∴AM+BN=AM+MH，當AMH三點共線時，AM+MH值最小，如圖，此時∵BH∥AC，∴∠C=∠CBH∠CAM=∠BHM，∵AC=BC，∴△ACM≌△HBM，∴CM=BM，∵BM=CN，CMCNCMBM∴==1，故選：D．3中F是邊的中點，AF,BC的延長線交于點NP是AN上一個動M是BNPB+PM的值最小時，∠BPN=()A.72°B.90°C.108°120°C3BFPEEM三角形的判定與性質(zhì)可得EP=BPEPMEM⊥BC時，PB+PME作EH⊥BC于HAF于∠和∠可．BFPEEM，∵正五邊形，5-2×180°∴AE=AB=BC=ED∠=∠AED=∠=∠EDC==108°，5∵點F是邊的中點，∴CF=DF，∴△BCF≌△EDF，∴BF=，又AE=ABAF=AF，∴△≌△ABFSSS，12∴∠EAF=∠=∠=54°，∴△AEP≌△ABP∴EP=BP，∴PB+PM=EP+PM≥EM，∴當EPMEM⊥BC時，PB+PM的值最小，過點E作EH⊥BC于HAF于，12同理可求∠=∠=∠AED=54°，∴∠N=∠+∠=108°，即當PB+PM的值最小時，∠BPN=108°．故選：C．4Rt△ABC中，∠ACB=90°BCGH和正方形ACMNAB=MGS=S過點B作BI⊥EH于點IB交AC于點JAJ=CJ．④若AB=1EH2+FN2=5．其中正確的結(jié)論個數(shù)是()4A.1個B.2個C.3個4個D首先根據(jù)題意證明出△ACB≌△MCGAB=MGF作FO⊥NA交NA延長線于點O△AFO≌△ABCAAS=BCS=SA作AP⊥BJ交BJ的延長線于點PC作CQ⊥BJ△ABP≌△BEIAASAP=BICQ=BICQ=AP△AJP≌△CJQAASAJ=CJEH=2BJ出EH2=AC2+4BC2NF2=4AC2+BC2EH2+NF2=5AB2=5∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°BCGH和正方形ACMN，∴AC=MCBC=GC∠MCA=∠GCB=90°∵∠ACB=90°∴∠MCG=∠ACB=90°∴△ACB≌△MCG∴AB=MGF作FO⊥NA交NA延長線于點O，∵∠+∠=∠CAB+∠=90°∴∠=∠CAB又∵∠O=∠ACB=90°AF=AB∴△AFO≌△ABCAAS∴=BC∵AN=AC1212∵S=AN?S=AC?BC∴S=SA作AP⊥BJ交BJ的延長線于點PC作CQ⊥BJ∵∠ABP+∠BEI=90°∠EBI+∠BEI=90°∴∠ABP=∠BEI又∵∠P=∠BIE=90°AB=BE∴△ABP≌△BEIAAS∴AP=BI同理可證，△BCQ≌△HBIAAS∴CQ=BI∴CQ=AP5∵∠P=∠CQJ=90°∠AJP=∠CJQ∴△AJP≌△CJQAAS∴AJ=CJ∵△ABP≌△BEIAAS∴BP=EI∵△BCQ≌△HBIAAS∴BQ=HI∵△AJP≌△CJQAAS∴PJ=QJ∵EH=EI+HI=PB+BQ=PJ+QJ+BQ+BQ=2BJ∵AJ=CJ14∴BJ2=CJ2+BC2=AC2+BC214∴EH2=2BJ2=4BJ2=4AC2+BC2=AC2+4BC2同理可證，NF2=4AC2+BC2∴EH2+NF2=AC2+4BC2+4AC2+BC2=5AC2+BC2=5AB2=5×12=54．故選：D．5Rt△AEB和Rt△AFC中，BE與AC相交于點MCF相交于點DAB與CF相交于點N∠E=∠F=90°∠EAC=∠AE=AF∠B=∠C=DNBE=CF△ACN?△ABM．其中正確的結(jié)論是()A.①③④AB.①②③④C.①②③①②④三角形的條件及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．