專題15 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型-2024版高三物理培優(yōu)-模型與方法

2024版高三物理培優(yōu)——模型與方法專題15帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型目錄TOC\o"1-3"\h\u一.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型解法綜述 1二．帶電粒子在直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)模型 2三．平行邊界磁場(chǎng)模型 10四．圓形邊界磁場(chǎng)模型 14五．環(huán)形磁約束模型 28六．三角形或四邊形邊界磁場(chǎng)模型 35七．?dāng)?shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用 42模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用 42模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用 46模型三“平移圓”模型的應(yīng)用 53模型四“磁聚焦”模型 54一.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型解法綜述基本思路圖例說(shuō)明圓心的確定①與速度方向垂直的直線過(guò)圓心②弦的垂直平分線過(guò)圓心③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過(guò)圓心P、M點(diǎn)速度垂線交點(diǎn)P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)半徑的確定利用平面幾何知識(shí)求半徑常用解三角形法：例：(左圖)R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角θ或軌跡長(zhǎng)度L求時(shí)間①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(L,v)(1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于所對(duì)的圓心角θ(2)偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ<180°時(shí)，φ＝2α；φ>180°時(shí)，φ＝360°－2α二．帶電粒子在直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)模型【運(yùn)動(dòng)模型】直線邊界，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝(1－eq\f(θ,π))T＝(1－eq\f(θ,π))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)圖c中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)【模型演練1】（2023秋·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）如圖所示，在的區(qū)域內(nèi)存在與平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為。一束速率等于的相同帶電粒子從原點(diǎn)發(fā)射，速度方向與軸正方向的夾角等概率的分布在范圍內(nèi)。其中，沿軸正方向發(fā)射的粒子從磁場(chǎng)右邊界上的點(diǎn)（圖中末標(biāo)出）離開(kāi)磁場(chǎng)，其偏向角為。不計(jì)粒子間相互作用和重力，下列說(shuō)法正確的是（）

A．粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為B．帶電粒子的比荷為C．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為D．能從右邊界射出的粒子占總粒子數(shù)的【答案】AC【詳解】A．根據(jù)題意作出沿軸正方向發(fā)射的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，圓心為，根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為故A正確；B．由故B錯(cuò)誤；C．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，由幾何知識(shí)得該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間故C正確；D．結(jié)合甲乙兩圖可知，能從右邊界射出的粒子的速度方向與軸正方向的夾角等概率的分布在范圍內(nèi)，占總粒子數(shù)的，故D錯(cuò)誤。故選AC。

【模型演練2】如圖所示，在0≤x≤3a的區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.在t＝0時(shí)刻，從原點(diǎn)O發(fā)射一束等速率的相同的帶電粒子，速度方向與y軸正方向的夾角分布在0°～90°范圍內(nèi)．其中，沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t＝t0時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)右邊界上P(3a，eq\r(3)a)點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，下列說(shuō)法正確的是()A．粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為3aB．粒子的發(fā)射速度大小為eq\f(4πa,t0)C．帶電粒子的比荷為eq\f(4π,3Bt0)D．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為2t0【答案】D【解析】沿y軸正方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲所示：設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系有(3a－r)2＋(eq\r(3)a)2＝r2，可得粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝2a，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)幾何關(guān)系可得sinθ＝eq\f(\r(3)a,r)＝eq\f(\r(3),2)，所以θ＝eq\f(π,3)，圓弧OP的長(zhǎng)度s＝(π－θ)r，所以粒子的發(fā)射速度大小v＝eq\f(s,t0)＝eq\f(4πa,3t0)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，結(jié)合粒子速度以及半徑可得帶電粒子的比荷eq\f(q,m)＝eq\f(2π,3Bt0)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)粒子軌跡恰好與磁場(chǎng)右邊界相切時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，粒子軌跡如圖乙所示，粒子與磁場(chǎng)邊界相切于M點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知，從E點(diǎn)射出．設(shè)從P點(diǎn)射出的粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為π－θ，時(shí)間為t0，則從E點(diǎn)射出的粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為2(π－θ)，故帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為2t0，選項(xiàng)D正確．【典例分析3】(2020·全國(guó)卷Ⅱ·24)如圖，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞區(qū)域中存在方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小可調(diào)，方向不變．一質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子以速度v0從磁場(chǎng)區(qū)域左側(cè)沿x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力．(1)若粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后穿過(guò)y軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng)，分析說(shuō)明磁場(chǎng)的方向，并求在這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bm；(2)如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(Bm,2)，粒子將通過(guò)虛線所示邊界上的一點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)．求粒子在該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角及該點(diǎn)到x軸的距離．【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)由題意，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)受到方向向上的洛倫茲力，因此磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里．設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)洛倫茲力公式和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有qv0B＝meq\f(v02,R)①由此可得R＝eq\f(mv0,qB)②粒子穿過(guò)y軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng)，其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y軸正半軸上，半徑應(yīng)滿足R≤h③由題意，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Bm時(shí)，粒子穿過(guò)y軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑最大，由此得Bm＝eq\f(mv0,qh)④(2)若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(Bm,2)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心仍在y軸正半軸上，由②④式可得，此時(shí)圓弧半徑為R′＝2h⑤粒子會(huì)穿過(guò)圖中P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．設(shè)粒子在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系sinα＝eq\f(h,2h)＝eq\f(1,2)⑥即α＝eq\f(π,6)⑦由幾何關(guān)系可得，P點(diǎn)與x軸的距離為y＝2h(1－cosα)⑧聯(lián)立⑦⑧式得y＝(2－eq\r(3))h.【模型演練4】(2023·湖北宜昌市四月調(diào)研)如圖甲所示的平面直角坐標(biāo)系中，軸上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為、垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在點(diǎn)處有一粒子源，沿紙面不斷地放出同種粒子，粒子的速率均為，粒子射入磁場(chǎng)的速度方向與軸正方向的夾角范圍為。粒子的重力及粒子間的相互作用均不計(jì)。圖乙中的陰影部分表示粒子能經(jīng)過(guò)的區(qū)域，其內(nèi)邊界與軸的交點(diǎn)為，外邊界與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為。下列判斷正確的是（）

