2021屆福建省龍巖市高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題解析版

2021屆福建省龍巖市高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A．2 B． C．-2 D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則求出復(fù)數(shù)，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出，最后根據(jù)虛部的定義可求出所求．【詳解】解：因為，所以，所以，即的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，故選：C．2．若集合，，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)題意求得陰影部分表示的集合，結(jié)合集合子集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，可得，可得，即陰影部分表示的集合為，所以陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為.故選：D.3．圍繞民宿目的地進行吃住娛樂閉環(huán)消費已經(jīng)成為疫情之后人們出游的新潮流．在用戶出行旅游決策中，某機構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)1000戶偏愛酒店的用戶與1000戶偏愛民宿的用戶住宿決策依賴的出行旅游決策平臺，得到如下統(tǒng)計圖，則下列說法中不正確的是（）A．偏愛民宿用戶對小紅書平臺依賴度最高B．在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等C．小紅書在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比與攜程旅行在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比不相等D．在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比都比抖音的占比高【答案】D【分析】由酒店預(yù)訂條形圖和民宿預(yù)訂扇形圖逐一分析四個選項得答案．【詳解】解：由右圖可知，偏愛民宿用戶對小紅書平臺的選擇占比為，則偏愛民宿用戶對小紅書平臺依賴度最高，故A正確；在被調(diào)查的酒店用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和為，在被調(diào)查的民宿用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和為，則在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等，故B正確；小紅書在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比為，攜程旅行的占比為，攜程旅行的占比略高于小紅書占比，故C正確；在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比分別為和，抖音的占比分別為和，則酒店預(yù)訂方面同程旅行占比高，民宿預(yù)訂方面抖音的占比高，故D錯誤．故選：D．4．在中，，，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法法則和減法法則用向量把向量表示出來，從而求的值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：C.5．在的展開式中，的系數(shù)為（）A．-20 B．-10 C．10 D．20【答案】C【分析】把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數(shù)．【詳解】解：，的展開式中的系數(shù)為，故選：C．6．2006年7月13日，河南安陽殷墟通過了世界遺產(chǎn)委員會的認可，成為世界文化遺產(chǎn)．考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量），經(jīng)過測定，殷墟遺址某文物樣本中碳14的質(zhì)量約是原來的，據(jù)此推測此文物存在的時期距今約（參考數(shù)據(jù)：，）A．1719年 B．2870年 C．3075年 D．4775年【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，然后建立等式，解指數(shù)方程，兩邊取以2為底的對數(shù)，從而可求出的值．【詳解】解：由題意可得，則，即，所以年．故選：．7．若三棱錐的四個面都為直角三角形，且平面，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造如圖所示的長方體，設(shè)其外接球的半徑為R，可得2R=PC=，結(jié)合球的表面積計算公式即可.【詳解】構(gòu)造如圖所示的長方體，設(shè)其外接球的半徑為R，則2R=PC=，所以外接球的表面積為：.故選：B8．定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則的值為（）A．-3 B．-2 C．-1 D．0【答案】A【分析】直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到以及（1）（1）（1），即可求解結(jié)論．【詳解】解：定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)，時，，，且（1）（1）（1），可得且，故，故選：A．二、多選題9．若點在直線上，其中，，則（）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AD【分析】先由題設(shè)條件得到：，再利用基本不等式及不等式的性質(zhì)逐個選項判斷正誤即可．【詳解】解：由題設(shè)可知：，，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時取““，故選項正確；又由可得：，，，，故選項、錯誤；，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，故選項正確，故選：AD．10．一個不透明的袋子中裝有6個小球，其中有4個紅球，2個白球，這些球除顏色外完全相同，則下列結(jié)論中正確的有（）A．若一次摸出3個球，則摸出的球均為紅球的概率是B．若一次摸出3個球，則摸出的球為2個紅球，1個白球的概率是C．