高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題4第1講空間幾何體(學(xué)生版+解析)

第1講空間幾何體【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一表面積與體積1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)；V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．(2)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D－BB1C1的體積為________．【拓展訓(xùn)練】1(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π(2)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分別是邊BC和AC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，DE⊥BC，將△CDE沿DE折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P－ABDE，則四棱錐P－ABDE的體積的最大值為________．【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二多面體與球解決多面體與球問(wèn)題的兩種思路(1)利用構(gòu)造長(zhǎng)方體、正四面體等確定直徑．(2)利用球心O與截面圓的圓心O1的連線垂直于截面圓的性質(zhì)確定球心．【典例】2(1)已知三棱錐P－ABC滿足平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝4，∠APB＝30°，則該三棱錐的外接球的表面積為__________．(2)(2020·全國(guó)Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．【拓展訓(xùn)練】2(1)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．144πD．256π(2)中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD＝eq\r(5)，ED＝eq\r(3)，若鱉臑P－ADE的外接球的體積為9eq\r(2)π，則陽(yáng)馬P－ABCD的外接球的表面積為________．專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形2．(2020·全國(guó)Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)3．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)4．(2020·大連模擬)一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出，如圖，需要設(shè)計(jì)各面是玻璃平面的無(wú)底正四棱柱將其罩住，罩內(nèi)充滿保護(hù)文物的無(wú)色氣體．已知文物近似于塔形，高1.8米，體積0.5立方米，其底部是直徑為0.9米的圓形，要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米，氣體每立方米1000元，則氣體的費(fèi)用最少為()A．4500元B．4000元C．2880元D．2380元5.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)E在BB1上，動(dòng)點(diǎn)F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y(tǒng)，則三棱錐O－AEF的體積()A．與x，y都有關(guān)B．與x，y都無(wú)關(guān)C．與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)D．與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)6．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π7．(2020·全國(guó)Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π8．(2020·武漢調(diào)研)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，則球O的體積為()A.eq\f(32π,3)B．3πC.eq\f(4π,3)D．8π9.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球?qū)佣?，在該封閉的幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為()A.eq\f(2000π,9) B.eq\f(4000π,27)C．81π D．128π10．已知在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且長(zhǎng)度相等．若點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為1的球面上，則球心到平面ABC的距離為()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),2)二、多項(xiàng)選擇題11．(2020·棗莊模擬)如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．隨著容器傾斜度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖③所示時(shí)，AE·AH為定值12.(2020·青島檢測(cè))已知四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，則下列敘述正確的是()A．該四棱臺(tái)的高為eq\r(3)B．AA1⊥CC1C．該四棱臺(tái)的表面積為26D．該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π三、填空題13．(2020·浙江)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是________．14.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.15．已知球O與棱長(zhǎng)為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為________．16．(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________．第1講空間幾何體【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一表面積與體積1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)；V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．