：∵∠EAC=∠，∴∠EAB=∠，6∠E=∠F=90°∠EAB=∠在△EAB和△中，AE=AF，∴△EAB≌△，∴∠B=∠C,BE=CF,AB=AC，∴①③都正確，∠B=∠C在△ACN和△ABM中，AB=AC，∠CAN=∠∴△ACN≌△ABM，故④正確，根據(jù)已知條件無法證明②是否正確，故①③④正確，故選：A．6△ABC中，AH是高，AE?BCAB=AEAB邊上取點D=ACS=5SBH=1BC=．2.5E作⊥AB的延長線于點F△ABH≌△EAFRt△ACH≌Rt△EDF，由此可得S=SEAFS=S=S+SS=S+S=5S可得SS32CHBH32==E作⊥AB的延長線于點F，∵⊥ABAH⊥BC，∴∠=∠AHB=∠AHC=90°，∵AE?BC，∴∠EAF=∠B，∠AHB=∠在△ABH與△EAF中，∠B=∠EAFAB=EA∴△ABH≌△EAF(AAS)，∴AH=S=S，7AH=AC=在Rt△ACH與Rt△EDF中，∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，∴S=S=S+S，∵S=S+S=5S∴S+S+S=5S∴2S+S=5S解得：S=2S∴S=5S-S=3S，，，，，SS3S2S32∴==，1212CH?AHBH?AH32∴=，CHBH32即=，又∵BH=1，∴CH=1.5，∴BC=BH+CH=2.5，故答案為：2.5．等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7△和△ABC中，∠E=∠C=BCEA=CAA作AF⊥F交CB的延長線于點GAG．四邊形的面積為12AF=4FG的長是．3A作AH⊥BC于H△ABC≌△AEDAF=AHRt△AFG≌Rt△AHGRt△ADF≌Rt△ABHS四邊形=6FG的長．A作AH⊥BC于H8BC=在△ABC和△中，∠C=∠E，CA=EA∴△ABC≌△AED∴AD=AB,S=S又∵AF⊥，,1212∴××AF=×BC×AH，∴AF=AH，∵AF⊥,AH⊥BC，∴∠AFG=∠AHG=90°，AG=AGAF=AH在Rt△AFG和Rt△AHG中，,∴Rt△AFG≌Rt△AHGHL，同理：Rt△ADF≌Rt△ABHHL，∴S四邊形=S四邊形=12，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴S=6,∵AF=4,12∴×FG×4=6，解得：FG=3；故答案為：3．8C與線段AB構(gòu)成△ABCAB=9CA=2a+2CB=2a-3．點D在∠ACB∠ADC=90°a的取值范圍是△ABD的面積的最大值為．52454a>△ABCAC+BC>ABaADCB交于點E明△≌△ECDAC=EC=2a+2AD=EDBE=59角形中線的性質(zhì)易知S:S=1:2△ABE：∵在△ABC中，AC+BC>AB，∴2a+2+2a-3>9，52解得a>；ADCB交于點E，∵為∠ACB的平分線，∴∠=∠ECD，在△和△中，∠=∠=∠ADC=∠EDC=90°，∴△≌△()，∴AC=EC=2a+2AD=ED，∵CB=2a-3，∴BE=2a+2-(2a-3)=5，∵AD=ED，∴S:S=1:2，當BE⊥AB時，△ABE的面積取最大值，12452即S∴S=×9×5=，454=．52454故答案為：a>，．9如圖，AB=ACAD=AE∠=∠E=40°BD與CE交于點FAF∠AFB的度數(shù)為．70°/70度10點A作AM⊥BD于點MAN⊥CE于點N△≌△CAE∠ADM=∠AEN△AMD≌△ANE∠M=∠EANAM=AN∠MAN=∠E=40°△AMF≌△ANF∠=20°A作AM⊥BD于點MAN⊥CE于點N，∵∠=∠=40°，∴∠=∠CAE，∵AB=ACAD=AE，∴△≌△CAE，∴∠ADM=∠AEN，∵∠AMD=∠ANE=90°AD=AE，∴△AMD≌△ANEAAS，∴∠M=∠EANAM=AN，∴∠M+∠=∠EAN+∠，即∠MAN=∠E=40°，∵∠AMF=∠ANF=90°AM=ANAF=AF，∴△AMF≌△ANFHL，12∴∠=∠=∠MAN=20°，∴∠AFB=180°-90°-∠=70°．