若第一次摸出一個球，記下顏色后將它放回袋中，再次摸出一個球，則兩次摸出的球為不同顏色的球的概率是D．若第一次摸出一個球，不放回袋中，再次摸出一個球，則兩次摸出的球為不同顏色的球的概率是【答案】BC【分析】求出總事件數(shù)以及摸出的球均為紅球的事件數(shù)，由概率公式求解即可判斷選項，求出總事件數(shù)和摸出的球為2個紅球，1個白球的事件數(shù)，由概率公式求解即可判斷選項，分兩種情況：，①若第一次摸出紅球，第二次摸出白球；②若第一次摸出白球，第二次摸出紅球，分別求出其概率相加即可判斷選項，．【詳解】解：對于，總事件數(shù)是，摸出的球均為紅球的事件數(shù)為，所以摸出的球均為紅球的概率是，故選項錯誤；對于，總事件數(shù)是，摸出的球為2個紅球，1個白球的事件數(shù)為，所以摸出的球為2個紅球，1個白球的概率是，故選項正確；對于，①若第一次摸出紅球，第二次摸出白球，則概率為；②若第一次摸出白球，第二次摸出紅球，則概率為．故兩次摸出的球為不同顏色的球的概率是，故選項正確；對于，①若第一次摸出紅球，第二次摸出白球，則概率為，②若第一次摸出白球，第二次摸出紅球，則概率為．故兩次摸出的球為不同顏色的球的概率是，故選項錯誤．故選：BC．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值為B．當(dāng)時，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C．是函數(shù)的一個周期D．不存在，使得函數(shù)是奇函數(shù)【答案】ABD【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷ABCD的結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)，對于A：當(dāng)時，，由于,，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，故A正確；對于B：當(dāng)時，，由，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C:，故C錯誤；對于D：要使函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，整理得：，即，關(guān)系式不恒成立，故不存在，使得函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確．故選：ABD．12．已知拋物線的焦點為F，O是坐標(biāo)原點，P為拋物線C上一動點，直線l交C于A，B兩點，點不在拋物線C上，則（）A．若A，B，F(xiàn)，Q四點共線，則B．若的最小值為2，則C．若直線l過焦點F，則直線，的斜率，滿足D．若過點A，B所作的拋物線的兩條切線互相垂直，且A，B兩點的縱坐標(biāo)之和的最小值為4，則的面積為4【答案】CD【分析】若直線l過點F、Q且與y軸垂直，可得，當(dāng)直線l過點F、Q但不與y軸垂直時，得不出，判斷出選項A；分點Q在拋物線的內(nèi)部及外部兩種情況討論，利用三角形兩邊之和大于第三邊求得最小值，判斷出選項B；直線l方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解即可判斷出選項C；由求導(dǎo)得，利用斜率公式結(jié)合二次函數(shù)的最值求得面積的最值，判斷出選項D.【詳解】A.若直線l過點F、Q且與y軸垂直，可得，當(dāng)直線l過點F、Q但不與y軸垂直時，得不出，故A錯；B.當(dāng)點Q在拋物線的內(nèi)部時，由拋物線的定義得（N為拋物線準線上的點）；當(dāng)點Q在拋物線的外部時，連接，.得.故B錯C.由條件知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為與聯(lián)立消去y得，設(shè)，，則，，，故C正確；D.設(shè)，，由得，，，，所以當(dāng)時，取得最小值，從而求得，，，.故D正確.故選：CD.三、填空題13．已知函數(shù)在點處的切線方程為，則a的值為______.【答案】1【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由（1）求解值．【詳解】解：由，得，函數(shù)在點，（1）處的切線方程為，（1），即．故答案為：1．14．將這2021個整數(shù)中能被2整除余1且被3整除余2的數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列的項數(shù)為______.【答案】337【分析】根據(jù)題意，設(shè)要求數(shù)列為，寫出的前幾項，歸納分析可得是首項為5，公差為6的等差數(shù)列，由此分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)要求數(shù)列為，被2整除余1的數(shù)為1、3、5、7、，被3整除余2的數(shù)為2、5、，則能被2整除余1且被3整除余2的數(shù)為5、11、17、，是首項為5，公差為6的等差數(shù)列，則，在這2021個整數(shù)中，的最大項為2021，即，則該數(shù)列有337項，故答案為：337．15．正方體的棱長為a，P是正方體表面上的動點，若，則動點P的軌跡長度為______.【答案】【分析】首先利用正方體的結(jié)構(gòu)特征以及，確定點的軌跡，進而求出其軌跡長度.【詳解】動點P的軌跡是以A為球心，半徑為的球與平面，平面，平面的交線，這三條弧長之和為.故答案為：四、雙空題16．已知拋物線的準線與雙曲線的漸近線分別交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點．若的內(nèi)切圓的周長為π，則內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為______，雙曲線C的離心率為______.【答案】【分析】根據(jù)題意求出內(nèi)切圓半徑與漸近線，由位置關(guān)系即可求出圓心半徑與離心率.【詳解】由題意知：拋物線的準線方程為.由的內(nèi)切圓的周長為π，即的內(nèi)切圓的半徑.由漸近線關(guān)于軸對稱，則圓心必在軸上，設(shè)為.由圓心到的距離為.即.即圓心坐標(biāo)為.由漸近線的為.則.化簡得：.所以離心率.故答案為：；五、解答題17．在①，②，③.三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，.（1）求角C;（2）求周長的取值范圍．【答案】（1）條件性選擇見解析，；（2）.