高一數(shù)學舉一反三系列專題3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)【六大題型】專項練習(原卷版+解析)

專題3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】 1【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】 2【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】 4【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】 5【題型5“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】 6【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】 8【知識點1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用】1．實際問題中函數(shù)建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學問題，既要符合數(shù)學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結(jié)果要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結(jié)論，作出回答.2．一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.3．二次函數(shù)模型的應(yīng)用二次函數(shù)模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問題常用到二次函數(shù)模型.【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例1】（2022秋·福建泉州·高一?？计谥校难b滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，設(shè)倒完第k次后，前k次共倒出純酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出純酒精fx升，則fx的解析式是（

）A．fx=45x+2 B．fx【變式1-1】（2022秋·四川廣安·高一?？茧A段練習）一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為（

）A．y=20?2x B．y=20?2x(0<x<10)C．y=20?2x(5≤x≤10) D．y=20?2x(5<x<10)【變式1-2】（2023春·福建·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某公司市場營銷部員工的個人月收入與月銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其對應(yīng)關(guān)系如圖所示.由圖示信息可知，月銷售量為3百件時員工的月收入是（）A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東廣州·高一?？计谥校┠硨W校因為學生活動區(qū)域緊張，為了更好的為學生提供活動場地，決定在一塊長AM=300米，寬AN=200米的矩形地塊AMPN上施工，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形ABCD的學生活動中心，要求頂點C在地塊的對角線MN上，B、D分別在邊AM、AN上，假設(shè)AB長度為x米.

(1)要使矩形活動區(qū)域ABCD的面積不小于14400平方米，AB的長度應(yīng)在什么范圍？(2)長度AB和寬度AD分別為多少米時矩形活動區(qū)域ABCD的面積最大？最大值是多少平方米？【變式2-1】（2023·高一課時練習）小明同學想知道自家煤氣灶旋鈕放到什么位置時，燒開一壺水最省燃氣，于是通過實驗統(tǒng)計了旋鈕的轉(zhuǎn)角為18°、36°、54°、72°、90°時，燒開一壺水所耗燃氣情況：旋鈕的轉(zhuǎn)角（單位：度）1836547290所耗燃氣量（單位：m30.1300.1220.1390.1490.172請選擇合適的函數(shù)模擬擬合以上數(shù)據(jù)，由此計算：旋鈕的轉(zhuǎn)角為多少度時，燒開一壺水所耗然氣最少？最少燃氣為多少立方米？【變式2-2】（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）某蔬菜種植基地共有蔬菜種植大棚100個，用于種植普通蔬菜，平均每個大棚年收入為10萬元．為適應(yīng)市場需求，提高收益，決定調(diào)整原種植方案，將x(10≤x≤32,x∈N?)個大棚改種速生蔬菜，其余大棚繼續(xù)種植普通蔬菜．經(jīng)測算，調(diào)整種植方案后，種植普通蔬菜的每個大棚年收入比原來提高2.5x(1)當m=20時，要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%，求x(2)當22<m<23時，求蔬菜種植大棚全年總收入的最大值．【變式2-3】（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）某商貿(mào)公司售賣某種水果．經(jīng)市場調(diào)研可知：在未來20天內(nèi)，這種水果每箱的銷售利潤r（單位：元）與時間t（1≤t≤20,t∈N，單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系式為r=14t+10，且日銷售量p（單位：箱）與時間t(1)求第幾天的日銷售利潤最大？最大值是多少？(2)在未來的這20天中，在保證每天不賠本的情況下，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈mm∈N?元給“精準扶貧”對象，為保證銷售積極性，要求捐贈之后每天的利潤隨時間t【知識點2冪函數(shù)模型的應(yīng)用】1．冪函數(shù)模型的應(yīng)用冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（A．14 B．12 C．23【變式3-1】（2023秋·高一課時練習）上海市為抑制房價，2011年準備新建經(jīng)濟適用房800萬m2，解決中低收入家庭的住房問題.設(shè)年平均增長率為x%，設(shè)2014年新建經(jīng)濟住房面積為ym2，則y關(guān)于xA．y=800(1+3x%)(x>0) B．y=800C．y=800(1+4x%)(x>0) D．y=800【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習）某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為150億元，理財業(yè)務(wù)收入為50億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計每年總收入比前一年增加20億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，若要使得該公司2025年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當年總收入的60%，則t的值至少為（