故答案為：70°．10△ABC∠=90°AB=ACD和點E分別是AB和ACAFAD=CEF是的最大值為．5+1/1+5EM⊥EDEM=EDDMMCME中點NNDNCNF△≌△CEM∠ECM=90°AF=1EMCNDN，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系ND+NC≥DCE作EM⊥EDEM=EDDMMC．取ME中點NNDNCNF．∵∠+∠AED=90°∠AED+∠MEC=90°，∴∠=∠MEC.11∵AD=CE=EM，∴△≌△CEM，∴∠ECM=∠E=90°．設(shè)AF=1∵F為中點，∴=2AF=2∴EM=2.∵N為EM中點，∴CN=EN=1．∴DN=2+EN2=5.∵ND+NC≥DC∴最大值5+1，AF∴=5+1.故答案為：5+1.線是解題的關(guān)鍵．11如圖1△ABC中，AB=3AC=5D是BCBC邊上的中線AD的取值范圍．2延長AD至E．使得=ADBE．利用三角形全等將線段AC轉(zhuǎn)移到線段BEABAC2AD集中到△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可得到中線AD的取值范圍，3過點B作AC的平行線交AD的延長線于點F三角形全等將線段AC轉(zhuǎn)移到BFABAC2AD集中到△ABF系即可得到中線AD的取值范圍．(1)請你選擇一個小組的解題思路．寫出證明過程(2)如圖4△ABC中，∠B=90°AB=6AD是△ABC的中線，CE⊥BCCE=10且∠=90°．12求AE的長度．(3)如圖5△ABC中，AF⊥BC于點F在AB右側(cè)作AD⊥ABAD=ABAC的左側(cè)作AE⊥ACAE=ACAF交于點OO為中點．(1)見解析(2)16(3)見解析(1)AD到點E=AD△ADC≌△()BE=AC=10△ABE中，5-3<AE<5+32<2AD<8B作AC的平行線交AD的延長線于點F△BDF≌△(AAS)DF=ADBF=AC=52AD=AF△ABF中，5-3<AF<5+32<2AD<8(2)延長AD到點FDF=ADCF△ABD≌△∠=∠ABD=90°，CF=AB=6ECF=EC+CF=10+6=16△≌△AE==16解決問題；(3)過點E作EM∥AD交AD延長線于M△AEM≌△CABAASEM=AB△≌△MOEAAS=OE：(1)2AD到點E=AD，∵D是BC的中點，∴BD=CD，∵∠ADC=∠，∴△ADC≌△()，∴BE=AC=10，△ABE中，5-3<AE<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4；3B作AC的平行線交AD的延長線于點F，∵D是BC的中點，∴BD=CD，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C∠F=∠CAD，∴△BDF≌△(AAS)，∴DF=ADBF=AC=5，∴2AD=AF，在△ABF中，5-3<AF<5+3，∴2<2AD<8，13∴1<AD<4；(2)延長AD到點FDF=ADCF4，∵D是BC的中點，∴BD=CD，∵∠=∠FDCDF=AD，∴△ABD≌△，∴∠=∠ABD=90°CF=AB=6，∵CE⊥BC，∴∠=90°，∴∠+∠=180°，∴ECF三點共線，∴=EC+CF=10+6=16，∵∠=90°，∴∠=∠=90°，∵=AD=DF，∴△≌△，∴AE==