2021年福建省(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

要求的.

1.在實(shí)數(shù)后，；，0.一1中，最小的數(shù)是（）

A.-18.0C.yD.V2

2.如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

3.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校4與河對(duì)岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C,利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得

NA=60。,NC=90。,AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離A8等于（）

A.2kmB.3kmC.26kmD.4km

4.下列運(yùn)算正確的是（）

26y232h

A.2a—a=2B.（?—1）'—a—IC.a4-a-aD.（2a）=4a

5.某校為推薦一項(xiàng)作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對(duì)甲、乙、丙、丁四項(xiàng)候選作品進(jìn)行量化評(píng)分，具體成績(jī)（百分制）

如表：

項(xiàng)目甲乙丙T

作品

創(chuàng)新性90959090

實(shí)用性90909585

如果按照創(chuàng)新性占60%,實(shí)用性占40%計(jì)算總成績(jī)，并根據(jù)總成績(jī)擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開(kāi)展植樹(shù)造林

活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x,那么，符合題意的方程是（）

A.0.63（1+%）=0.68B.0.63（1+x）2=0.68

C.063（1+2x）=0.68I）.0.63（1+2x）2=0.68

7.如圖，點(diǎn)F在正五邊形AB8E的內(nèi)部，AM為等邊三角形，則NAEC等于（）

A.108°B.120°C,126°D,132°

8.如圖，一次函數(shù)y=Ac+b?。?）的圖象過(guò)點(diǎn)（―1,0）,則不等式％（工-1）+人＞（）的解集是（）

9.如圖，AB為。的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PCP。與.，0相切，切點(diǎn)分別為C,。.若A3=6,PC=4,

則sinNCAD等于（）

C

AP

OB

D

3234

A.B.D.

554

2

10.二次函數(shù)y^ax-2ax+c(a〉0)的圖象過(guò)A(-3,y),B(-l,y2),C(2,%),D(4,y4)四個(gè)點(diǎn),下列說(shuō)法一定正確

的是()

A.若則y3y4>°B.若以乂〉0，則

c.若y2y4<。，則%為<0D.若y3y4<°，貝日必<°

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.若反比例函數(shù)丫=人的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),則A的值等于

x

12.寫(xiě)出一個(gè)無(wú)理數(shù)x,使得l<x<4,則x可以是——(只要寫(xiě)出一個(gè)滿足條件x即可)

13.某校共有1000名學(xué)生.為了解學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)分布情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)，畫(huà)出條形統(tǒng)計(jì)

圖，如圖.根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)可估計(jì)該校中長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是.

M

"

u)“

21”J

lqo

t>

14.如圖，A。是，ABC的角平分線.若N5=90°,BD=yj3,則點(diǎn)D到AC的距離是

BDC

15已知非零實(shí)數(shù)乂,滿足片號(hào)則―^值等于——

16.如圖,在矩形ABCD中，AB=4,=5,點(diǎn)E,尸分別是邊A8,8。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A,B重合，且所=他,

G是五邊形4EFCO內(nèi)滿足GE=G/且N￡G/=90°的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①/GEB與ZGFB一定互補(bǔ)；

②點(diǎn)G到邊A8,3c的距離一定相等；

③點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等；

④點(diǎn)G到邊的距離的最大值為2加.

其中正確的是.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.計(jì)算：舊+出一3卜（；）?

18.如圖，在，ABC中，。是邊上的點(diǎn)，DE±AC,DF1AB,垂足分別為E,F,且DE=DF,CE=BF.求

證：NB=NC.

x>3-2KD

19.解不等式組：x-3-

-----------------<1②

26

20.某公司經(jīng)營(yíng)某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是40元.

（1）已知該公司某月賣(mài)出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600

元，問(wèn)：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？

（2）經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定，該公司零售數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營(yíng)1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問(wèn)：應(yīng)如何

規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？

21.如圖，在中，NACB=90。.線段EF是由線段A8平移得到的，點(diǎn)F在邊8C上，&EFD是以EF

為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)。恰好在AC的延長(zhǎng)線上.

(2)求證：CD=BF.

