湖南省邵陽市武岡市2022-2023學年高三上學期期中考試數(shù)學試題含答案

2022年下學期期中考試試卷高三數(shù)學本試卷分為問卷和答卷?？荚嚂r量為120分鐘，滿分150分。請將答案寫在答題卡上。一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的）1．若集合，則A． B． C． D．2．若“，使得”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．3．歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美．若復數(shù)z滿足，則的虛部為A． B． C．1 D．4．如圖，函數(shù)圖象與x軸交于，與y軸交于P，其最高點為．若，則A的值等于A． B． C． D．25．已知是奇函數(shù)，則過點向曲線可作的切線條數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．不確定6．已知△A1B1C1與△A2B2C2滿足：sinA1=cosA2，sinB1=cosB2，sinC1=cosC2，則A．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形B．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形C．兩個三角形都是銳角三角形D．兩個三角形都是鈍角三角形7．設函數(shù)，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．8．若，，，則，，的大小關系是A． B． C． D．二、多選題9．下面命題正確的是A．“”是“”的充分不必要條件B．“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件C．△ABC中，sinA＞cosB是△ABC為銳角三角形的必要不充分條件D．已知偶函數(shù)在上單調遞增，則對實數(shù)，，“”是“”的充分不必要條件10．已知實數(shù)，，滿足，則下列說法正確的是A． B．C． D．的最小值為411．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．為函數(shù)的一個周期B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)在上單調遞增D．函數(shù)有且僅有2個零點12．已知函數(shù)與的定義域均為，分別為的導函數(shù)，，，若為奇函數(shù)，則下列等式一定成立的是A． B．.C． D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）13．則f(－2013)______．14．已知函數(shù)，若時，取得極值0，則__________.15．被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學之父”的著名數(shù)學家華羅庚先生為我國數(shù)學的發(fā)展做出了巨大貢獻，他所倡導的“優(yōu)選法”在生產和科研實踐中得到了廣泛的應用就是黃金分割比的近似值，黃金分割比還可以表示成，則_________．16.已知數(shù)列滿足（），設數(shù)列的前項和為，若，，則___________.四、17．（10分）已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）若等比數(shù)列的前n項和為，且，，，求滿足的n的最大值．18．（12分）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，平面，，是的中點.（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值．19．（12分）如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．（1）求的大??；（2）若點在直線同側，，求的取值范圍．20．（12分）已知動圓過點并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為．（1）求曲線的軌跡方程；（2）過點的直線與軌跡交于、兩點，設直線，設點，直線交于,求證：直線經過定點.21．（12分）在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“合1檢測法”，即將個人的樣本合并檢測，若為陰性，則該小組所有樣本均未感染病毒；若為陽性，則改需對本組的每個人再做檢測．現(xiàn)有人，已知其中有2人感染病毒．（1）若，并采取“10合1檢測法”，求共檢測15次的概率；（2）設采取“5合1檢測法”的總檢測次數(shù)為，采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為，若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當為多少時，采取“10合1檢測法”更適宜？請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)有三個極值點，（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.