16；(3)E作EM∥AD交AD延長線于M4，∵AD⊥ABAE⊥AC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠2+∠=90°，∴∠CAD=∠，又∵AF⊥BC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠+∠B=90°，∴∠2=∠B，∵EM∥AD，∴∠2=∠M，∴∠B=∠M，∵AE⊥ACAF⊥BC，∴∠3+∠CAM=∠C+∠CAM=90°，∴∠3=∠C，∵AE=AC，∴△AEM≌△CABAAS，14∴EM=AB，∵AB=AD，∴EM=AD，∵∠2=∠M∠=∠，∴△≌△MOEAAS，∴=OE，∴O為中點．12ABC中，AB=AC∠=90°∠ABC=∠ACB=45°D是線段BCD不與點BCADAD為一邊作△AD=AE∠E=90°E與點D在直線AC兩側(cè)，與AC交于點HCE．(1)如圖1：△ABD≌△ACE．(2)如圖2CE的延長線上取一點F∠=∠AFE=CF．(3)過點A作直線CEG=6EG△與△CEH的面積比．(1)見詳解(2)見詳解3234(3)或AAS以及HL等判定方法，(1)△ABD≌△ACE即可作答；(2)結(jié)合(1)△≌△ACF即可作答；(3)G在點EA作AO⊥BC于點OH作HM⊥BC于點MH作HN⊥CG于點N△AOC≌△AGCAO=AGCO=CGMH=NH明Rt△≌Rt△AGEHL=GEG在點EA作AO⊥BC于點OH作HM⊥BC于點MH作HN⊥CG于點N(1)∵∠E=90°∠=90°，∴∠E-∠=∠-∠，∴∠CAE=∠BAD，15又∵AB=ACAD=AE，∴△ABD≌△ACE；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠=∠AEC∠ABD=∠ACE=45°，∴180°-∠=180°-∠AEC∠ACB=∠ACE=45°，∴∠ADC=∠，∵∠=∠AFE，∴∠ADC=∠AFE，在△和△ACF中，∠=∠ACF∴∠ADC=∠AFC，AC=AC∴△≌△ACFAAS，∴=CF；(3)分類討論：G在點EA作AO⊥BC于點OH作HM⊥BC于點MH作HN⊥CG于點N∵AO⊥BCAG⊥CE∴∠AOC=∠AGC=90°，又∵∠ACB=∠ACE=45°AC=AC，∴△AOC≌△AGC，∴AO=AGCO=CG，同理可證明：MH=NH，又∵AD=AE，∴Rt△≌Rt△AGEHL，∴=GE，∵=6EG，∴CO=-=5EG，∴CG=CO=5EG，∴CE=CG-EG=4EG，1212∵S=××MHS=×CE×NHMH=NH，161212××MH×CE×NHSS×MHCE×NH∴==，∵=6EGCE=4EGMH=NH，SS×MHCE×NH32∴==；G在點EA作AO⊥BC于點OH作HM⊥BC于點MH作HN⊥CG于點N同理可得：=GEOC=CGMH=NH，∵=6EG，∴CO=+=7EG，∴CG=CO=7EG，∴CE=CG+EG=8EG，SS×MHCE×NH34∴==；3234綜上：△與△CEH的面積比為或者．13O為坐標原點，△ABC的邊BC在x軸上，AC兩點的坐標分別為Am+2n=10(0,m),C(n,0)B(-5,0)mn滿足方程組P從點B2個單位長度的速度3m-n=9沿射線BOP運動時間為t秒．(1)求AC兩點的坐標；(2)連接t的代數(shù)式表示△AOPt的取值范圍；(3)當點P在線段BOy軸上是否存在點Q△POQ與△AOCt的值并直接寫出Q(1)A(0,4)C(3,0)；5252(2)0≤t<S=10-4tt>S=4t-10．(3)存在，Q(0,3)或(0,-3)或Q(0,4)或(0,-4)．