）A．52.4 B．53.6 C．62.4【知識點3分段函數(shù)模型的應(yīng)用】1．分段函數(shù)模型的應(yīng)用由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應(yīng)用.【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】【例4】（2022秋·河南·高一校聯(lián)考階段練習）某企業(yè)生產(chǎn)一種化學產(chǎn)品的總成本y（單位：萬元）與生產(chǎn)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=x3?40A．20噸 B．40噸 C．50噸 D．60噸【變式4-1】（2023·全國·高三對口高考）2005年10月27日全國人大通過了關(guān)于修改個人所得稅的決定，工薪所得減去費用標準從800元提高到1600元也就是說原來月收入超過800元部分就要納稅，2006年1月1日開始超過了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過部分的稅率相同，如下表：級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率%1不超過500元52500~2000元1032000~5000元15某人2005年9月交納個人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅（

）元．A．43 B．2280 C．680 D．不能確定【變式4-2】（2023春·廣東河源·高二?？计谥校┰谝话闱闆r下，過江大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為90千米/小時；研究表明，當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．設(shè)當車流密度x=x0時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）fxA．x0=100 B．x0=120 C．【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現(xiàn)碳達峰，爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）(x∈[120,500])之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=13x3?80A．120 B．200 C．240 D．400【知識點4“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】1．“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用對勾函數(shù)模型是常考的模型，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.【題型5“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】【例5】（2022秋·河北邯鄲·高一?？计谥校┠彻S為提升品牌知名度進行促銷活動，需促銷費用x（0<x≤a,a為常數(shù)）萬元，計劃生產(chǎn)并銷售某種文化產(chǎn)品（x+1）萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入成本費用（x+1x(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（注：利潤=銷售額?投入成本?促銷費用）(2)當促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？【變式5-1】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距45km的某地聘請代駕司機幫助其返程.假設(shè)當?shù)氐缆废匏?0km/h.油價為每升8元，當汽車以xkm/h【變式5-2】（2022秋·浙江衢州·高一?？计谥校┤鐖D，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為4200元/m2；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元(1)設(shè)總價為S（單位：元），AD長為x（單位：m），試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當x為何值時，S最??？并求出這個最小值．【變式5-3】（2022·江蘇·高一專題練習）某廠家擬在2021年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量（即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）x（單位：萬件）與年促銷費用mm≥0（單位：萬元）滿足x=3?km+1(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）表示為年促銷費用m的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？(3)若該廠家2021年的促銷費用不高于2萬元，則當促銷費用為多少萬元時，該廠家的利潤最大？【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】【例6】（2023春·山東德州·高二校考階段練習）某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=1(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利，如果獲利，最大利潤為多少元？【變式6-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標表示投資金額，單位為萬元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)Rx=400x?(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)fx(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收益=總成本+利潤）【變式6-3】（2023春·上海楊浦·高一?？奸_學考試）新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻.生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)x萬箱，需另投入成本px萬元，當產(chǎn)量不足60萬箱時，px=(1)求口罩銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤=銷售總價-固定成本-生產(chǎn)成本）(2)當產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是多少（萬元）？

專題3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】 1【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】 3【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】 7【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】 9【題型5“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】 12【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】 15【知識點1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用】1．實際問題中函數(shù)建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學問題，既要符合數(shù)學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結(jié)果要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結(jié)論，作出回答.2．一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.3．二次函數(shù)模型的應(yīng)用二次函數(shù)模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問題常用到二次函數(shù)模型.【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例1】（2022秋·福建泉州·高一?？计谥校难b滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，設(shè)倒完第k次后，前k次共倒出純酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出純酒精fx升，則fx的解析式是（A．fx=45x+2 B．fx【解題思路】求出第k次倒出酒精后容器中含純酒精的質(zhì)量，然后可得第k+1次倒出的純酒精的質(zhì)量，然后可得倒k+1次共倒出的純酒精．【解答過程】∵第k次時共倒出了純酒精x升，∴第k次倒出后容器中含純酒精為(10?x)升第k+1次倒出的純酒精是10?x10所以倒出第k+1次時，共倒出了純酒精f(x)=x+故選：C.【變式1-1】（2022秋·四川廣安·高一?？茧A段練習）一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為（