22.如圖，已知線段MN=a,AH_LAK,垂足為a.

a

RA/N

（1）求作四邊形ABC。，使得點(diǎn)B,。分別在射線AK,AR上，且4B=BC=a,ZABC=60°,CD//AB；（要

求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,。分別為⑴中四邊形A8CZ）的邊A8C。的中點(diǎn)，求證：直線AQ,BC,PQ相交于同一點(diǎn).

23.“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A，B”G，

田忌也有上、中、下三匹馬4，鳥(niǎo),。2,且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：

A,>A2>>B2>C,>C2（注：表示A馬與8馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹

馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利.面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”

順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助

對(duì)陣（CzAdAeG

)獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問(wèn)題：

(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求其獲勝

的概率；

(2)如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)列出

田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

24.如圖，在正方形ABCD中，E,尸為邊A3上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)4關(guān)于OE的對(duì)稱點(diǎn)為A',AA'的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)G.

(1)求證：DE//AF；

(2)求NGAB的大?。?/p>

(3)求證：A!C=2AB.

25.已知拋物線yuaV+fex+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)P(O,1),求a+h最小值；

(2)已知點(diǎn)［(—2,1),2(2,—1),4(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：丁=履+1與拋物線交于MN兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線y=T上，且NM4N=90°,過(guò)點(diǎn)4且與x軸垂直

的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B,C.求證：AM43與AWBC的面積相等.

2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

要求的.

1.在實(shí)數(shù)后，；，0.一1中，最小的數(shù)是（）

A.-18.0C.yD.V2

【答案】A

【分析】根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.

【詳解】解：在實(shí)數(shù)0,一1中，

V2.；為正數(shù)大于0,

一1為負(fù)數(shù)小于0,

，最小的數(shù)是：一1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)正數(shù)大于0.0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小,

可以直接判斷出來(lái).

2.如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)從上面看到的圖形即可得到答案.

【詳解】從上面看是一個(gè)正六邊形，中間是一個(gè)圓，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.看得見(jiàn)部分的輪廓線要畫(huà)成實(shí)線，看不

見(jiàn)部分的輪廓線要畫(huà)成虛線.

3.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸工廠8之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C,利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得

NA=60°,NC=90°,AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離A8等于()

A.2kmB.3kmC.2\/3kmD.4km

【答案】D

【分析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個(gè)銳角，求斜邊的長(zhǎng).

【詳解】ZA=60o,NC=9()o,AC=2km

cosA------,cos60°=—

AB2

,nAC2

AB=-------=—=4km

cosA

2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵.

4.下列運(yùn)算正確的是()

A.2a—a-2B.(a—1)'=crC.a6-j-a3=a1D.(2?3)2=46z6

【答案】D

【分析】根據(jù)不同的運(yùn)算法則或公式逐項(xiàng)加以計(jì)算，即可選出正確答案.

【詳解】解：A:2a—a=(2—l)a=a,故A錯(cuò)誤；

B:(a-1)'=a2-2a+l,故B錯(cuò)誤；

C：46+/=*-3=/,故c錯(cuò)誤；

D：(2.3)2=22.)2=43*2=46

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減法法則、乘法公式、同底數(shù)鬲的除法法則、積的乘方、塞的乘方等知識(shí)點(diǎn)，熟知上

述各種不同的運(yùn)算法則或公式，是解題的關(guān)鍵.

5.某校為推薦一項(xiàng)作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對(duì)甲、乙、丙、丁四項(xiàng)候選作品進(jìn)行量化評(píng)分，具體成績(jī)(百分制)

如表：

項(xiàng)目

甲乙丙T

作品

創(chuàng)新性90959090

實(shí)用性90909585

如果按照創(chuàng)新性占60%,實(shí)用性占40%計(jì)算總成績(jī)，并根據(jù)總成績(jī)擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【分析】利用加權(quán)平均數(shù)計(jì)算總成績(jī)，比較判斷即可

【詳解】根據(jù)題意，得：

甲：90x60%+90x40%=90；

乙：95x60%+90x40%=93；

丙：90x60%+95x40%=92；

T:90X60%+85X40%=88；

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

6.某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開(kāi)展植樹(shù)造林

活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x,那么，符合題意的方程是()

A.0.63(1+x)=0.68B.0.63(1+x)2=0.68

C.0.63(1+2%)=0.68D.0.63(1+2x)2=0.68

【答案】B

【分析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為X,根據(jù)2020年底森林覆蓋率=2018年底森林覆蓋率乘（l+x）2,據(jù)此即可列方程求解.