(1)解二元一次方程組求出mn的值即可；5252(2)0≤t<時,P在線段OB上,②當t>時,P在射線OC上,求出OP和OA,根據(jù)三角形的面積公式求出即可；17(3)BP=1,OQ=3時,②當BP=2,OQ=4時,③④利用圖形的對稱性直接寫出其余的點的坐標即可.m+2n=103m-n=9m=4n=3(1)解方程組得，∴A的坐標是0,4,C的坐標是3,0；(2)由已知，BP=2tOB=5．52①0≤t<P在線段OB上．OP=OB-BP=5-2t1212S=×OP×2=×(5-2t)×4=10-4t．52②t>P在射線OC上，OP=BP-OP=2t-51212S=×OA×OP=×4×(2t-5)=4t-10(3)在y軸上存在點Q△AOC與△POQ全等．5-4212①△POQ≌△AOC時，OQ=OC=3．OP=OA=4．t==,Q(0,3)或Q(0,-3)5-32②△POQ≌△COA時，OQ=OA=4,OP=OC=3．t==1Q(0,4)或(0,-4)12t=Q(0,3)或(0,-3)t=1Q(0,4)或(0,-4)；12綜上所述，t=Q(0,3)或(0,-3)t=1Q(0,4)或(0,-4)．14成相應(yīng)的學習任務(wù)．12如圖1ABAB的長為半徑在ABCD接ACBCADBDD為圓心，BDBD于點ECE13AB點F．點F即為AB的一個三等分點(即AF=AB)．學習任務(wù)：18(1)的形狀是；13(2)證明：AF=AB；(3)如圖2CE交AD于點H∠CAD=60°AC=6CH繞著點CH的對應(yīng)點H落在直線FDDH的長．(1)(2)見解析(3)DH′的長為33+32或33-32(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)判定即可．AFFBACBE(2)證明△AFC∽△BFE=(3)△AAS證明△AHC≌△DHE得CH;然后證明△AKF∽△BDFAKCKCH繞著點CH的對應(yīng)點H需要分情況討論．(1)AC=AD=BC=BD，∴四邊形的形狀是菱形，(2)證明：∵四邊形的形狀是菱形，∴AC∥BE，∴△AFC∽△BFE，AFFBACBE∴=．∵AC=BDBD=，∴BE=2AC，AFFB12∴=，∴FB=2AF，∴AB=3AF．1∴AF=AB．3(3)H在線段FDCD∵AC=AD∠CAD=60°，∴△為等邊三角形，∴=AD=6∠ADC=60°．∵AC∥BE19∴∠ACF=∠．∠AHC=∠DHE在△AHC和△DHE中，∠ACE=∠，AC=∴△AHC≌△DHEAAS，∴AH=HD=3，∵△為等邊三角形，∴CH⊥AD∠ACH=∠DCH=30°，∴CH=33．∴CH=CH=33．設(shè)FD與AC交于點K，∵AC∥BE，∴△AKF∽△BDF，AKBDAFFB12∴==．CKEDAFFB12同理：==，AKBDCKED∴=．∵BD=ED，∴AK=CK=3，12∴HK⊥AC∠=∠ADC=30°．∴HK=CH2-CK2=32=33．∴DH=-HK=33-32．②當點H在射線FDCD由①知CH=CH=33HK⊥ACAK=KC=3，∴=AD2-AK2=33，∴HK=CH2-CK2=32．∴DH=HK+=33+32．綜上，DH的長為33+32或33-32．15(1)1△ABC中，∠=90°AB=ACl經(jīng)過點ABD⊥直線lCE⊥直線lDE．證明：=BD+CE．(2)2(1)△ABC中，AB=ACDAE三點都在直線l∠B=∠AEC=∠=αα為任意銳角或鈍角．20請問結(jié)論=BD+CE(3)3△ABC的邊AB、AC向外作正方形和正方形ACFGAH是BCHA交EG于點I：I是EG的中點．(1)見解析；(2)=BD+CE(3)見解析BD=AECE=AD是解題的關(guān)鍵．