2022屆安徽省安慶市示范高中高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題解析版

2022屆安徽省安慶市示范高中高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知函數(shù)的定義域為，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知，由此即可求出集合，進而求出，再根據(jù)交集運算即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，所以或，所以，故，所以.故選：D.2．已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可設(shè)，代入原式，然后計算即可得結(jié)果【詳解】設(shè)，，故，解得，故選：C3．“，”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】解：若，則滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，即充分性不成立，反之若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，成立，即必要性成立，即“，”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)等比數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵.4．2021年，我國通信業(yè)積極推進網(wǎng)絡(luò)強國和數(shù)字中國建設(shè)，5G和千兆光網(wǎng)等新型信息基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)覆蓋和應(yīng)用普及全面加速，移動電話用戶規(guī)模小幅增長.截止2021年，全國電話用戶凈增4755萬戶，總數(shù)達到18.24億戶，其中移動電話用戶總數(shù)16.43億戶，全年凈增4875萬戶，其中，4G移動電話用戶為10.69億戶，5G移動電話用戶達到3.55億戶，周定電話用戶總數(shù)1.81億戶，全年凈減121萬戶.自2011年以來固定電話與移動電話普及率（單位：部/百人）如圖所示，則以下說法錯誤的是（

）A．近十年以米移動電話普及率逐年遞增B．近十年以來固定電話普及率逐年遞減C．2021年移動電話普及率為116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人D．2021年固定電話普及率為12.8部/百人，比上年末降低0.1個百分點【答案】A【分析】觀察折線圖，得到選項A錯誤，選項BCD正確.【詳解】解：A.由于2015年移動電話普及率比2014年的普及率低，所以近十年以來移動電話普及率逐年遞增是錯誤的，所以該選項錯誤；B.近十年以來固定電話普及率逐年遞減，所以該選項正確；C.2021年移動電話普及率為116.3部/百人，2020年移動電話普及率為112.9部/百人，所以2021比上年末提高3.4部/百人，所以該選項正確；D.2021年固定電話普及率為12.8部/百人，2020年固定電話普及率為12.9部/百人,2021比上年末降低0.1個百分點，所以該選項正確.故選：A5．已知函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于原點及對稱.當時，，則下列敘述錯誤的是（