A．粒子帶負(fù)電B．粒子源放出的粒子的比荷為C．的長(zhǎng)度為D．從E點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間只能為【答案】AB【詳解】A．由左手定則可知，粒子帶負(fù)電，故A正確；C．如圖所示

由幾何關(guān)系可知故C錯(cuò)誤；B．根據(jù)解得故B正確；D．從點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度可能為，也可能是，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為也可能是故D錯(cuò)誤。故選AB。【模型演練5】（2023·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖所示，平面的一、二、三象限內(nèi)存在垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ON為處于y軸負(fù)方向的彈性絕緣薄擋板，長(zhǎng)度為9m，M點(diǎn)為x軸正方向上一點(diǎn)，現(xiàn)有一個(gè)比荷大小為，可視為質(zhì)點(diǎn)帶負(fù)電的微粒（重力不計(jì)）從擋板下端N處小孔以不同的速度沿x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)，若與擋板相碰就以原速率彈回，且碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞時(shí)電荷量不變，微粒最后都能經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，則微粒射入的速度大小可能是（）

A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意，粒子運(yùn)動(dòng)的圓心的位置一定在y軸上，所以粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r一定要大于等于3m，而ON=9m＜3r所以粒子最多與擋板ON碰撞一次，碰撞后，第二個(gè)圓心的位置在O點(diǎn)的上方，也可能粒子與擋板ON沒(méi)有碰撞，直接過(guò)M點(diǎn)。由洛倫茲力提供向心力解得若小球與擋板ON碰撞一次，則軌跡可能如圖1

設(shè)OO1=s，由幾何關(guān)系得r2=OM2+s2=9+s23r-9=s聯(lián)立解得r1=3mr2=3.75m代入可解的速度分別為v1=3m/sv2=3.75m/s若小球沒(méi)有與擋板ON碰撞，則軌跡如圖2，設(shè)OO2=x，由幾何關(guān)系得r32=OM2+x2=9+x2x=9-r3聯(lián)立解得r3=5m代入可解的速度分別為v3=5m/s故選C。【模型演練6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于紙面（xOy平面）向里，磁場(chǎng)右邊界與x軸垂直。一帶電粒子由O點(diǎn)沿x正向入射到磁場(chǎng)中，在磁場(chǎng)另一側(cè)的S點(diǎn)射出，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后，沿直線運(yùn)動(dòng)打在垂直于x軸的接收屏上的P點(diǎn)；SP=l，S與屏的距離為，與x軸的距離為a。如果保持所有條件不變，在磁場(chǎng)區(qū)域再加上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，該粒子入射后則會(huì)沿x軸到達(dá)接收屏。該粒子的比荷為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知，一帶電粒子由O點(diǎn)沿x正向入射到磁場(chǎng)中，在磁場(chǎng)另一側(cè)的S點(diǎn)射出，

則根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子出離磁場(chǎng)時(shí)速度方向與豎直方向夾角為30°，則解得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=2a則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)有則有如果保持所有條件不變，在磁場(chǎng)區(qū)域再加上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，該粒子入射后則會(huì)沿x軸到達(dá)接收屏，則有Eq=qvB聯(lián)立有故選A。三．平行邊界磁場(chǎng)模型【運(yùn)動(dòng)模型】平行邊界存在臨界條件，圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝eq\f(θm,Bq)，t2＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θm,Bq)圖c中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝(1－eq\f(θ,π))T＝(1－eq\f(θ,π))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)圖d中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)【模型演練1】.(多選)兩個(gè)帶等量異種電荷的粒子分別以速度va和vb射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩粒子的入射方向與磁場(chǎng)邊界的夾角分別為60°和30°，磁場(chǎng)寬度為d，兩粒子同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，如圖所示，則()A．a(chǎn)粒子帶正電，b粒子帶負(fù)電B．兩粒子的軌道半徑之比Ra∶Rb＝eq\r(3)∶1C．兩粒子的質(zhì)量之比ma∶mb＝1∶2D．兩粒子的質(zhì)量之比ma∶mb＝2∶1【答案】BD【解析】由左手定則可得：a粒子帶負(fù)電，b粒子帶正電，故A錯(cuò)誤；粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示故Ra＝eq\f(\f(1,2)d,sin30°)＝d，Rb＝eq\f(\f(1,2)d,sin60°)＝eq\f(\r(3),3)d，所以，Ra∶Rb＝eq\r(3)∶1，故B正確；由幾何關(guān)系可得：從A運(yùn)動(dòng)到B，a粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為60°，b粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為120°，ta＝eq\f(Ta,6)＝tb＝eq\f(Tb,3)，則Ta∶Tb＝2∶1，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：Bvq＝eq\f(mv2,R)，所以，運(yùn)動(dòng)周期為：T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,qB)；根據(jù)a、b粒子電荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C錯(cuò)誤，D正確．【模型演練2】如圖所示，一個(gè)理想邊界為PQ、MN的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)寬度為d，方向垂直紙面向里．一電子從O點(diǎn)沿紙面垂直P(pán)Q以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)．若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為2d.O′在MN上，且OO′與MN垂直．下列判斷正確的是 ()A．電子將向右偏轉(zhuǎn)B．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為dC．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為eq\r(3)dD．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πd,3v0)【答案】：D【解析】：電子帶負(fù)電，進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則判斷可知，所受的洛倫茲力方向向左，電子將向左偏轉(zhuǎn)，如圖所示A錯(cuò)誤；設(shè)電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為x，則由幾何知識(shí)得：x＝r－eq\r(r2－d2)＝2d－eq\r(2d2－d2)＝(2－eq\r(3))d，故B、C錯(cuò)誤；設(shè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，由幾何知識(shí)得：sinθ＝eq\f(d,2d)＝0.5，得θ＝eq\f(π,6)，則電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(θr,v0)＝eq\f(πd,3v0)，故D正確．【模型演練4】（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示為寬度為L(zhǎng)、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向外，長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)。在下邊界O處有一個(gè)粒子源，沿與邊界成60°角方向連續(xù)發(fā)射大量的速度大小不相同的同種帶正電粒子，速度方向均在紙面內(nèi)。已知以最大速度v射入的粒子，從磁場(chǎng)上邊界飛出經(jīng)歷的時(shí)間為其做圓周運(yùn)動(dòng)周期的。不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則下列判斷正確的是（）A．粒子的比荷為B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為C．在下邊界有粒子飛出的長(zhǎng)度為L(zhǎng)D．從上邊界飛出的粒子速度大小范圍為【答案】AD【詳解】AB．速度最大的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為其做圓周運(yùn)動(dòng)周期的，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