【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為X,由題意得：

0.63(1+x)2=0.68,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，列出方程即可.

7.如圖，點(diǎn)F在正五邊形MCDE的內(nèi)部，A3E為等邊三角形，則NAR等于（）

A.108°B.120°C.126°D.132°

【答案】C

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出NA8C的度數(shù)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

可得NABF=NAFB=60°,AB=BF,可得BF=BC,根據(jù)角的和差關(guān)系可得出NFBC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

可求出的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案.

【詳解】是正五邊形，

（5-2）x180°

ZABC=-------1-------=108°,AB=BC,

AM為等邊三角形，

AZABF=ZAFB=(>0°,AB=BF,

：.BF=BC,NFBC=NABC-NABF=48。,

NBFC=；(180°-NFBC)=66°,

，ZAFC=ZAFB+ZBFC=126°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵.

8.如圖，一次函數(shù)丁=丘+力?。?)的圖象過(guò)點(diǎn)(―1,0),則不等式z(x—1)+人＞()的解集是()

【答案】c

【分析】先平移該一次函數(shù)圖像，得到一次函數(shù))=攵(％-1)+可攵＞0)圖像，再由圖像即可以判斷出

左(彳一1)+匕＞0的解集.

【詳解】解：如圖所示，將直線＞僅＞0)向右平移1個(gè)單位得到＞=%(%—1)+》僅＞0),該圖像經(jīng)過(guò)原

點(diǎn)，

由圖像可知，在y軸右側(cè)，直線位于X軸上方，即y＞0,

因此，當(dāng)x＞0時(shí)，々(x—1)+人＞0,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)圖像的平移和利用一次函數(shù)圖像求對(duì)應(yīng)一元一次不等式的解集等，解決本題的關(guān)鍵是

牢記一次函數(shù)的圖像與一元一次不等式之間的關(guān)系，能從圖像中得到對(duì)應(yīng)部分的解集，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想

方法等.

9.如圖，AB為一。的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，與」。相切，切點(diǎn)分別為C,。.若A8=6,PC=4,

則sinNCAD等于（）

【答案】D

【分析】連接。c,CP,DP是。。的切線，根據(jù)定理可知/OCP=90°,ZCAP^ZPAD,利用三角形的一個(gè)外角

等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可求NC4D=/C0P,在RtZXOCP中求出sinNCOP即可.

【詳解】解：連接。C,

CP,OP是。。的切線，則/OCP=90°,ZCAP^ZPAD,

：.ZCAD=2ZCAP,

"：OA=OC

：.ZOAC=ZACO,

：.ZC0P^2ZCA0

：.ZCOP=ZCAD

AB=6

，0C=3

在RtZ\COP中，0c=3,PC=4

：.0P=5.

4

sinZCAD=sin/COP=-

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解.

2

10.二次函數(shù)），=ax-2ax+c（a>0）的圖象過(guò)A（—3,y）,B（-l,y2）,C（2,%）,￡>（4,九）四個(gè)點(diǎn),下列說(shuō)法一定正確

的是（）

A.若乂%>。，則為”>°B.若,>4〉0，則y2y3>°

c.若y2y4<。，貝D.若M為<0，貝，當(dāng)<°

【答案】c

【分析】求出拋物線對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向和增減性，根據(jù)橫坐標(biāo)的值，可判斷出各點(diǎn)縱坐標(biāo)值的大小

關(guān)系，從而可以求解.