2022年下學期期中考試試卷高三數(shù)學參考答案及評分標準1．C【分析】計算一元二次不等式和指數(shù)不等式，求出，從而求出交集.【詳解】，解得：，所以，而，解得：，所以所以.故選：C2．D【分析】寫出全稱命題為真命題，利用輔助角公式求出，從而求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】因為“，使得”為假命題，則“，使得”為真命題，因為，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D3．B【分析】由歐拉公式和復數(shù)除法運算可求得，由復數(shù)虛部定義求得結果【詳解】由歐拉公式知：，，，的虛部為．故選：B4．B【分析】先求出周期，再根據(jù)求，最后根據(jù)點和即可求.【詳解】由圖可知：，得，所以，將代入方程得：，，又，,，，所以，，，解得：或（舍）.故選：B5．C【分析】根據(jù)給定條件，求出a，再求出函數(shù)的導數(shù)，設出切點坐標，借助導數(shù)的幾何意義列出方程求解作答.【詳解】因函數(shù)是奇函數(shù)，則由得恒成立，則，即有，，設過點向曲線所作切線與曲線相切的切點為，而點不在曲線上，則，整理得，即，解得或，即符合條件的切點有3個，所以過點向曲線可作的切線條數(shù)是3.故選：C6．A7．B8．D【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，再借助“媒介”數(shù)比較大小作答.【詳解】依題意，，，即，又，，則，，即，所以，，的大小關系是.故選：D9．ACD10．ABC【分析】根據(jù)實數(shù)，，滿足，分別化簡選項A、B、C中的不等式即可判斷；選項D的判斷要注意基本不等式取等條件的檢驗.【詳解】由題，所以有，故A正確；，故B正確；，故C正確；，當且僅當即時取等，又因為，所以，即無最小值，故D錯誤.故選：ABC.11．AB12．ACD【分析】將去代入已知等式可構造方程組得到，由此可得關于對稱；結合為偶函數(shù)可推導得到是周期為的周期函數(shù)，則可得C正確；令，代入中即可求得A正確；令，由可推導得到D正確；設，由可知，結合可知，由此可得，知B錯誤.【詳解】由得：，，關于中心對稱，則，為奇函數(shù)，，左右求導得：，，為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，，是周期為的周期函數(shù)，，C正確；，，又，，A正確；令，則，，又，，，即，D正確；，，設，則，，又為奇函數(shù)，，，即，B錯誤.故選：ACD.【點睛】結論點睛：本題考查利用抽象函數(shù)關系式求解函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性的問題；對于與導數(shù)有關的函數(shù)性質，有如下結論：①若連續(xù)且可導，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若連續(xù)且可導，那么若關于對稱，則關于點對稱；若關于對稱，則關于對稱.13．－114.18【詳解】由，得，因為時，取得極值0，所以，，解得或，當時，，此時函數(shù)在在處取不到極值，經檢驗時，函數(shù)在處取得極值，所以，所以.故答案為：18故答案為：.15．216．-2【詳解】解：因為，，所以，則，所以，，則，可知，，，所以，又，，所以，則，又，所以，，所以，因為，所以，故答案為：．17．（1）（2）10（1）由題意得，解得，∴．（2）∵，，又，∴，公比，∴，令，得，令，所以n的最大值為10．18．（1）證明見解析（2）【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，從而得到線面平行；（2）作出輔助線，找到異面直線與所成角，利用余弦定理求出余弦值.（1）證明：連接，交的于，連接，則為的中點，因為分別是，的中點，，平面，平面，平面；（2）由（1）得：，（或其補角）就是異面直線與所成的角，∵三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，∴，，，∴由余弦定理得：，故異面直線與所成角的余弦值為.19．（1）；（2）.【分析】（1）設，利用給定的面積關系結合三角形面積定理，利用二倍角正弦化簡求解.（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理結合三角恒等變換、正弦函數(shù)性質求解作答.（1）設，則，因，，，則，而，，則有，即，又，，因此，，所以.（2）由（1）知，，連AC，有，則，而，中，由正弦定理有，，，，又，令，則，，因此，因，則，有，即，，所以的取值范圍為．20．（1）；（2）見解析【分析】(1)利用待定系數(shù)法求曲線的軌跡方程.(2)證明直線經過點，即證明，轉化成證明再轉化成證明，利用韋達定理即可證明.【詳解】（1）由已知，軌跡為雙曲線的右支，，，，曲線標準方程（2）由對稱性可知，直線必過軸的定點當直線的斜率不存在時，，，，知直線經過點當直線的斜率存在時，不妨設直線，，直線，當時，，得，，下面證明直線經過點，即證，即,即,由，整理得，，即即證經過點，直線過定點【點睛】(1)本題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和雙曲線的位置關系問題，考查直線的定點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2問的關鍵有二，其一是轉化為證明，其二是轉化成證明，利用韋達定理即可證明.21．（1）（2）當時，采取10合1檢測法更適宜；理由見解析【分析】（1）平均分為5組，共檢測15可知2個感染者分在同一組，計算所求概率；（2）分類討論感染者分在同一組和分在不同小組，計算兩種方案總檢測次數(shù)的期望值，進行比較得出結論.（1）現(xiàn)共有50人，由題意先平均分為5組，檢測5次，因為共檢測15次，所以兩個感染者必定分在同一組中，所以共檢測15次的概率有兩種算法，第一種是分組分配思想，第二種是算一組已經有一名感染者的情況下，選中另一名感染者，即兩種算法結果為和，結果均為；所以k＝5，并采取“10合1檢測法”，求共檢測15次的概率為.（2）當感染者在同一組時，，，此時，，當感染者不在同一組時，，，此時，，所以，，由綜上：時，采取10合1檢測法更適宜．22．（1）且；（2）證明見解析.【分析】（1）函數(shù)有3個零點等價于有3個變號零點，由于，且，所以可得有兩個不為0，－1的實根，再對求導討論其單調性可得結果；（2）由（1）可知有一個零點為0，所以不妨設，，而，所以，因此要證，即證而，，而在上遞減，，所以只需證，即，然后構造函數(shù)，只需證此函數(shù)值恒大于零即可.【詳解】解：（