圓心為，其圓弧所對(duì)圓心角為，由幾何關(guān)系得解得由洛倫茲力提供向心力有解得粒子比荷粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期故A正確，B錯(cuò)誤；D．當(dāng)粒子軌跡恰好與上邊界相切時(shí)，剛好不從上邊界飛出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，圓心為。設(shè)這種情況下粒子速度大小為，半徑為，由幾何關(guān)系得解得由洛倫茲力提供向心力有解得可知粒子從上邊界飛出的粒子速度大小范圍為，故D正確；C．下邊界有粒子飛出的長(zhǎng)度為故C錯(cuò)誤。故選AD。四．圓形邊界磁場(chǎng)模型【模型構(gòu)建】沿徑向射入圓形磁場(chǎng)的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性(如圖所示)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝eq\f(R,tanθ)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)θ＋α＝90°1．圓形有界磁場(chǎng)問(wèn)題（1）正對(duì)圓心射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域正對(duì)圓心射出，兩圓心和出（入）射點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，有→磁偏轉(zhuǎn)半徑，根據(jù)半徑公式求解；時(shí)間。速度v越大→磁偏轉(zhuǎn)半徑r越大→圓心角α越小→時(shí)間t越短。若r=R，構(gòu)成正方形。2．圓形有界磁場(chǎng)問(wèn)題（2）不對(duì)圓心射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域兩個(gè)等腰三角形，一個(gè)共同的底邊若r=R，構(gòu)成菱形【模型演練1】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在紙面內(nèi)半徑為R的圓形區(qū)域中有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一帶電微粒從圖中A點(diǎn)以水平速度垂直磁場(chǎng)射入，速度的方向與過(guò)圓心及A點(diǎn)的直線成角，當(dāng)該帶電微粒離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，速度方向剛好改變了角．不計(jì)微粒重力，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．該微粒帶正電 B．該微粒帶負(fù)電C．該微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為 D．該微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為【答案】ACD【詳解】A.B.根據(jù)帶電微粒的偏轉(zhuǎn)方向，由左手定則可知，該微粒帶正電，A正確,B錯(cuò)誤；C.微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系，微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為C正確；D.微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為則微粒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為D正確。

故選ACD?！灸Ｐ脱菥?】（2023春·湖南·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，O點(diǎn)為半圓形區(qū)域的圓心，該區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，ON為圓的半徑，長(zhǎng)度為R，從圓上的A點(diǎn)沿AO方向以速度v射入一個(gè)不計(jì)重力的粒子。粒子從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。已知。下列說(shuō)法正確的是（）

A．粒子帶正電荷 B．粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為RC．粒子的比荷為溫 D．粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角為【答案】CD【詳解】A．粒子向上偏轉(zhuǎn)，在A點(diǎn)受洛倫茲力向上，根據(jù)左手定則可知，四指指向與速度方向相反，粒子帶負(fù)電，故A錯(cuò)誤；B．粒子的軌跡如圖，粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角為，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，由幾何關(guān)系可知故B錯(cuò)誤；C．由牛頓第二定律，洛倫茲力提供向心力可得粒子的比荷為故C正確；D．由幾何關(guān)系可知可得速度偏轉(zhuǎn)角為，故D正確。故選CD?！灸Ｐ脱菥?】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓心為O、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)（不含邊界）有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN為直徑。大量帶正電荷的同種粒子以不同的速率從O點(diǎn)在紙面內(nèi)沿與ON成角的方向射入磁場(chǎng)。粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)粒子受到的重力以及粒子間的相互作用。下列說(shuō)法正確的是（

）

A．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為B．若粒子恰好從圓弧邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，則粒子的速度大小為C．若粒子恰好從O點(diǎn)正上方的P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，則粒子的速度大小為D．選擇合適的速度，粒子可能從M點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)【答案】AC【詳解】A．當(dāng)粒子的速度較小時(shí)，粒子從MN邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為，此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，最長(zhǎng)時(shí)間故A正確；B．如圖所示

當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡與半圓形磁場(chǎng)邊界相切時(shí)（設(shè)切點(diǎn)為Q），粒子恰好從圓弧邊界射出，根據(jù)幾何知識(shí)可知，粒子的軌道半徑設(shè)粒子的速度大小為，有，解得故B錯(cuò)誤；C．設(shè)當(dāng)粒子恰好從P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，粒子的軌道半徑為，根據(jù)幾何關(guān)系有設(shè)粒子的速度大小為，有，解得故C正確；D．當(dāng)粒子的速度大于時(shí)，粒子從Q點(diǎn)右側(cè)離開(kāi)磁場(chǎng)，當(dāng)粒子的速度小于時(shí)，粒子從MN邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，即粒子不可能從M點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，故D錯(cuò)誤。故選AC?！灸Ｐ脱菥?】（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考三模）如圖所示，半徑為的圓形區(qū)域有方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，今有一質(zhì)量為（不計(jì)重力），帶電量為的離子以某一速度沿平行于直徑的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)與間距離為，（

）

A．若該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為，則該離子一定能夠通過(guò)磁場(chǎng)圓的圓心B．若該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為，則該離子在磁場(chǎng)中入射點(diǎn)與出射點(diǎn)相距小于C．若該離子能夠通過(guò)磁場(chǎng)圓的圓心，則該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為D．若該離子在磁場(chǎng)中入射點(diǎn)與出射點(diǎn)相距最遠(yuǎn)，則該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為【答案】C【詳解】A．若該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為，此時(shí)圓心在初速度垂直線段與ab交線處，設(shè)為，粒子軌跡如下圖

由題意可知而故故該粒子不經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)圓的圓心，故A錯(cuò)誤；BD．若該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為，粒子軌跡如下圖