(1)由條件可證明△ABD≌△CAE=CEAE=BD=BD+CE；(2)由條件可知∠+∠CAE=180°-α∠+∠=180°-α∠=∠CAE可證明△ABD≌△CAE(3)由條件可知EM=AH=GNEM=GN△EMI≌△GNII是EG的中點．：(1)如圖1，∵BD⊥直線lCE⊥直線l，∴∠B=∠CEA=90°，∵∠=90°，∴∠+∠CAE=90°，∵∠+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∠ABD=∠CAE在△ABD和△CAE中，∠=∠CEA，AB=AC∴△ABD≌△CAEAAS，∴AE=BDAD=CE，∴=AE+AD=BD+CE；(2)如圖，證明如下：∵∠B=∠=α，∴∠+∠=∠+∠CAE=180°-α，21∴∠=∠CAE，∠=∠AEC在△ABD和△CAE中．∠=∠CAE．AB=AC∴△ABD≌△CAEAAS∴AE=BDAD=CE，∴=AE+AD=BD+CE；(3)如圖3，過E作EM⊥HI于MGN⊥HI的延長線于N．∴∠EMI=∠EMA=∠GNA=90°，∠=90°，∴∠EAM+=90°，∵AH是BC邊上的高，∴∠AHB=90°，∴∠+∠ABH=90°，∴∠ABH=EAM，∵AE=AB，∴△ABH≌△EAM，∴EM=AH，同理△ACH≌△GAN，∴AH=GN，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，∠EIM=∠GIN∠EMI=∠GNI，EM=GN∴△EMI≌△GNIAAS，∴EI=GI，∴I是EG的中點．16△ABC中，BC=5ADBE相交于點OBD=2AE=BE．22(1)請說明△AOE≌△BCE的理由；(2)動點P從點OOA以每秒1個單位長度的速度向終點AQ從點B出發(fā)沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動，PQP到達A點時，PQ兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為tt為何值時，△AOQ的面積為3．(3)在(2)F是直線AC上的一點且CF=BO．當tBOP為頂點的三角形與以點FCQ為頂點的三角形全等？(請直接寫出符合條件的t值)．(1)見解析1545(2)當t為或時，△AOQ的面積為35(3)t=1或s時，△BOP與△FCQ全等3(1)首先推導(dǎo)出∠EAO=∠EBC即可證明△AOE≌△BCE；(2)分兩種情形討論求解即可①當點Q在線段BD上時，QD=2-4t,②當點Q在射線DC上時，DQ=4t-2(3)分兩種情形求解即可①如圖2OP=CQ時，BOP≌△FCQ．②如圖3OP=CQ時，△BOP≌△FCQ．(1)如圖1中，∵AD是高，∴∠ADC=90°，∵BE是高，∴∠AEB=∠BEC=90°，∴∠EAO+∠=90°∠EBC+∠ECB=90°，∴∠EAO=∠EBC，∠EAO=∠EBC在△AOE和△BCE中，AE=BE，∠AEO=∠BEC∴△AOE≌△BCE，(2)(1)知△AOE≌△BCE，∴OA=BC=5，∵BD=2，23∴=3，由題意OP=t,BQ=4t,①當點Q在線段BD上時，QD=2-4t,1212∴S=OA?QD=×5×2-4t=3，15解得：t=；②當點Q在BD延長線上時，DQ=4t-2，1212∴S=OA?DQ=×5×4t-2=3，45解得：t=，1545t為(3)存在．或時，△AOQ的面積為3；①如圖2OP=CQ時，∵OB=CF∠POB=∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．∴CQ=OP，∴5-4t=t，解得t=1，②如圖3OP=CQ時，∵OB=CF∠POB=∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．