【詳解】解：二次函數(shù)了=￡?2一2公+0（。>0）的對(duì)稱軸為：

x=--^~=--棄?=1，且開(kāi)口向上，

2a2a

，距離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，

M>”>%>為，

A.若X%>°，則為”〉0不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B,若以%>°，則y2y3>。不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C,若%>4<0,所以X>0,為<0,則x%<。一定成立，故選項(xiàng)正確，符合題意；

D,若外乂<0,則X%<0不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及不等式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸及開(kāi)口方向，確定各

點(diǎn)縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系，再進(jìn)行分論討論判斷即可.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.若反比例函數(shù)y="的圖象過(guò)點(diǎn)（L1）,則&的值等于

X

【答案】1

【分析】結(jié)合題意，將點(diǎn)（1,1）代入到y(tǒng)=&,通過(guò)計(jì)算即可得到答案.

X

k

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=—的圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）

X

1=—,即A=1

1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，從而完成求解.

12.寫(xiě)出一個(gè)無(wú)理數(shù)x,使得l<x<4,則x可以是―（只要寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的x即可）

【答案】答案不唯一（如起，肛1.010010001…等）

【分析】從無(wú)理數(shù)的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有兀的數(shù)，

【詳解】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義寫(xiě)一個(gè)無(wú)理數(shù)，滿足l<x<4即可；

所以可以寫(xiě)：

①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)：、回，

②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，1.010010001.....,

TT

③含有兀的數(shù)一,等.只要寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的X即可.

2

故答案為：答案不唯一（如3,4,1.01001（）0（）1....等）

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小

數(shù)，③含有兀的數(shù).

13.某校共有1000名學(xué)生.為了解學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)分布情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的中長(zhǎng)跑成績(jī)，畫(huà)出條形統(tǒng)計(jì)

圖，如圖.根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)可估計(jì)該校中長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是

【答案】270

【分析】利用樣本中的優(yōu)秀率來(lái)估計(jì)整體中的優(yōu)秀率，從而得出總體中的中長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).

27

【詳解】解：由圖知：樣本中優(yōu)秀學(xué)生的比例為：一=27%,

100

該校中長(zhǎng)跑成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是：1000x27%=270（人）

故答案是：270.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)圖中信息求出樣本中優(yōu)秀率作為總體中的

優(yōu)秀率，即可求出總體中優(yōu)秀的人數(shù).

14.如圖，是ABC的角平分線.若NB=9O°,8D=G,則點(diǎn)。到AC的距離是

【答案】百

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即可求得.

【詳解】如圖，過(guò)力作則。到AC的距離為。E

平分NC4B,ZB=90°,BD=>/3.

DE=BD=C

二點(diǎn)。到AC的距離為6-

故答案為G.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，理解點(diǎn)到直線的距離的定義，熟知角平分線的性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

15.已知非零實(shí)數(shù)x,y滿足y=",則人二?的值等于___.

x+1xy

【答案】4

【分析】由條件y=3變形得，x-尸卬把此式代入所求式子中，化簡(jiǎn)即可求得其值.

X+1

【詳解】由y=—三得：xy+y=x,即x-產(chǎn)孫

.x-y+3孫_孫+3孫_4盯「（

‘‘孫孫孫

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題是求代數(shù)式的值，考查了整體代入法求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是根據(jù)條件丫=上、，變形為六產(chǎn)孫，然后

整體代入.

16.如圖,在矩形ABCD中，A8=4,AD=5,點(diǎn)E,F分別是邊AB,8C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A,8重合，且防=4?,

G是五邊形AEFCO內(nèi)滿足GE=GE且N￡Gb=90°的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①NGEB與NGEB一定互補(bǔ)；

②點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等；

③點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等；

④點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2J5

其中正確的是.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②④

【分析】①利用四邊形內(nèi)角和為360°即可求證；

②過(guò)G作GMJ.AB,GN，8C,證明AGME沿AGNF即可得結(jié)論；

③分別求出G到邊的距離的范圍，再進(jìn)行判斷；

④點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為當(dāng)GE_LA8時(shí)，GE即為所求

【詳解】NEGF=90°GE=GF

NGE/=45。

①四邊形ABCD是矩形

.?.々=90°

/EG尸=90。,四邊形內(nèi)角和為360°

:.NGEB+NGFB=180。

，①正確.