）A．是周期函數(shù) B．為奇函數(shù)C．在單調(diào)遞增 D．的值域為【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，結(jié)合對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性進行求解判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，即，當時，單調(diào)遞增，故，當函數(shù)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即值域為，而，所以函數(shù)當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且，因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以有，所以有，所以該函數(shù)又關(guān)于點對稱，因為點和在該函數(shù)的圖象上，所以由函數(shù)的對稱性可知：該函數(shù)在單調(diào)遞增且值域為，該函數(shù)不可能是周期函數(shù)，故選：A6．已知命題p：點在圓內(nèi)，則直線與C相離；命題q：直線直線m，//平面，則.下列命題正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析真假性后判斷選項【詳解】對于命題p，點在圓內(nèi)，則，故圓心到直線距離，直線與圓相離，為真命題，對于命題q，與位置關(guān)系不確定，為假命題，選項中只有為真命題．故選：B7．已知函數(shù)在上的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)法判斷.【詳解】當時，，則，故排除AB.當時，則，令，得或，當或時，，當時，，所以是函數(shù)的極小值點，是函數(shù)的極大值點，故C錯誤；當時，則，令，得或，當或時，，當時，，所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，故D正確故選：D.8．已知圓錐的底面半徑為1，母線.過點A的平面將圓錐分成兩部分，則截面橢圓周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，再利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】解：由已知圓錐展開圖圓心角.由余弦定理得所以截面橢圓周長的最小值為.故選：A.9．已知，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．將圖象向左平移可得的圖象 B．將圖象向右平移可得的圖象C．與的圖象關(guān)于對稱 D．與的圖象關(guān)于軸對稱【答案】C【分析】先求，根據(jù)性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】由已知，所以，故將圖像向左平移或右移可得的圖象，故A、B正確；，所以與的圖象關(guān)于y軸對稱，故D正確；，所以與的圖像關(guān)于對稱錯誤，故C不正確.故選：C.10．已知，都是正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】因為，所以，令，所以，故在上單調(diào)遞增，由已知得，故，因為，都是正整數(shù)，即.故選：A.11．已知拋物線的焦點為F，過C上一點P作C的切線與y軸交于點T，則不能為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．不等邊三角形【答案】D【分析】不妨設(shè)拋物線設(shè)，求出切線方程和點坐標得到，即得解.【詳解】解：不妨設(shè)拋物線.設(shè)，所以所以切線的斜率為，所以切線方程為，令得.所以，所以，故等腰三角形.又可以為銳角?直角及鈍角，所以不可能為不等邊三角形.故選：D.12．在自然界中，樹木的分叉?花瓣的數(shù)量?植物種子的排列等都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律，直到13世紀意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·裴波那契從免子繁殖問題發(fā)現(xiàn)了一組神奇的數(shù)字1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，它揭示了植物生長的規(guī)律，我們將其稱為裴波那契數(shù)列，該數(shù)列也可以表示為，，下面結(jié)論：①，②，③，④，則以上正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用累加法求解計算并判斷.【詳解】由己知，累加得，由，累加得；由，累加整理得；因為，故選：A【點睛】求解本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系，由累加法求解.二、填空題13．已知向量滿足，則___________.【答案】【分析】根據(jù)已知求出，再利用模長公式得解.【詳解】解：由得.故答案為：14．已知雙曲線的頂點分別為M?N?P為C上一點且直線的斜率之積為3，則雙曲線C的離心率為___________.【答案】2【分析】設(shè)點，可得，結(jié)合的斜率之積為3，可得，利用離心率公式求得答案.【詳解】不妨設(shè),設(shè)為C上一點，所以，,由已知得，即,故，所以,故答案為：215．已知四棱錐的底面為矩形，，則其外接球的表面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理、球的表面積公式進行求解即可.【詳解】如圖取中點E，底面中心為，外接球的球心為O，則底面.由已知得，又，所以平面PAD，平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD又PE⊥AD，平面ABCD∩平面PAD=AD，平面PAD,所以PE⊥平面ABCD，.設(shè)球的半徑為R，.在直角梯形中，.在直角中，，聯(lián)立得，即，故球的表面積為，故答案為：三、雙空題16．2022年北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽在首鋼滑雪大跳臺進行，在資格賽中每位選手滑跳三次，假設(shè)某運動員滑跳一次成績超過70分的概率為，則在資格賽中該運動員超過70分的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為___________，其中至少有兩次成績超過70分的概率為___________.【答案】