）A．y=20?2x B．y=20?2x(0<x<10)C．y=20?2x(5≤x≤10) D．y=20?2x(5<x<10)【解題思路】由等腰三角形的周長為20，得到y(tǒng)=20?2x，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求得5<x<10，即可得到函數(shù)的解析式.【解答過程】由等腰三角形的周長為20，且底邊長y是關(guān)于腰長x，可得y+2x=20，所以y=20?2x，又由2x>y，即2x>20?2x，即x>5，因為y>0，即20?2x>0，可得x<10，所以5<x<10，所以解析式為y=20?2x(5<x<10).故選：D.【變式1-2】（2023春·福建·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某公司市場營銷部員工的個人月收入與月銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其對應(yīng)關(guān)系如圖所示.由圖示信息可知，月銷售量為3百件時員工的月收入是（）A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元【解題思路】利用公司市場營銷部員工的個人月收入與月銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，代入圖象中的坐標，求出函數(shù)并將月銷售量為3百件代入，可得此時的月收入．【解答過程】設(shè)一次函數(shù)為：y=kx+bk≠0，將0,1800和2,2400代入得：1800=b解得k=300,b=1800，故公司市場營銷部員工的個人月收入與月銷售量之間的函數(shù)關(guān)系為y=300x+1800，令x=3，可得y=300×3+1800=2700元，故選：C.【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【解題思路】根據(jù)題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷不同方案下參數(shù)的變化對圖象的影響，即可確定正確選項.【解答過程】設(shè)目前車票價格為k1，支出費用為b1，則對于建議（I），設(shè)建議后的支出費用為b2（b2＜b1顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；對于建議（II），設(shè)建議后的車票價格為k2（k2＞k1顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．故選：C．【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東廣州·高一校考期中）某學校因為學生活動區(qū)域緊張，為了更好的為學生提供活動場地，決定在一塊長AM=300米，寬AN=200米的矩形地塊AMPN上施工，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形ABCD的學生活動中心，要求頂點C在地塊的對角線MN上，B、D分別在邊AM、AN上，假設(shè)AB長度為x米.

(1)要使矩形活動區(qū)域ABCD的面積不小于14400平方米，AB的長度應(yīng)在什么范圍？(2)長度AB和寬度AD分別為多少米時矩形活動區(qū)域ABCD的面積最大？最大值是多少平方米？【解題思路】（1）由已知可得△NDC∽△NAM，可求得ND=23x，可得出AD=200?23（2）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得矩形ABCD面積的最大值，及其對應(yīng)的x的值，即可得出結(jié)論.【解答過程】（1）解：因為CD//AB，由圖可知，△NDC∽△NAM，即CDAM所以，ND=23x，所以，AD=AN?ND=200?矩形ABCD的面積為fx=AB?AD=x?200?由fx=?23x因此，當120≤x≤180時，形活動區(qū)域ABCD的面積不小于14400平方米.（2）解：由（1）知，fx=?2故當x=150時，函數(shù)fx取最大值，即f因此，當AB=150米，AD=100米時，矩形活動區(qū)域ABCD的面積最大，且最大值為15000平方米.【變式2-1】（2023·高一課時練習）小明同學想知道自家煤氣灶旋鈕放到什么位置時，燒開一壺水最省燃氣，于是通過實驗統(tǒng)計了旋鈕的轉(zhuǎn)角為18°、36°、54°、72°、90°時，燒開一壺水所耗燃氣情況：旋鈕的轉(zhuǎn)角（單位：度）1836547290所耗燃氣量（單位：m30.1300.1220.1390.1490.172請選擇合適的函數(shù)模擬擬合以上數(shù)據(jù)，由此計算：旋鈕的轉(zhuǎn)角為多少度時，燒開一壺水所耗然氣最少？最少燃氣為多少立方米？【解題思路】設(shè)旋鈕的轉(zhuǎn)角（單位：度）為x，所耗燃氣量（單位：m3）為y，在平面直角坐標系中描點，可選擇二次函數(shù)進行模擬擬合，設(shè)y=ax2+bx+ca≠0【解答過程】設(shè)旋鈕的轉(zhuǎn)角（單位：度）為x，所耗燃氣量（單位：m3）為y，在平面直角坐標系中描出表中的五個點(x,y)