②如圖：過(guò)G作GM，AB,GN±BC

:.NGME=/GNF=90。

ZGEB+Z.GFB=180。，Z.GEM+NGEB=180°

:./GFN=GEM

又GE=GF

LGME%AGNF(AAS)

:.GM=GN

即點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等

，②正確.

③如圖：過(guò)G作GN_L4D,GM_LCD

ND

NG<AB一;EF=2,GM<AD一;EF=3

NG>AB-EFxsin450=4-272,

GM>AD-EFxsin450=5-2s/2

4-2>/2<^G<2,5-272<GM<3

而2<5-2血

所以點(diǎn)G到邊AD,DC的距離不可能相等

③不正確.

④如圖：

B

當(dāng)GE，A8時(shí)，點(diǎn)G到邊A3的距離的最大

G￡=EFxsin45°=4x—=2A/2

2

，④正確.

綜上所述：①②④正確.

故答案為①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，四邊形內(nèi)角和為360。，全等三角形的證明，點(diǎn)到直線的距離，銳角三角函數(shù)，矩

形的性質(zhì)，熟悉矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.計(jì)算:屈.

【答案】亞

【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，絕對(duì)值，負(fù)整式指數(shù)鬲，然后計(jì)算即可得答案.

【詳解】V12+|V3-3|-W

=26+(3-a-3

=26+3一0一3

—5/3?

【點(diǎn)睛】本小題考查二次根式的化簡(jiǎn)、絕對(duì)值的意義、負(fù)指數(shù)鬲等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

18.如圖，在,ABC中，。是邊8C上的點(diǎn)，DE±AC,DF±AB,垂足分別為E,F,且DE=DF,CE=BF.求

【答案】見(jiàn)解析

【分析】由。E，AC,。尸，AB得出NQEC=N￡)EB=90°,由SAS證明自DEC也一。EB,得出對(duì)應(yīng)角相等即

可.

【詳解】證明：?；DE±AC,DF±AB,

：./DEC=ZDFB=90。.

DE=DF,

在DEC和ADFB中，<NDEC=乙DFB,

CE=BF,

：..DECADFB,

NB=NC.

【點(diǎn)睛】本小題考查垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀.

x>3-lx?

19.解不等式組：<1x-3-

I26

【答案】l<x<3

【分析】分別求出不等式組中各不等式的解集，再取公共部分即可.

【詳解】解：解不等式x23—2x,

3x>3,

解得：x21.

解不等式上」——<1,

26

3x—3-x+3<6,

解得：x<3.

所以原不等式組的解集是：l?x<3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是：準(zhǔn)確解出各個(gè)不等式的解集，再取公共部分即可.

20.某公司經(jīng)營(yíng)某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是40元.

(1)已知該公司某月賣(mài)出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600元，問(wèn)：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別

是多少？

（2）經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營(yíng)1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問(wèn)：應(yīng)如何

規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？

【答案】（1）該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱；（2）該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品700

箱才能使總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是49000元

【分析】（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品x箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品y箱，利用賣(mài)出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600元列方程

組，然后解方程組即可；

（2）設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品加箱，獲得總利潤(rùn)w元，利用利潤(rùn)的意義得到w=70m+40（1000-m）=30m+40000,

再根據(jù)該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%可確定m的范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

【詳解】解：（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品x箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品y箱.

70x+40y=4600,

依題意，得《

x+y=100,

x=20,

解得

y=80.

所以該公司當(dāng)月零售農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品80箱.

（2）設(shè)該公司零售農(nóng)產(chǎn)品機(jī)箱，獲得總利潤(rùn)?元.則批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為（1000-m）箱，

?.?該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%

Am<300

依題意，得卬=70〃?+40（1000-〃?）=30機(jī)+40000,加4300.

因?yàn)?0>0,所以卬隨著，"的增大而增大，

所以加=300時(shí)，取得最大值49000元，

此時(shí)1000—加=700.

所以該公司應(yīng)零售農(nóng)產(chǎn)品300箱、批發(fā)農(nóng)產(chǎn)品700箱才能使總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是49000元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：建立一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍解決最值問(wèn)題;

也考查了二元一次方程組.