【答案】40eq\r(2)π【解析】因?yàn)槟妇€SA與圓錐底面所成的角為45°，所以圓錐的軸截面為等腰直角三角形．設(shè)底面圓的半徑為r，則母線長(zhǎng)l＝eq\r(2)r.在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，所以sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8).因?yàn)椤鱏AB的面積為5eq\r(15)，即eq\f(1,2)SA·SBsin∠ASB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)r×eq\r(2)r×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，所以r2＝40，故圓錐的側(cè)面積為πrl＝eq\r(2)πr2＝40eq\r(2)π.(2)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D－BB1C1的體積為________．【答案】eq\f(2\r(3),3)【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AO.∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，∴AC＝2，OC＝1，則AO＝eq\r(3).∵AA1∥平面BCC1B1，∴點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為eq\r(3).又＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).易錯(cuò)提醒(1)計(jì)算表面積時(shí)，有些面的面積沒有計(jì)算到(或重復(fù)計(jì)算)．(2)一些不規(guī)則幾何體的體積不會(huì)采用分割法或補(bǔ)形思想轉(zhuǎn)化求解．(3)求幾何體體積的最值時(shí)，不注意使用基本不等式或求導(dǎo)等確定最值．【拓展訓(xùn)練】1(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，由題意可知2r＝h＝2eq\r(2)，∴圓柱的表面積S＝2πr2＋2πr·h＝4π＋8π＝12π.故選B.(2)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分別是邊BC和AC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，DE⊥BC，將△CDE沿DE折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P－ABDE，則四棱錐P－ABDE的體積的最大值為________．【答案】eq\f(\r(3),27)【解析】設(shè)CD＝DE＝x(0<x<1)，則四邊形ABDE的面積S＝eq\f(1,2)(1＋x)(1－x)＝eq\f(1,2)(1－x2)，當(dāng)平面PDE⊥平面ABDE時(shí)，四棱錐P－ABDE的體積最大，此時(shí)PD⊥平面ABDE，且PD＝CD＝x，故四棱錐P－ABDE的體積V＝eq\f(1,3)S·PD＝eq\f(1,6)(x－x3)，則V′＝eq\f(1,6)(1－3x2)．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時(shí)，V′>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))時(shí)，V′<0.∴當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，Vmax＝eq\f(\r(3),27).【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二多面體與球解決多面體與球問(wèn)題的兩種思路(1)利用構(gòu)造長(zhǎng)方體、正四面體等確定直徑．(2)利用球心O與截面圓的圓心O1的連線垂直于截面圓的性質(zhì)確定球心．【典例】2(1)已知三棱錐P－ABC滿足平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝4，∠APB＝30°，則該三棱錐的外接球的表面積為__________．【答案】64π【解析】因?yàn)锳C⊥BC，所以△ABC的外心為斜邊AB的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，所以三棱錐P－ABC的外接球球心在平面PAB上，即球心就是△PAB的外心，根據(jù)正弦定理eq\f(AB,sin∠APB)＝2R，解得R＝4，所以外接球的表面積為4πR2＝64π.(2)(2020·全國(guó)Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．【答案】eq\f(\r(2),3)π【解析】圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，則PD＝2eq\r(2)，△PEO∽△PDB，故eq\f(PO,PB)＝eq\f(OE,DB)，即eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2),3)π.規(guī)律方法(1)長(zhǎng)方體的外接球直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)．(2)三棱錐S－ABC的外接球球心O的確定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到過(guò)O1的平面ABC的垂線l，在l上找點(diǎn)O，使OS＝OA，點(diǎn)O即為三棱錐S－ABC的外接球的球心．(3)多面體的內(nèi)切球可利用等積法求半徑．【拓展訓(xùn)練】2(1)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．144πD．256π【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)椤螦OB＝90°，所以S△AOB＝eq\f(1,2)R2，因?yàn)閂O－ABC＝VC－AOB，而△AOB的面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于平面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O－ABC的體積最大，此時(shí)VO－ABC＝VC－AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π.(2)中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD＝eq\r(5)，ED＝eq\r(3)，若鱉臑P－ADE的外接球的體積為9eq\r(2)π，則陽(yáng)馬P－ABCD的外接球的表面積為________．