可以選擇二次函數(shù)進行模擬擬合，設(shè)y=ax不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172)代入，得0.130=a?182+18b+c故y=1.9033×10當x=?by的最小值為4ac?b24a所以當x≈39（度）時，燒開一壺水所耗燃氣最少，約0.1218m3【變式2-2】（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）某蔬菜種植基地共有蔬菜種植大棚100個，用于種植普通蔬菜，平均每個大棚年收入為10萬元．為適應(yīng)市場需求，提高收益，決定調(diào)整原種植方案，將x(10≤x≤32,x∈N?)個大棚改種速生蔬菜，其余大棚繼續(xù)種植普通蔬菜．經(jīng)測算，調(diào)整種植方案后，種植普通蔬菜的每個大棚年收入比原來提高2.5x(1)當m=20時，要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%，求x(2)當22<m<23時，求蔬菜種植大棚全年總收入的最大值．【解題思路】（1）當m=20時，設(shè)種植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分別為y1,y2，表示出y1,y（2）設(shè)蔬菜種植大棚全年總收入為Z萬元，可得Z=xm?38【解答過程】（1）當m=20時，設(shè)種植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分別為y1則y1=x20?y=?0.25x要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%則y1所以x20?化簡得：x2?56x+640≤0，即解得：16≤x≤40，又因為10≤x≤32,x∈N所以16≤x≤32，x∈N（2）設(shè)蔬菜種植大棚全年總收入為Z萬元，所以Z=x=?5=?當22<m<23時，x=4所以當x∈10,45所以，當x=29時，Z1當x=30時，Z2當x=31時，Z3所以當22<m<23時，Z2?ZZ3?Z所以Z2最大，所以當x=30時，蔬菜種植大棚全年總收入最大為：30m+887.5【變式2-3】（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）某商貿(mào)公司售賣某種水果．經(jīng)市場調(diào)研可知：在未來20天內(nèi)，這種水果每箱的銷售利潤r（單位：元）與時間t（1≤t≤20,t∈N，單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系式為r=14t+10，且日銷售量p（單位：箱）與時間t(1)求第幾天的日銷售利潤最大？最大值是多少？(2)在未來的這20天中，在保證每天不賠本的情況下，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈mm∈N?元給“精準扶貧”對象，為保證銷售積極性，要求捐贈之后每天的利潤隨時間t【解題思路】（1）通過計算得f(t)=rp=?1（2）計算g(t)=?12t2+(10+2m)t+1200?120m，根據(jù)題意得到不等式10+2m>19.5，且m≤【解答過程】（1）設(shè)第t日的銷售利潤為f(t)，則