2.25

【分析】由可得超過70分的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為；分別求出有兩次超過70分和有三次超過70分的概率，相加即可得至少有兩次成績超過70分的概率.【詳解】假設(shè)該運動員在3次滑跳中有X次成績超過70分，則，則，該運動員至少有兩次成績超過70分的概率為.故答案為：2.25；.四、解答題17．已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且.(1)求證：；(2)若為，的等差中項，且，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得，再根據(jù)三角形性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)，得，求解即可.【詳解】(1)由已知及正弦定理得，又代入上式得，即又，顯然，所以，故(2)由（1）知，因為為，的等差中項，不妨設(shè)由余弦定理得，整理得：①由已知得，②由①②聯(lián)立，整理得：，所以.所以，所以的面積為18．2022年北京冬奧會防寒服中的“神奇內(nèi)芯”—仿鵝絨高保暖絮片，是國家運動員教練員比賽服裝的保暖材料.該“內(nèi)芯”具有超輕超薄?濕態(tài)保暖?高蓬松度等特點，其研發(fā)是國家重點研發(fā)計劃“科技冬奧”重點專項之一，填補了國內(nèi)空白.為了保證其質(zhì)量，廠方技術(shù)員從生產(chǎn)的一批保暖絮片中隨機抽取了100處，分別測量了其纖維長度(單位：)的均值，并制成如下頻率分布直方圖：(1)估計該批保暖絮片纖維長度的平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；(2)該批保暖絮片進人成品庫之前需進行二次檢驗，從中隨機抽取15處測量其纖維長度均值，數(shù)據(jù)如下：31.8，32.7，28.2，34.3，29.1，34.8，37.2，30.8，30.6，25.2，32.9，28.9，33.9，29.5，34.5.請問該批保暖絮片是否合格？(若二次抽檢纖維長度均值滿足，則認為保暖絮片合格，否則認為不合格).【答案】(1)31，12.28；(2)合格﹒【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求出每一組的頻率和頻數(shù)，根據(jù)方差計算公式即可計算方差；(2)求出,比較的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得，纖維長度區(qū)間是???????的頻率分別為：0.04?0.09?0.16?0.24?0.18?0.14?0.10?0.05，對應(yīng)的頻數(shù)分別為：4?9?16?24?18?14?10?5，故樣本均值為：；樣本方差為：﹒∴估計該保暖絮片的纖維長度的平均數(shù)為，方差為；(2)二次抽檢纖維長度均值：，∵，∴該批保暖絮片合格﹒19．如圖，為平行四邊形，，將沿翻折到位置且.(1)求P、C兩點之間的距離；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)；(2)﹒【分析】(1)延長到E，使，連接.證明CE⊥平面PDE，根據(jù)勾股定理可求PC長度；(2)取中點O，連接，以分別為x，z軸建立空間直角坐標系，求出平面DPB和平面CPB的法向量，利用向量法即可求解二面角的余弦.【詳解】(1)延長到E，使，連接.由己知得為平行四邊形，故.又，∴，則，∵PD∩AE＝D，∴平面，∴平面，∴，∵，∴，又，∴為等邊三角形，故.又，∴；(2)由(1)知為矩形，取中點O，連接，則OP⊥DE，則OP⊥平面BCED，如圖，以分別為x，z軸建立空間直角坐標系，則..設(shè)平面的法向量為，則，即，取，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，故，∴，由已知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.20．已知橢圓的左，右焦點分別為?，動直線過與相交于，兩點.若：是其中一個的內(nèi)切圓.(1)求橢圓的方程；(2)求內(nèi)切圓半徑的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得，再利用橢圓定義求解即可；（2）根據(jù)題意得，，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立求出韋達定理，整理求最值即可.【詳解】(1)由已知方程為：，圓心，半徑為.由已知得，故，由，解得故，所以，.所以橢圓的方程為.(2)設(shè)內(nèi)切圓半徑為，面積為，，則，又，所以，設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立整理得，則.由，所以所以，令，則，當且僅當即時取等號.故內(nèi)切圓半徑的最大值為.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．已知函數(shù)，函數(shù)在處取得最大值.(1)求a的取值范圍；(2)當時，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性進而可求極值，從而可得出結(jié)論；（2）方法一：結(jié)合（1）的結(jié)論可知只需證即可，然后構(gòu)造函數(shù)，從而證得其最小值大于0即可；方法二：結(jié)合（1）的結(jié)論可知只需證即可，進而分別構(gòu)造函數(shù)令和，然后結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】(1)顯然，由已知得.故.若，當時，；當正數(shù)時，.有最小值，不符合題意.若，當時，；當時，.有最大值，故a的取值范圍為.(2)由（1）知，當時，，所以.當時，因為，只需證，即證令，設(shè)，故在上為增函數(shù).所以，所以存在，使得，此時.當時，，即；當時，，即.故.又因為在為減函數(shù)，且，所以故當時，，即，所以.綜上，當時，.解法二：由（1）知，當時，，所以.當時，因為，只需證，即證.令在上單遞增，所以；令，由得.當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.當時，，故所以綜上，當時，.【點睛】不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點，結(jié)合已解答問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，再化簡或者進一步利用導(dǎo)數(shù)證明.22．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.(1)求曲線C的普通方程；(2)若過點的直線l與曲線C交于A，B兩點，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題得，利用極坐標公式化簡即得解；（2）設(shè)直線l的傾斜角為，寫出直線的參數(shù)方程，聯(lián)立曲線C的普通方程得到韋達定理，再利用韋達定理和參數(shù)的幾何意義