21.如圖，在中，ZAC8=90°.線段EE是由線段A3平移得到的，點(diǎn)尸在邊6C上，AEFD是以EF

為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)。恰好在AC的延長(zhǎng)線上.

(1)求證：ZADE^ZDFC；

(2)求證：CD=BF.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)通過(guò)兩角和等于90。，然后通過(guò)等量代換即可證明；

(2)通過(guò)平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對(duì)應(yīng)邊相等，通過(guò)等量代換即可證明.

【詳解】證明：(1)在等腰直角三角形及加中，NEDF=90。,

，ZADE+ZADF^900.

NAC8=90。，

ZDFC+ZADF=ZACB=90°,

ZADE=ZDFC

(2)連接AE.

由平移性質(zhì)得=3/

AEAD=ZACB=90°.

；?ZDCF=180?！猌ACB=90°,

/.ZEAD=ZDCF.

：.是等腰直角三角形，

；?DE=DF

由（1）得ZADE=NDFC,

:—AECRCDF,

AE=CD,ACD=BF

【點(diǎn)睛】本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正

確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).

22.如圖，已知線段=垂足為a.

a

RhlN

（1）求作四邊形ABC。，使得點(diǎn)B,。分別在射線AK,AR上，且==ZABC=60°,CD//AB；（要

求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,。分別為（1）中四邊形A8CD的邊A6,C。的中點(diǎn)，求證：直線相交于同一點(diǎn).

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B在射線AK上，過(guò)點(diǎn)A作他=。；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得==分

別過(guò)點(diǎn)A、B,。為半徑畫(huà)圓弧，交點(diǎn)即為點(diǎn)C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD即可得到答案；

An

（2）設(shè)直線8C與A￡＞相交于點(diǎn)5、直線PQ與AO相交于點(diǎn)S',根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，得二AH

S'DSD

從而得S'D=SD,即可完成證明.

【詳解】（1）作圖如下：

四邊形ABCO是所求作的四邊形；

(2)設(shè)直線8C與A。相交于點(diǎn)S,

S(S)f

?:DC//AB,

:...SBA^..SCD,

.SAAB

"'~SD~~DC

設(shè)直線PQ與AO相交于點(diǎn)S',

S,APA

同理而=詼'

VP,。分別為A5,CD的中點(diǎn),

APA^AB,QD=；DC

?_P_A___A_B_

"^D~~DC

.S'ASA

??而一折

.S'D+ADSD+AD

*,---~SD-'

.ADAD

??布一訪’

S'D=SD,

，點(diǎn)S與S'重合，即三條直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解.

23.“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬4,四,G，

田忌也有上、中、下三匹馬4，當(dāng),。2,且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：

4>A>5,>52>c,>C2（注：表示A馬與8馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹

馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利.面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”

順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助

對(duì)陣（64,4月，4a）獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問(wèn)題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求其獲勝

的概率；

（2）如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)列出

田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

【答案】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝，4；（2）不是，田忌獲勝的所有對(duì)陣是

2

、

（CzAMg?G）（C2/\,B2C[,]82^）,（＜A2B^B2Ci,C2A^^,^B2C1,C2Ai,A2B[^,

（B2C?AB?C2A）,I

【分析】（1）通過(guò)理解題意分析得出結(jié)論，通過(guò)列舉法求出獲勝的概率；

（2）通過(guò)列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對(duì)陣，求出概率.

【詳解】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝.

此時(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣為：

（C2A，A5?B2C,）,（GA，40,44）,

（G4,與4,4G），（GA，AG，B24）,共四種.

其中田忌獲勝的對(duì)陣有

（。24,4月,與0），共兩種,

故此時(shí)田忌獲勝的概率為々=g.

（2）不是.