f(t)=rp=(14t+10)(120?2t)=?∵1≤t≤20,t∈N，當t=10時，f(t)所以第10天的銷售利潤最大，最大值是1250元.（2）設(shè)捐贈之后第t日的銷售利潤為g(t)，則g(t)=(14t+10?m)(120?2t)依題意，m應(yīng)滿足以下條件：①m∈N②10+2m>19+202=19.5③m≤14t+10對于1≤t≤20綜上5≤m≤10，且m∈N【知識點2冪函數(shù)模型的應(yīng)用】1．冪函數(shù)模型的應(yīng)用冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（A．14 B．12 C．23【解題思路】初始狀態(tài)設(shè)為(x1,y1)，變化后為【解答過程】設(shè)初始狀態(tài)為(x1,y1又y1=kx1α，y8y1y1=k?16αx故選：D．【變式3-1】（2023秋·高一課時練習）上海市為抑制房價，2011年準備新建經(jīng)濟適用房800萬m2，解決中低收入家庭的住房問題.設(shè)年平均增長率為x%，設(shè)2014年新建經(jīng)濟住房面積為ym2，則y關(guān)于xA．y=800(1+3x%)(x>0) B．y=800C．y=800(1+4x%)(x>0) D．y=800【解題思路】根據(jù)平均增長率的定義寫出方程即可得到答案．【解答過程】由題意知2012年為800(1+x%)(x>0)2013年為8002014年為y=800故選B.【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【解題思路】設(shè)年平均增長率為x，依題意列方程求x即可.【解答過程】由題意，設(shè)年平均增長率為x，則150(1+x)所以x=3故選：B.【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習）某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為150億元，理財業(yè)務(wù)收入為50億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計每年總收入比前一年增加20億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，若要使得該公司2025年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當年總收入的60%，則t的值至少為（

）A．52.4 B．53.6 C．62.4【解題思路】求出2025年通過理財業(yè)務(wù)的收入為50t5億元，根據(jù)題意可得出關(guān)于t的不等式，解出【解答過程】因為該公司2020年總收入為200億元，預(yù)計每年總收入比前一年增加20億元，所以2025年的總收入為300億元，因為要求從2020年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，所以2025年通過理財業(yè)務(wù)的收入為50t5億元，所以300?50t5≤300×0.6，解得t≥故選：A.【知識點3分段函數(shù)模型的應(yīng)用】1．分段函數(shù)模型的應(yīng)用由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應(yīng)用.【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】【例4】（2022秋·河南·高一校聯(lián)考階段練習）某企業(yè)生產(chǎn)一種化學產(chǎn)品的總成本y（單位：萬元）與生產(chǎn)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=x3?40A．20噸 B．40噸 C．50噸 D．60噸【解題思路】由總成本與生產(chǎn)量之間的關(guān)系求出平均生產(chǎn)成本的函數(shù)解析式，求函數(shù)取最小值時的x的值即為所求.【解答過程】因為總成本y與生產(chǎn)量x之間的關(guān)系為y=x設(shè)平均生產(chǎn)成本為f(x)，則f(x)=y當x∈0,30時，f(x)=則x=20時，f(x)最小為100，當x∈30,+∞時，當且僅當x2=800x，即綜上，x=40，即生產(chǎn)量控制在40噸時，每噸的平均生產(chǎn)成本最少.故選：B.【變式4-1】（2023·全國·高三對口高考）2005年10月27日全國人大通過了關(guān)于修改個人所得稅的決定，工薪所得減去費用標準從800元提高到1600元也就是說原來月收入超過800元部分就要納稅，2006年1月1日開始超過了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過部分的稅率相同，如下表：級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率%1不超過500元52500~2000元1032000~5000元15某人2005年9月交納個人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅（