【答案】20π【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，即AD⊥CE，且AD＝eq\r(5)，ED＝eq\r(3)，∴△ADE的外接圓半徑為r1＝eq\f(AE,2)＝eq\f(\r(AD2＋ED2),2)＝eq\r(2)，設(shè)鱉臑P－ADE的外接球的半徑為R1，則eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1)＝9eq\r(2)π，解得R1＝eq\f(3\r(2),2).∵PA⊥平面ADE，∴R1＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r\o\al(2,1))，可得eq\f(PA,2)＝eq\r(R\o\al(2,1)－r\o\al(2,1))＝eq\f(\r(10),2)，∴PA＝eq\r(10).正方形ABCD的外接圓直徑為2r2＝AC＝eq\r(2)AD＝eq\r(10)，∴r2＝eq\f(\r(10),2)，∵PA⊥平面ABCD，∴陽(yáng)馬P－ABCD的外接球半徑R2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r\o\al(2,2))＝eq\r(5)，∴陽(yáng)馬P－ABCD的外接球的表面積為4πReq\o\al(2,2)＝20π.專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形【答案】A【解析】AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2.在Rt△AOB中，AB＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，同理AC＝2，所以原△ABC是等邊三角形．2．(2020·全國(guó)Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)【答案】C【解析】設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長(zhǎng)為a，高為h，側(cè)面三角形底邊上的高(斜高)為h′，則由已知得h2＝eq\f(1,2)ah′.如圖，設(shè)O為正四棱錐S－ABCD底面的中心，E為BC的中點(diǎn)，則在Rt△SOE中，h′2＝h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2，∴h′2＝eq\f(1,2)ah′＋eq\f(1,4)a2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h′,a)))2－eq\f(1,2)·eq\f(h′,a)－eq\f(1,4)＝0，解得eq\f(h′,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(負(fù)值舍去)．3．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)【答案】C【解析】如圖，由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設(shè)底面圓半徑為r，l為底面圓周長(zhǎng)，R為母線長(zhǎng)，則eq\f(1,2)lR＝2πr2，即eq\f(1,2)·2π·r·R＝2πr2，解得R＝2r，故∠ADC＝30°，則△DEF為等邊三角形，設(shè)B為△DEF的重心，過(guò)B作BC⊥DF，則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內(nèi)切球半徑，則eq\f(BC,BD)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(r內(nèi),r外)＝eq\f(1,2)，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).4．(2020·大連模擬)一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出，如圖，需要設(shè)計(jì)各面是玻璃平面的無(wú)底正四棱柱將其罩住，罩內(nèi)充滿保護(hù)文物的無(wú)色氣體．已知文物近似于塔形，高1.8米，體積0.5立方米，其底部是直徑為0.9米的圓形，要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米，氣體每立方米1000元，則氣體的費(fèi)用最少為()A．4500元B．4000元C．2880元D．2380元【答案】B【解析】因?yàn)槲奈锏撞渴侵睆綖?.9米的圓形，文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，所以由正方形與圓的位置關(guān)系可知，底面正方形的邊長(zhǎng)為0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2(米)，所以正四棱柱的高為1.8＋0.2＝2(米)，則正四棱柱的體積V＝1.52×2＝4.5(立方米)．因?yàn)槲奈锏捏w積為0.5立方米，所以罩內(nèi)空氣的體積為4.5－0.5＝4(立方米)，因?yàn)闅怏w每立方米1000元，所以氣體的費(fèi)用最少為4×1000＝4000(元)，故選B.5.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)E在BB1上，動(dòng)點(diǎn)F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y(tǒng)，則三棱錐O－AEF的體積()A．與x，y都有關(guān)B．與x，y都無(wú)關(guān)C．與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)D．與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)【答案】B【解析】由已知得V三棱錐O－AEF＝V三棱錐E－OAF＝eq\f(1,3)S△AOF·h(h為點(diǎn)E到平面AOF的距離)．連接OC，因?yàn)锽B1∥平面ACC1A1，所以點(diǎn)E到平面AOF的距離為定值．又AO∥A1C1，OA為定值，點(diǎn)F到直線AO的距離也為定值，所以△AOF的面積是定值，所以三棱錐O－AEF的體積與x，y都無(wú)關(guān)．6．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π【答案】C【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的圓錐，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3).7．(2020·全國(guó)Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π【答案】A【解析】如圖，設(shè)圓O1的半徑為r，球的半徑為R，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a.由πr2＝4π，得r＝2，則eq\f(\r(3),3)a＝2，a＝2eq\r(3)，OO1＝a＝2eq\r(3).在Rt△OO1A中，由勾股定理得R2＝r2＋OOeq\o\al(2,1)＝22＋(2eq\r(3))2＝16，所以S球＝4πR2＝4π×16＝64π.8．