【分析】（1）選①，，結(jié)合正弦定理及同角基本關(guān)系可求，進而可求；選②，，結(jié)合二倍角公式進行化簡可求，進而可求；選③，，結(jié)合三角形面積公式及向量數(shù)量積定義進行化簡求，進而可求；（2）由余弦定理及基本不等式可求的范圍，然后結(jié)合三角形的兩邊之和大于第三邊即可求解．【詳解】解：（1）選①，，由正弦定理得，，因為，所以，即，由為三角形內(nèi)角得，，選②，，，整理得，，由為三角形內(nèi)角得，，選③，，由三角形面積公式得，，故，由為三角形內(nèi)角得，，（2）因為，由余弦定理得，，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解得，，因為，故．周長的取值范圍，．18．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前n項和為，當(dāng)對任意都成立時，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．（2），利用錯位相減法即可得出．【詳解】解：（1），當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，，數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，．（2），數(shù)列的前項和為，，相減可得：，化為：．，當(dāng)對任意都成立時，，實數(shù)的取值范圍是,．19．為貫徹落實全國教育大會精神，全面加強和改進新時代學(xué)校體育工作，某校開展陽光體育“冬季長跑活動”.為了解學(xué)生對“冬季長跑活動”的興趣度是否與性別有關(guān)，某調(diào)查小組隨機抽取該校100名高中學(xué)生進行問卷調(diào)查，其中認為感興趣的人數(shù)占80%.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為學(xué)生對“冬季長跑活動”的興趣度與性別有關(guān)？感興趣不感興趣合計男生12女生36合計100（2）若用頻率估計概率，在隨機抽取的100名學(xué)生中，從男學(xué)生和女學(xué)生中各隨機抽取1名學(xué)生，求這2人中恰有1人不感興趣的概率；（3）若不感興趣的男學(xué)生中恰有5名是高三學(xué)生．現(xiàn)從不感興趣的男學(xué)生中隨機選出3名進行二次調(diào)查，記選出高三男學(xué)生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.7022.0763.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）沒有90%的把握認為學(xué)生對“冬季長跑”的興趣度與性別有關(guān)；（2）；（3）分布列見解析，.【分析】（1）直接由題意得列聯(lián)表，求得，對比臨界值表得結(jié)論；（2）直接由互斥事件的概率公式求解；（3）由題意可知，的取值可能為0，1，2，3，求其概率，得分布列，再由期望公式求期望．【詳解】（1）列聯(lián)表補充如下：感興趣不感興趣合計男441256女36844合計8020100計算所以沒有90%的把握認為學(xué)生對“冬季長跑”的興趣度與性別有關(guān).（2）設(shè)2人中恰有1人不感興趣這一事件為A，則（3）根據(jù)題意，X的值可能為0，1，2，3.則，，故X的分布列如下：X0123P故X的數(shù)學(xué)期望：.20．如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等腰直角三角形，，，F(xiàn)是的中點，二面角的大小為120°，設(shè)平面與平面的交線為l.(1)在線段上是否存在點E，使平面?若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由；(2)若點Q在l上，直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】(1)在線段上存在點E滿足題意，且E為中點；(2).【分析】(1)當(dāng)E為中點時滿足題意，根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明；然后再證平面，從而得到平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點Q在l上，設(shè)出點的坐標(biāo)，然后用向量法計算直線與平面所成角的正弦值，列方程求解.【詳解】(1)在線段上存在點E滿足題意，且E為中點，連接，，，底面為矩形，，又E，F(xiàn)分別是，中點，，又側(cè)面為等腰直角三角形，，，平面.因為，面，面，所以面，又因為面，面面，所以，又因為平面，所以平面，所以在線段上存在點E滿足平面，且E為中點，(2)以E為原點，方向為x軸，EF方向為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由(1)知，為二面角的一個平面角，所以，因為側(cè)面為等腰直角三角形，，所以，，，,設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，得，所以，又因為，所以.21．已知橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，左焦點為，且過點.O為坐標(biāo)原點，與的面積的比值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；（2）直線與橢圓C交于P，Q兩點，記直線，的斜率分別為，，若k為，，的等比中項，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由與的面積的比值為，得到，再將代入橢圓C的方程得到，結(jié)合，求得的值，即可求解；（2）聯(lián)立方程組，得到，，根據(jù)，求得，再結(jié)合弦長公式和點到直線的距離公式，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓的左焦點為，因為與的面積的比值為，即，解得，即，將代入橢圓C的方程，可得，又由，解得，所以橢圓C的標(biāo)準方程為.（2）設(shè)，，且，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得又由，，因為，，所以，所以，因為的斜率，的斜率，則把，代入上式并化簡得，因為，所以，又因為，所以，當(dāng)，時，，所以直線l的方程為，此時由，可得因為，所以，且，可得，，所以，點到直線的距離所以因為，所以，，所以面積的取值范圍為.【點睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單