根據(jù)幾何知識(shí)可知粒子在磁場(chǎng)中的圓弧等于完整圓弧的，即因此為等邊三角形，故此時(shí)該離子在磁場(chǎng)中入射點(diǎn)與出射點(diǎn)相距最遠(yuǎn)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)周期為則該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為故BD錯(cuò)誤；C．若該離子能夠通過(guò)磁場(chǎng)圓的圓心，粒子軌跡如下圖

由幾何知識(shí)可知根據(jù)可得解得故為等邊三角形，故故粒子在整個(gè)磁場(chǎng)中的圓心角為，粒子在磁場(chǎng)中的圓弧等于完整圓弧的，故該離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為故C正確。故選C?！灸Ｐ脱菥?】（2023·北京海淀·人大附中校考模擬預(yù)測(cè)）粒子物理研究中使用的一種球狀探測(cè)裝置橫截面的簡(jiǎn)化模型如圖所示。內(nèi)圓區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，外圓是探測(cè)器。兩個(gè)粒子先后從P點(diǎn)沿徑向射入磁場(chǎng)，粒子1沿直線PM通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后打在探測(cè)器上的M點(diǎn)。粒子2經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后打在探測(cè)器上的N點(diǎn)。裝置內(nèi)部為真空狀態(tài)，忽略粒子重力及粒子間相互作用力。下列說(shuō)法正確的是（）

A．粒子1可能為質(zhì)子B．粒子2可能為電子C．若增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)【答案】D【詳解】A．粒子1沿直線運(yùn)動(dòng)，因忽略粒子重力及粒子間相互作用力，可知該粒子不帶電，故不可能為質(zhì)子，故A錯(cuò)誤；B．粒子2水平射入后向上偏轉(zhuǎn)，即受到向上的洛倫茲力，由左手定則可知該粒子帶正電，故B錯(cuò)誤；C．因粒子1不帶電，所以增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1仍打在M點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D．由可知增大粒子入射速度后，粒子圓軌跡半徑增大，所以粒子2可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)，故D正確。故選D?！灸Ｐ脱菥?】（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖，圓形虛線框內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，是以不同速率對(duì)準(zhǔn)圓心入射的正電子或負(fù)電子的運(yùn)動(dòng)徑跡，a、b、d三個(gè)出射點(diǎn)和圓心的連線與豎直方向分別成角，下列判斷正確的是（）

A．沿徑跡運(yùn)動(dòng)的粒子均為正電子B．沿徑跡運(yùn)動(dòng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短C．沿徑跡運(yùn)動(dòng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為2∶1D．沿徑跡運(yùn)動(dòng)的粒子動(dòng)能之比為3∶1【答案】C【詳解】A．由左手定則可判斷沿徑跡，運(yùn)動(dòng)的粒子均帶負(fù)電，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B．由于正電子和負(fù)電子的電量q和質(zhì)量m均相等，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有解得可知四種粒子的周期相等，而沿徑跡運(yùn)動(dòng)的粒子偏轉(zhuǎn)角最大，圓心角也最大，設(shè)偏轉(zhuǎn)角為θ，由可知沿徑跡運(yùn)動(dòng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；C．沿徑跡Oa運(yùn)動(dòng)的粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角度為沿徑跡Od運(yùn)動(dòng)的粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角度為兩粒子運(yùn)動(dòng)周期大小相同，則可知，運(yùn)動(dòng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為2∶1，選項(xiàng)C正確；D．設(shè)圓形磁場(chǎng)半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系可得沿徑跡，運(yùn)動(dòng)的粒子軌道半徑分別為根據(jù)可得根據(jù)動(dòng)能可知沿徑跡運(yùn)動(dòng)的粒子動(dòng)能之比為1∶3，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選C。【模型演練7】（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，紙面內(nèi)有一圓心為O，半徑為R的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里。由距離O點(diǎn)處的P點(diǎn)沿著與連線成的方向發(fā)射速率大小不等的電子。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不計(jì)電子的重力且不考慮電子間的相互作用。為使電子不離開(kāi)圓形磁場(chǎng)區(qū)域，則電子的最大速率為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖當(dāng)電子的運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)，根據(jù)得電子運(yùn)動(dòng)半徑最大，速度最大。電子圓周運(yùn)動(dòng)的圓心與圓形磁場(chǎng)的圓心以及切點(diǎn)共線，過(guò)電子圓周運(yùn)動(dòng)的圓心做OP的垂線，由幾何關(guān)系得得則最大速率為故選C。【模型演練8】（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，在直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里，邊界與x、y軸分別相切于a、b兩點(diǎn)，ac為直徑。一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從b點(diǎn)以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，從a點(diǎn)垂直于x軸離開(kāi)磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力。下列判斷不正確的是（）

A．該粒子的速度為B．該粒子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)的時(shí)間為C．以從b點(diǎn)沿各個(gè)方向垂直進(jìn)入磁場(chǎng)的該種粒子從邊界出射的最遠(yuǎn)點(diǎn)恰為a點(diǎn)D．以從b點(diǎn)沿各個(gè)方向垂直進(jìn)入磁場(chǎng)的該種粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是【答案】D【詳解】AB．粒子從b點(diǎn)以某一初速度沿平行于x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，從a點(diǎn)垂直于軸離開(kāi)磁場(chǎng)，如圖所示由洛倫茲力提供向心力可得由幾何關(guān)系可得聯(lián)立解得該粒子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)的時(shí)間為故AB正確；

C．以從b點(diǎn)沿各個(gè)方向垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中的半徑為該種粒子從邊界出射的最遠(yuǎn)點(diǎn)與入射點(diǎn)的距離為粒子軌跡圓的直徑，由幾何關(guān)系可知可知該種粒子從邊界出射的最遠(yuǎn)點(diǎn)恰為a點(diǎn)，故C正確；

D．以從b點(diǎn)沿各個(gè)方向垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中的半徑為當(dāng)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最大時(shí)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，如圖所示