(2020·武漢調(diào)研)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，則球O的體積為()A.eq\f(32π,3)B．3πC.eq\f(4π,3)D．8π【答案】A【解析】設(shè)△ABC外接圓圓心為O1，半徑為r，連接O1O，如圖，易得O1O⊥平面ABC，∵AB＝AC＝1，AA1＝2eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，∴2r＝eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2，即O1A＝1，O1O＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(3)，∴OA＝eq\r(O1O2＋O1A2)＝eq\r(3＋1)＝2，∴球O的體積V＝eq\f(4,3)π·OA3＝eq\f(32π,3).故選A.9.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球?qū)佣?，在該封閉的幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為()A.eq\f(2000π,9) B.eq\f(4000π,27)C．81π D．128π【答案】B【解析】小圓柱的高分為上、下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等，為5，下部分深入底部半球內(nèi)．設(shè)小圓柱下部分的高為h(0<h<5)，底面半徑為r(0<r<5)．由于r，h和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即r2＋h2＝52，所以小圓柱的體積V＝πr2(h＋5)＝π(25－h(huán)2)(h＋5)(0<h<5)，把V看成是關(guān)于h的函數(shù)，求導(dǎo)得V′＝－π(3h－5)(h＋5)．當(dāng)0<h<eq\f(5,3)時(shí)，V′>0，V單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(5,3)<h<5時(shí)，V′<0，V單調(diào)遞減．所以當(dāng)h＝eq\f(5,3)時(shí)，小圓柱的體積取得最大值．即Vmax＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(25,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)＋5))＝eq\f(4000π,27)，故選B.10．已知在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且長(zhǎng)度相等．若點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為1的球面上，則球心到平面ABC的距離為()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),2)【答案】C【解析】∵在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且長(zhǎng)度相等，∴此三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，∵球O的半徑為1，∴正方體的邊長(zhǎng)為eq\f(2\r(3),3)，即PA＝PB＝PC＝eq\f(2\r(3),3)，球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，設(shè)P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC×h＝eq\f(1,3)S△PAB×PC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3，∵△ABC為邊長(zhǎng)為eq\f(2\r(6),3)的正三角形，S△ABC＝eq\f(2\r(3),3)，∴h＝eq\f(2,3)，∴球心(即正方體中心)O到截面ABC的距離為eq\f(1,3).二、多項(xiàng)選擇題11．(2020·棗莊模擬)如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．隨著容器傾斜度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖③所示時(shí)，AE·AH為定值【答案】AD【解析】由于AB固定，所以在傾斜的過(guò)程中，始終有CD∥HG∥EF∥AB，且平面AEHD∥平面BFGC，故水的部分始終呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB為棱柱的一條側(cè)棱，沒有水的部分也始終呈棱柱形，故A正確；因?yàn)樗鍱FGH所在四邊形，從圖②，圖③可以看出，EF，GH長(zhǎng)度不變，而EH，F(xiàn)G的長(zhǎng)度隨傾斜度變化而變化，所以水面EFGH所在四邊形的面積是變化的，故B錯(cuò)；假設(shè)A1C1與水面所在的平面始終平行，又A1B1與水面所在的平面始終平行，則長(zhǎng)方體上底面A1B1C1D1與水面所在的平面始終平行，這就與傾斜時(shí)兩個(gè)平面不平行矛盾，故C錯(cuò)；水量不變時(shí)，棱柱AEH－BFG的體積是定值，又該棱柱的高AB不變，且VAEH－BFG＝eq\f(1,2)·AE·AH·AB，所以AE·AH＝eq\f(2VAEH－BFG,AB)，即AE·AH是定值，故D正確．12.(2020·青島檢測(cè))已知四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，則下列敘述正確的是()A．該四棱臺(tái)的高為eq\r(3)B．AA1⊥CC1C．該四棱臺(tái)的表面積為26D．該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π【答案】AD【解析】將四棱臺(tái)補(bǔ)為如圖所示的四棱錐P－ABCD，并取E，E1分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，記四棱臺(tái)上、下底面中心分別為O1，O，連接AC，BD，A1C1，B1D1，A1O，OE，OP，PE.由條件知A1，B1，C1，D1分別為四棱錐的側(cè)棱PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，則PA＝2AA1＝4，OA＝2，所以O(shè)O1＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(1,2)eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(3)，故該四棱臺(tái)的高為eq\r(3)，故A正確；由PA＝PC＝4，AC＝4，得△PAC為正三角形，則AA1與CC1所成角為60°，故B不正確；四棱臺(tái)的斜高h(yuǎn)′＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(1,2)eq\r(PO2＋OE2)＝eq\f(1,2)×eq\r(2\r(3)2＋\r(2)2)＝eq\f(\r(14),2)，所