齊王的出馬順序?yàn)锳，4,G時(shí),田忌獲勝的對(duì)陣是（G4,44,B2G

齊王的出馬順序?yàn)锳，G，用時(shí),田忌獲勝的對(duì)陣是CA,Bg,4g）

齊王的出馬順序?yàn)?,4，G時(shí),田忌獲勝的對(duì)陣是（44，。2A，）

齊王的出馬順序?yàn)?,q,A時(shí),

田忌獲勝的對(duì)陣是（44,B2G,C2A,）

齊王的出馬順序?yàn)镚，4,4時(shí),田忌獲勝的對(duì)陣是（B2c1,4旦）

齊王的出馬順序?yàn)镚，4,A時(shí),田忌獲勝的對(duì)陣是（BC，&BI,C2A）

綜上所述，田忌獲勝的所有對(duì)陣是

（。24,4張&0，（GA'4G,ABj.

（44,32c，

（B2Cl,C2Al,A2Bl^,（^B2CI,A2B1,C2A1^

齊王的出馬順序?yàn)?,4,G時(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣是

（44也4，。2。1），（&A，C24，CG），（用4,44，。2。1）,

（B2^,C2B1,AC1）,（。24，44，為0，（。24，5與，4。）

共6種，同理，齊王的其他各種出馬順序，也都分別有相應(yīng)的6種可能對(duì)陣,

所以，此時(shí)田忌獲勝的概率￡4J

【點(diǎn)睛】本小題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想；通過(guò)列舉

所有對(duì)陣情況，求得概率是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在正方形A5C。中，E,尸為邊A3上兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A',AA'的延長(zhǎng)線交

8C于點(diǎn)G.

(1)求證：DE//AF；

(2)求NGA8的大小；

(3)求證：AC=2AB.

【答案】⑴見(jiàn)解析；(2)45°；(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)直線。石與AA'相交于點(diǎn)T,證明ET是二A4N的中位線即可；

(2)連接FG,取FG的中點(diǎn)。，連接。4',03,證明點(diǎn)A,F,B,G四點(diǎn)共圓即可；

(3)設(shè)AB=3a,則A￡>=BC=3a,AF=2a,AE=BE=a,設(shè)A'/=Z,則44'=3%,根據(jù)勾股定理找到k

與a的關(guān)系，根據(jù).AFBS_A'GC列比例求解即可.

【詳解】解：(1)設(shè)直線￡>E與A4'相交于點(diǎn)7.

?.?點(diǎn)A與4關(guān)于對(duì)稱，

DE垂直平分A4',即OE_L44',AT=TA：.

■:E,尸為A8邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

:.AE=EF,

ET是_A4'F的中位線，

/?ET//AF,即DE//AF-

(2)連接EG,：四邊形ABCD是正方形，

:.AD=AB,ZDAB=ZABG=90°,ZDAT+NBAG=90°,

,：DE±AA,AZD7X=900,

:.ZADT+ZDAT=90°、：.ZADT=ZBAG.

DAE^ABG.

:.AE=BG,又AE=EF=FB,

：.FB=BG.

：.△￡6G是等腰直角三角形，

；.NGFB=45。.

'：DE//A'F.

；?AFYAA.

N*G=90。.

取尸G的中點(diǎn)。，連接。4',03,

在R/AFG和RJB/G中，

OA!=OF=OG=LFGQB=OF=OG=LFG,

22

：.OA=OF=OG=OB.

...點(diǎn)A',F,B,G都在以FG為直徑的。上，

NG4'B=NGFB=45°.

(3)設(shè)AB—3a,則AZ)=BC—3a,AF—2。,AE—BF—a.

由(2)得5G=AE=Q,

AtanZBAG=—即tanNAAb='，?A，F(xiàn)-1

AB3a33"AV"3

設(shè)A'F=h則A4'=3匕在尸中，由勾股定理，得AF=+心=屈女，

:.Mk=2a,k=^^,A，F(xiàn).

在Rf.ABG中，由勾股定理，得AG=JAB2+3G2=MZ

又..?A4'=3Z=豆巫，

5

AA'G=AG-AA'=V10?-

55

Ma

.AF=kJ

,,A'G2Ma2,

5

?:CG=BC-CB=2a,

?BFa1

"'CG~2a~2'

.ZFBF1

"~^G~~CG~2

由⑵知，NA'EB+NA'G8=180°