由幾何關(guān)系可知，最大圓心角為，則最長(zhǎng)時(shí)間為故D錯(cuò)誤。此題選擇不正確的選項(xiàng)，故選D。【模型演練9】（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，半徑為R、圓心為O的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，直徑ab水平。電子帶電荷量為、質(zhì)量為m，以速率v從a處始終沿紙面射入磁場(chǎng)，當(dāng)電子在a處的速度方向與aO夾角為30°、斜向下時(shí)，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相比進(jìn)入時(shí)的改變了60°。不計(jì)電子的重力，下列說(shuō)法正確的是（）

A．圓形區(qū)域中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．改變?nèi)肷浞较?，?dāng)電子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為C．改變?nèi)肷浞较颍娮与x開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向不變D．改變?nèi)肷浞较?，電子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向可能改變【答案】BC【詳解】A．設(shè)電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心為C，出射點(diǎn)為d，如圖甲所示，由于電子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相比進(jìn)入時(shí)的速度方向改變了60°，可知，由三角形全等可知電子從d點(diǎn)射出時(shí)的速度方向豎直向下，可知為等腰三角形，可知電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑根據(jù)洛倫茲力提供電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可得代入半徑可得故A錯(cuò)誤。B．改變電子在a處的入射方向，當(dāng)電子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)，如圖乙所示，軌跡圓心在圓形邊界上的D點(diǎn)，出射點(diǎn)在e點(diǎn)，可知四邊形aOeD為菱形，三角形aOD，eOD為等邊三角形，電子從e點(diǎn)射出時(shí)速度方向仍豎直向下，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為故B正確。C．改變電子在a處的入射方向，設(shè)電子從一般位置f射出，軌跡圓心為P，同理可知四邊形aOfP為菱形，出射點(diǎn)對(duì)應(yīng)軌跡半徑，可知電子射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向仍豎直向下，即改變?nèi)肷浞较?，電子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向不變，故C正確，D錯(cuò)誤。

故選BC。五．環(huán)形磁約束模型【模型構(gòu)建】臨界圓臨界半徑勾股定理(R2-R1)2=R12+r2解得：【模型演練1】（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)?？既＃┠沉Ｗ蛹铀倨魑挥谪Q直平面內(nèi)，剖面圖如圖所示，圓筒內(nèi)外直徑分別為D和2D，O為圓心，水平直徑GH以上部分是偏轉(zhuǎn)區(qū)，以下是回收區(qū)，偏轉(zhuǎn)區(qū)存在垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。間距為d的兩平行金屬板間有勻強(qiáng)電場(chǎng)，上板開(kāi)有小孔，大量的質(zhì)量為m、電荷量為的粒子由上極板下方處的P點(diǎn)靜止釋放，加速后粒子以豎直向上的速度射出電場(chǎng)，由H點(diǎn)僅靠大圓內(nèi)側(cè)射入磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入回收區(qū)，不計(jì)粒子重力，粒子若撞到內(nèi)外桶壁會(huì)被吸收，則（）

A．電場(chǎng)強(qiáng)度大小為B．若磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足，粒子一定可以進(jìn)入回收區(qū)C．若磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足，粒子可能進(jìn)入回收區(qū)D．進(jìn)入回收區(qū)的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間全都相同【答案】BC【詳解】A．粒子加速過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理可得可得故A錯(cuò)誤；BC．進(jìn)入回收區(qū)的粒子在磁場(chǎng)中的半徑范圍或根據(jù)粒子進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍為或故BC正確；D.周期公式粒子運(yùn)動(dòng)周期隨磁場(chǎng)變化，所有粒子均在磁場(chǎng)中經(jīng)半個(gè)周期進(jìn)入回收區(qū)，故D錯(cuò)誤。故選BC?！灸Ｐ脱菥?】（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內(nèi)，O為圓心。兩圓形成的圓環(huán)內(nèi)（含邊界）有垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q（）的粒子由大圓上的A點(diǎn)以速率v沿大圓切線方向進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子僅在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子的重力，則粒子運(yùn)動(dòng)速率v可能為（）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可得粒子僅在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則或代入可得或故選ACD?！灸Ｐ脱菥?】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）2023年1月7日，中科院聚變大科學(xué)團(tuán)隊(duì)利用有“人造太陽(yáng)”之稱的全超導(dǎo)托卡馬克大科學(xué)裝置（EAST），發(fā)現(xiàn)并證明了一種新的高能量約束模式，對(duì)國(guó)際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆和未來(lái)聚變堆運(yùn)行具有重要意義。其基本原理是由磁場(chǎng)約束帶電粒子運(yùn)動(dòng)，使之束縛在某個(gè)區(qū)域內(nèi)。如圖所示，環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為，外半徑為，被束縛的帶電粒子的比荷為k，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度，速度大小為v。中空區(qū)域中的帶電粒子都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在半徑為的區(qū)域內(nèi)，則環(huán)狀區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能是（）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】由題意可知，粒子的比荷為k，要使所有的粒子都不能穿出磁場(chǎng)，與內(nèi)圓相切的方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡剛好與外圓相切，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示由幾何知識(shí)可知，粒子最大軌道半徑粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得解得要使粒子不離開(kāi)磁場(chǎng)由于故選CD?！灸Ｐ脱菥?】（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)的裝置中溫度極高，因而帶電粒子沒(méi)有通常意義上的容器可裝，而是由磁場(chǎng)將帶電粒子束縛在某個(gè)區(qū)域內(nèi)?，F(xiàn)有一個(gè)環(huán)形區(qū)域，其截面內(nèi)圓半徑，外圓半徑，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示。已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，被束縛的帶正電粒子的比荷，中空區(qū)域中的帶電粒子由內(nèi)、外圓的圓心O點(diǎn)以不同的初速度射入磁場(chǎng)，不計(jì)帶電粒子的重力和它們之間的相互作用，且不考慮相對(duì)論效應(yīng)。（1）求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T和帶電粒子不能穿越磁場(chǎng)外邊界的最大速度v0。（2）若中空區(qū)域中的帶電粒子以（1）中的最大速度沿圓環(huán)半徑方向射入磁場(chǎng)，求帶電粒子從某點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到其第一次回到該點(diǎn)所需要的時(shí)間。（3）若要使束縛效果最好，應(yīng)在半徑為的圓內(nèi)也加上磁場(chǎng)，則該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度要與B的方向相同還是相反？在取得最大束縛效果的情況下，若=2B，為使粒子不能射出半徑為的圓形區(qū)域，求粒子速度的最大值。