）元．A．43 B．2280 C．680 D．不能確定【解題思路】根據(jù)已知寫出稅法修改前納稅額與工資的分段函數(shù)形式，根據(jù)個人所得稅求出某人工資，再按新稅法求稅額即可.【解答過程】設(shè)工資為x元，當0≤x≤800，納稅為0元；當800<x≤1300，納稅為(x?800)×5%當1300<x≤2800，納稅為500×5%當2800<x≤5800，納稅為500×5%所以，納稅為y=0,0≤x≤800而25<123<175，令x10?105=123，可得由x?1600=680>500，則按新稅法只要交稅500×5%故選：A.【變式4-2】（2023春·廣東河源·高二?？计谥校┰谝话闱闆r下，過江大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為90千米/小時；研究表明，當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．設(shè)當車流密度x=x0時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）fxA．x0=100 B．x0=120 C．【解題思路】根據(jù)條件建立分段函數(shù)關(guān)系，利用待定系數(shù)法求出k，m的值，利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可．【解答過程】vx則當x=200時，v200當x=20時，v20=90，即200k+m=020k+m=90，解得k=?故fx當0<x≤20時，fx的最大值為x=20時，f當20≤x≤200時，fx根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸方程為x=100，得fx的最大值為x0=100故選：A．【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現(xiàn)碳達峰，爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）(x∈[120,500])之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=13x3?80A．120 B．200 C．240 D．400【解題思路】先根據(jù)題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數(shù)關(guān)系，然后分x∈[120,144)和x∈[144,500]分析討論求出其最小值即可【解答過程】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為S=1當x∈[120,144)時，S=1當x=120時，S取得最小值240，當x∈[144,500]時，S=1當且僅當12x=80000x，即綜上，當每月得理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D.【知識點4“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】1．“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用對勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.【題型5“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】【例5】（2022秋·河北邯鄲·高一?？计谥校┠彻S為提升品牌知名度進行促銷活動，需促銷費用x（0<x≤a,a為常數(shù)）萬元，計劃生產(chǎn)并銷售某種文化產(chǎn)品（x+1）萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入成本費用（x+1x(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（注：利潤=銷售額?投入成本?促銷費用）(2)當促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？【解題思路】（1）根據(jù)題意可得銷售額1+20x+1x+1=x+21，則利潤（2）由（1）得y=?x+1x+20，x∈0,a，利用基本不等式可得x+【解答過程】（1）由題意得y=1+20x+1（2）由（1）得y=?x+1x∵x>0，∴x+1x≥2x?1由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當0<a<1時，y=?x+1x∴當x=a時，ymax當a≥1時，y=?x+1x綜上所述，當0<a<1時，當促銷費用投入a萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為?a+當a≥1時，當促銷費用投入1萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為18萬元.【變式5-1】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距45km的某地聘請代駕司機幫助其返程.假設(shè)當?shù)氐缆废匏?0km/h.油價為每升8元，當汽車以xkm/h【解題思路】根據(jù)題設(shè)可得y=3600x+x【解答過程】設(shè)汽車以xkm/h行駛時，開車時間為45x小時，則代駕費用為油耗為45x則總費用y=45=36010由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在0,60單調(diào)遞減，在60,+∞因為0≤x≤50，所以當x=50時，y取到最小值，最小值為y=3600最經(jīng)濟的車速為50km/h時，使得本次行程的總費用最少為122【變式5-2】（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為4200元/m2；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元(1)設(shè)總價為S（單位：元），AD長為x（單位：m），試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當x為何值時，S最??？并求出這個最小值．【解題思路】（1）先設(shè)DQ=y，又AD=x，建立等式找出x,y得關(guān)系計算S即可；（2）利用均值不等式計算即可，注意等號成立的條件.【解答過程】（1）設(shè)DQ=y，又AD=x，0<x≤4，則x2+4xy=200，∴∴S=4200x2（2）由（1）得S=38000+4000x利用均值不等式得S=38000+4000x當4000x2=所以當x=10m時，【變式5-3】（2022·江蘇·高一專題練習）某廠家擬在2021年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量（即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）x（單位：萬件）與年促銷費用mm≥0（單位：萬元）滿足x=3?km+1(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）表示為年促銷費用m的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？(3)若該廠家2021年的促銷費用不高于2萬元，則當促銷費用為多少萬元時，該廠家的利潤最大？【解題思路】（1）由m=0時，x=1可構(gòu)造方程求得k，得到x=3?2m+1，代入利潤y關(guān)于（2）利用基本不等式可求得16m+1（3）利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即得.【解答過程】（1）由題意可知：當m=0時，x=1（萬件），∴1=3?k，解得：k=2，∴x=3?2m+1，又每件產(chǎn)品的銷售價格為∴2021年利潤y=x=28?16（2）因為y=28?16當m≥0時，16m+1+m+1≥8（當且僅當此時年利潤ymax∴該廠家2021年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元.（3）因為y=28?16當0≤m≤2時函數(shù)為增函數(shù)，故當m=2時，ymax故當促銷費用為2萬元時，該廠家的利潤最大.【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】【例6】（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習）某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=1(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？