∴CQ=OP，∴4t-5=t，53解得t=．53綜上所述，t=1或s時，△BOP與△FCQ全等．17如圖1△ABC中，BD為AC邊上的高，BF是∠ABDE為AFAE∠=45°．24(1)求證：AE平分∠(2)如圖2CE交BD于點G△與△CAEBG=CF(1)見解析；(2)見解析角形的幾種判定方法以及角平分線的判定是解答該題的關(guān)鍵．1212(1)根據(jù)BF是∠ABD的角平分線和，BD為AC∠=45°-∠ABD∠=11245°得∠=45°-∠ABE=45°-∠ABD∠=∠BAD；2(2)過點E作EM⊥AB于點MEN⊥AC于點NEM=EN△與△CAE的面積相等可得AB=AC△ABE≌△ACE()∠AEB=∠CEB=135°BE=EC，即可得出∠BEG=∠=360°-∠AEB-∠AEC=90°△BEG≌△CEF()可得出結(jié)論．(1)證明：∵BD為AC∠=90°，∴∠ABD+∠=90°，12∴∴(∠ABD+∠)=45°，1212∠=45°-∠ABD∵∠=∠ABF+∠=45°，∴∠=45°-∠ABF，12∵∠ABF=∠ABD，12∴∠=45°-∠ABD，12∴∠=∠：AE平分∠BAF．(2)過點E作EM⊥AB于點MEN⊥AC于點N，∵AE平分∠EM⊥ABEN⊥AC，∴EM=EN．∵S=S∴AB=AC，，∵AE平分∠，25∴∠=∠CAE，AB=BC在△ABE和△ACE中，∠=∠CAEAE=AE∴△ABE≌△ACE()，∴∠AEB=∠CEBBE=EC，∵∠=45°，∴∠AEB=∠AEC=135°，∴∠BEG=∠=360°-∠AEB-∠AEC=90°，∵BD為AC邊上的高，∴∠=90°，∴∠FBD+∠BFC=∠BFC+∠FCE，∴∠EBG=∠ECF．∠BEG=∠在△BEG和△中，BE=CE∠EBG=∠ECF∴△BEG≌△CEF()．∴BG=CF.18Aa0,B0,bAB=AC且AB⊥ACAC交y軸于E點．(1)如圖1a2+b2-4a-8b+20=0C點坐標；(2)如圖2AB兩點分別在x軸，y軸正半軸上，E為AC的中點，BC交x軸于G點EGa=3G點的坐標；(3)如圖3A在xBC為邊在BC的右側(cè)作等邊△BCD∠=60°究線段OAOB(1)(-2,-2)(2)(-2,0)(3)=OB+2OA(1)利用完全平方公式將等式變形為兩個數(shù)平方和的形式，即可求出a=2b=41C作CH⊥x軸于點H△AHC≌△BOACH=OA=2AH=OB=4C坐標．(2)根據(jù)(1)可得CH=OA=aAH=OB=ba=3E為ACC(-3,-3)AH=OB26=6AG=5(3)過點C作CH⊥x軸于點H上取一點M=OB△OBM明△MBD≌△OBC∠BMD=∠BOC=120°MD=OC∠=30°OC=2CH=2OA，即可得出=OB+2OA．(1)解：∵a2+b2-4a-8b+20=0，∴(a2-4a+4)+(b2-8b+16)=0(a-2)2+(b-4)2=0，∴a=2b=4，∴A2,0B0,4如圖1C作CH⊥x軸于點H，∵∠AHC=∠BOA=∠=90°，∴∠CAH+∠=90°∠+∠ABO=90°，∴∠CAH=∠ABO，∠AHC=∠BOA在△AHC和△BOA中，∠CAH=∠ABO，AC=∴△AHC≌△BOA(AAS)，∴CH=OA=2AH=OB=4，∴=AH-OA=4-2=2∴點C坐標為(-2,-2)；(2)如圖2(1)可證明：CH=OA=aAH=OB=b，∵a=3E為AC的中點，OE平行于CH，∴OA==3CH=3，∴點C(-3,-3)AH=OB=6，AB=AC=2+OB2=62+32=35，121212∵S=S+SAGB×35×35=×3?AG+×6?AG，∴AG=5，∴GO=AG-OA=5-3=2，∴點G坐標為(-2,0)；(3)結(jié)論：=OB+2OA