【答案】（1），；（2）；（3）相同，【詳解】（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有又解得帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期當(dāng)帶電粒子以某一速度射入磁場(chǎng)時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與外圓相切，此時(shí)粒子的速度為不能穿越磁場(chǎng)外邊界的最大速度，如圖甲所示根據(jù)幾何關(guān)系有解得

洛倫茲力提供帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律有解得（2）帶電粒子以速度射入磁場(chǎng)中時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系有解得故其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示；帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間帶電粒子在磁場(chǎng)外做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所用的時(shí)間帶電粒子從某點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到其第一次回到該點(diǎn)所需要的時(shí)間解得（3）要使束縛效果最好，則B'與B的方向應(yīng)相同，如圖丙所示；粒子在內(nèi)圓區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡圓心為O1，在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡圓心為，設(shè)粒子在兩區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)半徑分別為r1、r2

因?yàn)椋愿鶕?jù)幾何關(guān)系，有則為等腰三角形，，所以解得則六．三角形或四邊形邊界磁場(chǎng)模型【模型演練1】（2023·廣西南寧·南寧三中?？级＃┤鐖D所示，A、C兩點(diǎn)分別位于x軸和y軸上，，的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。在區(qū)域內(nèi)（包括邊界）有垂直于平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，以各種不同的速度垂直邊射入磁場(chǎng)。已知粒子從某點(diǎn)射入時(shí)，恰好垂直于邊射出磁場(chǎng)，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為。不計(jì)重力。下列說(shuō)法正確的是（）

A．帶電粒子帶負(fù)電B．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為C．從中點(diǎn)射入磁場(chǎng)的帶電粒子可以從C點(diǎn)出射D．能從邊射出的帶電粒子最大射入速度是【答案】BD【詳解】A．由左手定則可知帶電粒子帶正電，故A錯(cuò)誤；B．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間2t0內(nèi)其速度方向改變了90°，故其周期T=8t0設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，粒子速度為v，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度滿足解得故B正確；C．由題給條件可知，帶電粒子從C點(diǎn)出射，則C為切點(diǎn)，如圖所示

由幾何關(guān)系可知，粒子的軌跡半徑為，入射點(diǎn)到A點(diǎn)距離為，不是從中點(diǎn)射入磁場(chǎng)，故C錯(cuò)誤；D．由題給條件可知，該粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌跡與AC邊、OC邊相切時(shí)，粒子的軌跡半徑最大，此時(shí)粒子的入射速度最大，如圖所示

設(shè)O′為圓弧的圓心，圓弧的半徑為r0，圓弧與AC相切于N點(diǎn)，從O點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知設(shè)粒子最大入射速度大小為vm，由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有解得故D正確。故選BD。【模型演練2】（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如題圖，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），AC邊長(zhǎng)為l，為，一群比荷為的帶負(fù)電粒子以相同速度從C點(diǎn)開(kāi)始一定范圍垂直AC邊射入，射入的粒子恰好不從AB邊射出，已知從BC邊垂直射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子所用時(shí)間為，則（）A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為C．粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為D．粒子在磁場(chǎng)中掃過(guò)的面積為【答案】AC【詳解】A．帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，垂直AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是T，由得解得故A正確；B．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為θ，則有得畫(huà)出該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，設(shè)軌道半徑為R，由幾何知識(shí)得可得故B錯(cuò)誤；C．粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為故C正確；D．射入的粒子恰好不從AB邊射出，粒子在磁場(chǎng)中掃過(guò)的面積為故D錯(cuò)誤。故選AC。【模型演練3】（2023·湖南·高三專題練習(xí)）如圖，真空中有區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，區(qū)域Ⅰ中存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向下（與紙面平行），磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，等腰直角三角形CGF區(qū)域（區(qū)域Ⅱ）內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。圖中A、C、O三點(diǎn)在同一直線上，AO與GF垂直，且與電場(chǎng)和磁場(chǎng)方向均垂直。A點(diǎn)處的粒子源持續(xù)將比荷一定但速率不同的粒子射入?yún)^(qū)域Ⅰ中，只有沿直線AC運(yùn)動(dòng)的粒子才能進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ、若區(qū)域Ⅰ中電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1，區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2，則粒子從CF的中點(diǎn)射出，它們?cè)趨^(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0.若改變電場(chǎng)或磁場(chǎng)強(qiáng)弱，能進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ中的粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，不計(jì)粒子的重力及粒子之間的相互作用，下列說(shuō)法正確的是（）

A．若僅將區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?B1，則t>t0B．若僅將區(qū)域Ⅰ中電場(chǎng)強(qiáng)度大小變?yōu)?E，則t>t0C．若僅將區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?，則D．若僅將區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?，則【答案】D【詳解】A．根據(jù)題述，粒子從CF的中點(diǎn)射出，由左手定則可知，粒子帶正電。若區(qū)域Ⅰ中電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1，區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2，沿直線AC運(yùn)動(dòng)的粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，其速度為設(shè)CF=L，粒子從CF的中點(diǎn)射出，在區(qū)域II的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r0=所對(duì)的圓心角為90°，它們?cè)趨^(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為；若僅將區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?B1，沿直線AC運(yùn)動(dòng)的粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，其速度，在區(qū)域II的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為90°，它們?cè)趨^(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，故A錯(cuò)誤；B．若僅將區(qū)域Ⅰ中電場(chǎng)強(qiáng)度大小變?yōu)?E，沿直線AC運(yùn)動(dòng)的粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，其速度，在區(qū)域II的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為90°，它們?cè)趨^(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，故B錯(cuò)誤；C．若僅將區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)椋?m解得r=，帶電粒子將從GF射出，由粒子運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角則故C錯(cuò)誤；

D．若僅將區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)椋?m解得r=L，帶電粒子將從GF射出，由解得粒子運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角則故D正確。

故選D?！灸Ｐ脱菥?】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為的粒子以某一速度從M點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)射入，粒子恰好從的中點(diǎn)射出磁場(chǎng)。已知粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與的夾角為，不計(jì)粒子重力，粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖

由題可知，根據(jù)幾何關(guān)系有則粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為根據(jù)洛倫茲力提供向心力有聯(lián)立解得故選B。七．?dāng)?shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用適用條件速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫(huà)出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法【模型演練1】(2020·全國(guó)卷Ⅰ·18)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖9中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率．不計(jì)粒子之間的相互作用．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()A.eq\f(7πm,6qB) B.eq\f(5πm,4qB)C.eq\f(4πm,3qB) D.eq\f(3πm,2qB)【答案】C【解析】粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度大小無(wú)關(guān)，由在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角決定．設(shè)軌跡交半圓于e點(diǎn)，ce中垂線交bc于O點(diǎn)，則O點(diǎn)為軌跡圓心，如圖所示．圓心角θ＝π＋2β，當(dāng)β最大時(shí)，θ有最大值，由幾何知識(shí)分析可知，當(dāng)ce與相切時(shí)，β最大，此時(shí)β＝30°，可得θ＝eq\f(4,3)π，則t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(4πm,3qB)，故選C.【模型演練2】.(多選)(2020·山東濰坊市檢測(cè))如圖所示，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向垂直飛入橫截面是一正方形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，下列判斷正確的是()A．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，其軌跡線越長(zhǎng)B．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，其軌跡線所對(duì)應(yīng)的圓心角越大C．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同的電子，其軌跡線不一定重合D．電子的速率不同，它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定不相同【答案】BC【解析】由t＝eq\f(θ,2π)T知，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角成正比，所以電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)，其軌跡線所對(duì)應(yīng)的圓心角θ越大，電子飛入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡線弧長(zhǎng)s＝rθ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，θ越大，但半徑r不一定大，s也不一定大，故A錯(cuò)誤，B正確．由周期公式T＝eq\f(2πm,qB)知，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期與電子的速率無(wú)關(guān)，所以電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期相同，若它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，但軌跡不一定重合，比如：軌跡4與5，它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，但它們的軌跡對(duì)應(yīng)的半徑不同，由r＝eq\f(mv,qB)可知它們的速率不同，故C正確，D錯(cuò)誤．【模型演練3】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓心為O、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)（不含邊界）有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN為直徑。大量帶正電荷的同種粒子以不同的速率從O點(diǎn)在紙面內(nèi)沿與ON成角的方向射入磁場(chǎng)。粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)粒子受到的重力以及粒子間的相互作用。下列說(shuō)法正確的是（

）

A．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為B．若粒子恰好從圓弧邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，則粒子的速度大小為C．若粒子恰好從O點(diǎn)正上方的P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，則粒子的速度大小為D．選擇合適的速度，粒子可能從M點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)【答案】AC【詳解】A．當(dāng)粒子的速度較小時(shí)，粒子從MN邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為，此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，最長(zhǎng)時(shí)間故A正確；B．如圖所示

當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡與半圓形磁場(chǎng)邊界相切時(shí)（設(shè)切點(diǎn)為Q），粒子恰好從圓弧邊界射出，根據(jù)幾何知識(shí)可知，粒子的軌道半徑設(shè)粒子的速度大小為，有，解得故B錯(cuò)誤；C．設(shè)當(dāng)粒子恰好從P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，粒子的軌道半徑為，根據(jù)幾何關(guān)系有設(shè)粒子的速度大小為，有，解得故C正確；D．當(dāng)粒子的速度大于時(shí)，粒子從Q點(diǎn)右側(cè)離開(kāi)磁場(chǎng)，當(dāng)粒子的速度小于時(shí)，粒子從MN邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，即粒子不可能從M點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，故D錯(cuò)誤。故選AC?！灸Ｐ脱菥?】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，兩方向相反，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)被邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC邊界分開(kāi)，三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，三角形頂點(diǎn)A處由一質(zhì)子源，能沿∠BAC的角平分線發(fā)射速度不同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計(jì)），所有質(zhì)子均能通過(guò)C點(diǎn)，質(zhì)子比荷，則質(zhì)子的速度可能為（）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】質(zhì)子帶正電，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其可能的軌跡如圖所示所有圓弧所對(duì)圓心角均為，所以質(zhì)子運(yùn)行半徑為，2，3，…）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得解得，2，3，…）故ABD正確，C錯(cuò)誤。故選ABD。模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R＝eq\f(mv0,qB)。如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將一半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法【模型演練1】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考二模）如圖所示，垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一固定豎直擋板，擋板足夠長(zhǎng)，P處有一粒子源，PO連線垂直擋板，P到O的距離為L(zhǎng)。粒子源能垂直磁場(chǎng)沿紙面向各個(gè)方向發(fā)射速度大小均為v的帶正電粒子。粒子質(zhì)量均為m，電荷量均為q，到達(dá)擋板的粒子都被吸收，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用。（1）若有粒子能到達(dá)擋板，求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B應(yīng)滿足的條件；（2）若粒子到達(dá)擋板上側(cè)最遠(yuǎn)處為M點(diǎn)，下側(cè)最遠(yuǎn)處為N點(diǎn)，且，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B。

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）若恰有粒子能到達(dá)擋板，則粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑最小，為

如圖1所示，由幾何關(guān)系可知洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律有解得即當(dāng)時(shí)，有粒子能到達(dá)擋板。（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，粒子到達(dá)擋板上側(cè)最遠(yuǎn)處M點(diǎn)時(shí)，軌跡圓在M點(diǎn)與擋板相切，如圖2所示。設(shè)O、M間距離為

由幾何關(guān)系有粒子到達(dá)擋板下側(cè)最遠(yuǎn)處N點(diǎn)時(shí)，PN為軌跡圓的直徑。設(shè)O、N間距離為，由幾何關(guān)系可得由題意知解得由牛頓第二定律有解得【模型演練2】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，空間存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子源可沿紙面向各個(gè)方向以相同的速率發(fā)射質(zhì)量為、帶電荷量為的正粒子，一薄光屏與紙面的交線為PQ，OQL，PQL，。要使左、右兩側(cè)所有點(diǎn)均能被粒子打中，則粒子的速率至少為（）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】要使粒子能打中左側(cè)的所有位置，則粒子最小速度對(duì)應(yīng)軌跡的直徑為，由幾何關(guān)系可得由洛倫茲力作為向心力可得可得對(duì)應(yīng)的最小速度為要使粒子能打中右側(cè)的所有位置，軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可得解得由洛倫茲力作為向心力可得聯(lián)立解得對(duì)應(yīng)的最小速度為要使左、右兩側(cè)所有點(diǎn)均能被粒子打中，則粒子的速率至少為。故選D。【模型演練3】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖所示，S為一離子源，為足夠長(zhǎng)的熒光屏，S到的距離為，左側(cè)區(qū)域有足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。某時(shí)刻離子源S一次性沿平行紙面各個(gè)方向均勻地噴發(fā)大量的質(zhì)量為m、電荷量為q、速率為的正離子（此后不再噴發(fā)），不計(jì)離子重力，不考慮離子之間的相互作用力。則（）

A．打中熒光屏的最短時(shí)間為 B．打中熒光屏的最長(zhǎng)時(shí)間為C．打中熒光屏的寬度為 D．打到熒光屏的離子數(shù)與發(fā)射的離子數(shù)比值為【答案】AD【詳解】A．根據(jù)則離子軌道半徑離子軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)最短時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，即離子軌跡恰好經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系可知，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，能打中熒光屏的最短時(shí)間為故A正確；B．當(dāng)時(shí)，根據(jù)半徑公式離子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

離子速度為從下側(cè)回旋，剛好和邊界相切，離子速度為時(shí)從上側(cè)回旋，剛好和上邊界相切，打在熒光屏上的離子的周期打中熒光屏的最長(zhǎng)時(shí)間為故B錯(cuò)誤；C．離子打中熒光屏的范圍總長(zhǎng)度為圖中得AB長(zhǎng)度，由幾何關(guān)系可知打中熒光屏的寬度為，故C錯(cuò)誤；D．當(dāng)時(shí)，根據(jù)半徑公式離子恰好打到MN上的臨界運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

離子速度為從下側(cè)回旋，剛好和邊界相切，離子速度為時(shí)從上側(cè)回旋，剛好和上邊界相切，打到N點(diǎn)的離子離開(kāi)S時(shí)的初速度方向和打到點(diǎn)的離子離開(kāi)S時(shí)的初速度方向夾角能打到熒光屏上的離子數(shù)與發(fā)射的粒子總數(shù)之比故D正確。故選AD。【模型演練4】（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面，線段是屏與紙面的交線，長(zhǎng)度為，其左側(cè)有一粒子源S，可沿紙面內(nèi)各個(gè)方向不斷發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、速率相同的粒子；，P為垂足，如圖所示，已知，若上所有的點(diǎn)都能被粒子從其右側(cè)直接打中，則粒子的速率至少為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】粒子要打中的右側(cè)所有位置，最容易的方式為粒子從飛出，繞過(guò)距離最近的點(diǎn)，從右側(cè)打中最下端的點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示為軌跡圓的弦長(zhǎng)，為中點(diǎn)，，；粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為，根據(jù)幾何關(guān)系可知四邊形為平行四邊形，則解得粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可知解得粒子的最小速率為故選C。模型三“平移圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定，方向一定，但入射點(diǎn)在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，但在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直線與入射點(diǎn)的連線平行界定方法將半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法【模型演練1】如圖所示，在直角三角形ABC內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫(huà)出)，AB邊長(zhǎng)度為d，∠B＝eq\f(π,6)?，F(xiàn)垂直AB邊射入一群質(zhì)量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v(未知)的帶正電粒子，已知垂直AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，而運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(4,3)t(不計(jì)粒子重力)。則下列說(shuō)法正確的是()A．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4tB．該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(πm,2qt)C．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為eq\f(2,5)dD．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為eq\f(\r(3)πd,7t)【答案】ABC【解析】帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，垂直AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是eq\f(1,4)T，即為t＝eq\f(1,4)T，則得周期為T(mén)＝4t，故A正確；由T＝4t，R＝eq\f(mv,qB)，T＝eq\f(2πR,v)得，B＝eq\f(2πm,qT)＝eq\f(πm,2qt)，故B正確；運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系有Rsineq\f(π,6)＋eq\f(R,sin\f(π,6))＝d，解得R＝eq\f(2,5)d，故C正確；根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為v＝eq\f(2πR,T)，周期為T(mén)＝4t，半徑R＝eq\f(2,5)d，聯(lián)立可得v＝eq\f(πd,5t)，故D錯(cuò)誤?！灸Ｐ脱菥?】如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)ABCD，帶電粒子從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場(chǎng)，恰好從C點(diǎn)飛出磁場(chǎng)；若帶電粒子以相同的速度從AD的中點(diǎn)P垂直AD射入磁場(chǎng)，從DC邊的M點(diǎn)飛出磁場(chǎng)(M點(diǎn)未畫(huà)出)。設(shè)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間為t1，由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用時(shí)間為t2(帶電粒子重力不計(jì))，則t1∶t2為()A．2∶1B．2∶3C．3∶2D．eq\r(3)∶eq\r(2)【答案】C【解析】畫(huà)出粒子從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)到從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)的軌跡，并將該軌跡向下平移，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝L，從C點(diǎn)射出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1＝eq\f(T,4)；由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用時(shí)間為t2，圓心角為θ，則cosθ＝eq\f(\f(R,2),R)，則cosθ＝eq\f(1,2)，θ＝60°，故t2＝eq\f(T,6)，所以eq\f(t1,t2)＝eq\f(\f(T,4),\f(T,6))＝eq\f(3,2)，C正確。模型四“磁聚焦”模型1．帶電粒子的會(huì)聚如圖半徑與磁場(chǎng)圓半徑相等(R＝r)，則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出．(會(huì)聚)證明：四邊形OAO′B為菱形，必是平行四邊形，對(duì)邊平行，OB必平行于AO′(即豎直方向)，可知從A點(diǎn)發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過(guò)B點(diǎn)．2．帶電粒子的發(fā)散如圖乙所示，有界圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓心為O，從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場(chǎng)半徑相等，則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行．(發(fā)散